高考文科數列知識點總結數列知識點一(考綱要求要求層次內容4ABC數列的概念數列的概念和表示法?等差數列的概念?數列等比數列的概念?等差數列、等比數列等差數列的通項公式與前項和公式?n等比數列的通項公式與前項和公式?n二(知識點(一)數列的該概念和表示法、(1)數列定義:按一定次序排列的一列數叫做數列;數列中的每個數都叫這個數列的項a記作，在數列第一個位置的項叫第1項(或首項)，在第二個位置的叫第2項，??，na序號為的項叫第項(也叫通項)記作;nnnaaaa數列的一般形式:，，，??，，??，簡記作。a,,3n12n{a}(2)通項公式的定義:如果數列的第n項與n之間的關系可以用一個公式表示，那n么這個公式就叫這個數列的通項公式aa說明:?表示數列，表示數列中的第項，=表示數列的通項公式;nafn,,，，nnn?同一個數列的通項公式的形式不一定唯一。?不是每個數列都有通項公式。例如，1，1.4，1.41，1.414，??(3)數列的函數特征與圖象表示:序號:123456項:456789上面每一項序號與這一項的對應關系可看成是一個序號集合到另一個數集N的映射。從函數觀點看，數列實質上是定義域為正整數集(或它的有限子集)的，函數fn()當自變量從1開始依次取值時對應的一系列函數值nafff(1),(2),(3),fn()??，，??(通常用來代替，其圖象是一群孤立fn，，n的點(4)數列分類:?按數列項數是有限還是無限分:有窮數列和無窮數列;?按數列項與項之間的大小關系分:單調數列(遞增數列、遞減數列)、常數列和擺動數列a(5)遞推公式定義:如果已知數列的第1項(或前幾項)，且任一項與它的前一項a,,nna(或前幾項)間的關系可以用一個公式來表示，那么這個公式就叫做這個數列的n,1遞推公式(二)等差數列a,a,d(為常數)();1.等差數列的定義:dn,2nn,12(等差數列通項公式:*aa，首項:，公差:d，末項:aanddnadnN,，,,，,,(1)()1nn11a,anma,a，(n,m)d推廣:(從而d,;nmn,m3(等差中項a，bAA(1)如果，，成等差數列，那么叫做與的等差中項(即:或aaA,bb2A,a，b2,,a,2a,a，a(n,2),2a,a，a(2)等差中項:數列是等差數列nnn-1n，1n，1nn，24(等差數列的前n項和公式:naa()，nn(1),d1221n,，AnBn,，nadS,,，,nadn()1n12222(其中A、B是常數，所以當d?0時，S是關于n的二次式且常數項為0)na特別地，當項數為奇數時，是項數為2n+1的等差數列的中間項21n，n，121naa，，，，，，121n，Sna,,，21(項數為奇數的等差數列的各項和等于項數，，211nn，，2乘以中間項)5(等差數列的判定方法,,,a,a,da,a,da(1)定義法:若或(常數),是等差數列(n,Nnn,1n，1nn,,a,2a,a，a(n,2),2a,a，a(2)等差中項:數列是等差數列(nnn-1n，1n，1nn，2,,aa,kn，b(3)數列是等差數列,(其中是常數)。k,bnn2,,a,(4)數列是等差數列,(其中A、B是常數)。SAnBn,，nn6(等差數列的證明方法,,,a,a,da,a,da,定義法:若或(常數)是等差數列(n,Nnn,1n，1nn7.等差數列的性質:(1)當公差時，等差數列的通項公式是關于的一次函naanddnad,，,,，,(1)d,0n11nndd(1),2數，且斜率為公差;前n和是關于n的二次dSnadnan,，,，,()n11222函數且常數項為0.(2)若公差，則為遞增等差數列，若公差，則為遞減等差數列，若公差，d,0d,0d,0則為常數列。(3)當時,則有，特別地，當時，則有mnp，,2a，a,a，amnpq，,，mnpq.aaa，,2mnp(4)若、為等差數列，則都為等差數列ab,,,abab，，，,,,,,,,,nnnnn12aSSSSS,,,,(5)若{}是等差數列，則，?也成等差數列nnnnnn232*{}aaaaa,,,,,,,(6)數列為等差數列,每隔k(k)項取出一項()仍為等差數,Nnmmkmkmk，，，23列,,SaS)設數列是等差數列，d為公差，是奇數項的和，是偶數項項的和，是(7Snn奇偶前n項的和1.當項數為偶數時，2nnaa，，，121n,Saaaana,，，，,,,，,,13521nn,奇2naa，，，22nSaaaana,，，，,,,，,,，24621nn偶2SSnananaand,,,,,=，，nnnn，，11偶奇Snaa奇nn,,Snaann，，11偶2、當項數為奇數時，則2n，1,SSSnaSna(21)(1),，,，,，,Sn，1,,21n，n+1n+1奇偶奇奇,,,,,SSaSna,,,Snn+1n+1奇偶偶,偶,,,a(其中是項數為2n+1的等差數列的中間項)(n+1{}aSn,Sm,(8)等差數列的前n項和，前m項和，則前m+n項和Smn,,，，，nmnmn，S(9)求的最值n法一:因等差數列前n項和是關于n的二次函數，故可轉化為求二次函數的最值，但要*注意數列的特殊性。nN,法二:(1)“首正”的遞減等差數列中，前項和的最大值是所有非負項之和na,0,nSa,0，d,0，即當由可得達到最大值時的值(n,n1a,0n，1,(2)“首負”的遞增等差數列中，前項和的最小值是所有非正項之和。na,0,nSa,0，d,0，即當由可得達到最小值時的n值(,n1a,0n，1,,,a或求中正負分界項n法三:直接利用二次函數的對稱性:由于等差數列前項和的圖像是過原點的二次函數，nS故n取離二次函數對稱軸最近的整數時，取最大值(或最小值)。若S=S則其對稱軸pqnpq，為n,2(三)等比數列a*nq1.等比數列的定義:,,,,02,且，稱為公比qqnnN，，，，a,n12.通項公式:annn,11,,,,,,,,0,0aqaaqqABaqAB，首項:;公比:，，1n11qaanm,nm,nn,nm推廣:，從而得q,或,qaaq,nmaamm3.等比中項2AAab,,(1)如果成等比數列，那么叫做與的等差中項(即:或aAb,,aAab,b注意:同號的兩個數才有等比中項，并且它們的等比中項有兩個(兩個等比中項互為相反數)2,,a(2)數列,是等比數列aaa,,n,，nnn11S4.等比數列的前n項和公式:nSna,(1)當時，q,1n1naq1,，，aaq,11n(2)當時，q,1S,,n11,,qq5.等比數列的判定方法an，1{}a,,,或為常數，(0),(1)用定義:對任意的n,都有aqaqqa為等比數nnnn，1an列2aa{}a,,(2)等比中項:(0)為等比數列aaa,nn，,11n，,nnn11n{}a,(3)通項公式:為等比數列aABAB,,,,0，，nnnn{}a,(4)前n項和公式:為SAABSABAABAB,,,,,或為常數'',,','，，nnn等比數列6.等比數列的證明方法a*n{}aaqa,,,,,02,且,qqnnN依據定義:若或為等比數列，，，，nnn，1a,n17.等比數列的性質(1)當時q,1annn,11,,,,,,0aaqqABAB?等比數列通項公式是關于n的帶有系數的類指數，，n1qq函數，底數為公比nnaq1,，，aaqaa,1nnn1111?前n項和，系數和SqAABABA,,,,,,,,''n1111,,,,qqqqq常數項是互為相反數的類指數函數，底數為公比*nm,,{}a(2)對任何m,n,在等比數列中,有,特別的,當m=1時,便得到Naaq,nnm等比數列的通項公式.因此,此公式比等比數列的通項公式更具有一般性。*aaaa,,,(3)若m+n=s+t(m,n,s,t),則.特別的,當n+m=2k時,得,Nnmst2aaa,,nmkaaaaaa,,,,,,,注:12132nnn,,akkn{}a{}b{}ka,{}kab,,{}{}(4)列,為等比數列,則數列,,,(k為非零{}annnnnnbann常數)均為等比數列.*{}aaaaa,,,,,,,(5)數列為等比數列,每隔k(k,)項取出一項()仍為Nnmmkmkmk，，，23等比數列{}a{log}a(6)如果是各項均為正數的等比數列,則數列是等差數列nan{}aSSS,SS,,,,,(7)若為等比數列,則數列，，，成等比數列nn2nn32nn{}aaaa,,,,,,aaa,,,,,,(8)若為等比數列,則數列,,n12nnnn，，122aaa,,,,,,,成等比數列21223nnn，，(9)?當q,