章節綜合訓練六圓

（考試時間：120分鐘試卷滿分：120分）

一.選擇題（共10小題，滿分30分，每小題3分）

1.（2024.西藏.中考真題）如圖，4C為。。的直徑，點B,。在。。上，AABD=60°,CD=2,貝必。的長

C.2V3D.4

2.（2024?江蘇徐州?中考真題）如圖，將一枚飛鏢任意投擲到正方形鏢盤4BCD內，若飛錘落在鏢盤內各點

的機會相等，則飛鏢落在陰影區域的概率為（）

A.-B.-C.-D.—

4322

3.（2024?山西中考真題）如圖，已知△ABC,以AB為直徑的。。交BC于點與4C相切于點A,連接OD.若

ZXOD=80°,貝此C的度數為（）

4.（2024?江蘇無錫?中考真題）已知圓錐的底面圓半徑為3,母線長為4,則圓錐的側面積為（）

A.6nB.12nC.15KD.24Tl

5.（2024?山東濟寧?中考真題）如圖，分別延長圓內接四邊形48CD的兩組對邊，延長線相交于點E,F.若

/.E=54°41z,ZF=43°19\則乙4的度數為（）

E

A.42°B.41°20'C.41°D.40°20'

6.（2024?山東濟寧?中考真題）如圖，邊長為2的正六邊形4BCDEF內接于。。，則它的內切圓半徑為（）

A.1B.2C.V2D.V3

7.（2024?湖南長沙?中考真題）如圖,在O。中，弦AB的長為8,圓心。至必8的距離。E=4,則。。的半

B.4V2C.5D.5V2

8.（2024.山東泰安.中考真題）兩個半徑相等的半圓按如圖方式放置，半圓。，的一個直徑端點與半圓。的圓

心重合，若半圓的半徑為2,則陰影部分的面積是（）

4「4V3

A.我一百B.-71C.|兀-8D.-71---

334

9.（2024.內蒙古通遼.中考真題）如圖，平面直角坐標系中，原點。為正六邊形4BCDEF的中心，EF||x軸,

點E在雙曲線y=§（k為常數，k>0）±,將正六邊形4BCDEF向上平移百個單位長度，點。恰好落在雙曲線

上，則k的值為（）

10.（2024?江蘇蘇州?中考真題）如圖，矩形4BCD中，AB=陋,BC=1,動點E,尸分別從點A,C同時

出發，以每秒1個單位長度的速度沿4B,CD向終點B,。運動，過點E,尸作直線/,過點A作直線/的垂

線，垂足為G,貝必G的最大值為（）

A.V3B.—C.2D.1

2

二.填空題（共6小題，滿分18分，每小題3分）

11.（2024?江蘇徐州?中考真題）如圖，4B是O。的直徑，點C在的延長線上，與。。相切于點D,若

12.（2024.江蘇徐州?中考真題）將圓錐的側面沿一條母線剪開后展平，所得扇形的面積為4;rcm2,圓心角0

為90。，圓錐的底面圓的半徑為.

13.（2024.山東泰安.中考真題）如圖，48是。。的直徑，是。。的切線，點C為。。上任意一點，點。為

4C的中點，連接BD交4C于點E,延長BD與4”相交于點F,若DF=1,tanB=|,則4E的長為.

14.（2024?內蒙古包頭?中考真題）如圖，四邊形48C。是。。的內接四邊形，點。在四邊形48C。內部，過點

C作。。的切線交4B的延長線于點P,連接。4OB.若N40B=140°,LBCP=35。，則乙4DC的度數為.

15.（2024?四川廣元?中考真題）如圖，在△28C中，AB=5,tanzC=2,則4。+個8。的最大值為

16.（2024?吉林長春?中考真題）如圖，是半圓的直徑，4C是一條弦，。是AC的中點，于點E,

交2C于點尸，DB交4C于點G,連結4D.給出下面四個結論:

@Z-ABD=ADAC；

?AF=FG；

③當DG=2,GB=3時，FG=?

④當AS=2/tB,28=6時，ADFG的面積是次.

上述結論中，正確結論的序號有

其中17、18、19題每題6分，20題、21題每題7分，22題8分，23

題9分，24題10分，25題13分）

17.（2024江蘇南通?中考真題）如圖，△ABC中，AB=3,AC=4,BC=5,與8C相切于點D

B

D

(1)求圖中陰影部分的面積；

(2)設上有一動點尸，連接CP,BP.當CP的長最大時，求BP的長.

18.(2024?江蘇鎮江?中考真題)如圖，將AABC沿過點4的直線翻折并展開，點C的對應點C'落在邊4B上,

折痕為AD,點。在邊4B上，。。經過點4、D.若N4C8=90。，判斷8c與。。的位置關系，并說明理由.

19.(2024?山東濟寧?中考真題)如圖，AABC三個頂點的坐標分別是4(1,3),B(3,4),C(1,4).

yk.

6—r-

O123456x

(1)將443。向下平移2個單位長度得小公4。1，畫出平移后的圖形，并直接寫出點名的坐標；

(2)將繞點/逆時針旋轉90。得△42名。2?畫出旋轉后的圖形，并求點Q運動到點。2所經過的路徑長.

20.(2024?江蘇無錫?中考真題)如圖，4B是。。的直徑，△4CD內接于O。，CD=ETB,AB,CD的延長線

相交于點E,且DE=4D.

⑵求N4DC的度數.

21.(2024.山東濟南.中考真題)某校數學興趣小組的同學在學習了圖形的相似后，對三角形的相似進行了

深入研究.

(一)拓展探究

如圖1,在AABC中，AACB=90°,CD1AB,垂足為D.

B

???Z-ACB=90°+ZB=90°

???CD1AB???Z.A=Z-A???△ABCACD

???乙ADC=90°-:②________

AC

匕A+乙ACD=90°AC2=AD-AB

???Z-B=?______

請完成填空：①:

(2)如圖2,9為線段CO上一點，連接4F并延長至點E,連接CE,當乙4CE=N4FC時，請判斷A4EB的形

狀，并說明理由.

(二)學以致用

(3)如圖3,△ABC是直角三角形，乙4cB=90°,AC=2,BC=2乃，平面內一點D,滿足4。=AC,連接CD

并延長至點E,且NCEB=NCBD,當線段BE的長度取得最小值時，求線段CE的長.

22.(2024?江蘇常州?中考真題)將邊長均為6cm的等邊三角形紙片ABC、DEF疊放在一起，使點E、2分別

在邊AC、DF±(端點除外)，邊AB、EF相交于點G,邊BC、DE相交于點”.

(2)如圖2,若EFII8C,求兩張紙片重疊部分的面積的最大值；

(3)如圖3,當4E>EC,尸8>8。時，2E與FB有怎樣的數量關系？試說明理由.

23.(2022?江蘇鎮江?中考真題)如圖1是一張圓凳的造型，已知這張圓凳的上、下底面圓的直徑都是30cm,

高為42.9cm.它被平行于上、下底面的平面所截得的橫截面都是圓.小明畫出了它的主視圖，是由上、下

底面圓的直徑48、CD以及疣、"組成的軸對稱圖形，直線2為對稱軸，點M、N分別是熊、的的中點，如

圖2,他又畫出了居所在的扇形并度量出扇形的圓心角NAEC=66。，發現并證明了點E在MN上.請你繼續

完成MN長的計算.

參考數據：sin66。合春cos66。，,tan66。吟sin33。晦，cos33。嗯,tan33。“吳

24.（2024.山西.中考真題）閱讀與思考

下面是博學小組研究性學習報告的部分內容，請認真閱讀，并完成相應任務.

關于“等邊半正多邊形，，的研究報告

博學小組

研究對象：等邊半正多邊形

研究思路：類比三角形、四邊形，按“概念-性質-判定”的路徑，由一般到特殊進行研究.

研究方法：觀察（測量、實驗）-猜想-推理證明

研究內容：

【一般概念】對于一個凸多邊形（邊數為偶數），若其各邊都相等，且相間的角相等、相鄰的角不相等，我

們稱這個凸多邊形為等邊半正多邊形.如圖1,我們學習過的菱形（正方形除外）就是等邊半正四邊形，類

似地，還有等邊半正六邊形、等邊半正八邊形...

【特例研究】根據等邊半正多邊形的定義，對等邊半正六邊形研究如下：

概念理解：如圖2,如果六邊形ABCDEF是等邊半正六邊形，那么4B=BC=CD=DE=EF=凡4,ZX=

NC=乙E,4B=AD=NF,且NA豐乙B.

性質探索：根據定義，探索等邊半正六邊形的性質，得到如下結論：

內角：等邊半正六邊形相鄰兩個內角的和為上。.

對角線：…

⑴直接寫出研究報告中“▲”處空缺的內容：

(2)如圖3,六邊形4BCDEF是等邊半正六邊形.連接對角線2D,猜想NBAD與4凡4。的數量關系，并說明理

由；

(3)如圖4,已知AACE是正三角形，。。是它的外接圓.請在圖4中作一個等邊半正六邊形4BCDEF(要求：

尺規作圖，保留作圖痕跡，不寫作法).

25.(2024?山東日照?中考真題)如圖1,48為。。的直徑,28=12,C是O。上異于4B的任一點，連接AC,BC,

過點A作射線4D為射線4D上一點，連接CD.

【特例感知】

(1)若BC=6.則ac=.

(2)若點C,D在直線AB同側，且乙4DC=NB,求證：四邊形4BCD是平行四邊形;

【深入探究】

若在點C運動過程中，始終有tan乙4DC=百，連接OD.

(3)如圖2,當CD與。。相切時，求。。的長度;

(4)求。。長度的取值范圍.

章節綜合訓練六圓

（考試時間：120分鐘試卷滿分：120分）

一.選擇題（共10小題,滿分30分，每小題3分）

1.（2024.西藏.中考真題）如圖，4C為。。的直徑，點B,。在。。上，AABD=60°,CD=2,貝必。的長

2V2C.2V3D.4

【答案】C

【分析】本題考查圓周角定理及勾股定理，根據同弧所對圓周角相等及直徑所對圓周角是直角得到N4CD=

AABD=60°,^ADC=90°,根據CD=2得到AC=2CD=4,最后根據勾股定理求解即可得到答案

【詳解】解：???封為O。的直徑,

AADC=90°,

"：AD=AD,AABD=60°,

/.ACD=Z.ABD=60°,

^DAC=90°-60°=30°,

VCD=2,

：.AC=2CD=4,

：.AD=V42-22=2V3,

故選：C.

2.（2024?江蘇徐州?中考真題）如圖，將一枚飛鏢任意投擲到正方形鏢盤4BCD內，若飛錘落在鏢盤內各點

的機會相等，則飛鏢落在陰影區域的概率為（）

cD.立

43-12

【答案】c

【分析】本題考查幾何概率的知識，求出小正方形的面積是關鍵.設AB=2a,則圓的直徑為2a,求出小正

方形的面積，即可求出幾何概率.

【詳解】解：如圖：連接EG,HF,設48=2a,則圓的直徑為2a,

:四邊形EFGH是正方形，

EG=FH=AB=2a,

二.小正方形的面積為：1x2ax2a=2a2,

則飛鏢落在陰影區域的概率為：篇="

故選：C.

3.（2024?山西中考真題）如圖，已知△4BC,以4B為直徑的。。交BC于點Z）,與4C相切于點4,連接OD.若

AAOD=80°,則NC的度數為（）

【答案】D

【分析】本題主要考查了圓周角定理，圓的切線定理，直角三角形兩銳角互余，有圓周角定理可得出NB=

l^AOD=40°,有圓的切線定理可得出NB4C=90。，由直角三角形兩銳角互余即可得出答案.

【詳解】解：=加，

1

：.Z-B=-Z-AOD=40°.

2

以為直徑的。。與ZC相切于點A,

A￡.BAC=90°,

?"C=90。-40。=50。.

故選：D.

4.（2024.江蘇無錫?中考真題）已知圓錐的底面圓半徑為3,母線長為4,則圓錐的側面積為（）

A.6irB.12nC.15TTD.24n

【答案】B

【分析】本題考查了圓錐的側面積展開圖公式，解題的關鍵是掌握圓錐的側面積的計算公式：圓錐的側面

積兀x底面半徑x母線長.

【詳解】解：S側=nrl=7rx3x4=12兀，

故選：B.

5.（2024.山東濟寧?中考真題）如圖，分別延長圓內接四邊形4BCD的兩組對邊，延長線相交于點E,F.若

/.E=54°41',ZF=43°19\則乙4的度數為（）

A.42°B.41020;C.41°D.40°20,

【答案】C

【分析】根據“圓的內接四邊形對角互補”可得〃BC+“DC=180。，乙4+NBCD=180。.根據三角形外

角定理可得乙4BC=NE+乙ECB,乙ADC=Z.F+乙DCF,由此可得NECB=41°,又由NECB+乙BCD=180°,

可得ZT!=Z_ECB,即可得解.

本題主要考查了“圓的內接四邊形對角互補”和三角形外角定理，熟練掌握以上知識是解題的關鍵.

【詳解】???四邊形ABCD是O。的內接四邊形

A/.ABC+/.ADC=180°,Z.A+乙BCD=180°,

Z-ABC=Z-E+Z.ECB,Z-ADC=Z-F+乙DCF,

???乙E+乙ECB+ZF+乙DCF=180°,

?:乙ECB=^DCF,ZE=54°41\ZF=43°19\

/

...54。40+43°19+2Z.ECB=180°,

解得4ECB=41°,

???(ECB+乙BCD=180°,

??.LA=乙ECB=41°.

故選：c

6.（2024?山東濟寧?中考真題）如圖，邊長為2的正六邊形4BCDEF內接于O0,則它的內切圓半徑為（）

A.1B.2C.V2D.V3

【答案】D

【分析】本題考查了正多邊形與圓，等邊三角形的判定和性質，勾股定理；

連接。4,OF,作。G14F于G,證明△AOF是等邊三角形，可得尸G=|4F=1,然后利用勾股定理求出。G

即可.

【詳解】解：如圖，連接。4。F，作。GJ.4F于G,

1

OF=OA,/LAOF=360°X士=60°,

6

**?△4。尸是等邊三角形，

：.OF=OA=AF=2,

*：OG1/F,

：.FG=-AF=1,

2

OG=V212-I2=V3,

即它的內切圓半徑為

故選：D.

7.（2024?湖南長沙?中考真題）如圖，在。。中，弦4B的長為8,圓心。至!MB的距離OE=4,則。。的半

徑長為（）

A.4B.4V2C.5D.5V2

【答案】B

【分析】本題考查垂徑定理、勾股定理，先根據垂徑定理得到4E,再根據勾股定理求解即可.

【詳解】解：：在。。中，弦4B的長為8,圓心。至IJ4B的距離。E=4,

1

AOELAB,AE=-AB=4,

2

在Rt△40E中，OA=y/OE2+AE2=V42+42=4夜，

故選：B.

8.（2024.山東泰安.中考真題）兩個半徑相等的半圓按如圖方式放置，半圓。'的一個直徑端點與半圓。的圓

心重合，若半圓的半徑為2,則陰影部分的面積是（）

4/7Tc2B^4V3

AA.—71—V3B.-7TC.—Ti—V3D.—Ti-----

33334

【答案】A

【分析】本題主要考查了扇形的面積公式的運用、三角形的面積公式的運用等知識點，熟練掌握扇形的面

積公式是關鍵.

如圖:連接044。',作4B，。。吁點B,得三角形4。。堤等邊三角形，求出4B=W，5=?=S扇形

匕力40，扇力zoo，

SA/OO,=早—V3＞再根據s陰影=S弓形40,+s扇形40,0,即可解答?

【詳解】解：如圖：連接。4A0',作于點2,

V0A=00'=A0'=2,

三角形4。。'是等邊三角形，

：.^A00'=60°,0B=-00'=1,

2

?\AB=V22—l2=V3

???S弓形40，=S扇形AOO，—SA400，=^^—2x%x；爭一柢

；.S陽影=Sm花+S扇花=--V3+—=--V3.

陰影弓形40，扇形40,0333

故選：A.

9.（2024.內蒙古通遼.中考真題）如圖，平面直角坐標系中，原點。為正六邊形4BCDEF的中心，EF||久軸，

點E在雙曲線y=§（k為常數，k>0）±,將正六邊形4BCDEF向上平移百個單位長度，點。恰好落在雙曲線

上，貝味的值為（）

A.4A/3B.3V3C.2痘D.3

【答案】A

【分析】本題主要考查了求反比例函數解析式，正六邊形的性質，等邊三角形的性質與判定，勾股定理等

等，過點E作EHlx軸于”，連接0E,可證明AOED是等邊三角形，則DE=。。，OH=DH=^0H,進

而得到EH=?OD,設。D=2zn,貝iJOH=zn,HE=gm,則E（m,V3m）,￡>（2m,0）,即可得到點（2m,

V5）在雙曲線上，再由點E也在雙曲線上，得到k=2m?百=據此求解即可.

【詳解】解：如圖所示，過點E作EHLx軸于H,連接。E,

:原點。為正六邊形4BCDEF的中心,

0E=0D,4E0D=—=60°,

6

△。￡7）是等邊二角形,

：.DE=0D,

?：EH1OD,

i

：.0H=DH=-0D.

2

：.EH=>JDE2-DH2=—0D,

2

設0。=2m,貝!J。"=m,HE=V3m,

V3m）,D（2m,0）,

??,將正六邊形尸向上平移四個單位長度，點。恰好落在雙曲線上，

???點（2m,8）在雙曲線上，

又???點E也在雙曲線上，

k=2m-V3=m-V3m,

解得zn=2或zn=0（舍去），

k=2m-V3=4V3,

故選：A.

10.（2024?江蘇蘇州?中考真題）如圖，矩形/BCD中，AB=W,BC=1,動點E,產分別從點A,。同時

出發，以每秒1個單位長度的速度沿ZB,CO向終點3,。運動，過點E,尸作直線/,過點A作直線/的垂

線，垂足為G,貝lb4G的最大值為（）

A.遮B.3C.2D.1

【答案】D

【分析】本題主要考查了矩形的性質、動點軌跡、與圓有關的位置關系等知識，根據矩形的性質以及直角

三角形斜邊中線的性質確定G的軌跡是本題解題的關鍵.

連接AC,BD交于點0,取04中點H,連接GH,根據直角三角形斜邊中線的性質，可以得出G的軌跡，從而

求出4G的最大值.

【詳解】解：連接4C,BD交于點。，取。4中點H,連接GH,如圖所示：

???四邊形/BCD是矩形，

C./.ABC=90°,OA=OC,AB||CD,

.?.在RtAABC中，AC=7AB2+BC2=J（次J+M=2,

OA=OC=-AC=1,

2

*：AB||CD,

???Z-EAO=Z.FCO,

在△ZOE與中，

（AE=CF

\z.EAO=Z.FCO

（OA=OC

.-.△71OE=ACOF（SAS）,

???Z-AOE=Z.COF,

E,0,F共線，

vAG1EF,“是OB中點，

.?.在RtAZG。中，GH=^AO=j,

G的軌跡為以H為圓心，|為半徑即4。為直徑的圓弧.

.?.4G的最大值為4。的長，即AGmax=AO=1.

故選：D.

二.填空題（共6小題，滿分18分，每小題3分）

11.（2024?江蘇徐州?中考真題）如圖，4B是O。的直徑，點C在4B的延長線上，與。。相切于點D,若

【答案】35

【分析】本題利用了切線的性質，三角形的外角與內角的關系，等邊對等角求解.連接。。，構造直角三角

形，利用04=。0,從而得出乙乙40的度數.

【詳解】解：連接。。，

???。。與。。相切于點D,

???乙0DC=90°,

???乙C=20°,

???乙COD=70°；

vOA=OD,

1

.-.4ODA=Z.CAD=-Z.COD=35°,

2

故答案為：35

12.（2024?江蘇徐州?中考真題）將圓錐的側面沿一條母線剪開后展平，所得扇形的面積為47ran2,圓心角6

為90。，圓錐的底面圓的半徑為.

【答案】1cm

【分析】本題考查的是圓錐的計算、扇形面積公式，熟記扇形面積公式是解題的關鍵.先根據扇形面積公

式求出扇形的半徑，再根據扇形面積公式求出弧長，最后根據圓的周長公式計算即可.

【詳解】解：設扇形的半徑為Rem,弧長為tan,

解得：R=4（負值舍去），

則?X4=4TT,

解得：Z=2TT,

二?圓錐的底面圓的半徑為：27r+（2TT）=l（cm）,

故答案為：1cm.

13.（2024.山東泰安.中考真題）如圖，是。。的直徑，AH是。。的切線，點C為。。上任意一點，點。為

4c的中點，連接BD交4C于點E,延長BD與相交于點F,若DF=1,tanB=貝ME的長為.

【答案】V5

【分析】本題主要考查相似三角形的判定和性質、切線的性質、圓周角定理等知識，熟練掌握相關知識是

解題關鍵.

先證=可得△DAFsADBA從而得到絲="=tanB=工，求得AD=2,再運用勾股定理可得

ADBD2

AF=正,再根據圓周角定理以及角的和差可得乙4/。=乙4/。，最后根據等角對等邊即可解答.

【詳解】解：??,/B是。。的直徑，

：.AADB=90°,

??,/月是O。的切線，

:,乙BAF=90°,

Z.DAF=乙ABD=90°-40Z3,

△DAF^△DBA,

.DFAD1

??——tanBD——f

ADBD2

9：DF=1,

：.AD=2,

：.AF=VS,

???點。為恥的中點，

：.AD=CD,

A/.ABD=ADAC=Z.DAF,

*：^ADE=^ADF=90°,

：.90°-ADAE=90°-匕DAF,SPAAED=^.AFD,

?.AE=AF=V5.

故答案為：V5.

14.（2024.內蒙古包頭.中考真題）如圖，四邊形4BCD是。。的內接四邊形，點。在四邊形48co內部，過點

。作。。的切線交48的延長線于點P,連接。4。瓦若乙4。8=140。，48cp=35°,則乙4DC的度數為.

【答案】105(7105度

【分析】本題考查了切線的性質，等腰三角形的性質，圓內接四邊形的性質等知識，連接。C,利用等邊對

等角得出N048=Z0B4=20。，乙OCB=LOBC,利用切線的性質可求出NOBC=NOCB=55。，然后利用

圓內接四邊形的性質求解即可.

【詳解】解：連接。C,

VOA=OB=OC,/.AOB=140°,

^OAB=AOBA=|(1800-AAOB)=20°,乙OCB=乙OBC,

是切線，

：.^OCP=90°,即NOCB+48cp=90。，

■:乙BCP=35°,

:.上OBC=Z.OCB=55°,

Z./.ABC=Z.ABO+AOBC=75°,

?..四邊形4BCD是O。的內接四邊形，

：.^ADC=180°-乙ABC=105°,

故答案為：105。.

15.(2024?四川廣元?中考真題)如圖，在AaBC中，AB=5,tanzC=2,貝UAC+的最大值為

C

【答案】5V2

【分析】過點B作BO垂足為D,如圖所示，利用三角函數定義得到ac+?BC=ac+￡)c,延長oc到

E,使EC=CD=x,連接BE,如圖所示，從而確定4C+，BC=aC+DC=4C+CE=4E,NE=45。，

再由輔助圓-定弦定角模型得到點E在0。上運動，4E是o。的弦，求ZC+^BC的最大值就是求弦4E的最

大值，即4E是直徑時，取到最大值，由圓周角定理及勾股定理求解即可得到答案.

【詳解】解：過點B作BD14C,垂足為D,如圖所示：

C

B-：tanz.C=2,

.?.在RtABCD中，設DC=x,貝1]BD=2%,由勾股定理可得BC=而％,

ACH----BC=AC+DC,

延長DC到E,使EC=CD=x,連接BE,如圖所示:

BAC+^-BC=AC+DC=AC+CE=AE,

??,BD1DE,DE=2x=BD,

.?.△BDE是等腰直角三角形，則NE=45。，

在△ABE中，AB=5,NE=45。，由輔助圓-定弦定角模型，作AABE的外接圓，如圖所示:

???由圓周角定理可知，點E在。。上運動，AE是。。的弦，求47+當BC的最大

值就是求弦AE的最大值，根據圓的性質可知，當弦4E過圓心0,即4E是直徑時，弦最大，如圖所示:

?.YE是。。的直徑,

/.ABE=90°,

???NE=45°,

△ABE是等腰直角三角形，

???AB=5,

BE=AB=5,則由勾股定理可得4E=y/AB2+BE2=5&，即AC+的最大值為5企，

故答案為：5V2.

【點睛】本題考查動點最值問題，涉及解三角形、勾股定理、等腰直角三角形的判定與性質、圓的性質、

圓周角定理、動點最值問題-定弦定角模型等知識，熟練掌握動點最值問題-定弦定角模型的解法是解決問題

的關鍵.

16.（2024?吉林長春?中考真題）如圖，4B是半圓的直徑，4C是一條弦，。是4C的中點，于點E,

交4C于點F,DB交AC于點G,連結2D.給出下面四個結論：

①4ABD=NDAC；

?AF=FG；

③當。G=2,GB=3時，FG=~

④當附=2/?,4B=6時，△DFG的面積是

上述結論中，正確結論的序號有.

【答案】①②③

【分析】如圖：連接。C,由圓周角定理可判定①；先說明NBDE=〃G。、乙=可得DF=FG、

AF=FD,即4F=FG可判定②；先證明A4DGf可得絲=絲，即，竺一=絲,代入數據可得a。=V10,

BDADOG+BGAD

然后運用勾股定理可得4G=舊,再結合/F=FG即可判定③;如圖:假設半圓的圓心為O,連接。RC。,CD,

易得乙40。=乙D0C=60°,從而證明^AODAODC是等邊三角形，即/DC。是菱形，然后得到乙D4C=

404。=30。，再解直角三角形可得DG=2百，根據三角形面積公式可得S-DG=6舊，最后根據三角形的

中線將三角形平分即可判定④.

【詳解】解：如圖：連接DC,

???。是我的中點，

：.AD=流,

：.AABD=L.DAC,即①正確；

???/B是直徑，

：.LADB=90°,

A^.DAC+^AGD=90°,

9：DE1AB

工乙BDE+乙ABD=90°,

VZ-ABD=ADAC,

:?乙BDE=4/GD,

：.DF=FG,

■:乙BDE+/.ABD=90°,2BDE+^ADE=90°,

：./.ADE=/LABD,

*.?/,ABD=A.DAC,

：./-ADE=^DAC,

：.AF=FD,

.??/F=FG,即②正確；

在aADG和

(AADG=匕BDA=90°

t乙DAG=/-DBA'

△ADGBDAj

.ADGD日ADGD

?.BD—AD"DG+BG-AD"

.AD=總，即/￡）=V10,

**2+3

：.AG=yjAD2+DG2=舊，

9：AF=FG,

.\FG=即③正確；

如圖：假設半圓的圓心為O,連接。2C。,CD,

??,郎=2加，AB=6,。是的中點，

1

：.AD=疣=嚴，

ALAOD=乙DOC=60°,

:。/=OD=OC,

△AOD,^,ODC是等邊二角形，

AOA=AD=CD=OC=OD=3,即4DC。是菱形，

A/-DAC=Z,OAC=-^LDAO=30°,

2

??Z08=90°,

.'.tan/.DAC=tan30°=即當=等，解得：DG=V3,

???SAADG=豺。?OG=[x3x舊=9，

'：AF=FG

故答案為：①②③.

【點睛】本題主要考查了圓周角定理、解直角三角形、相似三角形的判定與性質、勾股定理、菱形的判定

與性質、等腰三角形的判定與性質等知識點，靈活運用相關知識成為解題的關鍵.

三.解答題（共9小題，滿分72分，其中17、18、19題每題6分，20題、21題每題7分，22題8分，23

題9分，24題10分，25題13分）

17.（2024?江蘇南通?中考真題）如圖，△ABC中，AB=3,AC=4,BC=5,與BC相切于點D

B

(1)求圖中陰影部分的面積;

(2)設。4上有一動點尸，連接CP,BP.當CP的長最大時，求的長.

【答案】(1)6—If兀

(2)|V41

【分析】本題考查了切線的性質，勾股定理的逆定理，扇形的面積公式等知識，解題的關鍵是:

(1)連接4D,利用勾股定理的逆定理判定得出NB4C=90。，利用切線的性質得出4。，8C,利用等面積

法求出4D=音，然后利用S陰影=S^ABC-S扇形求解即可；

(2)延長C4交04于P,連接BP,則CP最大，然后在RtAABP中，利用勾股定理求解即可.

'：AB=3,AC=4,BC=5,

：.AB2+AC2=32+42=25=52=BC2,

：./.BAC=90°,

與04相切于D

：.AD1BC,

'：S^ABC=\AD-BC=\AC-AB,

1VU7TXI—

陰影=S"BC-S扇形=-x3x4——

(2)解：延長C4交04于尸，連接BP,此時CP最大,

由（1）知：Z.BAC=/.PAB=90°,AP=AD=y,

：.PB=y/AP2+AB2=|V41.

18.（2024?江蘇鎮江?中考真題）如圖，將△ABC沿過點4的直線翻折并展開，點C的對應點C'落在邊4B上,

折痕為4。，點。在邊4B上，。。經過點4、D.若乙4c8=90。，判斷BC與。。的位置關系，并說明理由.

【答案】BC與。。相切，理由見解析

【分析】連接OD,由等腰三角形的性質得N04D=再由折疊的性質得NC4D=4。4￡>,進而證明

ACWOD,則=乙4cB=90。，因此。。，BC,然后由切線的判定即可得出結論.

【詳解】解：BC與。。相切.

證明：連接。D.

"：OA=OD,

S.AOAD=/.ODA.

'：圖形沿過點A的直線翻折，點C的對應點C'落在逅1B上,

ACAD=Z04D.

Z.CAD=/.ODA.

：.AC\\OD.

由乙4cB=90。,得NODC=90°,即001BC.

與O。相切.

【點睛】本題考查直線與圓的位置關系、等腰三角形的性質、折疊的性質以及平行線的判定與性質等知識,

熟練掌握切線的判定和折疊的性質是解題的關鍵.

19.(2024?山東濟寧?中考真題)如圖，AABC三個頂點的坐標分別是4(1,3),B(3,4),C(1,4).

yk.

]j]y!i\

~6123456x

(1)將A4BC向下平移2個單位長度得AaiBiCi，畫出平移后的圖形，并直接寫出點名的坐標；

(2)將AaiBiCi繞點/逆時針旋轉90。得△42名。2?畫出旋轉后的圖形，并求點G運動到點所經過的路徑長.

【答案】(1)作圖見解析，8式3,2)

(2)作圖見解析，TT

【分析】本題考查了作圖一平移變換和旋轉變換，弧長公式，解題的關鍵熟練掌握平移和旋轉的性質，

(1)利用平移的性質作出對應點，再連線即可，

(2)利用旋轉的性質分別作出時應點，再連線，G運動到點所經過的路徑長即為弧長即可可求解

【詳解】(1)解：△a/】G如下圖所示：

(2)解:△&B1C2如上圖所示：

G運動到點所經過的路徑為：飛;°°=球箸=n

20.(2024?江蘇無錫?中考真題)如圖，4B是。。的直徑，AaCD內接于。。，6=ETB,AB,CD的延長線

相交于點E，且

D

(1)求證：△CADCEA；

(2)求乙4DC的度數.

【答案】(1)見詳解

(2)45°

【分析】本題主要考查了圓周角定理，相似三角形的判定以及性質，圓內接四邊形的性質，等邊對等角等

知識，掌握這些性質是解題的關鍵.

(1)由等弧所對的圓周角相等可得出NC4D=4028,再由等邊對等角得出=等量代換可得出

ACAD=4E,又乙C=ZC,即可得出小CAD八CEA.

(2)連接BD,由直徑所對的圓周角等于90。得出4WB=90。，設NCW==a,即NdE=2a,由

相似三角形的性質可得出Z2DC=^CAE=2a,再根據圓內接四邊形的性質可得出2a+2a+90。=180°,

即可得出a的值，進一步即可得出答案.

【詳解】(1)證明：=)8

Z.CAD=

"：DEAD,

Z.DAB=Z-E,

Z-CAD=乙E,

XVzC=ZC

△CAD~△CEA,

(2)連接BD,如下圖：

??,4B為直徑,

J.Z.ADB=90°,

設Z_C\4O=Z.DAB=a,

Z-CAE=2a,

由(1)知：△CADCEA

Z-ADC=Z-CAE=2a,

四邊形是圓的內接四邊形,

/.CAB+乙CDB=180°,

即2a+2a+90°=180°,

解得：a=22.5。

/.ADC=乙CAE=2x22.5°=45°

21.（2024?山東濟南?中考真題）某校數學興趣小組的同學在學習了圖形的相似后，對三角形的相似進行了

深入研究.

（一）拓展探究

如圖1,在AABC中，^ACB=90°,CD1AB,垂足為D.

V乙ACB=90°Z.A+Z.B=90°

???CD1ABVN4=AAABCACD

???乙4OC=90°祭---

.??乙4+Z.ACD=90°???AC2=AD-AB

???Z-B=①______

請完成填空：①______

（2）如圖2,尸為線段CD上一點，連接4F并延長至點E,連接CE,當N4CE=4FC時，請判斷AdEB的形

狀，并說明理由.

（二）學以致用

（3）如圖3,△ABC是直角三角形，乙4cB=90。,AC=2,8C=2傷，平面內一點。，滿足4D=aC,連接CD

并延長至點E,且NCEB=NCBD,當線段BE的長度取得最小值時，求線段CE的長.

【答案】(1)①乙4CD；②啜；(2)A4EB是直角三角形，證明見解析；(3)2局

AD

【分析】(1)根據余角的性質和三角形相似的性質進行解答即可；

(2)證明△ACF八AEC,得出竺=—,證明△4FDABE,得出乙4DF=AAEB=90°,即可得出答案；

AFAC

八2

(3)證明△CEBCBD,得出m=需，求出CD-CE=CB=(2伺之=24,以點4為圓心,2為半徑作。4

則C,。都在04上，延長C4到&)，使CE。=6,交04于Do,連接場以證明AECEo-^DOCD,得出“O。。=

LCE0E=90°,說明點E在過點Eo且與CEo垂直的直線上運動，過點B作BE，1%E,垂足為？，連接CE。根

據垂線段最短，得出當點E在點？處時，BE最小，根據勾股定理求出結果即可.

【詳解】解：(1)???^ACB=90°,

.??4/+=90°,

CD1AB,

???(ADC=90°,

??.AA+Z.ACD=90°,

?.?乙B=Z-ACD,

???Z.A=Zi4,

.*.△ABC~〉ACD,

AB_AC

??AC-ADf

AAC2=AD-AB；

(2)△ZEB是直角三角形；理由如下：

???^ACE=/-AFC,Z.CAE=AFAC

ACFAEC,

AC_AE

t—1,

AFAC

AAC2=AF-AE,

由⑴得心=AD-AB,

??.AF-AE=ADAB,

AF_AD

??AB-AEf

vZ-FAD=乙BAE,

AFDABE,

??.AADF=Z.AEB=90°,

??.△NEB是直角三角形.

（3）???Z-CEB=乙CBD,乙ECB=（BCD,

???△CEBCBD,

.CE_CB

??—，

CBCD

2

；.CD?CE=CB2=（2V6）=24,

如圖，以點4為圓心，2為半徑作04則C,。都在04上，延長C4到為，使CEo=6,交04于4,連接好已

則CDo=4,

?1%為04的直徑，

:.乙CDDo=90°,

???CD0-CE0=24=CD-CE,

,CDQ_cp_

f

**CE~CEo

乙ECE。=Z-DQCD,

???△ECE0-△D°CD,

???Z.CDDQ=Z.CEQE=90。，

.??點E在過點好且與CE。垂直的直線上運動，

過點B作垂足為E',連接CE',

???垂線段最短，

當點E在點O處時，BE最小，

即BE的最小值為BE，的長，

乙

?//.CE0E'=E°CB=4BER=90°,

.,?四邊形是矩形，

BE'=CE0=6,

在Rt△CEoE'中根據勾股定理得：CE'=j（2V6）2+62=2V15,

即當線段BE的長度取得最小值時，線段CE的長為2后.

【點睛】本題主要考查了三角形相似的判定和性質，圓周角定理，矩形的判定和性質，勾股定理，垂線段

最短，解題的關鍵是作出輔助線，熟練掌握三角形相似的判定方法.

22.(2024?江蘇常州?中考真題)將邊長均為6cm的等邊三角形紙片ABC、DEF疊放在一起，使點￡、8分別

在邊AC、DF1.(端點除外)，邊AB、EF相交于點G,邊BC、DE相交于點〃.

77C77C

D

圖2

(1)如圖1,當E是邊AC的中點時，兩張紙片重疊部分的形狀是；

(2)如圖2,若EFII8C,求兩張紙片重疊部分的面積的最大值；

(3)如圖3,當AE>EC,FB>BD時，4E與FB有怎樣的數量關系？試說明理由.

【答案】(1)菱形

(2)—cmz

(3MF=BF,理由見解析

【分析】(1)連接BE,CD,由等邊三角形的性質可得N4C8=/EOF=60。，則8、D、C、E四點共圓，由

三線合一定理得到NBEC=90。，貝UBC為過B、D、C、E的圓的直徑，再由DE=BC=6cm,得到DE為過

B、D、C,E的圓的直徑，則點H為圓心，據此可證明NGEB=NEBH=NGBE=NBEH=30。，推出四邊

形BHEG是平行四邊形，進而可證明四邊形BHEG是菱形，即兩張紙片重疊部分的形狀是菱形；

(2)由等邊三角形的性質得到乙4BC=NDEF=4C=60。，AC=BC=6cm,則由平行線的性質可一推出

乙ABC=XHE,進而可證明四邊形BHEG是平行四邊形，再證明△EHC是等邊三角形，則可設EH=CH=

2xcm,貝=(6-2x)cm,HT=^CH=xcm,由勾股定理得到￡T=y/EH2-HT2=V3xcm,可得S重疊=

S四邊形BHEG=BH-ET==—28(％—|)2+竽，則當x=決寸，S重疊有最大值，最大值為第cm2；

(3)過點B作BM_L4C于跖過點￡T作EN1DF于N,連接BE,貝U4M=FN==3cm,EF=

AB=6cm,BE=BE,證明EN=BM,進而可證明Rt△NBE三Rt△MFS(HL),得到NB=ME,則FN+BN=

AM+ME,即4E=BF.

【詳解】(1)解：如圖所示，連接BE,CD