2023-2024學年七年級數學下冊舉一反三系列專題1.9絕對

值貫穿有理數的經典考法【七大題型】

【人教版】

*40衣

【題型I利用絕對值性質化簡或求值】............................................................1

【題型2根據絕對值的豐負性求值】..............................................................1

【題型3根據絕對值的定義判斷正誤】...........................................................2

【題型4根據絕對值的意義求取值范圍】.........................................................2

【題型5絕對值中的分類討論之白類型問題】......................................................2

|a|

【題型6絕對值中的分類討論之多絕對值問題】...................................................3

【題型7絕對值中的最值問題】..................................................................3

?酊聲T三

【題型1利用絕對值性質化簡或求值】

【例1】（2022?博湖縣校級期中）已知實數a,b滿足|〃|=久|曲+而=0,化簡同+「2〃|-

|3/?-2al.

【變式1-11如圖表示在數軸上四個點p,夕，入s位置關系，若=|p-51=12,\q

-----------■----------------------------->

-5-1=9,則.Pq，$

【變式1-2】已知a,b,c,d滿足aV?IVbVOVcVIVd,且|a+l|=|"已

那么a+b+c+d=.

【變式1-31化簡:

（1）\2x-I|；（2）\x-l|+k-3|；（3）\\x-l|-2|+k+l|.

【題型2根據絕對值的非負性求值】

【例2】（2022春?諸暨市月考）已知-3|+|2"-8|+|c-2|=0,求。+3b-c的值.

【變式2-1］（2022秋?梅州校級月考）若八2|+僅+3|=0,計算：

（1）x,y的值.

（2）求僅|+例的值.

【變式2-2］（2022秋?南江縣校級期中）已知|-x+7|與-2.y-1|互為相反數，求的

值.

【變式2-3］（2022?深水縣期末）已知x為實數,且|3Ll|+|4x-l|+|5x-1|+…+|17x-l|的

值是一個確定的常數，則這個常數是（）

A.5B.10C.15D.75

【題型3根據絕對值的定義判斷正誤】

【例3】（2022春?肇源縣期末）下面四個式子中，正確的是（）

A.若a于b,那么B.若那么

C.若間＞g|,那么D.若/＞從那么a＞Z?

【變式3-1]（2022秋?全椒縣期中）已知白+白=（）,有以下結論：

|a||b|

①〃，/?一定互為相反數；②abVO；③a+6V0；④高=一1

其中正確的是.（把所有正確結論的序號都填上）

【變式3-2]（2022秋?和平區期中）設y=|x-"+W+1I，則下面四個結論中正確的是（）

A.），沒有最小值

B.只有一個x使y取最小值

C.有限個x（不止一個）），取最小值

D.有無窮多個x使y取最小值

【變式3-3]（2022秋?青山區期中）若“，力為有理數，下列判斷：（1）若同=4則一定

有a=bx（2）若間＞|可，則一定有a＞b；（3）若同＞匕，則一定有⑷＞依；（4）若⑷

=b,則一定有/=（-h）2.其中正確的是（）

A.（I）（2）B.（2）（3）C.（3）（4）D.（4）

【題型4根據絕對值的意義求取值范圍】

【例4】（2022秋?海淀區校級期中）若不等式卜-2|+|工+3|+卜-1|+|"1|為對一切數1都成

立，則〃的取值范圍是.

【變式4-1]（2021秋?長春期中）如果|-2a|=-2m則〃的取值范圍是（）

A.a＞0B.心0C.〃W0D.?＜0

【變式4-2]（2022?吉首市校級月考）若/〃是有理數，則依|+〃?的值（）

A.不可能是正數

B.一定是正數

C.不可能是負數

D.可能是正數，也可能是負數

【變式4-3]（2022秋?K沙校級期中）（1）比較下列各式的大小（用V或＞或=連接）

?|-2|+|3|I-2+3|；

②I-2H-3I|-2-3|；

③I-2|+|0||-2+0|；

（2）通過以上的特殊例子,請你分析、補充、歸納，當。、b為有理數時,同+|例與|a+b|

的大小關系；

（3）根據上述結論，求當國+2015=卜-2015|時，x的取值范圍.

【題型5絕對值中的分類討論之前型問題】

【例5】（2022秋?江陽區校級期中）有理數〃、在數軸上的對應點位置如圖所示

（1）用“V”連接0、?〃、-b.-1

（2）化簡：同?2|。+2?1|一凱）?〃?1|

（3）若c?（/+1）<0,且c+Zf>0,求曰+曰一亙等的值.

c+1c-1a-b+c

ab

-4I--------------1-----4-------1--------->

-101

【變式5-1]（2022秋?順平縣期中）設4、仇c、d為有理數，且當粵=1,則回+粵+回+粵

abedabed

的值為，

【變式5-2]（2022秋?鄂州校級月考）若OVaVl,?2V0V?1,則R—答+安的

a-lb+2a+h

值是.

【變式5-3]（2022秋?西城區校級期中）有理數均不為0,且a+A+c=O.設x=|粵+

1b+c

也■+粵|，試求代數式X,9+99.V+2000之值.

【題型6絕對值中的分類討論之多絕對值問題】

【例6】（2022?河北模擬）（1）數軸上兩點表示的有理數是〃、從求這兩點之間的距離；

（2）是否存在有理數》，使|x+l|+|x-3|=x?

（3）是否存在整數x,使|x-4|+|x-3|+|x+3|+k+4|=14?如果存在，求出所有的整數x；

如果不存在，說明理由.

【變式6-1]（2022春?寶山區校級月考）已知-1|+|〃-4|=3,則a的取值范圍

為.

【變式6?2】（2022秋?玉門市期末）在數軸上有四個互不相等的有理數a、b、c、d,若|a

-b\+\b-c\=c-a,設d在〃、c之間，則|a-,/|+|d-c|+|c|T〃-d=（）

A.（1-bB.c-bC.d-cD.d-a

【變式6-3]（2022秋?順平縣期中）已知mb,c,d都是整數,^\a+b\+\b+c\+\c+d\^\d+a\

=2,則\a+d\=.

【題型7絕對值中的最值問題】

【例7】（2022秋?鼓樓區校級月考）已知（|x+l|+|x-2|）（ly-21+I^H）（|z-3|+|z+l|）=

36,求2016r+2（）17），+2018z的最大值和最小值

【變式7-1】當|_r-2|+|x-3|的值最小時，卜-2|+卜-3|-|.11|的值最大是,最小是.

【變式7-2]（2022秋?海安市月考）閱讀下列有關材料并解決有關問題.

x（x>0）

0（x=0）,現在我們可以利用這一結論來化簡含有絕對值的代數式.例

!-x（x<0）

13b?2a|.

【分析】分清“，-2h,38-2a三個數的正負性是解決本題的關鍵.已知實數小〃滿足

\a\=bt\ab\+ab=Ot可得出620,

\ab\=-ab,則aWO,b=-a.所以-2。<0,3b?240,從而得出同+|-20-|3。-23

的值.

【解答】解：???同=6同20,

，心0,

又??:曲+帥=0,

\ab\=-ab,

???|RR20,

???-ab》O,

即“WO,

???。與〃互為相反數，apb=-a.

:.-2Z><0,3〃?2〃20，

A|a|+|-2M73b-2al=-a+2b-C3b-2a)=。-〃=-2力或2a.

【變式1-1］如圖表示在數軸上四個點p,%r,s位置關系,若|p-r|=10,|p-s|=12,\q

?s|=9,則k/?rl=7.

-----?a?▲》

Pqrs

【分析】根據絕對值的幾何意義，將Ip-”=1(),|〃-1=⑵14-S|=9轉化為兩點間的距

離，進而可得4、r兩點間的距離，即可得答案.

【解答】解：根據絕對值的幾何意義,由|〃-r|=10,|p-5|=12,0-s|=9可得

〃、/■兩點間的距離為10,〃、s兩點間的距離為12,?、$兩點間的距離為9,

貝IJ9、/?兩點間的距離為10+9-12=7,

即07=7,

故答案為7.

【變式I2】已知a,〃，c,d滿足aV-1且=|1-c\=\\-d\,

那么a+b+c+d=0.

【分析】根據已知不等式確定出絕對值里邊式子的正負，已知等式利用絕對值的代數意

義化簡，整理求出。+〃與c+d的值，代入原式計算即可得到結果.

【解答】解：??ZV-IVbVOVcVIVd,

,a+lVO,b+\>0,1-c>0,1-d<0,

V|?+l|=|/?+l|,|1?c|=|l?4,

-a-1=b+\,I-c=d-I,

整理得：a+b=-2,c+d=2,

則a+b+c+d=().

故答案為：0

【變式1-3】化簡:

(1)\2x-1|；(2)|x-l|+|x-3|；(3)\\x-l|-2|+h+l|.

【分析】(I)就2x720,2x-I<0兩種情形去掉絕對值符號；

(2)將零點1,3在同一數軸上表示出來，就x<l,lWx<3,xN3三種情況進行討論;

(3)由零點共有?1、1、3三點，就x23,1WXV3,?1WXV1,xV?1四種情況進行

討論.

【解答】解：(I)①當原式=2x-I；

②當xvj原式=-(2x-l)=1-2x；

(2)①當x<1,原式=-(x-I)-(x-3)=4-2x；

②當1?3,原式=(x-1)-(x-3)=2；

③當x23,原式=(x-1)+(x-3)=2A-4；

(3)①x23,原式=|1-1-2|+_r+l=x-3+x+l=2r-2；

②1WXV3,原式=|x-I-2|+x+l=3-x+x+l=4；

③?1WXV1，原式=|l?x?2|+x+l=|?(x+1)\+x+l=x+\+x+\=2x+2,

@x<-1,原式=|1-x-2|-(x+1)=|-(.r+1)|-x-1=-(x+1)-x-\=-2v-2.

【題型2根據絕對值的非負性求值】

【例2】(2022春?諸暨市月考)已知|a-3|+|2"-8|+|c-2|=0,求a+3Z?-c的值.

【分析】根據非負數的性質列方程求出。、/八c的值，然后代入代數式進行計算即可得

解.

【解答】解：由題意得，。-3=0,2"-8=0,c-2=0,

解得。=3,〃=,c=2,

所以，a+3b-c,

=3+3x--2?

3

=3+4-2,

=7-2,

=5.

【變式2-1](2022秋?梅州校級月考)若|x-2|+|y+3|=0,計算：

(1)x,y的值.

(2)求R+M的值.

【分析】(1)根據非負數的性質列式計算即可得解?；

（2）根據絕對值的性質進行計算即可得解.

【解答】解：（1）由題意得，.[2=0,y+3=0,

解得x=2,y=-3；

（2）M+M=|2|+|-31=2+3=5.

【變式2-2]（2022秋?南江縣校級期中）已知|-x+7|與|-2y-1|互為相反數，求2y-如的

值.

【分析】根據題意，I-x+712O,\-2y-1|>0,又|一聲7|與|-2y-1|互為相反數，故|-x+7|

=0,|-2y-1|=0,即可求出x,y的值，代入即可求出答案.

【解答】解：根據題意：|?X+7|20,|-2y-1|^0,又|?x+7|與1|互為相反數，故

|-^+7|=0,\-2y-1|=0,

解得：x=7,v=

故2y-3%=2X（--）--x7=-3.

z727

【變式2-3]（2022?洙水縣期末）已知x為實數,JL|3x-l|+|4x-l|+|5.r-l|+-+|17x-1|W

值是一個確定的常數，則這個常數是（）

A.5B.10C.15D.75

【分析】將|3x?1|+|4廠l|+|5x?l|+???+|17x-1|按照取值范圍進行討論.

【解答】解：⑴當時，原式=150x-15,不是常數;

（2）當:<￥*時，原式=144x73,不是常數;

（3）當;時，原式=136.11,不是常數;

（4）當襯，原式=126.9,不是常數；

（5）當之《工：時，原式=114]-7,不是常數；

（6）當:扣t，原式=100、-5,不是常數；

（7）當;4工：時，原式=844-3,不是常數；

98

（8）當卷〈注：時，原式=66x?1,不是常數；

（9）當白〈在2時，原式=46/1,不是常數；

（10）當登《三專時，原式=24x+3,不是常數；

（11）當專口工專時，原式=5,是常數；

（12）當卷4W專時，原式=-26x+7,不是常數;

（13）當2443時，原式=-54.9,不是常數;

1514

（14）當卷《三卷時，原式=-84x+ll,不是常數;

（15）當《〈E卷時，原式=716x+13,不是常數:

（16）當xW2時，原式=-150.1+15,不是常數.

故選：A.

【題型3根據絕對值的定義判斷正誤】

【例3】（2022春?肇源縣期末）下面四個式子中，正確的是（）

A.若aHb,那么42Hb2B.若〃>|可，那么

C.若同>|。|,那么。D.若〃那么匕

【分析】利于平方的定義、不等式的定義、絕對值的求法等知識分別判斷后即可確定正

確的選項.

【解答】解：A、若a=b,那么〃、。互為相反數時，序"從錯誤，不符合題意；

8、如果〃>|加，那么/>〃，正確，符合題意：

C、\a\>\b\f那么或〃Vb,錯誤,不符合題意；

。、如果從那么或故錯誤，不符合題意；

故選：B.

【變式3-1］（2022秋?全椒縣期中）已知卷+9=0,有以下結論：

同回

①”，。一定互為相反數；②時<0；③a+Z?VO；④端=一1

其中正確的是②@.（把所有正確結論的序號都填上）

【分析】根據絕對值的意義，可化簡絕對值.

【解答】解：由言+3=（）,得。與力異號，有以下結論：

|a|IM

①得aVO,b>0,或a>0,b<0,

a，b異號,a,〃不一定互為相反數，故①錯誤；

②"VO,故②正確；

③不一定小于0,故③錯誤；

④=^ab=一上故④正確，

故答案為：②④.

【變式3-2］（2022秋?和平區期中）設）=|A-I葉+1|,則下面四個結論中正確的是（）

A.），沒有最小值

B.只有一個x使），取最小值

C.有限個x（不止一人）,，取最小值

D.有無窮多個x使），取最小值

【分析】根據非負數佗性質，分別討論x的取值范圍，再判斷），的最值問題.

【解答】解：方法一：由題意得：當xV-1時，y=-x+1-1-x=-2r；

當?iWxWl時，y=?x+l+l+x=2；

當x>1時，y=x-1+1+X=2A-；

故由上得當-IWXWI時，y有最小值為2；

故選D.

方法二：由題意，y表示數軸上一點弟到-1,1的距離和，這個距離和的最小值為2,

此時x的范圍為-

故選：D.

【變式3?3】(2022秋?青山區期中)若a,b為有理數，下列判斷：(1)若同=兒則一定

有a=b；(2)若⑷〉依，則一定有a>b；(3)若有>b,則一定有間>|純(4)若有

=b,則一定有“2=(-/?)2.其中正確的是()

A.(I)(2)B.(2)(3)C.(3)(4)D.(4)

【分析】此類題目可將符合條件的有理數代入逐一驗證求解.

【解答】解：(1)若|-2|=2,則-2K2,錯誤；

(2)若則-2V1,錯誤；

(3)若川>?2,則|1|V|-2|,錯誤;

(4)若⑷=b,則一定有。2=(-6)2,正確.

故選：D.

【題型4根據絕對值的意義求取值范圍】

【例4】(2022秋?海淀區校級期中)若不等式|x-2|+|.r+3|+k-1|+|"1|2。對一切數x都成

立,則a的取值范圍是a47.

【分析】數形結合.絕對值的幾何意義：Li-y|表示數軸上兩點x,)，之間的距離.

【解答】解：數形結合.絕對值的幾何意義：僅?丁|表示數軸上兩點x,)，之間的距離.

畫數軸易知,|x-2|+|x-3Hx?1I+W+1I表示工至1-3,-1,1,2這四個點的距離之和.

令)，=,|x-2|+k+3|+k-H+k+H，x=-3時,y=ll,

x=-1時，y=7,

x=1時，y=7,

x=2時，y=9,

可以觀察知：當-IWkWI時，由于四點分列在x兩邊，恒有y=7,

當-3WxV-1時，7VyWU,

當xV-3時，y>11,

當1WXV2時，7WyV9,

當x22時，了29,

綜合以上：y27所以：

即田-2|+|x+3|+|x-l|+Lv+l|N7對一切實數x恒成立.

從而。的取值范圍為“W7.

【變式4-1］（2021秋?長春期中）如果|-2a|=-2a,則。的取值范圍是（）

A.a>0B.“20C.aWOD.a<0

【分析】觀察發現I?2a|=-2m絕對值里面的式子與等號后面的式子相同，可知-2a

的絕對值等于它本身，根據絕對值的性質：正數的絕對值等于它本身，0的絕對值等于0,

也就是等于它本身，可得-2〃20,解不等式可得答案.

【解答】解：??3-2a|=-2a,

????2心0,

故選：C.

【變式4-2］（2022?吉首市校級月考）若〃?是有理數，則依|+5的值（）

A.不可能是正數

B.一定是正數

C.不可能是負數

D.可能是正數，也可能是負數

【分析】根據絕對值的性質：正數的絕對值是它本身、負數的絕對值是它的相反數、0

的絕對值是0,可根據〃，是正數、負數和。三種情況討論.

【解答】解：①當〃?>0時,原式=〃?+m=2機>0；

②當m=0時，原式=0+0=0；

③當ni<0時，原式=-〃?+〃?=（）.

???向+加的值大于等于于

即為非負數，

故選：C.

【變式4-3］（2022秋?長沙校級期中）（1）比較下列各式的大小（用（或>或=連接）

①I?2|+|3|>|-2+3|；

②I-2|+|-3|=|-2-3|；

③-21+101=|-2+0|；

（2）通過以上的特殊例子，請你分析、補充、歸納，當。、。為有理數時，|〃|+以與|a+〃|

的大小關系；

（3）根據上述結論，求當|x|+2015=|x-2015|時,x的取值范圍.

【分析】（1）依據絕對值的性質計算即可；

（2）通過計算找出其中的規律即可得出答案；

（3）依據結論求解即可.

【解答】解：（1）①|-2|+|3|=2+3=5,|-2+3|=1,故|-2|+|3|>|-2+3|；

②12|+|-31=2+3=5,|-2-3|=|-5|=5,故卜2|+|-3|=|-2-3|；

③|-2|+|0|=2,|-2+0|=2,故|-2|+|0|=|-2+0|.

故答案為：①〉；②=;③=.

（2）當m。異號時，間+網>以+。|,

當a,b同號時（包括零），\a\+\b\=\a+b\,

\a\+\b\^\a+b\；

（3）V|.v|+2O15=|x-20151，

/.W+|-2015|=|x-2015|.

由（2）可知:x與-2015同號，

???xW0.

【題型5絕對值中的分類討論之三類型問題】

1?1

【例5】（2022秋?江陽區校級期中）有理數〃、〃在數軸上的對應點位置如圖所示

（1）用“V”連接0、?〃、?b、-1

（2）化簡：\a\-2\a+b-\\-^b-a-1|

（3）若「（爾+1）<0,且c+5>0,求曰+曰一處竽的值.

c+1c-la-b+c

ab

-4I-------------1-----4-------1-------->

-101

【分析】（1）直接利用數軸分析得出答案；

（2）結合數軸得出各部分的符號，進而化簡即可；

（3）結合數軸得出各部分的符號，進而化簡即可.

【解答】解：（1）由數軸可得：

-1<-Z?<0<-4;

(2)原式=-a+2(a-b-1)Cb-a-\)

4,5,5

=-a+-b-；

333

(3)Cc?(〃+l)VO,且c+方>0,

Ac<0,1>Z?>O,

原式=*+-(c-l)-ia-b+c)

c-la-b+c

=1-1+1

=1.

【變式5-1］（2022秋?順平縣期中）設〃、6、c、d為有理數，且明=1,則回+號+回+浮

abedabed

的值為-4,0,4.

【分析】根據已知條件喏=1，得出Hcd>0,根據兩數之積是正數時，兩數一定符號

abed

相同，分別分析即可得出答案.

【解答】解：由喏=1，知岫4>0,

于是a,b,c,d中4個全為正數或兩個正數兩個負數或4個全為負數.

當a,b,c,d全為正數時，原式=l+l+l+l=4；

當。，b,c,d中有兩個正數兩個負數時，原式=0；

當a,b,c,d全為負數時，原式=-1-1-I-1=-4.

故答案為：-4,0,4.

【變式5-2](2022秋?鄂州校級月考)若-2<人<-],則七斗一瞥+曾的

a-lb+2a+b

值是—3.

【分析】可以用特殊值法進行計算，令代入即可得出答案.

【解答】解：方法1：令〃=去b=-^

伸入|aT||b+2||a+b|

代入百一市+百

得：0一3+31=一1-1-1=-3.

a-lb+2a+b

方法2：VO<?<1,-2<b<-1,

：.a-l<0,8+2>0,a+b<0,

.|a-l|\b+2\|a+b|

??a-lb+2Ia+D9

=--a---l----b-+-2---a-+-b,

a-lb+2a+b

=-1-1-1,

=_3.

故答案為：-3.

【變式5-3](2022秋?西城區校級期中)有理數均不為0,且a+Hc=O.設x=|粵+

1b+c

照+京|,試求代數式X,9+99.V+2000之值.

【分析】根據題意可得。，力，c中不能全同號，必有一正兩負或兩正一負與。=?(b+c),

b=-(c+a),c=-(a+b),則可得將，電，旦的值為兩個+1,一個7或兩個

-1，一個+1，即可求得X的值，代入即可求得答案.

【解答】解：由a,b,c均不為0,知方+c,c+a,〃+人均不為0,

又“：a,仇c中不能全同號，故必一正二負或一負二正，

.)。=-(b+c),b=-(c+a),c=~(a+b'),

rqriCl4b?C4

即kf而=-1，

.?.曾，坨L,粵中必有兩個同號，另一個符號其相反，即其值為兩個+1,一個?1或兩

b+cc+aa+b

個-1,一個+1,

.??丹+里+與=±1「=|魯+也+與|=1,

b+cc+aa+bb+cc+aa+b

:.X19+99X+2（X）0=1+99+20（X）=2100.

【題型6絕對值中的分類討論之多絕對值問題】

【例6】（2022?河北模擬）（1）數軸上兩點表示的有理數是。、〃，求這兩點之間的距離；

（2）是否存在有理數x,使|x+l|+k-3|=x?

（3）是否存在整數x,使k-4|+|x-3|+W+3|+|x+4|=14?如果存在，求出所有的整數工；

如果不存在，說明理由.

【分析】（I）數軸上兩點之間的距離等于右邊的數減去左邊的數或|。-例；

（2）利用絕對值的幾何意義進行化簡；

⑶利用絕對值的幾何意義進行化簡，求得|x-4|+|x-3|+|x+3|+|x+4|的最大值和最小值，

再進行判斷.

【解答】解:（I）\a-b\\

（2）x的取值可能是xV-I,-1WXW3,x>3,

化簡得-2x+2,4,2.v-2,

則不存在Lr+l|+|x-3|=x的情況；

（3）X的取值可能是工<-4,-4&V-3,-3?,3<rW4,Q4,

化簡得-4.v,-Zv+8,14,2x+8,4x,

故存在整數-使苗?4|+|x-3|+|r+3|+|x+4|=14,

即-3?,x=-3,-2,-1,0,1,2,3.

【變式6-1]（2022春?寶山區校級月考）已知|4-l|+|a-4|=3,則〃的取值范圍為K

【分析】分情況討論：①〃-420；②。-120,且a-4W0.

【解答】解：①〃-420,解得。24,化簡原式=2.-5,不合題意，舍去.

②。?1廿0,且O-4W0,解得1W〃A4,化簡原式=3,符合題意.

所以1W〃W4.

【變式6-2]（2022秋?玉門市期末）在數軸上有四個互不相等的有理數〃、b、c、d,若|a

-b\+\b-c\=c-a,設"在a、c?之間，貝山。-d|+|d-d+|c-力|-|a?d=（）

A.d-hB.c-bC.d-cD.d-a

【分析】由-c|=c-又d在a、c之間，故有a〈d〈b<c或a<b

<d<c兩種情況，且|a?M+|d-c|--c|=0.分別討論可得|a?d\+\d-c\+\c-b\-\a-c\

=|c-b\=c-b.

【解答】解：由|。?b\^\h-c\=c-a可得aVbVc,

又因為4在〃、c之間，

故有a<d<b<c或a<b<d<c兩種情況，且|a-d\+\(i-c|-|fl-c|=0.

當a<d<b<c時，I”-M+|d-c|+|c-b\-\a-c\=d-dc-d+c-b+a-c=c-b,

當a<h<d<c時，\a-d\+\d-c|+|c-b\-\a-c\=d--d+c-b+a-c=c-hf

故選：B.

【變式6-3](2022秋?順平縣期中)已知a,b,c,1都是整數，且|a+加+|0+d+|c+M+|d+a|

=2,則|a+dl=1或0.

【分析】根據題意易知|。+方I、I8+c|、|c+M、|d+a|是整數，所以不外乎兩種可能：①3個為

0，1個為2；②2個為0,2個為1,繼而討論|a+”的值.

【解答】解：由題意得:|。+可、|加小k+小|d+a|是整數,所以有兩種可能:

①3個為()，1個為2,

②2個為0,2個為1,

所以|。+同只可能取0、1、2,若為2,

則|a+〃|=族+d=|c+M=。，

不難得出a=-d,所以|a+d|=0,與假設|〃+M=2矛盾.

所以|a+@只可能取0、1,a=0,b=0,c=-\,d=l時|。+4=1；

a=-1,b=0,c=0,d=1時|a+M=0.

故答案為：I或0.

【題型7絕對值中的最值問題】

【例7】(2022秋?鼓樓區校級月考)已知(僅+1|+僅?2|)(|y-2|+|y+l|)(|z-3|+|z+l|)=

36,求2016x+2017y+2018z的最大值和最小值

【分析】先討論：|x+l|+W-2|、|y-2|+Lv+H>|z-3|+|z+l|的最小值，根據它們的積是36,

分別得到|x44|+|x-2|、|y-2|+|y+lh|z-3|+|z+l|的值，再討論x、y、z的最大最小值，代

入計算出代數式的最大值和最小值.

【解答】解：???|x+l|+k-2|23,

(|y-2|+|.y+l|)23,

(|z-3|+|z+l|)24,

又又(k+l|+|x-2|)(|y-2|+|y+l|)(|z-3|+|z+l|)=36,

：.\x+\\+\x-2\=3,

?-2|+|yH|=3，

|z-3|+|z+l|=4,

當|x+l|+|x-2|=3時，]最小取?L最大取2,

當|y-2|+|)，+l|=3時，y最小取7,最大取2,

當|z-3|+|z+l|=4時，z最小取-1,最大取3

所以20l6x+2017y+20l8z的最大值為：2016X2+2017X2+2018X3

=14120,

2016x+2017y+2018z的最小值為：2016X(-1)+2017X(-1)+2018X(-1)

=-6051

【變式7-1】當|x-2|+W-3|的值最小時，|「2|+吐3卜卜7|的值最大是0，最小是-

【分析】根據當|x-2|+k-3|的值最小時，即可求得'的范圍是2WxW3,且最小值是1,

化簡心2|+-3|-廣1|,即可把x分成10Y2和2WxW3兩種情況，在每個范圍內分

別取一個值，代入即可求得.

【解答】解：當|「2|+卜-3|的值最小時，24W3,

又因為I不在2和3之間，所以可令x=2,

貝！]忱-2|+比?3|-1|=0,

令x=3,則|x-2|+|x-3|-|.v-1|=-1,

所以，所求最大值為0,最小值為-1.

【變式7-2](2022秋?海安市月考)閱讀下列有關材料并解決有關問題.

x(x>0)

0(x=0),現在我們可以利用這一結論來化簡含有絕對值的代數式.例

-x(x<0)

如：化簡代數式1|"1|+優?2|時.可令x+1=O和x-2=0,分別求得丫=?1和T=2(稱?

I,2分別為田+1|與-2|的零點值).在有理數范圍內，零點值x=-I和x=2可將全體

有理數分成不重復且不遺漏的如下3種情況“V-1；-1?2；62.從而在化簡W+11+lx

?2|時，可分以下三種情況：①當xV-1時，原式=?(x+l)-(x-2)=-2A+1；②

當-1WXV2時，原式=(x+l)-(x-2)=3；③當x22時，原式=(x+l)+(A-2)

=2r-I.通過以上閱讀，請你解決問題：

(1)|工-3|+|x+4|的零點值是x=3和x=-4；

(2)化簡代數式L「3HA?十4|；

(3)解方程Q3|+|x+4|=9；

(4)田-3|+k+4|+|%-2|+田-2000|的最小值為2005,此時x的取值范圍為2Wx

W3.

【分析】(1)根據“零點值”的意義進行計算即可；

(2)根據題目中提供的方法分三種情況分別進行計算即可；

(3)分三種情況分別對|."3|+|x+4|進行化簡進而求出相應方程的解；

(4)根據代數式|x-3|+|x+4|+|x-2|+|x-2000|的意義,得出當2?時，該代數式的值

最小，再根據兩點距離的計算方法進行計算即可.

【解答】解:(I)令x-3=0和x+4=0,

求得：x=3和x=-4,

故答案為：?4和3；

(2)①當x<-4時，原式=-(x-3)-(.v+4)=-2x-I；

②當-4Wx<3時，原式=-(x-3)+(A+4)=7；

③當x23時，原式=(x-3)+(x+4)=2r+l；

―2x—1(%V-4)

7(-4<x<3)，

(2x4-l(x>3)

(3)分三種情況：

①當-4時，-2x7=9,

解得：A--5；

②當-4WxV3時，7=9,不成立；

③當x23時，2/1=9,

解得：x=4.

綜上所述，3=-5或/=4.

(4)代數式卜-3|+|A+4|HV-2|+|X-2000|表示的意義為數軸上表示數x的點到表示數-4,

2,3,2000的距離之和,

由數軸表示數的意義可知.當時,該代數式的值最小,最小值為(2+4)+(3

-2)+(2000-2)=2005,

故答案為：2005,2WkW3.

【變式7-3](2022秋?泉州期末)四個數分別是a,b,c,d,滿足|a-勿+|c-川=加?切，

(〃23且為正整數，a<b<c<d).

⑴若〃=3.

①當4-〃=6時，求c-0的值；

②對于給定的有理數e(0<e<c),滿足g-百=-J],請用含力，c的代數式表示e；

(2)若e="-c|,由加-M，且|e?力>點|a?切,試求〃的最大值.

【分析】(1)①由已知可得》-a+d-c=，Cd-a),又由d-a=6,得到c-Z?=4；

②由已知可得e?b=[(d?a),因為d-a=^Cc-b),則有e-〃=gxg(c-Z?)=1(c

-b),可求e=-c+-b：

33

(2)由已知可得c-h=(1——)(d?a),則有白(1——)(d-a)|—工|a-訓>二|4-

n2n210

小得到2〃V10,再有〃的取值范圍即可求解.

【解答】解：(1)①'.?〃=3,

/.\a-b\+\c-cl\=-4，

a<b<c<d,

]

:.b-a+d-c=-(d-a),

3

c-b=^(d-a),

?：d-a=6,

:.c-》=4：

?\*b<e<c>\h-e\=^a-cl\t

e-b=-(d-a),

9

Vd-a=-(,c-b),

2

^.e-b=-x-(.c-b)=-(c-Z?),

923

???，=-+抑

(2)V\a-b\+\c-M=-t/|?a<b<c<d,

:.c-b=(I--n)(.d-a),

'：e='-c|,f=扣-M，且|e-力>施-M，

???馳-d-切-訓>?-M，

???山(1-；)(d“)|一割■訓>3|a?d|,

二白?$>和?4，

/.2n<10,

??tl59

???“23且為正整數，

n的最大值是4.

專題1.10巧用運算規律簡化有理數計算的七種方法【七大

題型】

【人教版】

【題型1歸類法】..............................................................................18

【題型2湊整法】..............................................................................18

【題型3逆向法】..............................................................................18

【題型4拆項法】..............................................................................19

【題型5組合法】..............................................................................19

【題型6裂項相消法】.........................................................................20

【題型7倒數求值法】.........................................................................21

。妙亭三

【知識點1歸類法】

運用加法交換律、結合律歸類加減，將同類數（如正數或負數）歸類計算，如整數與整數結合、

如分數與分數結合、同分母與同分母結合等.

【題型1歸類法】

【例1】（2022春?普陀區校級期中）計算：8+（7》-5-（-；）.

44

【變式1-1]（2022春?徐匯區校級期中）計算：一2；+29+6；-3"

31243

【變式1-2]（2022秋?青浦區期中）計算：2；+0.3-1；+5.

【變式1-3]（2022秋?和平區校級月考）計算：

（1）-（-3今+（一4+（-2今+（+1.25）一哈

（2）?.+（-畛+17：+（-3》.

【知識點2湊整法】

將相加可得整數的數湊整，將相加得零的數（如互為相反數）相消.

【題型2湊整法】

【例2】（2022秋?普陀區期末）計算：3.43-216.57-5|.

【變式2-1]（2022秋?濟南期末）計算：（-3.2）+125+（?16.8）-（-2.5）.

【變式2?2】（2022秋?上蔡縣月考）計算：

⑴2|+2升（-5]-（-5|）?

（2）3.75+（-5.18）-（-2.25）+5.18.

【變式2-3]（2022秋?石景山區校級期中）計算：（-12.7）-（.-51）-873+39

【知識點3逆向法】

主要是將式子中的一些小數、帶分數、分數互相轉化，然后將乘法分配率逆向使用，從而

使得計算變得更加簡單.

【題型3逆向法】

【例3】（2022秋?紅谷灘區校級期中）用簡便方法計算

,￡X（-92）+（-^）X341+|X23|.

【變式3-1](2022秋?蘭山區月考)25x：-25x：+25X(--)

424

【變式3-2](2022秋?紅谷灘區校級期中)用簡便方法計算：

(1)(-9)X31^--(-8)X(-31^-)-(-16)X31?；

292929

(2)99-x(-36).

72

【變式3-3](2022秋吆[谷灘區校級期中)簡便計算

(-48)X0.I25+48x^+(-48)

【知識點4拆項法】

將一個數拆分成兩個或兩個以上數和的形式，再利用加法交換律、結合率或者利用乘法分

配率從而使得計算變得簡潔.

【題型4拆項法】

【例4】(2022秋?安陸市期中)閱讀下面的計算過程，體會“拆項法”

計算：Y+(-9$+17：+(-3》.

解：原式=[(-5)十(-9)十17十(-3)]十[(-1)十(~1)+：十(一初=0+(-1^)=(T；)

啟發應用

用上面的方法完成下列計算：(-35++

【變式4-1](2022秋?鐵西區期末)計算：1.5-(-4：)+3.75-(+81.

【變式4-2](2022秋?浦東新區期中)計算：5；-2；+：.

364

【變式4-3](2022秋?涼山州期末)：(一2021}+(-2022》+4044+(-1

【知識點5組合法】

找出規律，重新組合，然后通過約分或抵消簡化題目.

【題型5組合法】

【例5】(2022秋?南開區期中)計算：-1+2-3+4-5+6+…-97+98-99=.

【變式5-1](2022秋?褻汾縣期中)計算：1+2-3-4+5+6-7-8+……+2013+2014-2015

-2016

【變式5-2](2022秋?工業園區月考)計算1+(-2)+3+(-4)+……+97+(-98)+99+

(-100)的值為()

A.50B.-50C.101D.-101

【變式5-3](2022秋?工業園區月考)計算：

(1)1-3+5-7+9-11+―+97-99；

(2)|------|+|-----|~|------|.

'