2024-2025學年廣東省深圳市南山第二外國語學校九年級（下）開學數學試卷一、選擇題：本題共8小題，每小題3分，共24分。在每小題給出的選項中，只有一項是符合題目要求的。1.下列表達式中，x為自變量，y是x的二次函數的是(

)A.y=ax2+bx+c B.y=?2x2+x?12.二次函數y=?5(x+2)2?1的圖象的頂點的坐標為A.(2,1) B.(2,?1) C.(?2,1) D.(?2,?1)3.如圖，在電線桿離地面高度為7m的A處向地面拉一條攬繩AB，使攬繩AB與地面BC的夾角為α，則攬繩AB的長為(

)A.7cosαm

B.7tanαm

C.4.如圖，∠ACB=90°，CD⊥AB，垂足為D，若AC=4，BC=3，則tan∠BCD的值為(

)A.34

B.43

C.355.如圖，將二次函數y=(x+1)2?4的圖象在x軸下方的部分沿x軸翻折，圖象的其余部分不變，即得到y=|(x+1)2?4|的圖象.根據圖象，若關于x的方程|(x+1)A.0<k<4

B.0<k≤4

C.0≤k<4

D.?3<k<06.小明帶妹妹玩秋千，當秋千OA停止不動時，踏板與地面的距離AB=0.3米.小明推了一把，秋千OA旋轉到OC位置，踏板與地面的距離CD=1.1米.已知tan∠AOC=0.75，則秋千頂O與地面距離OB=(?)米.A.4.3

B.4.1

C.4

D.3.87.已知二次函數y=ax2+bx+c(a≠0)的圖象如圖所示，對稱軸為直線x=1，則下列結論正確的是(

)A.acb<0

B.4ac?b2>0

8.如圖，在反比例函數y=3x的圖象上有一動點A，連接AO并延長交圖象的另一支于點B，在第二象限內有一點C，滿足AC=BC，當點A運動時，點C始終在函數y=kx的圖象上運動，若tan∠CAB=2，則kA.?6

B.?12

C.?18

D.?24二、填空題：本題共5小題，每小題3分，共15分。9.已知二次函數y=(m?2)x|m|?3x+1，則m=______10.在平面直角坐標系中，將函數y=?x2的圖象先向左平移3個單位長度，再向下平移5個單位長度后，得到的圖象的函數表達式是______.11.在平面直角坐標系中，菱形ABCO的位置如圖所示，已知C(4,3)，點P是對角線OB上的一個動點，D(0,52)，連接CD，DP，CP.當△CPD周長最小時，點P的坐標為______.

12.如圖1，在Rt△ABC中，∠C=90°，D為AC上一點，CD=2，動點P以每秒1個單位長度的速度從點C出發，沿C→B→A的方向勻速運動，到達點A時停止，以DP為邊作正方形DPEF.設點P的運動時間為ts，正方形DPEF的面積為S，當點P由點B運動到點A時，經探究發現S是關于t的二次函數，并繪制成如圖2所示的圖象，則由圖象可知線段AC13.如圖，小強從熱氣球上的A點測量一棟高樓頂部的仰角∠DAB=30°，測量這棟高樓底部的俯角∠DAC=60°，熱氣球與高樓的水平距離為AD=153三、解答題：本題共7小題，共61分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟。14.(本小題8分)

(1)計算：|?1|?128?(5?π)15.(本小題8分)

2024年，教育部先后印發對中小學生手機、睡眠、讀物、作業、體質管理的通知，簡稱五項管理，是教育部旨在推進立德樹人，促進學生身體健康、全面發展的重大舉措.成都立格實驗學校高度重視并積極推進五項管理.為了解立格學子手機使用情況，學校調查了部分學生寒假每天手機使用平均時長.根據調查結果，繪制出如下的統計圖①和圖②.

請根據相關信息，解答下列問題：

(1)參加這次調查的學生人數為______，圖①中m的值為______；

(2)求參與調查的這組學生手機使用平均時長為4小時的圓心角度數；

(3)通過調查分析發現，手機使用時長和學習成績成負相關，為此，學校準備在參與調查的每天手機使用平均時長為1小時的四位同學(三男一女)中任選兩位同學在全校做分享交流，請用列表或畫樹狀圖的方法，求選中兩男的概率.16.(本小題8分)

如圖，在矩形ABCD中，AC是對角線.

(1)用尺規完成基本作圖：作AC的垂直平分線，交AC于點O，交AD、BC分別于點E、F，連接CE、AF.(保留作圖痕跡，不寫作法.)

(2)求證：四邊形AECF是菱形.17.(本小題7分)

抖音直播購物逐漸走進了人們的生活.為提高我縣特產紅富士蘋果的影響力，某電商在抖音平臺上對我縣紅富士蘋果進行直播銷售.已知蘋果的成本價為6元/千克，如果按10元/千克銷售，每天可秀出160千克.通過調查發現，每千克蘋果售價增加1元，日銷售量減少20千克.若想通過漲價增加每日利潤，設漲價后的售價為x元，每日獲得的利潤為w元.

(1)漲價后每日銷量將減少______件(用含x的代數式表示)；

(2)當售價為多少時，每日獲的利潤最大？最大利潤為多少？18.(本小題7分)

遮陽傘的主要作用是通過遮擋太陽光線，阻止強烈紫外線對人體皮膚的損傷，同時遮陽傘下的地面上會留下影子，影子長度隨太陽光線角度的變化而變化.“篤學”小組對遮陽傘下的影子展開了項目式學習活動，下表是項目化學習報告.項目主題遮陽傘下的影子活動內容背景如圖，某款遮陽傘的立柱AP垂直于地面AB，DQ，DG，CF分別為懸托支桿，C點為可旋轉傘體的接頭，當傘面完全張開時，地面上會留下影子，傘體的截面示意圖為△CEF，CE，CF為傘體支架，且CE=CF，測量得到CE=2m，∠CEF=示意圖資料我市某天下午不同時刻太陽光線與地面的夾角α參照表：時刻12：0013：0014：0015：0016：0017：00太陽光線與地面的夾角α/度908570654025參考數據：sin15°≈0.26，cos15°≈0.97，tan15項目結果中午12：00時，太陽光線與地面垂直時，將可旋轉接頭C點進行適當調整，使EF//AB，此時，點E剛好落在AP上，遮陽效果最佳下午14：00時，通過調整旋轉接頭C點使傘體傾斜，當太陽光線與EF垂直時，遮陽效果最佳下午17：00時，…項目反思…請根據此項目實施的相關材料完成以下任務.

(1)如圖1，當中午12：00太陽光線與地面垂直時，地面影子AB的長約為______m.

(2)如圖2，請你求出下午14：00時傘體在地面上留下的影子BK的長.(注意：任務(1)、(2)的計算結果均精確到0.1m)19.(本小題11分)

綜合與實踐

【問題情境】

數學活動課上，老師出示了一個問題：如圖1，在等腰Rt△ABC中，∠BAC=90°，點E在AC上(且不與點A、C重合)，在△ABC的外部作等腰Rt△CED，使∠CED=90°，連接AD，分別以AB，AD為鄰邊作平行四邊形ABFD，連接AF.

【獨立思考】

(1)求證：△AEF是等腰直角三角形；

【實踐探究】

(2)勤學小組突發奇想，將△CED繞點C逆時針旋轉，如圖2，當點E在線段BC上時，連接AE，DF交BC于點K.

①四邊形ABFD的形狀是______；

②請判斷線段AF與線段AE的數量關系，并加以證明；

【問題解決】

(3)善思小組受此啟發，將△CED繞點C繼續逆時針旋轉，如圖3，當平行四邊形ABFD為菱形，且△CED在△ABC的下方時，若AB=5，CE=22，求線段AE的長20.(本小題12分)

如圖，在平面直角坐標系中，二次函數y=x2+bx+c的圖象與x軸交于A、B兩點，A點在原點的左側，B點的坐標為(3,0)，與y軸交于C(0,?3)點，點P是直線BC下方的拋物線上一動點．

(1)求這個二次函數的表達式；

(2)求出四邊形ABPC的面積最大時的P點坐標和四邊形ABPC的最大面積；

(3)在直線BC找一點Q，使得△QOC為等腰三角形，寫出

參考答案1.B

2.D

3.C

4.A

5.A

6.A

7.C

8.B

9.?2

10.y=?(x+3)11.(3,1)

12.413.60

14.解：(1)原式=1?2?1+4×22

=1?2?1+22

=2；

15.解：(1)參加這次調查的學生人數為10÷25%=40(人)，

∴m%=6÷40×100%=15%，

∴m=15，

故答案為：40人，15；

(2)360°×15%=54°，

答：參與調查的這組學生手機使用平均時長為4小時的圓心角度數為54°；

(3)畫樹狀圖如下：

共有12種等可能的結果，其中選中兩男的結果有6種，

∴選中兩男的概率為612=12.

16.解：(1)EF即為所求；

(2)在矩形ABCD中，AD//BC，

∴∠DAC=∠ACB，

∵EF是AC的垂直平分線，

∴∠AOE=∠COF=90°，AO=CO，

∴△AOE≌△COF(ASA)，

∴OE=OF，

∴四邊形17.解：(1)設漲價后的售價為x元，則每日銷量減少：20(x?10)=(20x?200)件，

故答案為：(20x?200)；

(2)設每日獲的利潤為w元，

由題意可得：w=(x?6)[160?20(x?10)]=(x?6)(360?20x)=?20x2+480x?2160=?20(x?12)2+720，

∵?20<0，

∴當x=12時，W最大，最大值為720，

∴當售價為12元時，每日獲的利潤最大，最大利潤為720元．

18.解：(1)∵AP垂直于地面AB，當中午12：00太陽光線與地面垂直，

∴四邊形ABFE是矩形，

∴AB=EF，

∵CE=CF，

∴三角形CEF是等腰三角形，

∵CE=2m，∠CEF=15°，

∴EF=2×CE×cos15°=3.88≈3.9m，

故答案為：3.9；

(2)如圖，過點K作KH⊥BF于點H，

根據題意可知，當太陽光線與EF垂直時，遮陽效果最佳，

∴四邊形KHFE是矩形，

∴∠EFH=∠BHK=90°，EF=KH，

由(1)得EF=3.9m，

∴KH=3.9m，

在Rt△KHB中，BK=3.9sin70°≈4.1m，

∴下午14：00時的傘體在地面上留下的影子BK的長約為4.1m.

19.(1)證明：如圖1，∵四邊形ABFD是平行四邊形，

∴FD=AB，

∴AB=AC，

∵FD=AC，

∴DE=CE，

∴FD?DE=AC?CE，

∴FE=AE，

∵∠AEF=∠CED=90°，

∴△AEF是等腰直角三角形．

(2)解：①如圖2，∵AB=AC，∠BAC=90°，

∴∠BCA=∠CBA=45°，

∵DE=CE，∠CED=90°，

∴∠ECD=∠EDC=45°，

∴點E在線段BC上，且∠ECD=∠BCA=45°，

∴CD與CA重合，

∴點D在AC邊上，

∴∠BAD=∠BAC=90°，

∴四邊形ABFD是矩形，

故答案為：矩形．

②AF=2AE，

證明：如圖2，連接EF，

∵∠BFK=90°，FB//AC，FB=AD，

∴∠FBK=∠ACB=45°，

∴∠FKB=∠FBK=45°，

∴FK=FB=AD，∠EKD=∠FKB=45°，∠EKF=∠EDA=135°，

∵∠DEK=180°?∠CED=90°，

∴∠EDK=∠EKD=45°，

∴EK=ED，

∴△EKF≌△EDA(SAS)，

∴FE=AE，∠KEF=∠DEA，

∴∠AEF=∠AEB+∠KEF=∠AEB+∠DEA=∠DEK=90°，

∴AF=FE2+AE2=2AE2=2AE.

(3)解：如圖3，設AE交CD于點H，

∵四邊形ABFD為菱形，

∴AD=AB=AC=5，

∵DE=CE=22，

∴AE垂直平分CD，

∴∠EHC=∠AHC=90°，EH=CH=DH=12CD=12×(22)2+(22)2=2，

∴AH=52?22=21，

∴AE=EH+AH=2+21，

∴AE的長為2+21.

20.解：(1)由題可知二次函數過點B(3,0)，C(0,?