2025屆重慶市九校聯盟高三高考模擬最后一卷數學試題考生請注意：1．答題前請將考場、試室號、座位號、考生號、姓名寫在試卷密封線內，不得在試卷上作任何標記。2．第一部分選擇題每小題選出答案后，需將答案寫在試卷指定的括號內，第二部分非選擇題答案寫在試卷題目指定的位置上。3．考生必須保證答題卡的整潔。考試結束后，請將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．已知，是雙曲線的兩個焦點，過點且垂直于軸的直線與相交于，兩點，若，則△的內切圓的半徑為（）A． B． C． D．2．已知集合，則（）A． B． C． D．3．已知為等差數列，若，，則()A．1 B．2 C．3 D．64．2019年10月1日，為了慶祝中華人民共和國成立70周年，小明、小紅、小金三人以國慶為主題各自獨立完成一幅十字繡贈送給當地的村委會，這三幅十字繡分別命名為“鴻福齊天”、“國富民強”、“興國之路”，為了弄清“國富民強”這一作品是誰制作的，村支書對三人進行了問話，得到回復如下：小明說：“鴻福齊天”是我制作的；小紅說：“國富民強”不是小明制作的，就是我制作的；小金說：“興國之路”不是我制作的，若三人的說法有且僅有一人是正確的，則“鴻福齊天”的制作者是（）A．小明 B．小紅 C．小金 D．小金或小明5．如圖，在中，點為線段上靠近點的三等分點，點為線段上靠近點的三等分點，則（）A． B． C． D．6．關于的不等式的解集是，則關于的不等式的解集是（）A． B．C． D．7．從某市的中學生中隨機調查了部分男生，獲得了他們的身高數據，整理得到如下頻率分布直方圖：根據頻率分布直方圖，可知這部分男生的身高的中位數的估計值為A． B．C． D．8．已知函數，若函數的所有零點依次記為，且，則（）A． B． C． D．9．對于函數，定義滿足的實數為的不動點，設，其中且，若有且僅有一個不動點，則的取值范圍是（）A．或 B．C．或 D．10．下列函數中，在區間上為減函數的是（）A． B． C． D．11．正四棱錐的五個頂點在同一個球面上，它的底面邊長為，側棱長為，則它的外接球的表面積為（）A． B． C． D．12．設f(x)是定義在R上的偶函數，且在(0,+∞)單調遞減，則（）A． B．C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知拋物線的焦點為，斜率為2的直線與的交點為，若，則直線的方程為___________．14．如圖，在一個倒置的高為2的圓錐形容器中，裝有深度為的水，再放入一個半徑為1的不銹鋼制的實心半球后，半球的大圓面、水面均與容器口相平，則的值為____________.15．若冪函數的圖象經過點，則其單調遞減區間為_______．16．設全集，集合，，則集合______.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知集合，集合，.（1）求集合B；（2）記，且集合M中有且僅有一個整數，求實數k的取值范圍.18．（12分）已知橢圓的焦距為，斜率為的直線與橢圓交于兩點，若線段的中點為，且直線的斜率為.（1）求橢圓的方程；（2）若過左焦點斜率為的直線與橢圓交于點為橢圓上一點，且滿足，問：是否為定值？若是，求出此定值，若不是，說明理由.19．（12分）秉持“綠水青山就是金山銀山”的生態文明發展理念，為推動新能源汽車產業迅速發展，有必要調查研究新能源汽車市場的生產與銷售.下圖是我國某地區年至年新能源汽車的銷量（單位：萬臺）按季度（一年四個季度）統計制成的頻率分布直方圖.（1）求直方圖中的值，并估計銷量的中位數；（2）請根據頻率分布直方圖估計新能源汽車平均每個季度的銷售量（同一組數據用該組中間值代表），并以此預計年的銷售量.20．（12分）在中，角，，的對邊分別為，，，，，且的面積為.(1)求；(2)求的周長.21．（12分）已知.（1）解關于x的不等式：；（2）若的最小值為M，且，求證：.22．（10分）已知函數．(Ⅰ)求函數的極值；(Ⅱ)若,且,求證：．

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．B【解析】

設左焦點的坐標，由AB的弦長可得a的值，進而可得雙曲線的方程，及左右焦點的坐標，進而求出三角形ABF2的面積，再由三角形被內切圓的圓心分割3個三角形的面積之和可得內切圓的半徑.【詳解】由雙曲線的方程可設左焦點，由題意可得，由，可得，所以雙曲線的方程為:所以，所以三角形ABF2的周長為設內切圓的半徑為r，所以三角形的面積，所以，解得，故選：B本題考查求雙曲線的方程和雙曲線的性質及三角形的面積的求法，內切圓的半徑與三角形長周長的一半之積等于三角形的面積可得半徑的應用，屬于中檔題.2．A【解析】

考慮既屬于又屬于的集合，即得.【詳解】.故選：本題考查集合的交運算，屬于基礎題.3．B【解析】

利用等差數列的通項公式列出方程組，求出首項和公差，由此能求出．【詳解】∵{an}為等差數列，,∴，解得＝﹣10，d＝3，∴＝+4d＝﹣10+11＝1．故選：B．本題考查等差數列通項公式求法，考查等差數列的性質等基礎知識，考查運算求解能力，是基礎題．4．B【解析】

將三個人制作的所有情況列舉出來，再一一論證.【詳解】依題意，三個人制作的所有情況如下所示：123456鴻福齊天小明小明小紅小紅小金小金國富民強小紅小金小金小明小紅小明興國之路小金小紅小明小金小明小紅若小明的說法正確，則均不滿足；若小紅的說法正確，則4滿足；若小金的說法正確，則3滿足.故“鴻福齊天”的制作者是小紅，故選：B.本題考查推理與證明，還考查推理論證能力以及分類討論思想，屬于基礎題.5．B【解析】

，將,代入化簡即可.【詳解】.故選：B.本題考查平面向量基本定理的應用，涉及到向量的線性運算、數乘運算，考查學生的運算能力，是一道中檔題.6．A【解析】

由的解集，可知及，進而可求出方程的解，從而可求出的解集.【詳解】由的解集為，可知且，令，解得，，因為，所以的解集為，故選：A.本題考查一元一次不等式、一元二次不等式的解集，考查學生的計算求解能力與推理能力，屬于基礎題.7．C【解析】

由題可得，解得，則，，所以這部分男生的身高的中位數的估計值為，故選C．8．C【解析】

令，求出在的對稱軸，由三角函數的對稱性可得，將式子相加并整理即可求得的值.【詳解】令，得，即對稱軸為.函數周期，令，可得.則函數在上有8條對稱軸.根據正弦函數的性質可知，將以上各式相加得：故選:C.本題考查了三角函數的對稱性，考查了三角函數的周期性，考查了等差數列求和.本題的難點是將所求的式子拆分為的形式.9．C【解析】

根據不動點的定義，利用換底公式分離參數可得；構造函數，并討論的單調性與最值，畫出函數圖象，即可確定的取值范圍.【詳解】由得，.令，則，令，解得，所以當時，，則在內單調遞增；當時，，則在內單調遞減；所以在處取得極大值，即最大值為，則的圖象如下圖所示：由有且僅有一個不動點，可得得或，解得或.故選：C本題考查了函數新定義的應用，由導數確定函數的單調性與最值，分離參數法與構造函數方法的應用，屬于中檔題.10．C【解析】

利用基本初等函數的單調性判斷各選項中函數在區間上的單調性，進而可得出結果.【詳解】對于A選項，函數在區間上為增函數；對于B選項，函數在區間上為增函數；對于C選項，函數在區間上為減函數；對于D選項，函數在區間上為增函數.故選：C.本題考查函數在區間上單調性的判斷，熟悉一些常見的基本初等函數的單調性是判斷的關鍵，屬于基礎題.11．C【解析】

如圖所示，在平面的投影為正方形的中心，故球心在上，計算長度，設球半徑為，則，解得，得到答案.【詳解】如圖所示：在平面的投影為正方形的中心，故球心在上，，故，，設球半徑為，則，解得，故.故選：.本題考查了四棱錐的外接球問題，意在考查學生的空間想象能力和計算能力.12．D【解析】

利用是偶函數化簡，結合在區間上的單調性，比較出三者的大小關系.【詳解】是偶函數，，而，因為在上遞減，，即．故選:D本小題主要考查利用函數的奇偶性和單調性比較大小，屬于基礎題.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．【解析】

設直線l的方程為，，聯立直線l與拋物線C的方程，得到A，B點橫坐標的關系式，代入到中，解出t的值，即可求得直線l的方程【詳解】設直線．由題設得，故，由題設可得．

由可得，

則，從而，得，所以l的方程為,故答案為：本題主要考查了直線的方程，拋物線的定義，拋物線的簡單幾何性質，直線與拋物線的位置關系，屬于中檔題.14．【解析】

由已知可得到圓錐的底面半徑，再由圓錐的體積等于半球的體積與水的體積之和即可建立方程.【詳解】設圓錐的底面半徑為，體積為，半球的體積為，水（小圓錐）的體積為，如圖則，所以，，解得，所以，，，由，得，解得.故答案為：本題考查圓錐的體積、球的體積的計算，考查學生空間想象能力與計算能力，是一道中檔題.15．【解析】

利用待定系數法求出冪函數的解析式，再求出的單調遞減區間．【詳解】解：冪函數的圖象經過點，則，解得；所以，其中；所以的單調遞減區間為．故答案為：．本題考查了冪函數的圖象與性質的應用問題，屬于基礎題．16．【解析】

分別解得集合A與集合B的補集，再由集合交集的運算法則計算求得答案.【詳解】由題可知，集合A中集合B的補集，則故答案為：本題考查集合的交集與補集運算，屬于基礎題.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（1）（2）【解析】

（1）由不等式可得,討論與的關系,即可得到結果；（2）先解得不等式,由集合M中有且僅有一個整數,當時,則M中僅有的整數為；當時,則M中僅有的整數為,進而求解即可.【詳解】解:（1）因為,所以,當,即時,；當,即時,；當,即時,.（2）由得,當,即時,M中僅有的整數為,所以,即；當,即時,M中僅有的整數為,所以,即；綜上,滿足題意的k的范圍為本題考查解一元二次不等式,考查由交集的結果求參數范圍,考查分類討論思想與運算能力.18．(1).(2)為定值.過程見解析.【解析】分析：（1）焦距說明，用點差法可得＝.這樣可解得，得橢圓方程；（2）若，這種特殊情形可直接求得，在時，直線方程為，設，把直線方程代入橢圓方程，后可得，然后由紡長公式計算出弦長，同時直線方程為，代入橢圓方程可得點坐標，從而計算出，最后計算即可.詳解：（1）由題意可知，設，代入橢圓可得：，兩式相減并整理可得，，即.又因為，，代入上式可得，.又，所以，故橢圓的方程為.（2）由題意可知，，當為長軸時，為短半軸，此時；否則，可設直線的方程為，聯立，消可得，，則有：，所以設直線方程為，聯立，根據對稱性，不妨得，所以.故，綜上所述，為定值.點睛：設直線與橢圓相交于兩點，的中點為，則有，證明方法是點差法：即把點坐標代入橢圓方程得，，兩式相減，結合斜率公式可得.19．（1），中位數為；（2）新能源汽車平均每個季度的銷售量為萬臺，以此預計年的銷售量約為萬臺.【解析】

（1）根據頻率分布直方圖中所有矩形面積之和為可計算出的值，利用中位數左邊的矩形面積之和為可求得銷量的中位數的值；（2）利用每個矩形底邊的中點值乘以相應矩形的面積，相加可得出銷量的平均數，由此可預計年的銷售量.【詳解】（1）由于頻率分布直方圖的所有矩形面積之和為，則，解得，由于，因此，銷量的中位數為；（2）由頻率分布直方圖可知，新能源汽車平均每個季度的銷售量為（萬臺），由此預測年的銷售量為萬臺.本題考查利用頻率分布直方圖求參數、中位數以及平均數的計算，考查計算能力，屬于基礎題.20．（1）（2）【解析】

（1）利用正弦，余弦定理對式子化簡求解即可；（2）利用余弦定理以及三角形的面積，求解三角形的周長即可．【詳解】（1），由正弦定理可得：，即：，由余弦定理得.（2）∵，所以，，又，且，，的周長為本題考查正弦定理以及余弦定理的應用，三角形的面積公式，也考查計算能力，屬于基礎題.21．（1）；（2）證明見解析.【解析】

（1）分類討論求解絕對值不等式即可；（2）由（1）中所得函數，求得最小值，再利用均值不等式即可證明.【詳解】（1）當時，等價于，該不等式恒成立，當時，等價于，該不等式解集為，當時，等價于，解得，綜上，或，所以不等式的解集為.（2），易得的最小值為1，即因為，，，所以，，，所以，當且僅當時等號成立.本題考查利用分類討論求解絕對值不等式，涉及利用均值不等式證明不等式，屬綜合中檔題.22．(Ⅰ)極大值為：，無極小值；(Ⅱ)見解析.【解析】

(Ⅰ)求出函數的導數，解關于導函數的不等