2025年初中學業水平模擬考試（一）數學試卷注意事項：1．本試卷分第I卷和第II卷兩部分，全卷共8頁，清分120分，考試時間120分鐘．2．答卷前，考生務必將自己的姓名，準考證號填寫在本試卷相應的位置．3．答案全部在答題卡上完成，答在本試卷上無效．4．考試結束后，將本試卷和答題卡一并交回．第I卷選擇題（共30分）一、選擇題（本大題共10個小題，每小題3分，共30分．在每個小題給出的四個選項中，只有一項符合題目要求，請把正確答案的代號填在下表中）1.的相反數是（）A. B. C.3 D.-32.2024年上半年數據顯示，北斗系統的全球服務用戶總數已達15億，日服務請求量高達4500億次，數據4500億用科學記數法表示為（）A. B. C. D.3.甲骨文是迄今為止中國發現的年代最早的成熟文字，是漢字的源頭和中華優秀傳統文化的根脈．下列甲骨文中，可大致看作軸對稱圖形的是（）A. B. C. D.4.當，時，的值為（）A1 B. C. D.45.“趙爽弦圖”是第24屆國際數學家大會的會徽圖案，源于趙爽所著的《勾股圓方圖注》．趙爽運用弦圖（如圖所示）巧妙地證明了勾股定理，他所用的方法是（）A.分析法 B.相似法 C.反證法 D.等面積法6.如圖，點是的重心，，連接，并延長，分別交，于點，，連接，則的長為（）A.2 B.3 C.4 D.57.在反比例函數的圖象上有兩點，，當時，有，則的取值范圍是（）A. B. C. D.8.晉劇是我省國家級非物質文化遺產，因其雅俗共賞，深受大眾喜愛．正面印有晉劇經典劇目Q版人物的三張卡片（其中有1名男性角色，2名女性角色），它們除正面外完全相同．把這三張卡片背面朝上洗勻，從中隨機抽取一張，放回洗勻后，再從中隨機抽取一張，兩次抽取的卡片正面人物性別都為女性的概率為（）A. B. C. D.9.俗語有云：“一天不練手腳慢，兩天不練丟一半，三天不練門外漢，四天不練瞪眼看．”其意思是知識和技藝在學習后，如果不及時復習，那么學習過東西就會被遺忘．假設每天“遺忘”的百分比是一樣的，根據“兩天不練丟一半”，則每天“遺忘”的百分比約為（參考數據：）（）A. B. C. D.10.如圖，在中，，，以點為圓心，的長為半徑畫弧與交于點，則的長為（）A. B. C. D.第II卷非選擇題（共90分）二、填空題（本大題共5個小題，每小題3分，共15分）11.寫出一個能與合并實數：_____．12.若點在第四象限，則的取值范圍是_____．13.如圖是一次函數的圖象，則關于x的方程：的解是___________．14.在手工課上，小明用半徑為、圓心角為的扇形紙板制作圓錐形的小生日帽（如圖所示），不考慮接縫的情況下，這個生日帽的高為_____．15.如圖，將沿矩形中過點的一條直線折疊，折痕交直線于點（點不與點重合），點的對稱點落在矩形的對角線上，與交于點，連接．若，，則的長為_____．三、解答題（本大題共8個小題，共75分．解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟）16.（1）計算：．（2）解方程：．17.山西紅富士蘋果以其出眾的口感和實惠的價格而聞名．某商店計劃購進A，B兩種品牌的紅富士蘋果共50箱進行銷售．A品牌紅富士蘋果的價格為38元/箱，B品牌紅富士蘋果的價格為30元/箱．若購進這兩種品牌紅富士蘋果的總費用不超過1740元，則最多可購進A品牌紅富士蘋果多少箱？18.為了弘揚和傳承中華優秀傳統文化，某校舉辦了一場名為“經典文化傳承大賽”的初賽，比賽設定滿分為10分，參賽學生的得分均為整數．以下是甲、乙兩組（每組10人）學生在初賽中的成績記錄（單位：分）：甲組：6，7，9，10，6，5，6，6，9，6．乙組：10，7，6，9，6，7，7，6，7，5．根據甲、乙兩組學生的成績，得到以下的統計表：組別平均數中位數眾數方差甲組7a62.6乙組b7c（1）在以上成績統計表中，_____，_____，_____．（2）小明同學說：“這次競賽我得了7分，在我們小組中屬于中游略偏上的水平．”根據上面的統計表，判斷小明是哪個組的學生，并解釋原因．（3）從平均數和方差看，若從甲、乙兩組學生中選擇一個成績較為穩定的小組參加決賽，應選哪個組？并說明理由．19.某企業為了在復雜多變的市場環境中實現跨越式發展，爭取通過增收減支使得今年企業的利潤是去年的2倍，該企業的具體目標如下：保證今年總產值比去年增加，總支出比去年減少．已知該企業去年的利潤（利潤＝總產值-總支出）為200萬元，求去年的總產值和總支出．20.亭是我國最具代表性的傳統建筑形式之一，我國漢代便有十里一亭，十亭一鄉的建制．如圖，某小區的一涼亭可看作由等腰三角形和矩形構成，其中，橫梁的長為，數學小組的同學用自制的測角儀在點處測量，發現涼亭頂端點、檐角點和點正好在同一條直線上，此時測得檐角點的仰角為，將測角儀往前移至點處，測得檐角點的仰角為，已知點到的距離．求涼亭的高度（精確到，參考數據：）．21.閱讀與思考請閱讀以下材料并完成相應的任務．偉大的古希臘數學家、哲學家、物理學家阿基米德提出了有關圓的一個引理．這個引理的作圖步驟如下：①如圖，已知，C是弦上一點，作線段的垂直平分線，分別交于點D，于點E，連接．②以點D為圓心，的長為半徑作弧，交于點F（F，A兩點不重合），連接．引理的結論：．（1）任務一：用尺規完成材料中的作圖，保留作圖痕跡，并標明字母．（2）任務二：請你完成引理結論的證明過程．22綜合與實踐主題】大棚苗木種植方案設計【素材】圖是一個大棚苗木種植基地的截面圖，其下半部分是一個長為、寬為的矩形，其上半部分的形狀是一條拋物線，現測得大棚頂部的最高點距離地面．【素材】種植苗木時，每棵苗木高，為了保證生長空間，相鄰兩棵苗木種植點之間間隔，苗木頂部不觸碰大棚，且種植后苗木成軸對稱分布（苗木的數量為偶數個）．【解決問題】（1）大棚上半部分的形狀是一條拋物線，設大棚的高度為，種植點的橫坐標為．根據圖建立的平面直角坐標系，通過素材提供的信息確定點的坐標，求出拋物線的解析式（無需寫出自變量的取值范圍）．（2）探究種植范圍．在圖的平面直角坐標系中，在不影響苗木生長的情況下，確定種植點的橫坐標的取值范圍．（3）擬定種植方案．求出最前排符合所有種植條件的苗木數量，并求出最左邊一棵苗木種植點的橫坐標．23.綜合與探究綜合實踐課上，老師帶領同學們對“四邊形內互相垂直的線段”進行了探究，請你從中發現方法，完成解答．【初步研究】（1）如圖1，在正方形中，點M，N分別在線段，上，且，則的值為_____．【知識遷移】（2）如圖2，在矩形中，，，點E，F，G，H分別在線段，，，上，且．求的值．【深入探究】（3）如圖3，在四邊形中，，，當時，請直接寫出邊的長．

2025年初中學業水平模擬考試（一）數學試卷注意事項：1．本試卷分第I卷和第II卷兩部分，全卷共8頁，清分120分，考試時間120分鐘．2．答卷前，考生務必將自己的姓名，準考證號填寫在本試卷相應的位置．3．答案全部在答題卡上完成，答在本試卷上無效．4．考試結束后，將本試卷和答題卡一并交回．第I卷選擇題（共30分）一、選擇題（本大題共10個小題，每小題3分，共30分．在每個小題給出的四個選項中，只有一項符合題目要求，請把正確答案的代號填在下表中）1.的相反數是（）A. B. C.3 D.-3【答案】A【解析】【分析】根據相反數的定義即可解答．【詳解】解：的相反數為．故選：A．【點睛】本題考查了相反數，熟記相關定義是解答本題的關鍵．2.2024年上半年數據顯示，北斗系統的全球服務用戶總數已達15億，日服務請求量高達4500億次，數據4500億用科學記數法表示為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】此題考查了科學記數法，關鍵是理解運用科學記數法．科學記數法的表示形式為的形式，其中，n為整數．確定n的值時，要看把原數變成a時，小數點移動了多少位，n的絕對值與小數點移動的位數相同，據此求解即可．【詳解】數據4500億用科學記數法表示為．故選：C．3.甲骨文是迄今為止中國發現的年代最早的成熟文字，是漢字的源頭和中華優秀傳統文化的根脈．下列甲骨文中，可大致看作軸對稱圖形的是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】本題考查了軸對稱圖形的識別，根據如果一個圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合，這個圖形叫做軸對稱圖形，這條直線叫做對稱軸進行分析即可．【詳解】解：A、該圖形是軸對稱圖形，故本選項符合題意；B、該圖形不是軸對稱圖形，故本選項不符合題意；C、該圖形不是軸對稱圖形，故本選項不符合題意；D、該圖形不是軸對稱圖形，故本選項不符合題意．故選：A．4.當，時，的值為（）A.1 B. C. D.4【答案】C【解析】【分析】本題考查了整式的化簡求值，因式分解，實數的運算，涵蓋二次根式的加減乘除、平方差公式應用．解題關鍵是通過因式分解簡化表達式，再利用實數運算法則（尤其二次根式運算）逐步求值，體現了實數運算中“先化簡再計算”的策略．先對因式分解，提取公因式得，再用平方差公式進一步分解為．接著代入，分別計算的值，最后相乘得出結果．【詳解】解：，，當，時，，原式=，故選；．5.“趙爽弦圖”是第24屆國際數學家大會的會徽圖案，源于趙爽所著的《勾股圓方圖注》．趙爽運用弦圖（如圖所示）巧妙地證明了勾股定理，他所用的方法是（）A.分析法 B.相似法 C.反證法 D.等面積法【答案】D【解析】【分析】本題考查了勾股定理的證明．根據大正方形的面積減去小正方形的面積等于四個直角三角形的面積，即可證明勾股定理．【詳解】解：如圖，由題意得，，整理得，∴趙爽運用弦圖（如圖所示）巧妙地證明了勾股定理，他所用的方法是等面積法，故選：D．6.如圖，點是的重心，，連接，并延長，分別交，于點，，連接，則的長為（）A.2 B.3 C.4 D.5【答案】B【解析】【分析】此題考查三角形的重心，關鍵是根據三角形的重心是三角形三邊中線的交點解答．根據三角形的重心是三角形三邊中線的交點，進而利用三角形中位線定理解答即可．【詳解】解：∵點是的重心，∴E點為的中點，D為的中點，∴是的中位線，∵，∴，故選：B7.在反比例函數的圖象上有兩點，，當時，有，則的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】本題主要考查反比例函數的性質．首先根據題意，判斷函數圖象所在象限，再根據所在象限得到，進而求解，即可解題．【詳解】解：∵當時，有，∴反比例函數圖象在一、三象限，∴，∴，故選：D．8.晉劇是我省國家級非物質文化遺產，因其雅俗共賞，深受大眾喜愛．正面印有晉劇經典劇目Q版人物的三張卡片（其中有1名男性角色，2名女性角色），它們除正面外完全相同．把這三張卡片背面朝上洗勻，從中隨機抽取一張，放回洗勻后，再從中隨機抽取一張，兩次抽取的卡片正面人物性別都為女性的概率為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】本題考查了樹狀圖法或列表法求概率，解題的關鍵是正確畫出樹狀圖得到所有的等可能的結果數．根據題意，利用樹狀圖法將所有結果都列舉出來，然后根據概率公式計算解決即可．【詳解】解：把3張卡片中1名男性角色，2名女性角色分別記為A、B、C，畫樹狀圖如下：共有9種等可能的結果，其中兩次抽取的卡片正面人物性別都為女性的的結果有4種，∴兩次抽取的卡片正面人物性別都為女性的概率為．故選：D．9.俗語有云：“一天不練手腳慢，兩天不練丟一半，三天不練門外漢，四天不練瞪眼看．”其意思是知識和技藝在學習后，如果不及時復習，那么學習過的東西就會被遺忘．假設每天“遺忘”的百分比是一樣的，根據“兩天不練丟一半”，則每天“遺忘”的百分比約為（參考數據：）（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】該題主要考查了一元二次方程的應用，解題的關鍵是讀懂題意，正確列出方程．設每天遺忘的百分比為，根據“兩天不練丟一半”列出方程解答即可．【詳解】解：設每天遺忘的百分比為，則，解得：．故選：C．10.如圖，在中，，，以點為圓心，的長為半徑畫弧與交于點，則的長為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】本題主要考查了等腰三角形的判定以及性質，相似三角形的判定以及性質，三角形外角的定義和性質等知識，設的長為，則．利用三角形外角的定義和的性質以及等腰三角形的判定以及性質得出，證明，利用相似三角形的性質得出，解出x即可得出答案．【詳解】解：設的長為，則．，．．由作圖可知，，．是的外角，，，，，．．，，即，（負值已舍去）．故選：B．第II卷非選擇題（共90分）二、填空題（本大題共5個小題，每小題3分，共15分）11.寫出一個能與合并的實數：_____．【答案】（答案不唯一）【解析】【分析】本題考查了同類二次根式，根據二次根式的性質化簡，能熟記同類二次根式的定義（幾個二次根式化成最簡二次根式以后，如果被開方數相同，那么這幾個二次根式叫同類二次根式）是解此題的關鍵．根據同類二次根式的定義得出答案即可．【詳解】解：，能與合并的實數可以為，故答案為：（答案不唯一）．12.若點在第四象限，則取值范圍是_____．【答案】【解析】【分析】本題考查了點所在的象限、一元一次不等式組的應用，熟練掌握平面直角坐標系中，第四象限內的點的橫坐標大于，縱坐標小于是解題關鍵．根據平面直角坐標系中，第四象限內的點的橫坐標大于，縱坐標小于建立不等式組，解不等式組即可得．【詳解】解：點在第四象限，，解得：，故答案為：．13.如圖是一次函數的圖象，則關于x的方程：的解是___________．【答案】【解析】【分析】一次函數y＝kx+b的圖象與x軸交點橫坐標的值即為方程ax+b＝0的解．【詳解】解：∵一次函數y＝ax+b的圖象與x軸相交于點（-2，0），∴關于x的方程kx+b＝0的解是x＝-2．故答案為x＝-2．【點睛】本題主要考查了一次函數與一元一次方程的關系．任何一元一次方程都可以轉化為ax+b＝0（a，b為常數，a≠0）的形式，所以解一元一次方程可以轉化為：當某個一次函數的值為0時，求相應的自變量的值．從圖象上看，相當于已知直線y＝ax+b確定它與x軸的交點的橫坐標的值．14.在手工課上，小明用半徑為、圓心角為的扇形紙板制作圓錐形的小生日帽（如圖所示），不考慮接縫的情況下，這個生日帽的高為_____．【答案】【解析】【分析】本題考查了圓錐的計算，同時考查了弧長公式和勾股定理．圓錐的側面展開圖為扇形，扇形的弧長等于圓錐的底面圓的周長，扇形的半徑等于圓錐的母線長．先利用弧長求得弧長，根據圓錐的側面展開圖為扇形，扇形的弧長等于圓錐的底面圓的周長，則可計算出圓錐的底面圓的半徑，然后根據勾股定理可計算出圓錐的高．【詳解】解：∵半徑，圓心角的扇形紙板，∴扇形的弧長為，設圓錐的底面圓半徑為r，∴，解得，故圓錐的高為：，故答案為：．15.如圖，將沿矩形中過點的一條直線折疊，折痕交直線于點（點不與點重合），點的對稱點落在矩形的對角線上，與交于點，連接．若，，則的長為_____．【答案】【解析】【分析】本題考查了矩形的性質，勾股定理，折疊的性質，解直角三角形，熟練掌握相關知識點是解題的關鍵．根據矩形的性質得到，，根據勾股定理得到，繼而得到得出，得到計算即可得到答案．【詳解】在矩形中，，，，由折疊的性質可知，，，．，，，即，，．故答案為：．三、解答題（本大題共8個小題，共75分．解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟）16.（1）計算：．（2）解方程：．【答案】（1）；（2）【解析】【分析】本題主要考查了實數混合運算，解分式方程，解題的關鍵是熟練掌握運算法則，準確計算．（1）根據特殊角的三角函數值，負整數指數冪運算法則，進行計算即可；（2）先去分母變分式方程為整式方程，然后解整式方程，最后進行檢驗即可．【詳解】解：（1）原式．（2）去分母，得：．解得：，檢驗：當時，．是原方程的解．17.山西紅富士蘋果以其出眾的口感和實惠的價格而聞名．某商店計劃購進A，B兩種品牌的紅富士蘋果共50箱進行銷售．A品牌紅富士蘋果的價格為38元/箱，B品牌紅富士蘋果的價格為30元/箱．若購進這兩種品牌紅富士蘋果的總費用不超過1740元，則最多可購進A品牌紅富士蘋果多少箱？【答案】30箱【解析】【分析】本題考查了一元一次不等式的應用，找準不等關系，正確列出一元一次不等式是解題的關鍵．【詳解】解：設購進品牌紅富士蘋果箱，則購進品牌紅富士蘋果箱，．解得．答：最多可購進A品牌紅富士蘋果30箱．18.為了弘揚和傳承中華優秀傳統文化，某校舉辦了一場名為“經典文化傳承大賽”的初賽，比賽設定滿分為10分，參賽學生的得分均為整數．以下是甲、乙兩組（每組10人）學生在初賽中的成績記錄（單位：分）：甲組：6，7，9，10，6，5，6，6，9，6．乙組：10，7，6，9，6，7，7，6，7，5．根據甲、乙兩組學生的成績，得到以下的統計表：組別平均數中位數眾數方差甲組7a62.6乙組b7c（1）在以上成績統計表中，_____，_____，_____．（2）小明同學說：“這次競賽我得了7分，在我們小組中屬于中游略偏上的水平．”根據上面的統計表，判斷小明是哪個組的學生，并解釋原因．（3）從平均數和方差看，若從甲、乙兩組學生中選擇一個成績較為穩定小組參加決賽，應選哪個組？并說明理由．【答案】（1）6；7；7（2）小明是甲組的學生，理由見解析（3）選乙組參加決賽，理由見解析【解析】【分析】（1）根據平均數、中位數和眾數的定義分別進行解答即可得出答案；（2）根據中位數的意義即可得出答案；（3）根據平均數與方差的意義即可得出答案．【小問1詳解】解：∵甲組數據重新排列為：5，6，6，6，6，6，7，9，9，10．∴中間兩個數的平均數是，則中位數；∵乙組數據重新排列為：5，6，6，6，7，7，7，7，9，10．，乙組學生成績中，數據出現了四次，次數最多，所以眾數．【小問2詳解】小明可能是甲組的學生，理由如下：因為甲組的中位數是6分，而小明得了7分，所以在小組中屬中游略偏上，【小問3詳解】選乙組參加決賽．理由如下：，甲、乙兩組學生平均數相同，而，乙組的成績比較穩定，故選乙組參加決賽．【點睛】本題考查了平均數，中位數，眾數，方差的意義．掌握平均數表示一組數據的平均程度，中位數是將一組數據從小到大（或從大到小）重新排列后，最中間的那個數（或最中間兩個數的平均數），一組數據中出現次數最多的數據叫做眾數，方差是用來衡量一組數據波動大小的量是解題的關鍵．19.某企業為了在復雜多變的市場環境中實現跨越式發展，爭取通過增收減支使得今年企業的利潤是去年的2倍，該企業的具體目標如下：保證今年總產值比去年增加，總支出比去年減少．已知該企業去年的利潤（利潤＝總產值-總支出）為200萬元，求去年的總產值和總支出．【答案】去年的總產值為600萬元，總支出為400萬元【解析】【分析】此題考查了二元一次方程組的應用，設去年的總產值為萬元，總支出為萬元，則今年的總產值為萬元，總支出為萬元，根據題意列出二元一次方程組求解即可．【詳解】解：設去年的總產值為萬元，總支出為萬元，則今年的總產值為萬元，總支出為萬元，根據題意得解得答：去年的總產值為600萬元，總支出為400萬元．20.亭是我國最具代表性的傳統建筑形式之一，我國漢代便有十里一亭，十亭一鄉的建制．如圖，某小區的一涼亭可看作由等腰三角形和矩形構成，其中，橫梁的長為，數學小組的同學用自制的測角儀在點處測量，發現涼亭頂端點、檐角點和點正好在同一條直線上，此時測得檐角點的仰角為，將測角儀往前移至點處，測得檐角點的仰角為，已知點到的距離．求涼亭的高度（精確到，參考數據：）．【答案】5.2米【解析】【分析】本題考查了矩形的性質、等腰三角形的性質、解直角三角形的應用，解題的關鍵是通過作輔助線構造矩形，利用三角函數和幾何圖形的性質建立等式來求解線段長度．首先設與的交點為，過點作于點構造矩形，利用矩形性質得，，．再根據等腰三角形的性質確定，然后分別在兩個直角三角形中，利用已知的仰角和三角函數（正切函數）的定義，得到的長度，最后通過計算得出涼亭的高度．【詳解】解：如圖，設與的交點為，過點作于點，，，易得四邊形是矩形，，，，為等腰三角形，，由題意可知，，，在中，，，，在中，，，．答：涼亭的高度約為5.2米．21.閱讀與思考請閱讀以下材料并完成相應的任務．偉大的古希臘數學家、哲學家、物理學家阿基米德提出了有關圓的一個引理．這個引理的作圖步驟如下：①如圖，已知，C是弦上一點，作線段的垂直平分線，分別交于點D，于點E，連接．②以點D為圓心，的長為半徑作弧，交于點F（F，A兩點不重合），連接．引理的結論：．（1）任務一：用尺規完成材料中的作圖，保留作圖痕跡，并標明字母．（2）任務二：請你完成引理結論的證明過程．【答案】（1）圖見解析；（2）證明見解析．【解析】【分析】（1）根據線段和線段垂直平分線的尺規作圖方法結合題意作圖即可；（2）先由線段垂直平分線的性質得到，則由等邊對等角得到，再由圓內接四邊形對角互補和平角的定義得到，再根據弦與圓周角的關系推出，則可證明，得到．【小問1詳解】解：如圖所示，即為所求；【小問2詳解】證明：垂直且平分，，．，．，，，．【點睛】本題主要考查了線段和線段垂直平分線的尺規作圖，圓內接四邊形的性質，弦與圓周角之間的關系，全等三角形的性質與判定等等，熟知相關知識是解題的關鍵.22.綜合與實踐【主題】大棚苗木種植方案設計【素材】圖是一個大棚苗木種植基地的截面圖，其下半部分是一個長為、寬為的矩形，其上半部分的形狀是一條拋物線，現測得大棚頂部的最高點距離地面．【素材】種植苗木時，每棵苗木高，為了保證生長空間，相鄰兩棵苗木種植點之間間隔，苗木頂部不觸碰大棚，且種植后苗木成軸對稱分布（苗木的數量為偶數個）．【解決問題】（1）大棚上半部分的形狀是一條拋物線，設大棚的高度為，種植點的橫坐標為．根據圖建立的平面直角坐標系，通過素材提供的信息確定點的坐標，求出拋物線的解析式（無需寫出自變量的取值范圍）．（2）探究種植范圍．在圖的平面直角坐標系中，在不影響苗木生長的情況下，確定種植點的橫坐標的取值范圍．（3）擬定種植方案．求出最前排符合所有種植條件的苗木數量，并求出最左邊一棵苗木種植點的橫坐標．【答案】（1）（2）（3）最前排符合所