模型03追及相遇及其臨界問題

模型概述

1.追及相遇問題：

(1)這一類:同向運動的兩物體的相遇問題，兩物體在同一直線上一前一后運動，速度相同時它們之間可

能出現距離最大、距離最小或者相遇(碰撞)的情況，即追及問題.

以甲追乙為例。

甲乙

/////////////////////////////////////////////

①無論V甲增大、減小或不變，只要V甲乙，甲、乙的距離不斷增大。

②若v單=v乙，甲、乙的距離保持不變。

③無論v甲增大、減小或不變，只要v甲X乙，甲、乙的距離不斷減小。

(2)第二類:相向運動的物體，當各自移動的位移大小之和等于開始時兩物體的距離時相遇.

解此類問題首先應注意先畫示意圖，標明數值及物理量;然后注意當被追趕的物體做勻減速運動時，還要

注意該物體是否停止運動了.

2.分析追及相遇問題的思路和方法

(1)討論追及相遇問題的實質是分析兩物體能否在同一時刻到達同一位置，注意抓住一個條件、用好兩

個關系.

①一個臨界條件：速度相等。它往往是物體間能否追上或兩者距離最大、最小的臨界條件，也是

分析、判斷問題的切入點。

②兩個等量關系：時間等量關系和位移等量關系。通過畫草圖找出兩物體的位移關系是解題的突

破口。

(2)常用方法

抓住“兩物體能否同時到達同一位置”這一關鍵，認真審題，挖掘題中的隱含

物理分析法

條件，建立物體運動關系的圖景，并畫出運動情況示意圖，找出位移關系

圖像法將兩者的v-t圖像畫在同一坐標系中，然后利用圖像分析求解

設從開始到相遇的時間為3根據條件列位移關系方程，得到關于f的一元二

數學分析法次方程，用判別式進行討論.若A>0,即有兩個解，說明可以相遇兩次；若

A=0,說明剛好追上或相遇；若AO,說明追不上或不能相碰

3.追及相遇問題的常見情況

----?V-2----?V\

初速度小者追初速度大者H------X。---H

乙甲

:卜

情景圖

u41t0KtX°%t

勻加速追勻速勻速追勻減速勻加速追勻減速

t=to以前-2＜燈）兩物體距離增大

時（也=也）相距最遠

t=to以后（也〉也）兩物體距離減小

追及情況只能追上一次

V2-*V]-*

初速度大者追初速度小者口甲匚1乙

H----Xn-----H

情景圖

。力2tOtltot°’2t

勻減速追勻速勻速追勻加速勻減速追勻加速

加時亥（J以前「2＞燈）兩物體距離減小

若Ax=xo，恰好追上

力時亥!|（也=也）若AxVxo,追不上，有最小距離

若Ax＞xo，相遇兩次

4.追及問題中常用的臨界條件：

兩者速度相等往往是物體間能否追上或（兩者）距離最大、最小的臨界條件，也是分析判斷的切入點。

（1）速度小者加速追速度大者，速度在接近，但距離在變大。追上前兩個物體速度相等時，有最大距離；

（2）速度大者減速追趕速度小者，速度在接近，但距離在變小。追上前在兩個物體速度相等時，有最小距

離.即必須在此之前追上，否則就不能追上.

典題攻破

1.變速追勻速

【典型題1】（2024高一上?山東?專題練習）如圖所示，甲、乙兩車沿著同一條平直公路同向行駛，甲車以

20m/s的速度勻速運動，乙車原來速度為60m/s,從距甲車180nl處以大小為4m/sz的加速度做勻減速運

動，問：乙車能否追上甲車？若不能追上，求兩者的最小距離；若能追上，則為避免相撞，乙車減速時

的最小加速度是多大？

——Ay乙——甲

乙甲

2.變速追變速

【典型題2】（2024?遼寧?模擬預測）我國出口的高速動車組驚艷世界，中國的“名片”走向世界。如圖甲中

6兩列動車在兩平行直軌道上行駛，從某時刻兩列動車前進方向的車頭相遇開始計時，得到它們V—圖

像如圖乙所示，則下列說法正確的是（）

A.在30s時兩列動車前進方向的車頭又相遇

B.0~30s兩列動車的平均速度大小相等

C.。、6兩列動車此后還能相遇一次

D.再次相遇前兩列車前進方向的車頭間最大距離為9600m

3,勻速追變速

【典型題3】（23-24高二下?吉林?期末）甲、乙兩輛遙控賽車先后通過直線賽道的起點線開始競速，取甲車

通過賽道起點的時間為0時刻，如圖所示,此時乙車在甲車前方％=2.5m處。若甲車始終以大小匕=5m/s

的速度做勻速直線運動，乙車先做初速度大小v°=2m/s,加速度大小.=Im/s?的勻加速直線運動，達

到最大速度v?=6m/s后做勻速直線運動。已知直線賽道的起點線、終點線（未畫出）間的距離A=30m,

兩賽車均可視為質點。求：

（1）乙車做勻加速直線運動的位移大小；

（2）兩車第一次相遇的時刻。

起點線

4.避免相撞

【典型題4】（23-24高一下?浙江?期中）一輛貨車運載著規格相同、質量均為m的圓柱形光滑空油桶。在車

廂底，一層油桶平整排列，相互緊貼并被牢牢固定，上一層只有一只桶C,自由地擺放在桶A、B之間，

沒有用繩索固定，如圖所示。求：

（1）當卡車勻速行駛時，油桶B和油桶C之間的彈力；

（2）為保證行車安全，卡車剎車時的最大加速度；

（3）大霧天，卡車以％=54km/h的速度行駛時突然發現前方％=20m處有電動自行車在以吟=18km/h

的速度勻速同向行駛，卡車司機經過加=0.3s反應后緊急剎車，若騎車人對危險毫無察覺，請通過計算

判斷卡車能否避免發生事故。（gmi0m/s2）

5.相遇次數問題

【典型題5】（24-25高一上?全國?課堂例題）（多選）甲乙兩車在一平直道路上同向運動，其v—t圖像如圖

所示，圖中AOPQ和的AOQT面積分別為S1和S2（鳥>邑）初始時，甲車在乙車前方sO處。（）

A.若5。=3+邑，兩車不會相遇

B.若s0<S],兩車相遇2次

C.若s°=1,兩車相遇1次

D.若“=$2,兩車相遇1次

針對訓I練

1.（23-24高一下?湖南婁底?期末）一轎車和一貨車在兩條平行直道上同向行駛，開始時兩車速度都為%且

轎車司機處于貨車車尾并排位置，如圖所示，為了超車，轎車司機開始控制轎車做勻加速運動，經過一

段時間轎車司機到達貨車車頭并排位置，若貨車車身長度為且貨車保持勻速，則轎車加速過程的

加速度大小為（）

2.（2025屆湖北省重點高中智學聯盟高三上學期8月聯考物理試卷）在某個惡劣天氣中，能見度很低，甲、

乙兩汽車在一條平直的單行道上，甲在前、乙在后同向行駛。某時刻兩車司機同時聽到前方有事故發生

的警笛提示，同時開始剎車。兩輛車剎車時的V—圖像如圖，下列說法正確的是（）

A.剎車過程中甲車的加速度與乙車的加速度之比為3:2

B.若兩車不相撞，則f=24s時，兩車間距最大

C.若兩車發生碰撞，開始剎車時兩輛車的間距一定小于48m

D.若兩車發生碰撞，則可能是在剎車24s以后的某時刻發生相撞

3.（23-24高二下?吉林長春?期末）（多選）已知越野車和自動駕駛車在同一公路上向東行駛，自動駕駛車由

靜止開始運動時，越野車剛好以速度%從旁邊加速駛過，如圖分別是越野車和自動駕駛車的V—圖線，

根據這些信息，可以判斷（）

A.加速階段自動駕駛車的加速度是越野車的2倍

B.第5s末兩車速度均為9m/s

C.第10s末兩車相遇

D.第25s末兩車再次相遇

4.（20-21高一上?江蘇常州?期中）（多選）甲、乙兩車在同一平直公路上運動，兩車的速度v隨時間t變化

的圖像如圖所示。下列說法正確的是（）

A.甲、乙兩車的速度方向可能相反

B.在。?右時間內，甲車的加速度逐漸減小

C.若片0時刻乙車在前，甲車在后，在0?4時間內兩車間距變大

D.若片0時刻甲車在前，乙車在后，運動過程中兩車最多能相遇三次

5.（23-24高二下?重慶渝中?期末）（多選）如圖所示為俯視情境圖，AB、BC為平直的湖岸，陰影部分為水

面，一只青蛙（可視為質點）蹲坐于P點，PB距離為45.6cm。一只蚊蟲（也可視為質點）位于Q點，

QB距離為103.2cm。某時刻蚊蟲在水面上以Llm/s的初速度、Im/s?的加速度沿與BC夾角。=53。斜向

左上方開始做勻減速直線運動直到停止，青蛙可在水面上做向右初速度為0、加速度為2m/s2的勻加速直

線運動。已知青蛙舌頭長4cm；伸出舌頭瞬間即可以吃到以舌頭為半徑范圍內的蚊蟲，且青蛙可以選擇

適當時機出發。則從青蛙出發開始計時，青蛙以最短時間吃到蚊蟲時，青蛙的位移大小及此時蚊蟲的速

度大小分別為（已知大1153。=0.8,cos53°=0.6）（）

6.（23-24高二下?河北保定?期末）某人在一公交車后方距觀后鏡的距離Z=97m處，突然公交車由靜止開

始以“=lm/s2的加速度做勻加速直線運動，經At=ls后人以某一速度勻速追趕公交車（忽略人的加速過

程），司機通過觀后鏡能看到后方的最遠距離/=80m,并且人要在觀后鏡中至少出現2s司機才能發現。

（1）若人以v人=6m/s的速度勻速追趕，求人距觀后鏡的最小距離心,n；

（2）求人要能被司機發現，人勻速追趕公交車的最小速度%山。

7.（23-24高二下?河北秦皇島?期末）一輛汽車在十字路口遇紅燈，當綠燈亮時汽車從靜止開始以a=4m/s2

的加速度開始加速，恰在此時，一輛摩托車以片=12m/s的速度從汽車旁勻速駛過（兩者同方向運動），

已知汽車在該路段最大行駛速度吟=16m/s。求：

（1）汽車從路口開始加速到追上摩托車前，兩車相距的最大距離心；

（2）汽車從路口開始加速到追上摩托車所用的時間t.

8.（23-24高二下?遼寧大連?期末）2024國際中體聯足球世界杯在大連梭魚灣體育場勝利落幕，中國男子1

隊和中國女子2隊分別獲得男子組和女子組的冠軍。在某次球員帶球過程中，足球被踢出后在草坪上做

勻減速直線運動，其初速度大小為h=6m/s,加速度大小為q=lm/s2。與此同時運動員從同一位置由靜

止開始以外=4m/s2的加速度做勻加速直線運動追趕足球。在加速至最大速度v=8m/s后保持勻速運動。

求：

（1）運動員追上足球前與足球的最大距離；

（2）運動員從開始運動到追上足球經歷的時間（結果保留根式）。

9.（23-24高二下?山東泰安?期末）駕駛汽車變線超車需要良好的車技和判斷力。下圖演示了甲車變線超車

的過程，乙車與丙車正常勻速行駛，速度均為％=10m/s,甲車速度v=16m/s,甲車車身長度d=4m,

從超出乙車2個車位后（沿行進方向，甲車頭到乙車頭距離為2d）開始并線，到完成并線，恰好需要t0=\s

時間。甲車在變線并道過程中，沿前進方向的速度不變，橫向移動的速度可忽略，且其并道后立刻以大

小為（a=2.5m/s2的加速度減速剎車，保證車頭與前面丙車車尾的距離不小于Ax=5m。求

（1）甲車剛剛并線結束時，甲車車尾與乙車車頭之間的距離；

（2）乙車車頭到丙車車尾之間距離K至少有多大，甲車才能安全并道成功；

（3）若因前面出現事故，甲車并線后立即以大小。%=8m/s2的加速度剎車，而此時乙車來不及反應，

繼續勻速運動。則從甲剎車開始

i.甲車車尾與乙車車頭的最大距離為多少;

ii.經多長時間甲乙兩車相撞。

丙

車

乙

車

10.（23-24高二下?北京西城?期末）汽車在路上出現故障時，應在車后放置三角警示牌（如圖所示），以提

醒后面駕車司機減速安全通過。夜間有一小汽車因故障停在一條平直公路上，后面有一貨車以30m/s的

速度向前駛來，由于夜間視線不好，貨車司機只能看清前方50m內的物體，并且他的反應時間為1.0s,

制動后最大加速度為5.0m/s2,假設車始終沿直線運動。求：

（1）貨車從剎車到停止所用的最短時間;；

（2）為了避免兩車相撞，三角警示牌至少要放在小汽車后多遠處？

11.(23-24高二下?山東濰坊?期末)如圖所示，一輛汽車在平直公路上以54km/h的速度沿②車道勻速行駛,

駕駛員發現前方無信號燈的斑馬線上有行人以lm/s的速度經過A處時，立即剎車，汽車加速度大小為

5m/s2,最終停在停止線處，當行人勻速運動到B處后，駕駛員以5m/s2的加速度啟動汽車，沿②車道加

速至54km/h后勻速行駛，在汽車啟動的同時，①車道上的貨車(圖中未畫出)以36km/h的速度勻速駛

過停止線。已知間的距離無皿=6m,車和人均視為質點，求：

(1)汽車停下時，行人距3處的距離；

(2)經過多長時間兩車并排。

12.(23-24高二下?江蘇南通?期中)如圖所示，一直路上相鄰路口兩紅綠燈停車線之間距離％=1500m,兩

信號燈同步交替閃亮，紅、綠燈持續時間均為30s,路口1等綠燈的車排在同一條直線上，前后兩

車相隔均為尤=2m,綠燈亮起，第1臺車立即加速，后車都比前車滯后加2=2s起動，所有汽車以加速

度a=2m/s2由靜止加速到v=20m/s,然后勻速前進，已知車的長度均為/=4m,安全通過路口的條件

是在紅燈亮起時車身全部駛過停車線。求：

(1)第1臺車通過路口1停車線的時間t；

(2)綠燈持續亮的過程中能安全通過路口1停車線的車輛數，4；

(3)隨第1臺車連續行駛且安全通過第2個路口停車線的總車輛數%。

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