內(nèi)蒙古呼和浩特市重點(diǎn)名校2025年高三下學(xué)期期末考試數(shù)學(xué)試題理試題（B卷）考生須知：1．全卷分選擇題和非選擇題兩部分，全部在答題紙上作答。選擇題必須用2B鉛筆填涂；非選擇題的答案必須用黑色字跡的鋼筆或答字筆寫在“答題紙”相應(yīng)位置上。2．請(qǐng)用黑色字跡的鋼筆或答字筆在“答題紙”上先填寫姓名和準(zhǔn)考證號(hào)。3．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，在草稿紙、試題卷上答題無效。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．“完全數(shù)”是一些特殊的自然數(shù)，它所有的真因子（即除了自身以外的約數(shù)）的和恰好等于它本身.古希臘數(shù)學(xué)家畢達(dá)哥拉斯公元前六世紀(jì)發(fā)現(xiàn)了第一、二個(gè)“完全數(shù)”6和28，進(jìn)一步研究發(fā)現(xiàn)后續(xù)三個(gè)完全數(shù)”分別為496，8128，33550336，現(xiàn)將這五個(gè)“完全數(shù)”隨機(jī)分為兩組，一組2個(gè)，另一組3個(gè)，則6和28不在同一組的概率為（）A． B． C． D．2．設(shè)，分別為雙曲線（a＞0，b＞0）的左、右焦點(diǎn)，過點(diǎn)作圓的切線與雙曲線的左支交于點(diǎn)P，若，則雙曲線的離心率為（）A． B． C． D．3．拋物線C:y2=2px的焦點(diǎn)F是雙曲線C2:x2m-y21-m=1A．2+1 B．22+3 C．4．已知等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，若，，則數(shù)列的公差為（）A． B． C． D．5．一袋中裝有個(gè)紅球和個(gè)黑球（除顏色外無區(qū)別），任取球，記其中黑球數(shù)為，則為（）A． B． C． D．6．已知為虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)，則其共軛復(fù)數(shù)（）A． B． C． D．7．某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的最長(zhǎng)棱的長(zhǎng)為（）A． B． C． D．8．已知命題：“關(guān)于的方程有實(shí)根”，若為真命題的充分不必要條件為，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A． B． C． D．9．已知函數(shù)，將的圖象上的所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短到原來的，縱坐標(biāo)保持不變；再把所得圖象向上平移個(gè)單位長(zhǎng)度，得到函數(shù)的圖象，若，則的值可能為（）A． B． C． D．10．中國(guó)古建筑借助榫卯將木構(gòu)件連接起來，構(gòu)件的凸出部分叫榫頭，凹進(jìn)部分叫卯眼，圖中木構(gòu)件右邊的小長(zhǎng)方體是榫頭．若如圖擺放的木構(gòu)件與某一帶卯眼的木構(gòu)件咬合成長(zhǎng)方體，則咬合時(shí)帶卯眼的木構(gòu)件的俯視圖可以是A． B． C． D．11．已知，則（）A．5 B． C．13 D．12．如圖，在三棱錐中，平面，，，，，分別是棱，，的中點(diǎn)，則異面直線與所成角的余弦值為A．0 B． C． D．1二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．有編號(hào)分別為1，2，3，4，5的5個(gè)紅球和5個(gè)黑球，從中隨機(jī)取出4個(gè)，則取出球的編號(hào)互不相同的概率為_______________.14．已知矩形ABCD，AB=4，BC=3，以A,B為焦點(diǎn)，且過C,D兩點(diǎn)的雙曲線的離心率為____________.15．如圖，在棱長(zhǎng)為2的正方體中，點(diǎn)、分別是棱，的中點(diǎn)，是側(cè)面正方形內(nèi)一點(diǎn)（含邊界），若平面，則線段長(zhǎng)度的取值范圍是______.16．如圖，己知半圓的直徑，點(diǎn)是弦（包含端點(diǎn)，）上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)在弧上．若是等邊三角形，且滿足，則的最小值為___________.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知拋物線：的焦點(diǎn)為，過上一點(diǎn)（）作兩條傾斜角互補(bǔ)的直線分別與交于，兩點(diǎn)，（1）證明：直線的斜率是－1；（2）若，，成等比數(shù)列，求直線的方程.18．（12分）在直角坐標(biāo)系中，以為極點(diǎn)，軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系．曲線的極坐標(biāo)方程為：，曲線的參數(shù)方程為其中，為參數(shù)，為常數(shù)．（1）寫出與的直角坐標(biāo)方程；（2）在什么范圍內(nèi)取值時(shí)，與有交點(diǎn)．19．（12分）已知函數(shù)u（x）＝xlnx，v（x）x﹣1，m∈R．（1）令m＝2，求函數(shù)h（x）的單調(diào)區(qū)間；（2）令f（x）＝u（x）﹣v（x），若函數(shù)f（x）恰有兩個(gè)極值點(diǎn)x1，x2，且滿足1e（e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）求x1?x2的最大值．20．（12分）在中，角的對(duì)邊分別為，若.（1）求角的大小；（2）若，為外一點(diǎn)，，求四邊形面積的最大值.21．（12分）如圖，在矩形中，，，點(diǎn)分別是線段的中點(diǎn)，分別將沿折起，沿折起，使得重合于點(diǎn)，連結(jié).（Ⅰ）求證：平面平面；（Ⅱ）求直線與平面所成角的正弦值.22．（10分）[選修4-5：不等式選講]設(shè)函數(shù).（1）求不等式的解集；（2）已知關(guān)于的不等式在上有解，求實(shí)數(shù)的取值范圍.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．C【解析】

先求出五個(gè)“完全數(shù)”隨機(jī)分為兩組，一組2個(gè)，另一組3個(gè)的基本事件總數(shù)為，再求出6和28恰好在同一組包含的基本事件個(gè)數(shù)，根據(jù)即可求出6和28不在同一組的概率.【詳解】解：根據(jù)題意，將五個(gè)“完全數(shù)”隨機(jī)分為兩組，一組2個(gè)，另一組3個(gè)，則基本事件總數(shù)為，則6和28恰好在同一組包含的基本事件個(gè)數(shù)，∴6和28不在同一組的概率.故選：C.本題考查古典概型的概率的求法，涉及實(shí)際問題中組合數(shù)的應(yīng)用.2．C【解析】

設(shè)過點(diǎn)作圓的切線的切點(diǎn)為，根據(jù)切線的性質(zhì)可得，且，再由和雙曲線的定義可得，得出為中點(diǎn)，則有，得到，即可求解.【詳解】設(shè)過點(diǎn)作圓的切線的切點(diǎn)為，，所以是中點(diǎn)，，，.故選:C.本題考查雙曲線的性質(zhì)、雙曲線定義、圓的切線性質(zhì)，意在考查直觀想象、邏輯推理和數(shù)學(xué)計(jì)算能力，屬于中檔題.3．A【解析】

先由題和拋物線的性質(zhì)求得點(diǎn)P的坐標(biāo)和雙曲線的半焦距c的值，再利用雙曲線的定義可求得a的值，即可求得離心率.【詳解】由題意知，拋物線焦點(diǎn)F1,0，準(zhǔn)線與x軸交點(diǎn)F'(-1,0)，雙曲線半焦距c=1，設(shè)點(diǎn)Q(-1,y)ΔFPQ是以點(diǎn)P為直角頂點(diǎn)的等腰直角三角形，即PF所以PQ⊥拋物線的準(zhǔn)線，從而PF⊥x軸，所以P1,2∴2a=P即a=故雙曲線的離心率為e=故選A本題考查了圓錐曲線綜合，分析題目，畫出圖像，熟悉拋物線性質(zhì)以及雙曲線的定義是解題的關(guān)鍵，屬于中檔題.4．D【解析】

根據(jù)等差數(shù)列公式直接計(jì)算得到答案.【詳解】依題意，，故，故，故，故選：D．本題考查了等差數(shù)列的計(jì)算，意在考查學(xué)生的計(jì)算能力.5．A【解析】

由題意可知，隨機(jī)變量的可能取值有、、、，計(jì)算出隨機(jī)變量在不同取值下的概率，進(jìn)而可求得隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望值.【詳解】由題意可知，隨機(jī)變量的可能取值有、、、，則，，，.因此，隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望為.故選：A.本題考查隨機(jī)變量數(shù)學(xué)期望的計(jì)算，考查計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題.6．B【解析】

先根據(jù)復(fù)數(shù)的乘法計(jì)算出，然后再根據(jù)共軛復(fù)數(shù)的概念直接寫出即可.【詳解】由，所以其共軛復(fù)數(shù).故選：B.本題考查復(fù)數(shù)的乘法運(yùn)算以及共軛復(fù)數(shù)的概念，難度較易.7．D【解析】

先根據(jù)三視圖還原幾何體是一個(gè)四棱錐，根據(jù)三視圖的數(shù)據(jù)，計(jì)算各棱的長(zhǎng)度.【詳解】根據(jù)三視圖可知，幾何體是一個(gè)四棱錐，如圖所示：由三視圖知：，所以，所以，所以該幾何體的最長(zhǎng)棱的長(zhǎng)為故選：D本題主要考查三視圖的應(yīng)用，還考查了空間想象和運(yùn)算求解的能力，屬于中檔題.8．B【解析】命題p：，為，又為真命題的充分不必要條件為，故9．C【解析】

利用二倍角公式與輔助角公式將函數(shù)的解析式化簡(jiǎn)，然后利用圖象變換規(guī)律得出函數(shù)的解析式為，可得函數(shù)的值域?yàn)椋Y(jié)合條件，可得出、均為函數(shù)的最大值，于是得出為函數(shù)最小正周期的整數(shù)倍，由此可得出正確選項(xiàng).【詳解】函數(shù)，將函數(shù)的圖象上的所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短到原來的倍，得的圖象；再把所得圖象向上平移個(gè)單位，得函數(shù)的圖象，易知函數(shù)的值域?yàn)?若，則且，均為函數(shù)的最大值，由，解得；其中、是三角函數(shù)最高點(diǎn)的橫坐標(biāo)，的值為函數(shù)的最小正周期的整數(shù)倍，且．故選C．本題考查三角函數(shù)圖象變換，同時(shí)也考查了正弦型函數(shù)與周期相關(guān)的問題，解題的關(guān)鍵在于確定、均為函數(shù)的最大值，考查分析問題和解決問題的能力，屬于中等題.10．A【解析】

詳解：由題意知，題干中所給的是榫頭，是凸出的幾何體，求得是卯眼的俯視圖，卯眼是凹進(jìn)去的，即俯視圖中應(yīng)有一不可見的長(zhǎng)方形，且俯視圖應(yīng)為對(duì)稱圖形故俯視圖為故選A.點(diǎn)睛：本題主要考查空間幾何體的三視圖，考查學(xué)生的空間想象能力，屬于基礎(chǔ)題。11．C【解析】

先化簡(jiǎn)復(fù)數(shù)，再求，最后求即可.【詳解】解：，，故選：C考查復(fù)數(shù)的運(yùn)算，是基礎(chǔ)題.12．B【解析】

根據(jù)題意可得平面，，則即異面直線與所成的角，連接CG，在中，，易得，所以，所以，故選B．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．【解析】試題分析：從編號(hào)分別為1，1，3，4，5的5個(gè)紅球和5個(gè)黑球，從中隨機(jī)取出4個(gè)，有種不同的結(jié)果，由于是隨機(jī)取出的，所以每個(gè)結(jié)果出現(xiàn)的可能性是相等的；設(shè)事件為“取出球的編號(hào)互不相同”，則事件包含了個(gè)基本事件，所以.考點(diǎn)：1.計(jì)數(shù)原理；1．古典概型.14．2【解析】

根據(jù)為焦點(diǎn)，得；又求得，從而得到離心率.【詳解】為焦點(diǎn)在雙曲線上，則又本題正確結(jié)果：本題考查利用雙曲線的定義求解雙曲線的離心率問題，屬于基礎(chǔ)題.15．【解析】

取中點(diǎn)，連結(jié)，，推導(dǎo)出平面平面，從而點(diǎn)在線段上運(yùn)動(dòng)，作于，由，能求出線段長(zhǎng)度的取值范圍．【詳解】取中點(diǎn)，連結(jié)，，在棱長(zhǎng)為2的正方體中，點(diǎn)、分別是棱、的中點(diǎn)，，，，，平面平面，是側(cè)面正方形內(nèi)一點(diǎn)（含邊界），平面，點(diǎn)在線段上運(yùn)動(dòng)，在等腰△中，，，作于，由等面積法解得：，，線段長(zhǎng)度的取值范圍是，．故答案為：，．本題考查線段長(zhǎng)的取值范圍的求法，考查空間中線線、線面、面面間的位置關(guān)系等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，是中檔題．16．1【解析】

建系，設(shè)，表示出點(diǎn)坐標(biāo)，則，根據(jù)的范圍得出答案．【詳解】解：以為原點(diǎn)建立平面坐標(biāo)系如圖所示：則，，，，設(shè)，則，，，，，，，顯然當(dāng)取得最大值4時(shí)，取得最小值1．故答案為：1．本題考查了平面向量的數(shù)量積運(yùn)算，坐標(biāo)運(yùn)算，屬于中檔題．三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（1）見解析；（2）【解析】

（1）設(shè)，，由已知，得，代入中即可；（2）利用拋物線的定義將轉(zhuǎn)化為，再利用韋達(dá)定理計(jì)算.【詳解】（1）在拋物線上，∴，設(shè)，，由題可知，，∴，∴，∴，∴，∴（2）由（1）問可設(shè)：：，則，，，∴，∴，即（*），將直線與拋物線聯(lián)立，可得：，所以，代入（*）式，可得滿足，∴：.本題考查直線與拋物線的位置關(guān)系的應(yīng)用，在處理直線與拋物線位置關(guān)系的問題時(shí)，通常要涉及韋達(dá)定理來求解，本題查學(xué)生的運(yùn)算求解能力，是一道中檔題.18．（1），．（2）【解析】

（1）利用，代入可求；消參可得直角坐標(biāo)方程.（2）將的參數(shù)方程代入的直角坐標(biāo)方程，與有交點(diǎn)，可得，解不等式即可求解.【詳解】（1）（2）將的參數(shù)方程代入的直角坐標(biāo)方程得：與有交點(diǎn)，即本題考查了極坐標(biāo)方程與普通方程的轉(zhuǎn)化、參數(shù)方程與普通方程的轉(zhuǎn)化、直線與圓的位置關(guān)系的判斷，屬于基礎(chǔ)題.19．（1）單調(diào)遞增區(qū)間是（0，e），單調(diào)遞減區(qū)間是（e，+∞）（2）【解析】

（1）化簡(jiǎn)函數(shù)h（x），求導(dǎo)，根據(jù)導(dǎo)數(shù)和函數(shù)的單調(diào)性的關(guān)系即可求出（2）函數(shù)f（x）恰有兩個(gè)極值點(diǎn)x1，x2，則f′（x）＝lnx﹣mx＝0有兩個(gè)正根，由此得到m（x2﹣x1）＝lnx2﹣lnx1，m（x2+x1）＝lnx2+lnx1，消參數(shù)m化簡(jiǎn)整理可得ln（x1x2）＝ln?，設(shè)t，構(gòu)造函數(shù)g（t）＝（）lnt，利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性，求出函數(shù)的最大值即可求出x1?x2的最大值．【詳解】（1）令m＝2，函數(shù)h（x），∴h′（x），令h′（x）＝0，解得x＝e，∴當(dāng)x∈（0，e）時(shí)，h′（x）＞0，當(dāng)x∈（e，+∞）時(shí)，h′（x）＜0，∴函數(shù)h（x）單調(diào)遞增區(qū)間是（0，e），單調(diào)遞減區(qū)間是（e，+∞）（2）f（x）＝u（x）﹣v（x）＝xlnxx+1，∴f′（x）＝1+lnx﹣mx﹣1＝lnx﹣mx，∵函數(shù)f（x）恰有兩個(gè)極值點(diǎn)x1，x2，∴f′（x）＝lnx﹣mx＝0有兩個(gè)不等正根，∴l(xiāng)nx1﹣mx1＝0，lnx2﹣mx2＝0，兩式相減可得lnx2﹣lnx1＝m（x2﹣x1），兩式相加可得m（x2+x1）＝lnx2+lnx1，∴∴l(xiāng)n（x1x2）＝ln?，設(shè)t，∵1e，∴1＜t≤e，設(shè)g（t）＝（）lnt，∴g′（t），令φ（t）＝t2﹣1﹣2tlnt，∴φ′（t）＝2t﹣2（1+lnt）＝2（t﹣1﹣lnt），再令p（t）＝t﹣1﹣lnt，∴p′（t）＝10恒成立，∴p（t）在（1，e]單調(diào)遞增，∴φ′（t）＝p（t）＞p（1）＝1﹣1﹣ln1＝0，∴φ（t）在（1，e]單調(diào)遞增，∴g′（t）＝φ（t）＞φ（1）＝1﹣1﹣2ln1＝0，∴g（t）在（1，e]單調(diào)遞增，∴g（t）max＝g（e），∴l(xiāng)n（x1x2），∴x1x2故x1?x2的最大值為．本題考查了利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值和最值，考查了函數(shù)與方程的思想，轉(zhuǎn)化與化歸思想，屬于難題20．（1）（2）【解析】

（1）根據(jù)正弦定理化簡(jiǎn)等式可得，即；（2）根據(jù)題意，利用余弦定理可得，再表示出，表示出四邊形，進(jìn)而可得最值.【詳解】（1），由正弦定理得：在中，，則，即，，即.（2）在中，又，則為等邊三角形，又，-當(dāng)時(shí)，四邊形的面積取最大值，最大值為.本題主要考查了正弦定理，余弦定理，三角形面積公式的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．21．（Ⅰ）詳見解析；（Ⅱ）.【解析】

（Ⅰ）根據(jù)，，可得平面，故而平面平面．（Ⅱ）過作于，則可證平面，故為所求角，在中利用余弦定理計(jì)算，再計(jì)算．【詳