中考數學總復習《圓的切線證明》專項檢測卷含答案

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一、解答題

1.己知BC是。0的直徑，點D是BC延長線上一點，AB=AD,AE是O0的弦，ZAEC=30°.

(1)求證：直線AD是。0的切線；

(2)若AE1BC,垂足為M,的半徑為10,求AE的長.

2.如圖AABC內接于。0,ZB=60°,CD是。0的直徑，點P是CD延長線上一點，且AP=AC.

(1)求證：PA是。0的切線；

(2)若PD=6，求O0的直徑.

3.如圖，△ABC中，AB=AC,以AB為直徑作。0交BC于點D,作DE1AC交AC于點E,延長ED交AB的延

長線于點F.

(1)求證：DE是圓0的切線；

(2)若△ABC為等邊三角形，AE=3,求圓。半徑的長.

4.如圖，△ABC是。0的內接三角形，NACB=60。，AD經過圓心0交。0于點E,連接BD,ZADB=30°.

第1頁共20頁

B

(1)判斷直線BD與。0的位置關系，并說明理由;

(2)若AB=4g，求圖中陰影部分的面積.

點E在AD的延長線上，且NADC=ZAEB.

(1)求證：BE是00的切線;

(2)當00的半徑為2,BC=3時，求tan/AEB的直

6.如圖，在AABC中，AB=AC,以AB為直徑的。。交BC于點D,過D作DELAC,垂足為E,ED的延長線

(1)求證：直線EF是。。的切線;

(2)若AC=13,BC=10,求DE長.

7.如圖，AB是O0的直徑，且AB=4,點C是。0上的一個動點，CD是。0的一條弦，且

ZBCD=|1zACB,點E在AB的延長線上.

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c

-1

(1)若sin/AED=；,求證：DE是。0的切線；

(2)若點C為半圓AB的中點，連接CE,求CE的長.

8.如圖，AB為O0的直徑，E為。0上一點，點C為EB的中點，過點C作CD1AE,交AE的延長線于點D,

延長DC交AB的延長線于點F.

(1)求證：CD是。0的切線；

(2)若AF=10,DF=8,求。0的半徑長.

9.如圖，O。的半徑為2,四邊形ABCD內接于O0,ZC=60°,AB=AD,連接OB,0D,延長OD至點M,

使得DM=0D,連接AM.

(1)求證：四邊形AB0D為菱形.

(2)判斷AM與的位置關系，并說明理由.

10.如圖，AB,AD是O0的弦，AO平分NBAD.過點B作。0的切線交AO的延長線于點C,連接CD,BO.延

長B0交。0于點E,交AD于點F,連接AE,DE.

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(1)求證：CD是00的切線；

(2)若AE=DE=10,求AF的長.

11.如圖，在△ABC中，AB=AC,以AB為直徑的與線段BC交于點D,作DE1AC,垂足為E,ED的延

長線與AB的延長線交于點F.

(1)求證：直線FE是的切線：

(2)若AC=13,BC=10,求DE長.

12.如圖,△ABC內接于O0,AC為直徑,延長BC至點D,連接AD,E為AB上方圓上一點，連接ED.若AB=4四,

(1)求sinNDAB的值;

(2)若ED=2W，求證：ED為。。的切線.

13.如圖，AB為。0的直徑，E為。0上一點，點C為EB的中點，過點C作CDLAE,交AE的延長線于點D,

延長DC交AB的延長線于點F.

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D

(1)求證：CD是。。的切線；

(2)若DE=1,DC=2,求。0的半徑長.

14.如圖，在AABC中，AB=AC,以AB為直徑的O0交BC于點D,DE1AC,垂足為E.

(1)求證：DE是。0的切線.

(2)若ZC=30",CD=2遍，求BD的長.

15.如圖，四邊形ABCD內接于OO,BD為。0的直徑，AE1BC于E,BA平分NEBD.

E---------^C

(1)AE是否為。。的切線，請證明你的判斷；

(2)若AB=V^BE，求黑的值.

DL

16.如圖，在AABD中，AB=AD,以AB為直徑作。0,交線段BD于點C,過點C作CF1AD于點E.

(1)求證：CF是。。的切線.

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(2)當ND=30。，CE=V5時，求AC的長.

參考答案

VzAEC=30°,

AZB=ZAEC=30°,ZAOC=2zAEC=60°,

VAB=AD,

AZD=ZB=30°,

.\ZOAD=180°-ZAOC-ZD=180°-60°-30°=90°,

AAD1OA,

又TOA是。。的半徑，

J直線AD是。。的切線；

?「BC是。。的直徑，AE1BC,垂足為M,。0的半徑為10,

AAM=EM,ZAMO=90°,OA=10,

VzAEC=30°,

AzAOM=2ZAEC=60°,

LOAM=180°-90°-60°=30°,

AOM=-OA=-x10=5,

22

,AM=VOA2-OM2=V102-52=58，

/?AE=2AM=2x5V3=10V3.

2.證明：（1）連接0A,如圖，

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???ZB=60°,

zAOC=2zB=120°,

又???OA=OC,

??.ZOAC=ZOCA=30°,

又???AP=AC,

??.ZP=ZACP=30°,

Z.OAP=ZAOC-Z.P=90°,

???OA1PA,

???PA是。。的切線.

解：在Rt^OAP中，

???zP=30°,

??.PO=2OA=OD+PD,

又???OA=OD,

???PD=OA,

???PD=V5.

2OA=2PD=2V5.

??.OO的直徑為2倔

3.(1)證明：連接OD,

Z.ABC=z_ACB,

OB=OD,

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Z.ABC=Z.ODB,

??.zACB=Z.ODB,

??.OD||AC,

DE1AC,

???OD1DE,

???OD是O0的半徑，

DE是。0的切線；

(2)解：???△ABC為等邊三角形，

Z.ABC=Z.BAC=NA=60°,

???AB是O0的直徑，

ZADB=ZADC=90°,

ZBAD=ZCAD=30°,DE2+AE2=AD2,

AD=2DE,

DE2+32=4DE2,

DE=遍,

：.AD=2V3

在RtaABD中，AB=2BD,BD2+AD2=AB2,

???BD2+(2圾2=4BD2,

BD=2,

AB=4.

??.。0半徑的長為2.

4.(1)解：直線BD與O0相切，

理由：如圖，連接BE,

VZACB=60°,

AzAEB=ZC=60°,

連接OB,

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VOB=OC,

:?△OBE是等邊三角形，

AzBOD=60°,

VzADB=30°,

AzOBD=180°-60°-30°=90°,

AOB1BD,

〈OB是。。的半徑，

???直線BD與。0相切；

(2)解：如(1)中圖，

TAE是。。的直徑，

AZABE=90°,

VAB=4V3,

?,?sinZ.AEB=sin60°=—=—=—,

AEAE2

AAE=8,

AOB=4,

VOB1BD,ZADB=30°

**?tanz.ADB=tan30°=—=—,

BD3

ABD,

3

???圖中陰影部分的面積=S.BD_S扇形BOE=1X4x一嗤咳=—詈.

5.(1)證明：VZADC=ZAEB,

???CD〃BE,

V&C=TO,AB是圓0的直徑，

AAB±CD,

AAB±BE,

ABE是。。的切線;

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(2)解：vOB=2,

AB=2OB=4,

〈AB是圓0的直徑,

AZACB=90°,

AC=VAB2-BC2=V42-32=V7.

??,弧AC二弧AC,

???NABONADC,

又NADONAEB,

AZAEB=ZABC,

tanZ.AEB=tanZ.ABC=—=—.

BC3

6.(1)證明：連結OD.

VAB為直徑，

AZADB=90°,即AD_LBC.

VAB=AC,

；.AD是BC上的高，且AD平分NBAC.

AOD是AABC的中位線，

即0D〃AC.

VDE±AC,

.\0D±EF,

直線EF是。0的切線.

(2)解：VAB=AC=13,BC=10,AD±BC,

ABD=5

/.AD=VAB2-BD2=1132-52=12

:在直角AADC中,AD=12,CD=BD=5,AC=13,

11

-DEAC=-AD-CD

22

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即DE*

7.(1)證明：連接OD

???AB為。0的直徑

??.ZACB=90°

1

???Z.BCD=-zACB

1

zACB=-x90°=30°

3

??.ZDOE=2zACB=60°

1

vsinZ-AED=-

2

??.zAED=30°

Z.ODE=180°-zDOE-zAED=90°

???OD1DE

???OD為OO的半徑

DE是。O的切線

(2)解：連接OC,則OC=OD=OB=^AB=2

???在RTAODE中，ZODE=90°,ZOED=30°

OE=2OD=4

???C為半圓AB的中點

???AC=BC,ZACB=90°

???AC=BC

???ZCOE=90°

.?.在RTACOE中，OE=Voc2+OE2=V22+42=2近

8.(1)證明：如圖，連接OC,

第11頁共20頁

???點C為耶的中點，

CE=CB,

zCAE=zCAB,

???OA=OC,

zOCA=zCAB,

zCAE=zOCA,

AOC||AE,

vCD1AE,

???OC1CD,

CD是O。的切線；

(2)解：vCD1AE,AF=10,DF=8,

???AD=VAF2-DF2=6)

設O0的半徑長為r,貝UOA=OC=r,

.?.OF=10—r,

VOC||AE,

ADFOCF,

OCOF口”10-r

—=—，即一=---，

ADAF610

解得：r=當，

???oo的半徑長為手.

4

9.(1)證明：如圖，連接OA.

???ZC=60°,

第12頁共20頁

Z.BOD=120°.

又??,AB=AD,

??.ZAOB=ZAOD=60°.

又OA=OD,

??.△AOD為等邊三角形，

AD=OD.

AB=AD,OB=OD,

AB=AD=OB=OD,

四邊形ABOD為菱形.

(2)解:AM與OO相切.

理由：???△AOD為等邊三角形，

Z.ADO=Z.OAD=60。，

:.ZADM=120°.

又??,OD=DM,OD=AD,

.?.DM=AD,

??.ZDAM=30°,

Z.OAM=90°,

AM與。。相切.

10.(1)證明：如圖所示，連接OD.

??,BC為。。的切線，

???Z.CBO=90°.

???AO平分/BAD,

???Zl=Z2.

OA=OB=OD,

：?N1=N4=N2=N5,

第13頁共20頁

Z.BOC=zDOC,

在^BOC^DADOC中

OB=OD

Z.BOC=zDOC,

、OC=OC

BOCDOC,

??.ZCBO=ZCDO=90°,

???CD為。。的切線；

(2)解：vAE=DE,

AE=DE,

??.Z3=N4,

???Z1=Z2=N4,

N1=N2=N3.

???BE為。。的直徑.

??.ZBAE=90°,

??.N1=N2=N3=N4=3O°,

??.zAFE=90°.

在Rt^AFE中，AE=10,Z3=30°，

EF=-AE=5,

2

???AF=VAE2-EF2=V102-52=5V3.

n.(i)證明：如圖，連接OD,

TAB=AC,

/.zABC=Z.C,

VOB=OD,

AzABC=ZODB,

/.zODB=Z.C,

第14頁共20頁

AOD||AC,

VDE1AC,

ADE1OD,

TOD是。。的半徑，

J直線FE是。。的切線；

(2)解：TAB為。。的直徑，

AZADB=90°,

VAB=AC,BC=10,

ABD=CD=5,

VAC=13,

AAD=VAC2-CD2=12，

A-AD?CD=-ACDE,即三x12x5=工x13xDE,

2222

解得:DE=*

12.(1)解：???AC為直徑，

ZABC=90°,即NABD=90°,

???由勾股定理得：AD=VAB2+BD2=J(4圾2+62=2后，

CACBD6V21

???smZ-DAB=—=—f==——；

AD2V217

(2)證明：如圖，連接OB,OE,作ON_LBD于N,則NOND=90。,

???AC為直徑，

ZABC=90°,

ABC=VAC2-AB2=J82-(4圾2=4,

???OC=OB,ON1BC,

第15頁共20頁

1

/.BN=CN=-BC=2,

2

DN=BD—BN=6—2=4,

???AC=8,

OE=OC=4,

??.ON=VOC2-CN2=V42-22=2A

??.ON=DE,OE=DN,

???四邊形OEDN為平行四邊形，

???Z.OND=90°,

???四邊形OEDN為矩形，

???OE1DE,

ED為O0的切線.

13.(1)證明：連接0C.

:點C為EB的中點

ZDAC=ZCAB

又：OA=OC

ZCAB=Z0CA

.\ZDAC=Z0CA

；.OC〃AE

XVAEXCD

.*.OC±CD

CD是。。的切線.

(2)解：連接CE、CB.

VCD±AE

.\ZD=90°

在RtADCE中，EC=VDE2+DC2=Vl2+22=V5

?.?點C為EB的中點

第16頁共20頁

.*.CB=CE=V5

VZAEC+ZABC=180°，ZAEC+ZDEC=180°

/DEC=NABC

VAB是直徑

JZACB=90°

，ZACB=ZD

AAEDC^ABCA

.CE_DE

**AB-CB

即匹=之

ABV5

解得AB=5

.??。0的半徑長是:

14.(1)證明：連結0D,則OD=OB,

???ZODB=ZB

?；AB=AC,.-?ZC=ZB,

ZODB=ZC,OD||AC.

???DE1AC于點E,

ZODE=ZCED=90°.

???OD是OO的半徑，DE1OD,DE是。0的切線.

(2)解：連結AD,

??,AB是OO的直徑，ZADB=90°,AAD1BC.

vAB=AC,CD=2V3,BD=CD=2百，???BD的長是2百.

15.(1)解：AE是。0的切線，

證明：連接OA,如圖所示，

???OA=OB,

??.zOAB=ZOBA,

第17頁共20頁

???BA平分NDBE,

??.ZEBA=ZDBA,

Z.EBA=zOAB,

??.OA//BE,

AE1CE,

???AE1OA,

???OA是。。的半徑,

??.AE是。。的切線;

(2)解：連接AC,

??,BD是。。的直徑，

???Z.BAD=/BCD=90°,

AE1BE,

Z.E=90°,

Z.ABE=4ABD,

???