LC諧振回路1.2LC諧振回路的選頻特性

1.2.1并聯諧振回路圖1.21(a)是電感L、電容C和外加信號源組成的并聯諧振回路。r是電感L的損耗電阻，電容的損耗一般可以忽略。(b)圖是其等效轉換電路，ge0和Re0分別稱為回路諧振電導和回路諧振電阻。根據電路分析基礎知識，可以直接給出LC并聯諧振回路的某些主要參數及其表達式：(1)回路諧振電導

(2)回路總導納Y=(3)諧振頻率ω0=(4)回路兩端諧振電壓U00=(5)回路空載Q值Q0=(6)單位諧振曲線。諧振時，回路呈現純電導，且諧振導納最小（或諧振阻抗最大）。回路電壓U與外加信號源頻率之間的幅頻特性曲線稱為諧振曲線。諧振時，回路電壓U00最大。任意頻率下的回路電壓U與諧振時回路電壓U00之比稱為單位諧振函數，用Ｎ（ｆ）表示。Ｎ（ｆ）曲線稱為單位諧振曲線。Ｎ（ｆ）＝

由Ｎ（ｆ）定義可知，它的值總是小于或等于１。由式（１．２．３）和式（１．２．５）可得:

所以Ｎ(f)=定義相對失諧ε=，當失諧不大時，即ｆ與ｆ0相差很小時,

ε＝所以N(f)=

根據式（１．２．１０）可作出單位諧振曲線Ｎ（ｆ）。該曲線如圖１．２．２所示。

(7)通頻帶、選擇性、矩形系數。由圖１．２．２可知，Ｑ0越大，諧振曲線越尖銳，選擇性越好。為了衡量回路對于不同頻率信號的通過能力，定義單位諧振曲線上Ｎ（ｆ）≥所包含的頻率范圍為回路的通頻帶，用ＢＷ0.7表示。在圖上ＢＷ0.7＝ｆ2－ｆ1，取可得將式（１．２．１１）減去式（１．２．１２），可得到:

所以

BW0.7

=f2-f1=(1.2.13)

可見，通頻帶與回路Ｑ值成反比。也就是說，通頻帶與回路Ｑ值(即選擇性)是互相矛盾的兩個性能指標。選擇性是指諧振回路對不需要信號的抑制能力，即要求在通頻帶之外，諧振曲線Ｎ（ｆ）應陡峭下降。所以，Ｑ值越高，諧振曲線越陡峭，選擇性越好，但通頻帶卻越窄。一個理想的諧振回路，其幅頻特性曲線應該是通頻帶內完全平坦，信號可以無衰減通過，而在通頻帶以外則為零，信號完全通不過，如圖１．２．２所示寬度為ＢＷ0.7、高度為１的矩形。

為了衡量實際幅頻特性曲線接近理想幅頻特性曲線的程度，提出了“矩形系數”這個性能指標。矩形系數Ｋ0.1定義為單位諧振曲線Ｎ（ｆ）值下降到０．１時的頻帶范圍ＢＷ0.1與通頻帶ＢＷ0.7之比，即:

由定義可知，Ｋ01是一個大于或等于１的數，其數值越小，則對應的幅頻特性越理想。例１．１求并聯諧振回路的矩形系數。解：取

利用圖1.2.2，用類似于求通頻帶ＢＷ0.7的方法可求得:

由上式可知，一個單諧振回路的矩形系數是一個定值，與其回路Ｑ值和諧振頻率無關，且這個數值較大，接近１０，說明單諧振回路的幅頻特性不大理想。

1.2.2串聯諧振回路圖１．２．３是串聯ＬＣ諧振回路的基本形式，其中ｒ是電感Ｌ的損耗電阻，ＲL是負載電阻。下面按照與并聯ＬＣ回路的對偶關系，直接給出串聯ＬＣ回路的主要基本參數。回路總阻抗Z＝RL+r+j

回路空載Ｑ值Q0=

回路有載Ｑ值Qe=諧振頻率f0=單位諧振函數N(f)=通頻帶BW0.7

=

其中Ｉ是任意頻率時的回路電流，Ｉ00是諧振時的回路電流。

1.2.3串、并聯諧振回路阻抗特性比較串聯諧振回路空載時阻抗的幅頻特性和相頻特性表達式分別為：

Z=r+j

并聯諧振回路空載時阻抗的幅頻特性和相頻特性表達式分別為：

圖１．２．４（ａ）、（ｂ）分別是串聯諧振回路與并聯諧振回路空載時的阻抗特性曲線。由圖可見，前者在諧振頻率點的阻抗最小，相頻特性曲線斜率為正；后者在諧振頻率點的阻抗最大，相頻特性曲線斜率為負。所以，串聯回路在諧振時，通過電流Ｉ00最大；并聯回路在諧振時，兩端電壓U

00最大。在實際選頻應用時，串聯回路適合與信號源和負載串聯連接，使有用信號通過回路有效地傳送給負載；并聯回路適合與信號源和負載并聯連接，使有用信號在負載上的電壓振幅增大。

串、并聯回路的導納特性曲線正好相反。前者在諧振頻率處的導納最大，且相頻特性曲線斜率為負；后者在諧振頻率處的導納最小，且相頻特性曲線斜率為正。讀者可自己寫出相應的幅頻和相頻特性表達式，畫出相應的曲線。

1.3變壓器或ＬＣ分壓式阻抗變換電

考慮信號源內阻Ｒs和負載電阻ＲL后，并聯諧振回路的電路如圖１．３．１所示。由式（１．２．５）可知，回路的空載Ｑ值Q0=而回路有載Ｑ值Q0=

其中回路總電導gΣ=gs+gL+ge0=，回路總電阻RΣ=Rs‖RL‖Re0，ｇs和ｇL分別是信號源內電導和負載電導。

可見，Ｑe＜Ｑ0，且并聯接入的Ｒs和ＲL越小，則Ｑe越小，回路選擇性越差。另外，由式（１．２．４）可知，諧振電壓Ｕ00也將隨著諧振回路總電阻的減小而減小。實際上，信號源內阻和負載不一定是純電阻，可能還包括電抗分量。如要考慮信號源輸出電容和負載電容，由于它們也是和回路電容Ｃ并聯的，所以總電容為三者之和，這樣還將影響回路的諧振頻率。因此，必須設法盡量消除接入信號源和負載對回路的影響。

采用阻抗變換電路可以改變信號源或負載對于回路的等效阻抗。若使Ｒs或ＲL經變換后的等效電阻增加，再與Ｒe0并聯，可使回路總電阻ＲΣ減小不多，從而保證Ｑe與Ｑ0相差不大；若信號源電容與負載電容經變換后大大減小，再與回路電容Ｃ并聯，可使總等效電容增加很少，從而保證諧振頻率基本保持不變。下面介紹幾種常用的阻抗變換電路。

1.3.1自耦變壓器電路

圖1．3．2(a)所示為自耦變壓器阻抗變換電路，（ｂ）為考慮次級后的初級等效電路，Ｒ′L是ＲL等效到初級的電阻。在圖中，負載ＲL經自耦變壓器耦合接到并聯諧振回路上。設自耦變壓器損耗很小，可以忽略，則初、次級的功率P1、P2近似相等，且初、次級線圈上的電壓U1和U2之比應等于匝數之比。設初級線圈與抽頭部分次級線圈匝數之比Ｎ1∶Ｎ2＝１∶ｎ，則有：

Ｐ1=Ｐ2，U1／U2＝１／ｎ因為P1=′所以R′L=

對于自耦變壓器，ｎ總是小于或等于１,所以,ＲL等效到初級回路后阻值增大，從而對回路的影響將減小。ｎ越小,則Ｒ′L越大，對回路的影響越小。所以，ｎ的大小反映了外部接入負載（包括電阻負載與電抗負載）對回路影響大小的程度，可將其定義為接入系數。

1.3.2變壓器阻抗變換電路

圖1．3．3（ａ）為變壓器阻抗變換電路，（ｂ）為考慮次級后的初級等效電路，Ｒ′L是ＲL等效到初級的電阻。若Ｎ1、Ｎ2分別為初、次級電感線圈匝數，則接入系數ｎ＝Ｎ2／Ｎ1。利用與自耦變壓器電路相同的分析方法，將其作為無損耗的理想變壓器看待，可求得ＲL折合到初級后的等效電阻

1.3.3電容分壓式電路

圖1．3．4（ａ）是電容分壓式阻抗變換電路，（ｂ）是ＲL等效到初級回路后的初級等效電路。

利用串、并聯等效變換公式，在ω2R2L(C1+C2)2>>1時，可以推導出ＲL折合到初級回路后的等效電阻

其中ｎ是接入系數，在這里總是小于１。如果把RL折合到回路中1，2兩端，則等效電阻

1.3.4電感分壓式電路

圖1．3．5（ａ）所示為電感分壓式阻抗變換電路，它與自耦變壓器阻抗變換電路的區別在于Ｌ1與Ｌ2是各自屏蔽的，沒有互感耦合作用。（ｂ）圖是ＲL等效到初級回路后的初級等效電路，Ｌ＝Ｌ1＋Ｌ2。ＲL折合到初級回路后的等效電阻其中ｎ是接入系數，在這里總是小于１。

例１．２某接收機輸入回路的簡化電路如圖例1.2所示。已知Ｃ1=5pF，Ｃ2=15pF，Ｒs=75Ω，ＲL=300Ω。為了使電路匹配，即負載ＲL等效到ＬＣ回路輸入端的電阻Ｒ′L＝Ｒs，線圈初、次級匝數比Ｎ1／Ｎ2應該是多少？解：由圖可見，這是自耦變壓器電路與電容分壓式電路的級聯。ＲL等效到Ｌ兩端的電阻

R″L

=

Ｒ″L等效到輸入端的電阻R′L

=如要求Ｒ′L＝Ｒs，則16

RL=Rs。所以

在以上介紹的四種常用阻抗變換電路中，所導出的接入系數ｎ均是近似值，但對于實際電路來說，其近似條件容易滿足，所以可以容許引入的近似誤差。

采用以上四種電路雖然可以在較寬的頻率范圍內實現阻抗變換，但嚴格計算表明，各頻率點的變換值有差別。如果要求在較窄的頻率范圍內實現理想的阻抗變換，可采用下面介紹的ＬＣ選頻匹配網絡。1.4ＬＣ選頻匹配網絡

1.4.1阻抗電路的串—并聯等效轉換由電阻元件和電抗元件組成的阻抗電路的串聯形式與并聯形式可以互相轉換，而保持其等效阻抗和Ｑ值不變。

由圖1．4．1可寫出：

Zp=Rp‖jXp

=Zs=Rs+jXs

要使Ｚp＝Ｚs，必須滿足:

Rs

=按類似方法也可以求得:

Rp=Rp=

將上式代入式(1.4.3)、(1.4.4)可以得到下述統一的阻抗轉換公式，同時也滿足式(1.4.1)和(1.4.2)。

由式(1.4.7)可知，轉換后電抗元件的性質不變。當Qe>>1時，則簡化為：

Rp≈Q2eRs

(1.4.8)

Xp≈Xs

(1.4.9)

1.4.2選頻匹配原理

LC選頻匹配網絡有倒L型、T型、π型等幾種不同組成形式，其中倒L型是基本形式。現以倒L型為例，說明其選頻匹配原理。倒L型網絡是由兩個異性電抗元件X1、X2組成，常用的兩種電路如圖1.4.2(a)、(b)所示，其中R2是負載電阻，R1是二端網絡在工作頻率處的等效輸入電阻。對于圖1.4.2(a)所示電路，將其中X2與R2的串聯形式等效變換為Xp與Rp的并聯形式，如圖1.4.2(c)所示。在X1與Xp并聯諧振時，有X1+Xp=0,R1=Xp

根據式(1.4.6)，有

R1=(1+Q2e)R2(1.4.10)所以

Qe=

由式(1.4.5)可以求得選頻匹配網絡電抗值|X2|=QeR2=|X1|=|Xp|=

由式(1.4.10)可知，采用這種電路可以在諧振頻率處增大負載電阻的等效值。對于圖1.4.2(b)所示電路，將其中X2與R2的并聯形式等效變換為Xs與Rs的串聯形式，如圖1.4.2(d)所示。在X1與Xs串聯諧振時，可求得以下關系式：

R1=Rs=|X1|=|Xs|=QeR1=

由式(1.4.13)可知，采用這種電路可以在諧振頻率處減小負載電阻的等效值。

T型網絡和π型網絡各由三個電抗元件(其中兩個同性質，另一個異性質)組成，如圖1.4.3所示，它們都可以分別看作是兩個倒L型網絡的組合，用類似的方法可以推導出其有關公式。例1.3已知某電阻性負載為10Ω，請設計一個匹配網絡，使該負載在20MHz時轉換為50Ω。如負載由10Ω電阻和0.2

μH電感串聯組成，又該怎樣設計匹配網絡?

解由題意可知，匹配網絡應使負載值增大，故采用圖1.4.2(a)所示倒L型網絡。由式(1.4.11),(1.4.12)可求得所需電抗值

|X2|==20Ω

|X1|=50×=25Ω

所以

L2=

由0.16μH電感和318pF電容組成的倒L型匹配網絡即為所求，如圖例1.3(a)虛線框內所示。如負載為10Ω電阻和0.2μH電感相串聯，在相同要求下的設計步驟如下：因為0.2μH電感在20MHz時的電抗值為：

XL=ωL=2π×20×106×0.2×10-6=25.1Ω

而

X2-XL=20-25.1=-5.1Ω

所以

C2=

由1560pF和318pF兩個電容組成的倒L型匹配網絡即為所求，如