第2節萬有引力定律學習目標要求核心素養和關鍵能力1.理解太陽與行星間引力的存在，掌握萬有引力定律的內容及其表達式。2.根據開普勒行星運動定律和牛頓第三定律推導出太陽與行星間的引力公式，通過月—地檢驗等將太陽與行星間的引力推廣為萬有引力定律，掌握萬有引力表達式的適用條件及應用。1.物理觀念：了解萬有引力定律的內涵，具有與萬有引力定律相關的運動與相互作用的觀念。2.科學態度與責任：能認識發現萬有引力定律的過程及重要意義。3.科學思維：微量放大法。一、行星與太陽間的引力1.推導過程如圖所示，設行星的質量為m，速度為v，行星與太陽間的距離為r，則行星繞太陽做勻速圓周運動的向心力為F＝meq\f(v2,r)①天文觀測可以測得行星公轉的周期T，并據此可求出行星的速度v＝eq\f(2πr,T)②聯立①②整理后得F＝eq\f(4π2mr,T2)③根據開普勒第三定律得eq\f(r3,T2)＝k④聯立③④得F＝4π2keq\f(m,r2)上式除m、r以外，其余都是常量，所以F∝eq\f(m,r2)力的作用是相互的，行星與太陽的引力也應與太陽的質量m太成正比，即F∝eq\f(m太m,r2)。2.表達式：F＝Geq\f(m太m,r2)式中量G與太陽、行星都沒有關系。太陽與行星間引力的方向沿著二者的連線。二、月—地檢驗1.假設(1)假設地球與月球間的作用力和太陽與行星間的作用力是同一種力，它們的表達式也應該滿足F＝Geq\f(m月m地,r2)。根據牛頓第二定律，月球繞地球做圓周運動的向心加速度a月＝eq\f(F,m月)＝Geq\f(m地,r2)。(2)假設地球對蘋果的吸引力也是同一種力，同理可知，蘋果的自由落體加速度a蘋＝eq\f(F,m蘋)＝Geq\f(m地,R2)。上述公式中m地為地球質量，m月為月球質量，r為地球中心與月球中心的距離，R是地球中心與蘋果間的距離。由以上兩式可得eq\f(a月,a蘋)＝eq\f(R2,r2)。由于月球與地球中心的距離r約為地球半徑R的60倍，所以eq\f(a月,a蘋)＝eq\f(1,602)。2.結論：月球繞地球運動的向心加速度與我們的預期符合得很好。這表明：地面物體所受地球的引力、月球所受地球的引力，與太陽、行星間的引力遵從相同的規律。【想一想】如圖地球對衛星的引力與月球對“嫦娥二號”的引力性質是否相同？遵守的規律是否相同？答案引力性質相同，遵守規律相同三、萬有引力定律1.內容：自然界中任何兩個物體都相互吸引，引力的方向在它們的連線上，引力的大小與物體的質量m1和m2的乘積成正比，與它們之間距離r的二次方成反比。2.表達式：F＝Geq\f(m1m2,r2)。比例系數G叫作引力常量，適用于任何兩個物體。【判一判】(1)由于天體間距離很遠，在研究天體間的引力時可以將它們視為質點。(√)(2)兩個學生的質量都是50kg，相距1m時我們可以直接應用公式F＝Geq\f(m1m2,r2)計算兩人間的萬有引力的大小。(×)四、引力常量1.引力常量的測定英國物理學家卡文迪什在實驗室里通過扭秤裝置，比較準確地得出了G值，通常取G＝6.67×10－11N·m2/kg2。2.引力常量測定的意義(1)卡文迪什利用扭秤裝置通過改變小球的質量和距離，證實了萬有引力的存在及萬有引力定律的正確性。(2)引力常量的普適性成了萬有引力定律正確性的有力證據。探究1萬有引力定律的理解■情境導入太陽與行星之間、地球與月球之間以及任何兩個物體之間都存在萬有引力。(1)公式F＝Geq\f(m1m2,r2)中r的含義是什么？(2)任何兩個物體之間的萬有引力都能利用公式F＝Geq\f(m1m2,r2)計算出來嗎？答案(1)r指的是兩個質點間的距離。(2)不能。萬有引力定律的表達式F＝Geq\f(m1m2,r2)只適用于質點之間、質量分布均勻的球體之間萬有引力的計算，形狀不規則、質量分布不均勻的物體間r不易確定。■歸納拓展1.表達式F＝Geq\f(m1m2,r2)的說明(1)引力常量G：G＝6.67×10－11N·m2/kg2，其物理意義為：引力常量在數值上等于兩個質量都是1kg的質點相距1m時的相互吸引力。(2)萬有引力常量的測定：卡文迪什采用“微量放大法”。(3)距離r：公式中的r是兩個質點間的距離，對于質量均勻分布的球體，就是兩球心間的距離。2.適用條件(1)萬有引力定律公式適用于計算質點間的相互作用，當兩個物體間的距離比物體本身的尺度大得多時，可用此公式近似計算兩物體間的萬有引力。(2)質量分布均勻的球體間的相互作用，可用此公式計算，式中r是兩個球體球心間的距離。(3)一個均勻球體與球外一個質點間的萬有引力也可用此公式計算，式中的r是球體球心到質點的距離。【例1】(多選)下列說法中正確的是()A.牛頓發現了萬有引力定律，卡文迪什測得了引力常量B.根據表達式F＝eq\f(Gm1m2,r2)可知，當r趨近于零時，萬有引力趨近于無窮大C.在由開普勒第三定律得出的表達式eq\f(R3,T2)＝k中，k是一個與中心天體有關的常量D.兩物體間的萬有引力總是大小相等、方向相反，是一對平衡力答案AC解析根據物理學史可知，牛頓發現了萬有引力定律，卡文迪什測得了引力常量，故A正確；萬有引力定律適用于兩質點間引力計算，當r趨近于零時，物體不能看成質點，萬有引力定律公式不再適用，所以不能得到“萬有引力趨近于無窮大”的結論，故B錯誤；由萬有引力提供行星做勻速圓周運動的向心力得eq\f(GMm,R2)＝eq\f(m4π2R,T2)，可得eq\f(R3,T2)＝eq\f(GM,4π2)，可知在由開普勒第三定律得出的表達式eq\f(R3,T2)＝k中，k是一個與中心天體質量有關的常量，故C正確；兩物體間的萬有引力總是大小相等、方向相反，是一對作用力與反作用力，故D錯誤。【針對訓練1】(2021·福建師大二附中高一期中)圖甲是演示桌面在壓力作用下發生形變的裝置；圖乙是演示玻璃瓶在壓力作用下發生形變的裝置；圖丙是卡文迪什測定引力常數的裝置。這三個實驗共同體現了()A.控制變量的辦法 B.放大的思想C.比較的方法 D.等效的方法答案B解析三個實驗都是將微小的形變通過不同的方式放大了現象，即這三個實驗共同體現了放大的思想，故選項B正確。探究2萬有引力定律的簡單應用1.任何兩個物體間都存在著萬有引力，但F＝Geq\f(m1m2,r2)有其適用范圍，在計算萬有引力的大小時注意判斷是否符合適用條件。2.在應用萬有引力定律表達式F＝Geq\f(m1m2,r2)進行有關計算時，r是指兩質點(或兩勻質球球心，或質點與球心)之間的距離，而不是兩物體(球)之間的距離。【例2】(2021·北京市八中高一期中)如圖所示，兩個半徑分別為r1＝0.60m、r2＝0.40m，質量分別為m1＝4.0kg、m2＝1.0kg的質量分布均勻的實心球，兩球間距離為r＝2.0m，則兩球間萬有引力的大小為()A.6.67×10－11N B.大于6.67×10－11NC.小于6.67×10－11N D.不能確定答案C解析運用萬有引力定律公式F＝Geq\f(m1m2,r2)進行計算時，首先要明確公式中各物理量的含義，對于質量分布均勻的球體，r指的是兩個球心間的距離，顯然題目所給的距離是不符合要求的，兩球心間的距離應為r′＝r＋r1＋r2＝3.0m。兩球間的萬有引力為F＝Geq\f(m1m2,r′2)＝2.96×10－11N，C正確，A、B、D錯誤。【針對訓練2】(2021·河北高一學業考試)質量為m的衛星在離地面高度為h的軌道上繞地球做勻速圓周運動。已知引力常量為G，地球質量為M、半徑為R，則地球對該衛星的萬有引力大小為()A.Geq\f(Mm,R2) B.Geq\f(Mm,h2)C.Geq\f(Mm,（R＋h）2) D.Geq\f(Mm,（R＋h）3)答案C解析根據萬有引力定律公式可知地球對該衛星的萬有引力大小為F＝Geq\f(Mm,（R＋h）2)，故C正確。探究3物體受到的萬有引力和重力的關系■情境導入假如某個人做環球旅行，可能到達地球的任何地點，如果將地球看成標準的球體，那么該人分別位于赤道上某點、北半球的某點、南半球的某點、北極點、南極點等不同地點。(1)該人在各地點所受的萬有引力有什么關系？(2)該人在各地點所受的重力有什么關系？答案(1)該人在各地點所受的萬有引力大小相等，方向沿對應的地球半徑指向地心。(2)由于地球自轉的影響，該人在各地點所受的重力大小不一定相等，方向也不一定指向地心。■歸納拓展1.物體在地球表面上所受引力與重力的關系：除兩極以外，地面上其他點的物體，都圍繞地軸做圓周運動，這就需要一個垂直于地軸的向心力。地球對物體引力的一個分力F′提供向心力，另一個分力為重力G，如圖所示。(1)當物體在兩極時：G＝F引，重力達到最大值Gmax＝Geq\f(Mm,R2)。(2)當物體在赤道上時F′＝mω2R最大，此時重力最小Gmin＝Geq\f(Mm,R2)－mω2R(3)從赤道到兩極：隨著緯度增加，向心力F′＝mω2R′減小，F′與F引夾角增大，所以重力G在增大，重力加速度增大。因為F′、F引、G不在一條直線上，重力G與萬有引力F引方向有偏差，重力大小mg<Geq\f(Mm,R2)。2.重力加速度與高度的關系若距離地面的高度為h，則mg′＝Geq\f(Mm,（R＋h）2)(R為地球半徑，g′為離地面h高度處的重力加速度)。在同一緯度，距地面越高，重力加速度越小。3.特別說明(1)重力是物體由于地球吸引產生的，但重力并不是地球對物體的引力。(2)在忽略地球自轉的情況下，認為mg＝Geq\f(Mm,R2)。【例3】(多選)(2021·湖北黃岡市高一期中)有科學家正在研究架設從地面到太空的“太空梯”，若“太空梯”建在赤道上，人沿“太空梯”上升到高度h處時，恰好會感覺到自己“漂浮”起來，若人的質量為m，地球的半徑為R，地球表面的重力加速度為g，地球自轉周期為T，則人在高度h處受到的萬有引力的大小為()A.0 B.eq\f(mR2g,（R＋h）2)C.mg D.eq\f(4π2m（R＋h）,T2)答案BD解析在地球表面時有Geq\f(Mm,R2)＝mg，則GM＝gR2，人在高度h處受到的萬有引力的大小為Geq\f(Mm,（R＋h）2)＝eq\f(mgR2,（R＋h）2)，B正確；由題意可知人在高度h處受到的萬有引力提供向心力，人處于完全失重狀態，則有萬有引力大小F＝m(R＋h)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2π,T)))eq\s\up12(2)＝eq\f(4π2m（R＋h）,T2)，A、C錯誤，D正確。【針對訓練3】一物體在地球表面重16N，它在以5m/s2的加速度加速上升的火箭中的視重(即物體對火箭豎直向下的壓力)為9N，則此火箭離地球表面的距離為地球半徑的(地球表面重力加速度取10m/s2)()A.2倍 B.3倍C.4倍 D.0.5倍答案B解析設此時火箭離地球表面高度為h。由牛頓第二定律得FN－mg′＝ma①由①可得g′＝eq\f(5,8)m/s2②在地球表面處mg＝Geq\f(Mm,R2)③在高度h處mg′＝Geq\f(Mm,（R＋h）2)④由③④得eq\f(g′,g)＝eq\f(R2,（R＋h）2)。代入數據解得h＝3R，故選項B正確。【方法簡述】萬有引力定律適用于質點間、質點與均勻球體間、兩均勻球體間的相互作用力，若出現大球內某個區域被挖去一個小球，無法直接應用公式求殘缺球與另外質點或另外球體的萬有引力，此時可以采用“先補后挖”的方法，應用萬有引力定律間接求萬有引力。【思維建構】把完整的大球看作殘缺的空心球與被挖去的小球的組合，質量為m的質點受到的引力變成整個球體對質點的引力與挖去的小球體對質點的引力之差。【題目示例】如圖所示，在一個半徑為R、質量為M的均勻球體中，緊貼球的邊緣挖去一個半徑為eq\f(R,2)的小球體后，剩余部分對位于球心和空穴中心連線上、與球心相距d、質量為m的質點的引力是多大？【規范解析】答案GMmeq\f(7d2－8dR＋2R2,8d2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(d－\f(R,2)))\s\up12(2))解析完整的均勻球體對球外質量為m的質點的引力為F＝Geq\f(Mm,d2)，設挖去小球體后的剩余部分對質點的引力為F1，半徑為eq\f(R,2)的小球體對質點的引力為F2，則F＝F1＋F2，半徑為eq\f(R,2)的小球體質量M′＝eq\f(4,3)πeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(R,2)))eq\s\up12(3)ρ＝eq\f(M,8)，F2＝Geq\f(M′m,\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(d－\f(R,2)))\s\up12(2))＝Geq\f(Mm,8\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(d－\f(R,2)))\s\up12(2))，所以F1＝F－F2＝Geq\f(Mm,d2)－Geq\f(Mm,8\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(d－\f(R,2)))\s\up12(2))＝GMmeq\f(7d2－8dR＋2R2,8d2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(d－\f(R,2)))\s\up12(2))。【建構感悟】此方法適用的條件比較苛刻：1.形狀的要求：大球內挖掉小球，挖掉其他形狀的物體時不可用此法，如挖掉的是立方體或其他不規則形狀的物體，非球形物體挖掉小球等情況均不適合用此法。2.三心的位置關系：大球球心、小球球心、第三個球的球心(或質點)，若三心共線，則三力共線，遵循代數運算法則；若三心不共線，則三力不共線，遵循矢量運算法則。1.(萬有引力定律的理解)(多選)關于萬有引力和萬有引力定律的理解正確的是()A.不能看作質點的兩物體間不存在相互作用的引力B.只有能看作質點的兩物體間的引力才能用F＝eq\f(Gm1m2,r2)計算C.由F＝eq\f(Gm1m2,r2)知，兩物體間距離r減小時，它們之間的引力增大D.引力常量G的測出，證明了萬有引力定律的正確性答案CD解析任何有質量的物體間都存在相互作用的引力，故稱萬有引力，A錯誤；兩個質量分布均勻的球體間的萬有引力也能用F＝eq\f(Gm1m2,r2)來計算，B錯誤；物體間的萬有引力與它們之間的距離r的二次方成反比，故r減小，它們間的引力增大，C正確；引力常量的測出，證明了萬有引力定律的正確性，D正確。2.(萬有引力定律的基本應用)(2021·江蘇鹽城市高一學業考試)2020年11月24日4時30分，我國成功發射嫦娥五號探測器，開啟我國首次“月球挖土”之旅。在嫦娥五號飛向月球的過程中，月球對它的萬有引力大小()A.一直增大 B.一直減小C.先增大后減小 D.先減小后增大答案A解析由萬有引力定律F＝Geq\f(Mm,r2)知，在嫦娥五號飛向月球的過程中，r減小，F增大。故選項A正確。3.(萬有引力定律的基本應用)一名宇航員來到一個星球上，如果該星球的質量是地球質量的一半，它的直徑也是地球直徑的一半，那么這名宇航員在該星球上所受的萬有引力大小是他在地球上所受萬有引力的()A.eq\f(1,4) B.eq\f(1,2)C.2倍 D.4倍答案C解析F地＝eq\f(GM0m,req\o\al(2,0))，F星＝eq\f(GMm,r2)＝eq\f(\f(1,2)GM0m,\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)r0))\s\up12(2))＝2eq\f(GM0m,req\o\al(2,0))＝2F地，選項C正確。4.(萬有引力定律與重力的關系)(2021·河南安陽一中高一期中)已知地球半徑為R，將一物體從地面發射至離地面高度為h處時，物體所受萬有引力減小到原來的一半，則h為()A.R B.2RC.eq\r(2)R D.(eq\r(2)－1)R答案D解析地面上F＝Geq\f(Mm,R2)，高度為h處F′＝Geq\f(Mm,（R＋h）2)，因為F′＝eq\f(1,2)F，所以eq\f(（R＋h）2,R2)＝eq\f(2,1)，所以h＝(eq\r(2)－1)R，故D正確，A、B、C錯誤。課時定時訓練(限時25分鐘)題組一萬有引力定律的理解1.(2021·鎮江崇實女子中學高一月考)我國于2010年3月5日成功發射了“遙感衛星九號”，在繞地球運行的過程中，該衛星受到地球引力的大小()A.只與地球的質量有關B.只與衛星的質量有關C.與地球和衛星的質量均有關D.與地球和衛星的質量均無關答案C解析根據萬有引力定律表達式得F＝eq\f(GMm,r2)，其中M為地球質量，m為衛星的質量。故選項C正確。2.(2021·盧龍縣中學高一月考)關于萬有引力定律，下列說法中正確的是()A.牛頓最早測出G值，使萬有引力定律有了真正的實用價值B.牛頓通過“月地檢驗”發現地面物體、月球所受地球引力都遵從同樣的規律C.由F＝Geq\f(m1m2,r2)可知，距離r趨于零時，萬有引力無限大D.引力常量G值大小與中心天體選擇有關答案B解析最早測出G值的是卡文迪什，不是牛頓，故A錯誤；牛頓通過“月地檢驗”發現地面物體、月球所受地球引力都遵從同樣的規律，故B正確；公式F＝Geq\f(m1m2,r2)適用于質點之間的萬有引力，當距離r趨于零時，萬有引力公式不再適用，故C錯誤；引力常量G是一個定值，它的大小與中心天體選擇無關，故D錯誤。題組二萬有引力定律的基本應用3.(2021·山東壽光一中高一檢測)地球的質量是月球質量的81倍，若地球吸引月球的力的大小為F，則月球吸引地球的力的大小為()A.eq\f(F,81) B.FC.9F D.81F答案B解析根據牛頓第三定律，力的作用是相互的，且作用力與反作用力總是大小相等、方向相反。故B正確。4.(2021·河北張家口一中開學檢測)宇航員王亞平在“天宮1號”飛船內進行了我國首次太空授課，演示了一些完全失重狀態下的物理現象。若飛船質量為m，距地面高度為h，地球質量為M，半徑為R，引力常量為G，則飛船所在處的重力加速度大小為()A.0 B.eq\f(GM,（R＋h）2)C.eq\f(GMm,（R＋h）2) D.eq\f(GM,h2)答案B解析飛船在距地面高度為h處，由牛頓第二定律得eq\f(GMm,（R＋h）2)＝mg，解得g＝eq\f(GM,（R＋h）2)，故選項B正確。5.(2020·江蘇鹽城學業考試)2020年，我國發射了一顆火星探測衛星。在探測衛星離開地球的過程中，用R表示衛星到地心的距離，用F表示衛星受到地球的引力。下列圖像中正確的是()答案D解析F表示衛星受到地球的引力，根據萬有引力定律公式，有F＝Geq\f(Mm,R2)，故F－eq\f(1,R2)圖像是直線，故選項A、B、C錯誤，D正確。題組三萬有引力與重力的關系6.(多選)地球繞地軸自轉時，對靜止在地面上的某一個物體，下列說法正確的是()A.物體的重力并不等于它隨地球自轉所需要的向心力B.在地面上的任何位置，物體向心加速度的大小都相等，方向都指向地心C.在地面上的任何位置，物體向心加速度的方向都垂直指向地球的自轉軸D.物體隨地球自轉的向心加速度隨著地球緯度的減小而增大答案ACD解析地面上的物體隨地球自轉做圓周運動時的向心力遠小于萬有引力(重力近似等于萬有引力)，選項A正確；考慮地球自轉的作用效果時，地面上的物體隨著地球的自轉而做圓周運動，其運動平面與地軸垂直，向心力加速度方向垂直地軸指向圓心，由于在不同位置的軌道半徑各不相同，故向心加速度大小不一樣，在赤道時向心加速度最大，選項B錯誤，C、D正確。7.萬有引力定律首次揭示了自然界中物體間一種基本相互作用的規律。以下說法正確的是()A.物體的重力不是地球對物體的萬有引力引起的B.人造地球衛星離地球越遠，受到地球的萬有引力越大C.人造地球衛星繞地球運動的向心力由地球對它的萬有引力提供D.宇宙飛船內的航天員處于失重狀態是由于沒有受到萬有引力的作用答案C解析物體的重力是由地球的吸引產生的，萬有引力的大小與物體和地球質量的乘積成正比，與兩者距離的二次方成反比，選項A、B錯誤；人造地球衛星繞地球運動的向心力是由萬有引力提供的，選項C正確；宇宙飛船內的航天員處于失重狀態，是因為航天員受到的萬有引力全部提供了航天員做圓周運動所需的向心力，選項D錯誤。8.(2021·湖南長沙一中高一期中)已知地球質量為月球質量的81倍，地球半徑約為月球半徑的4倍。若在月球和地球表面同樣高度處，以相同的初速度水平拋出物體，拋出點