圓的基本性質

會考點歸納

【考點1］圓的認識.

【考點2】點與圓的位置關系.

【考點3】確定圓的條件.

【考點4】三角形的外接圓與外心

【考點5】生活中的旋轉現象.

【考點6】旋轉的性質.

【考點7】坐標與圖形變化-旋轉.

【考點8］作圖-旋轉變換；作圖-平移變換.

【考點9】垂徑定理

【考點10］垂徑定理的應用.

【考點11］圓心角、弧、弦的關系.

【考點12］圓周角定理

【考點13］圓內接四邊形的性質；

【考點14］正多邊形和圓

【考點15］弧長的計算.

【考點16］扇形面積計算

圓的定義：在一個平面內，線段OA繞它固定的一個端點。旋轉一周，另一個端點A所形

成的圖形叫圓。這個固定的端點0叫做圓心，線段OA叫做半徑。

圓的表示方法：以0點為圓心的圓記作。0,讀作圓0。

圓的特點：在一個平面內，所有到一個定點的距離等于定長的點組成的圖形。

確定圓的條件：1）圓心；2）半徑。

備注：圓心確定圓的位置，半徑長度確定圓的大小。

1

【補充】1）圓心相同且半徑相等的圓叫做同圓;

2）圓心相同，半徑不相等的兩個圓叫做同心圓；

3）半徑相等的圓叫做等圓。

圓的對稱性：1）圓是軸對稱圖形，經過圓心的每一條直線都是它的對稱軸；

2）圓是以圓心為對稱中心的中心對稱圖形。

知識點2：圓的有關概念

弦的概念：連結圓上任意兩點的線段叫做弦（例如：右圖中的AB）。

直徑的概念：經過圓心的弦叫做直徑（例如：右圖中的CD）。

備注：1）直徑是同一圓中最長的弦。2）直徑長度等于半徑長度的2倍。

弧的概念：圓上任意兩點間的部分叫做圓弧，簡稱弧。以A、B為端點的弧記作讀作圓

弧AB或弧AB。

等弧的概念：在同圓或等圓中，能夠互相重合的弧叫做等弧。

半圓的概念：圓的任意一條直徑的兩個端點把圓分成兩條弧，每一條弧都叫做半圓。

優弧的概念：在一個圓中大于半圓的弧叫做優弧。

劣弧的概念：小于半圓的弧叫做劣弧。

知識點3：確定圓的條件

1.過三點的圓

不在同一直線上的三個點確定一個圓。

知識點4：三角形的外接圓與外心

1.三角形的外接圓

經過三角形的三個頂點的圓叫做三角形的外接圓。

2.三角形的外心

三角形的外接圓的圓心是三角形三條邊的垂直平分線的交點，它叫做這個三角形

的外心。

知識點5：旋轉的概念

把一個平面圖形繞著平面內某一點0轉動一個角度,叫做圖形的旋轉,點0叫做旋轉中心，

轉動的角叫做旋轉角（如下圖中的/BOF）,如果圖形上的點B經過旋轉變為點F,那么這兩

個點叫做對應點.

注意：（1）圖形的旋轉就是一個圖形圍繞一點旋轉一定的角度，因

而旋轉一定有旋轉中心和旋轉角，且旋轉前后圖

形能夠重合，這是判斷旋轉的關鍵。

2

(2)旋轉中心是點而不是線，旋轉必須指出旋轉方向。

(3)旋轉的范圍是平面內的旋轉，否則有可能旋轉成立體圖形，因而要注意此點。

知識點6：旋轉的性質

旋轉的性質：4

(1)對應點到旋轉中心的距離相等。

(2)對應點與旋轉中心所連線段的夾角等于旋轉角。夕72

(3)旋轉前、后的圖形全等。"C

注意：

(1)旋轉中心、旋轉方向、旋轉角度是確定旋轉的關鍵.

(2)性質是通過學生操作驗證得出的結論，性質(1)和(2)是旋轉作圖的關鍵，整個性

質是旋轉這部分內容的核心，是解決有關旋轉問題的基礎.

(3)要正確理解旋轉中的變與不變，尋找等量關系，解決問題。

知識點7：旋轉作圖

(1)旋轉圖形的作法：根據旋轉的性質可知，對應角都相等，都等于旋轉角，對應線段也

相等，由此可以通過作相等的角，在角的邊上截取相等的線段的方法，找到對應點，順次連

接得出旋轉后的圖形。

(2)旋轉作圖有自己獨特的特點，決定圖形位置的因素較多，旋轉角、旋轉方向、旋轉中

心，其中任一元素不同，位置就不同，但得到的圖形全等.

知識點8：垂徑定理

垂徑定理：垂直于弦的直徑平分這條弦，并且平分弦所對的兩條弧。，

推論1：1)平分弦(不是直徑)的直徑垂直于弦，并且平分弦所對的兩條弧；(°

2)弦的垂直平分線經過圓心，并且平分弦所對的兩條??；

3)平分弦所對的一條弧的直徑垂直平分弦，并且平分弦所對的另一條弧。

推論2：圓的兩條平行弦所夾的弧相等。

常見輔助線做法(考點)：1)過圓心，作垂線，連半徑，造Rta,用勾股，求長度;

2)有弧中點，連中點和圓心，得垂直平分

知識點9:垂徑定理的應用

經常為未知數，結合方程于勾股定理解答

3

知識點10：圓心角的概念

圓心角概念：頂點在圓心的角叫做圓心角。

弧、弦、弦心距、圓心角之間的關系定理：在同圓或等圓中，相等的圓心角所對的弧相等,

所對的弦相等，所對的弦的弦心距相等。/云

二

推論：在同圓或等圓中，如果兩個圓心角、兩條弧、兩條弦或兩條弦的弦心距中有一組量相

等，那么它們所對應的其余各組量分別相等。

知識點11:圓角角的概念

圓周角概念：頂點在圓上，并且兩邊都和圓相交的角叫做圓周角。

圓周角定理：一條弧所對的圓周角等于它所對的圓心角的一半。（即：圓周角=2圓心角）

推論1:同弧或等弧所對的圓周角相等。

在同圓或等圓中，如果兩個圓周角相等，它們所對的弧一定相等。

推論2：半圓（或直徑）所對的圓周角是直角，90。的圓周角所對的弦

是直徑。

推論3：如果三角形一邊上的中線等于這邊的一半，那么這個三角形是直角三角形。

知識點12：圓內接四邊形

圓的內接四邊形定理：圓的內接四邊形的對角互補，外角等于它的內對角。

即：在（DO中，?.?四邊ABCD是內接四邊形

AZC+ZBAD=180°ZB+ZD=180°不\

ZDAE=ZCIo

B

AE

4

知識點13:圓內正多邊形的計算

(1)正三角形

在。O中△ABC是正三角形，有關計算在RtABOD中進行：

0D:BD:0B=l：5.2；

(2)正四邊形

同理，四邊形的有關計算在WAQ4E中進行，OE:AE:OA=l:l:g：

(3)正六邊形

同理，六邊形的有關計算在舟公。45中進行，AB:OB:OA=l：y/3:2

知識點14:與正多邊形有關的概念

1、正多邊形的中心

正多邊形的外接圓的圓心叫做這個正多邊形的中心。

2、正多邊形的半徑

正多邊形的外接圓的半徑叫做這個正多邊形的半徑。

3、正多邊形的邊心距

正多邊形的中心到正多邊形一邊的距離叫做這個正多邊形的邊心距。

4、中心角

正多邊形的每一邊所對的外接圓的圓心角叫做這個正多邊形的中心角。

知識點15:正多邊形的對稱性

1、正多邊形的軸對稱性

正多邊形都是軸對稱圖形。一個正n邊形共有n條對稱軸，每條對稱軸都通過正

n邊形的中心。

2、正多邊形的中心對稱性

邊數為偶數的正多邊形是中心對稱圖形，它的對稱中心是正多邊形的中心。

5

3、正多邊形的畫法

先用量角器或尺規等分圓，再做正多邊形。

知識點16：扇形的弧長和面積計算

扇形：(1)弧長公式：/=辿；(2)扇形面積公式：$=竺艾=工以

1803602

〃：圓心角R：扇形多對應的圓的半徑/：扇形弧長5：扇形面積

注意：

⑴對于弧長公式，關鍵是要理解r的圓心角所對的弧長是圓周長的一!一,即

360

1.7rR

-----><2兀Rn=；

360180

(2)公式中的n表示1。圓心角的倍數，故n和180都不帶單位，R為弧所在圓的半徑;

(3)弧長公式所涉及的三個量：弧長、圓心角度數、弧所在圓的半徑，知道其中的兩個

量就可以求出第三個量.

(4)對于扇形面積公式，關鍵要理解圓心角是1°的扇形面積是圓面積的」一，

360

_7TR2

-

即360'360；

(5)在扇形面積公式中，涉及三個量：扇形面積S、扇形半徑R、扇形的圓心角，知道其

中的兩個量就可以求出第三個量.

知識點17：扇形與圓柱、圓錐之間聯系

1、圓柱：

(1)圓柱側面展開圖

S表=S側+2s底=2%泌+Inr1

(2)圓柱的體積：V=兀/h

2、圓錐側面展開圖

(1)S表=s惻+S底=17?廠+萬戶

(2)圓錐的體積：V=-^r2h

3

幾nR

注意：圓錐的底周長=扇形的弧長(2Hr=-------)

180

6

點精講

【考點1］圓的認識.

1.（2022秋?海珠區校級期中）下列說法錯誤的是（）

A.直徑是圓中最長的弦

B.長度相等的兩條弧是等弧

C.面積相等的兩個圓是等圓

D.半徑相等的兩個半圓是等弧

2.（2022秋?林州市期中）已知O。的半徑是5cm,則。。中最長的弦長是（）

A.5cmB.10cmC.15cmD.20cm

3.（2022秋?岳麓區校級月考）如圖，O。的弦48、半徑。。延長交于點。，BD

=OA,若NZOC=105°,則/￡>=度.

【考點2】點與圓的位置關系.

4.（2022秋?海陵區校級月考）。。的半徑外=5°機，圓心到直線/的距離。/=

4cm,在直線/上有一點P,且W=3cm,則點尸（）

A.在O。內B.在。。上

C.在O。外D.可能在。。上或在。。內

5.（2022秋?沐陽縣校級月考）一個點到圓的最小距離為6cm,最大距離為9cm,

則該圓的半徑是（）

A.1.5cmB.7.5cm

C.1.5cm或75cmD.3cm或15。加

6.（2022秋?大荔縣校級月考）如圖，已知△ABC,4C=3,BC=4,ZC=90°,

以點。為圓心作OG半徑為九

7

（1）當r取什么值時，點2、8在OC外.

（2）當r在什么范圍時，點Z在OC內，點8在OC外.

【考點3】確定圓的條件.

20.（2022秋?拱墅區校級月考）小明不慎把家里的圓形玻璃打碎了，其中四塊碎

片如圖所示，為配到與原來大小-樣的圓形玻璃，小明帶到商店去的一塊玻璃

碎片應該是（）

A.第①塊B.第②塊C.第③塊D.第④塊

21.（2022秋?沐陽縣校級月考）如圖，直角坐標系中一條圓弧經過網格點Z,B,

C,其中5點坐標為（4,4）,則該圓弧所在圓的圓心坐標為

J'小

22.（2022秋?工業園區校級月考）如圖所示，破殘的圓形輪片上，弦48的垂直

平分線交弧Z5于點C,交弦Z8于點。.已知：AB=24cm,CD=Scm.

（1）求作此殘片所在的圓（不寫作法，保留作圖痕跡）；

（2）求（1）中所作圓的半徑.

8

【考點4】三角形的外接圓與外心

23.（2022春?崇川區校級月考）如圖，已知。。的半徑為2,△48C內接于OO,

NZC5=135°,則48=

24.（2022秋?桐鄉市期中）如圖，在平面直角坐標系x°v中，點Z的坐標為（0,

7）,點5的坐標為（0,3）,點C的坐標為（3,0）,那么△4BC的外接圓的

圓心坐標為.

25.（2022秋?大豐區校級月考）已知等腰三角形48C,如圖.

（1）用直尺和圓規作△4BC的外接圓；

（2）設△4BC的外接圓的圓心為。，若/8。。=128°,求NA4c的度數.

26.（2022?福州模擬）如圖，△NBC內接于。0；ZA=30°,過圓心O作OD

LBC,垂足為D若O。的半徑為6,求。。的長.

9

【考點5】生活中的旋轉現象.

2.（2023春?興賓區期末）有下列現象：①高層公寓電梯的上升；②傳送帶的移

動；③方向盤的轉動；④風車的轉動；⑤鐘擺的運動；⑥蕩秋千運動.其中屬

于旋轉的有（）

A.2個B.3個C.4個D.5個

3.（2023春?嘉定區期末）一天中鐘表時針從上午6時到上午9時旋轉的度數

為.

【考點6】旋轉的性質.

4.（2023?東方一模）如圖，將△48C繞點幺順時針旋轉60°得到若線

段48=4,則的長為（）

A.3B.4C.5D.6

5.（2023春?北林區期末）如圖在△NBC中，NC=90°,Z^5C=40°，將△NBC

繞點5逆時針旋轉得到,點C的對稱點。恰好落在變48上，連

接44,，則NC44'度數是（）

6.（2023?二道區校級模擬）如圖是中國共產主義青年團團旗上的圖案（圖案本

身沒有字母）要想與原來圖形重合，則繞圓心至少旋轉（）

1

A

A.36°B.60°C.72°D.90°

7.（2023?武鳴區二模）如圖，在△NBC中，ZCAB=16°,在同一平面內，將

△4BC繞點Z旋轉到△Z8C的位置，使貝UNR48等于（）

A.28°B.30°C.36°D.38°

8.（2023春?檐州期末）如圖，該圖形圍繞點。按下列角度旋轉后，不能與其自

身重合的是（）

A.72°B.108°C.144°D.216°

9.（2023春?路南區期末）如圖，在△ZC8中，ZC=90°,ZB=6Q°,BC=l,

△ZC5繞點Z順時針旋轉90°,得至點5,￡之間的距離為（）

A.2B.V6C.2/2D.3

10.（2022秋?江門期末）如圖，在RtZXZBC中，ZACB=90°,ZA=60°,AC

=2,將△45C繞點C按逆時針方向旋轉得到△48C,此時點4恰好在邊4B

上，則點笈與點8之間的距離為（）

1

B'

A.4B.2依C.3D.

11.（2023春?開江縣校級期末）如圖，等邊△48C中有一點P,且PA=3,PB

=4,PC=5,則N4P8的度數的為（）

135°C.120°D.165°

12.（2023?通榆縣三模）如圖，該圖形繞其中心旋轉能與其自身完全重合，則其

旋轉角最小為度.

13.（2022秋?阜寧縣期末）如圖，正方形/BCD,是等邊三角形，M是正

方形48CD對角線NC（不含點2）上任意一點，將線段繞點幺逆時針旋

轉60°得到ZN,連接EN,DM.求證：EN=BM.

1

14.(2023春?江岸區校級月考)如圖，將△48C繞點C順時針旋轉90°得到△

EDC.若點2、D、E在同一條直線上，且N/C8=25°,求/出與N5的

15.(2023春?開江縣校級期末)如圖，△4BC是等邊三角形，點。在ZC邊上,

將△BCD繞點C旋轉得到△ZCE.

(1)求證：△CDE是等邊三角形；

(2)若48=8,BD=1,求△4DE的周長.

16.(2023春?清遠期末)如圖，在△ZBC中，點￡在8C邊上，AE=AB,將線

段ZC繞Z點旋轉到AF的位置，使得NC4F=/BAE,連接EF,EF與AC

交于點G.

(1)求證：BC=EF；

(2)若NZ5C=64。，ZACB=25°,求NZGE的度數.

F

BEC

1

17.(2023春?東營期末)如圖，在RtZXZBC中，ZC=90°,將△NBC繞著點8

逆時針旋轉得到△FSE,點C,Z的對應點分別為E,R點E落在氏4上，連

接4F.

(1)若NA4C=40°.則N84F的度數為；

(2)若ZC=8,BC=6,求ZF的長.

18.(2023春?渠縣校級期末)閱讀下面材料，并解決問題：

(1)如圖①等邊△4BC內有一點P,若點尸到頂點45、C的距離分別為3,

4,5,求N4P8的度數.

為了解決本題，我們可以將△48尸繞頂點/旋轉到△ZCP處，此時△/CP

^△48尸，這樣就可以利用旋轉變換，將三條線段以、PB、尸C轉化到一個三

角形中，從而求出N4P5=；

(2)基本運用

1

請你利用第（1）題的解答思想方法，解答下面問題

已知如圖②，△ZBC中，ZCAB=90°,AB=AC,E、尸為5c上的點且NENE

=45°,求證：EF=BR+FG

（3）能力提升

如圖③，在中，ZC=90°,AC=1,ZABC=30°，點。為RtZUBC

內一點，連接2。,5。,。。,且/2。。=/。。5=/5。幺=120°,OA+OB+OC

的值.

【考點71坐標與圖形變化-旋轉.

26.（2023春?巴東縣期中）在平面直角坐標系x0v中，已知幺（1,0）,C（-2,

1）,若將點C繞點Z順時針旋轉90°得到點C,則。的坐標為（）

A.（2,3）B.（1,2）C.（2,1）D.（3,2）

27.（2023春?達川區校級期末）如圖在平面直角坐標系xOy中，有一個等腰直

角三角形Z05,ZOAB=90°,直角邊ZO在x軸上，且20=1.將Rt4/05

繞原點0順時針旋轉90°得到等腰直角三角形Z1051,且AiO=2AO,再將

口△小。81繞原點。順時針旋轉90°得到等腰三角形/2。比,且22。=2由?！?

依此規律，得到等腰直角三角形Z2023O82023,則點比023的坐標（）

B.(22°22,-22022)

C.(22°23,_22023)D.(22022,22022)

1

28.(2023春?興城市期中)如圖所示，長方形4BCO的兩邊5C、CD分別在x

軸、y軸上，點C與原點重合，點Z(-1,2),將長方形48co沿x軸無滑

動向右翻滾，經過一次翻滾，點Z的對應點記為4；經過第二次翻滾，點Z

的對應點記為血；……，依次類推，經過第2023次翻滾，點Z的對應點出023

的坐標為()

斗

Ai--------D:----'

B(C)O1'!經

A.(3032,1)B.(3033,0)C.(3033,1)D.(3035,2)

29.(2023?阜新模擬)如圖，把正方形鐵片0Z5C置于平面直角坐標系中，頂點

A的坐標為(3,0),點P(1,2)在正方形鐵片上，將正方形鐵片繞其右下

角的頂點按順時針方向依次旋轉90。，第一次旋轉至圖①位置，第二次旋轉

至圖②位置，…則正方形鐵片連續旋轉2024次后，點尸的坐標為()

第一次第二次

A.(6070,2)B.(6072,2)C.(6073,2)D.(6074,1)

【考點8］作圖-旋轉變換；作圖-平移變換.

30.(2023春?舞鋼市期中)如圖1,把△48C繞著點。順時針旋轉后，頂點Z

旋轉到了點D

(1)用尺規作圖，作出△/C8旋轉后的

1

(2)指出旋轉角和旋轉中心.

(3)在圖2中，ADEF是△4BC繞著點P旋轉得到的，點幺、B、C的對應

點分別是點。、E、F,請確定點尸的位置，并簡要說明畫圖步驟.

31.(2023春?蒲城縣期末)如圖，方格紙中每個小正方形的邊長都是1個單位長

度，建立平面直角坐標系，△4BC的三個頂點坐標分別為Z(1,0),B(1,

4),C(4,2).

(1)將△48C向左平移5個單位，再向上平移1個單位，畫出平移后的△45Ci；

(2)畫出將△48C繞原點。按順時針方向旋轉90°后的△/2歷。2,并寫出點

B的對應點B2的坐標.

32.(2023春?青秀區校級期末)△4BC在平面直角坐標系中如圖所示.

(1)請畫出△4BC關于原點。對稱的△ZiBiCi,并寫出小，81的坐標;

(2)將△ZiBiCi向右平移6個單位得到282c2,請畫出△Z2及C2；

(3)△4BC與△/252C2關于點尸成中心對稱，請直接寫出點尸的坐標.

1

【考點9】垂徑定理

7.（2022秋?如皋市校級月考）如圖，在半徑為5c機的O。中，弦AB=6cm,OC

8.（2022春?射洪市校級月考）如圖，48是O。的弦，半徑。CL45于點。，若

0）0的半徑為5,48=8,則CD的長是（）

9.（2022?新樂市校級模擬）如圖，AB,5c是。。的兩條弦，AOLBC,垂足為

D,若O。的半徑為5,BC=8,則48的長為（）

10.（2021秋?鼓樓區期末）往直徑為52c機的圓柱形容器內裝入一些水以后，截

面如圖所示，若水面寬48=48c掰，則水的最大深度為（）

1

10cmC.16cmD.20cm

11.（2022?金華模擬）把球放在長方體紙盒內，球的一部分露出盒外，其截面如

圖所示，已知所=CO=4c機，則球的半徑長是（）

.4D

/\

I、0I

\/

\/

、、一/

BC

A.2cmB.2.5cmC.3cmD.4cm

12.（2022秋?桐廬縣期中）如圖，一下水管道橫截面為圓形，直徑為100c根，下

雨前水面寬為60c機，一場大雨過后，水面寬為80cm,則水位上升cm.

13.（2022秋?房縣期中）《九章算術》作為古代中國乃至東方的第一部自成體系

的數學專著，與古希臘的《幾何原本》并稱現代數學的兩大源泉.在《九章算

術》中記載有一問題“今有圓材埋在壁中，不知大小.以鋸鋸之，深一寸，鋸

道長一尺，問徑幾何？”小輝同學根據原文題意，畫出圓材截面圖如圖所示，

已知:鋸口深為1寸，鋸道25=1尺（1尺=10寸），則該圓材的直徑為一寸.

1

14.（2022秋?富陽區期中）如圖，有一座拱橋是圓弧形，它的跨度48=60米,

拱高產。=18米.

（1）求圓弧所在的圓的半徑r的長；

（2）當洪水泛濫到跨度只有30米時，要采取緊急措施，若拱頂離水面只有4

米，即尸E=4米時，是否要采取緊急措施？

【考點11】圓心角、弧、弦的關系.

15.（2022?輝縣市一模）如圖，在。。中，AB=AC，ZAOB=4Q°,則NZQC

C.20°D.15°

16.（2021秋?金安區校級期末）如圖，在O。中，若點。是窟的中點，N/=50°,

C.50°D.60°

17.（2022?萊州市一模）如圖，48是半圓。的直徑，以弦ZC為折痕折疊血后,

恰好經過點。，則N/OC等于（）

2

c

B

A、、-------'0

A.120°B.125°C.130°D.145°

18.（2022?漢川市模擬）如圖，點Z,B,。在O。上，NZ=40度，NC=20度,

則N8=度

19.（2022春?射陽縣校級月考）如圖，在。。中，ZC為。。直徑，5為圓上一

點，若NO5C=26°,則N/08的度數為

【考點12］圓周角定理

27.（2022?平南縣二模）如圖，A,B,C是。。上的三點，AB,ZC在圓心。的

兩側，若/45。=20°,ZACO=30°,則乙8OC的度數為（）

B.110°C.125°D.130°

28.（2022春?番禺區校級期中）如圖，已知48是。。的直徑，ZD=4Q°,則

/CAB的度數為（）

2

29.（2022春?靖江市校級月考）如圖，點Z,B,C在。。上，N/=36°,ZC

A.100°B.72°C.64°D.36°

30.（2022秋?南崗區校級月考）如圖，4B是O。的直徑，C、。是。。上的兩點,

分別連接ZC、BC、CD、OD.若NDO8=140°,則NZCD=（）

A.20°B.30°C.40°D.70°

31.（2022秋?環江縣期末）如圖，48是O。的直徑，C,。是O。上的兩點，若

ZBCD=28°,則NAB￡(=

D

2

【考點131圓內接四邊形的性質；

32.（2022秋?天門期中）如圖，四邊形內接于O。，若四邊形4SC。是平

行四邊形，則NZDC的大小為（）

A.45°B.50°C.60°D.75°

33.（2022?五通橋區模擬）如圖，四邊形45CD內接于O。，尸是加上一點，且命

=BC，連接CP并延長交的延長線于點E，連接ZC若N4BC=105

ZBAC=25°,則NE的度數為（）

A.45°B.50°C.55°D.60°

【考點14］正多邊形和圓

47.（2022?乾安縣模擬）如圖，正五邊形43CQE內接于O。，尸為鏡上的一點

（點尸不與點。重合），則NCP。的度數為（）

48.（2022?玉溪模擬）正六邊形4BCDEF內接于OO,正六邊形的周長是12,則

O。的半徑是（）

A.V3B.2C.272D.273

2

49.（2022秋?天寧區校級月考）如圖，在平面直角坐標系中，將邊長為1的正六

邊形O4BCDE繞點。順時針旋轉z,個45°,得到正六邊形O4AGDE，，則正

六邊形。聞品=2020）的頂點G的坐標是（）

A.（1,-B.（1,V3）C.（1,-2）D.（2,1）

【考點15］弧長的計算.

50.（2022秋?城中區校級月考）若扇形的圓心角為90°,半徑為6,則該扇形的

弧長為（）

A.—TCB.2TCC.3TtD.6Tl

2

51.（2022?大冶市校級模擬）一位小朋友在粗糙不打滑的“Z”字形平面軌道上

滾動一個半徑為10c機的圓盤，如圖所示，48與是水平的，8C與水平面

的夾角為60°,其中幺3=60cm,CD=40cm,BC=40cm,那么該小朋友將圓

盤從Z點滾動到。點其圓心所經過的路線長為cm.

52.（2022?合肥模擬）如圖，分別以正三角形的3個頂點為圓心，邊長為半徑畫

弧，三段弧圍成的圖形稱為萊洛三角形.若正三角形邊長為6c處則該萊洛三

角形的周長為cm.

2

【考點16］圓錐的計算

53.（2022秋?濱?？h月考）如圖，用一個半徑為30cm,面積為BOOTIC/的扇形

鐵皮，制作一個無底的圓錐（不計損耗），則圓錐的底面半徑r為（）

A.5cmB.10cmC.20cmD.5ncm

54.（2022?雙臺子區校級開學）如圖，從一塊直徑是8m的圓形鐵皮上剪出一個

圓心角為90°的扇形，將剪下的扇形圍成一個圓錐，圓錐的高是（）m.

C.V30D.

55.（2022?五通橋區模擬）如圖，已知圓錐的高為遂，高所在直線與母線的夾

角為30°,圓錐的側面積為

【考點171扇形面積的計算

56.（2022?溫州校級開學）如圖，在口ABCD中，AD=2,AB=4,ZA=30°,

以點Z為圓心，的長為半徑畫弧交Z8于點E,連接CE,則陰影部分的面

積是（結果保留7T）.

D

AE

2

57.（2021秋?岱岳區校級期末）如圖，在△ZBC中，CA=CB,ZACB=90°,

48=2,點。為48的中點，以點。為圓心作圓心角為90°的扇形QEF,點

C恰在弧EF上，則圖中陰影部分的面積為.

E

58.（2022?蘭山區一模）如圖，C為半圓內一點，。為圓心，直徑48長為2CM,

ZBOC=6Q°,NBC。=90°,將△BOC繞圓心。逆時針旋轉至△"OC',

點C'在OZ上，則邊5C掃過區域（圖中陰影部分）的面積為c機2.（結

果保留n）

城專題訓練

一.選擇題（共11小題）

1.（2022秋?河西區校級期末）如圖，48是O。的直徑，BC=CD=DE-/COD

=34°,則NZE。的度數是（）

A.51°B.56°C.68°D.78°

2.（2022秋?隆回縣期末）如圖，在Rt/kZBC中，ZBAC=90°,將△ZBC繞點

Z順時針旋轉90°后得到△48,C（點8的對應點是點小，點C的對應

2

點是點C'）,連接CC'.若NC。B'=32°,則N8的大小是（）

C.77°D.87°

3.（2023春?古冶區期末）如圖，將△4BC繞點C順時針旋轉90°得到若

點4D,E在同一條直線上，ZACB=20°,則NZDC的度數是（）

A.55°B.60°C.65°D.70°

4.（2022秋?沈河區校級期末）下列語句中不正確的有（）

①相等的圓心角所對的弧相等；

②平分弦的直徑垂直于弦；

③圓是軸對稱圖形，任何一條直徑都是它的對稱軸；

④長度相等的兩條弧是等弧.

A.3個B.2個C.1個D.4個

5.（2022秋?河西區校級期末）如圖，AB是O。的直徑，弦CDLAB于點E,

6.（2022秋?南開區校級期末）如圖，在△48C中，ZC=90°,AC=4,BC=3,

將△4BC繞點A逆時針旋轉，使點C落在線段AB上的點E處，點、B落在點

2

。處，則8、。兩點間的距離為（）

A.V10B.2-72C.3D.275

7.（2022秋?孝感期末）如圖，正方形048c的兩邊CM、0c分別在x軸、y軸

上，點。（5,3）在邊48上，以C為中心，把△CD8旋轉90°,則旋轉后

點。的對應點。'的坐標是（）

C.(2,10)或(-2,0)D.(10,2)或(-2,0)

8.（2022秋?邯山區校級期末）如圖，在半徑為13c機的圓形鐵片上切下一塊高

為8c機的弓形鐵片，則弓形弦Z5的長為（）

A.10cmB.16cmC.24cmD.26cm

9.（2023?臺江區校級模擬）如圖，點8,C,。在。。上，若N8CD=130°,

則ZBOD的度數是（）

2

A.50°B.60°C.80°D.100°

10.（2023?東莞市校級二模）如圖，O。是△4BC的外接圓，BC=2,/BAC=

30°,則劣弧前的長等于（）

A.等B.年C.誓2LD,號

11.（2018?邵陽）如圖所示，四邊形46CD為O。的內接四邊形，ZBCD=120°,

則N80Q的大小是（）

A.80°B.120°C.100°D.90°

二.填空題（共9小題）

12.（2023春?泰山區校級期中）如圖，半圓。的直徑48=2,弦CD〃AB,ZCOD

=90°,則圖中陰影部分的面積為.

13.（2022秋?鶴山市期末）如圖，將半徑為2cm的圓形紙片折疊后，圓弧恰好

經過圓心。，則折痕48的長為cm.

2

o

14.（2022秋?贛州期末）如圖，點4B,。在。。上，C。的延長線交48于點

D,ZA=50°,ZB=30°,則NZQC的度數為.

15.（2022秋?江北區校級期末）如圖，直線y=等+4與x軸、y軸分別交于2、

8兩點，把△N05繞點Z順時針旋轉90°后得到△Z。'B',則點）的坐

標是—.

16.（2023春?保德縣校級期中）如圖，將△4BC繞點。旋轉60°得到B'

C,已知NC=6,8C=4,則線段25掃過圖形（陰影部分）的面積為—.（結

果保留n）

17.（2023春?甘州區校級期中）如圖，O。的半徑為1cm,正六邊形

內接于O。，則圖中陰影部分面積為—cm2.（結果保留n）

3

■oD

RC

18.（2022秋?澄城縣期末）如圖，△NBC內接于O。，ZACB=90°,N/C5的

角平分線交O。于D若ZC=6,BD=5?則8c的長為.

19.（2016春?灤縣期中）如圖，在直角坐標系中，已知點N（-3,0）,B（0,4）,

對△048連續作旋轉變換，依次得到三角形1、2、3、4-.則三角形2016

20.（2022秋?南沙區校級期末）如圖，48是半圓。的直徑，點C在半圓上，AB

=5,AC=4,。是黃上的一個動點，連接ZD.過點C作于E,連

接則8E的最小值是

三.解答題（共11小題）

21.（2023?東莞市校級一模）如圖，已知48是。。的直徑，C,。是。。上的點,

OC//BD,交2。于點E,連接BC.

3

(1)求證：AE=ED；

(2)若Z5=10,ZCBD=36°,求々的長.

22.(2022秋?麻章區期末)如圖，△4BC三個頂點的坐標分別為幺(2,4),B

(1,1),C(4,3).

(1)請畫出△4BC關于x軸對稱的△NbBCi,并寫出點4的坐標；

(2)請畫出△48C繞點8逆時針旋轉90°后的△Z/Cz；

(3)求出(2)中C點旋轉到G點所經過的路徑長(結果保留根號和TT).

23.(2022秋?夏邑縣期末)如圖，C,。是以48為直徑的半圓上的兩點，ZCAB

=ZDBA,連結5C,CD.

(1)求證：CD//AB.

(2)若48=4,ZACD=3Q°,求陰影部分的面積.

3

24.（2022秋?九龍坡區期末）如圖是正在修建的某大門上半部分的截面，其為圓

弧型，跨度CO（弧所對的弦）的長為3.2米，拱高幺5（弧的中點到弦的距離）

為0.8米.

（1）求該圓弧所在圓的半徑;

（2）在修建中，在距大門邊框的一端（點0.4米處將豎立支撐桿8G,求

支撐桿8G的高度.

25.（2023?南明區校級一模）如圖，四邊形Z5CD中，ZABC=ZADC=45°,

將繞點C順時針旋轉一定角度后，點B的對應點恰好與點A重合，得到

△ACE.

（1）請求出旋轉角的度數；

（2）請判斷ZE與的位置關系，并說明理由；

（3）若ZD=2,CD=3,試求出四邊形4BCD的對角線AD的長.

26.（2022秋?濱海新區校級期末）如圖，AB是半圓。的直徑，C、D是半圓。

上的兩點，且。D〃5C,0。與ZC交于點￡.

（1）若乙8=70°,求NC4。的度數；

（2）若Z5=4,AC=3,求?！甑拈L.

3

D

C

27.(2023春?西湖區校級期中)(原創題)如圖所示，扇形048從圖①無滑動旋

轉到圖②，再由圖②到圖③，/。=60°,OA=1.

(1)求。點所運動的路徑長；

(2)。點走過路徑與直線￡圍成的面積.

28.(2023?婺城區模擬)如圖，48是O。的直徑，C是俞的中點，CEL4B于點

E,BD交CE于點F.

(1)求證：CF=BF；

(2)若C￡>=6,AC=8,求O。的半徑及CE的長.

29.(2022秋?無為市期末)如圖，△8幺。是由45￡。在平面內繞點3旋轉60°

而得，^.ABLBC,BE=CE,連接。E.

(1)求證：△BDE2ABCE；

(2)試判斷四邊形Z5EQ的形狀，并說明理由.

3

D

30.(2022秋?紫金縣期末)如圖，△ZBC中，Z5=ZC=2,/B4c=45°,AAEF

是由△4BC繞點A按逆時針方向旋轉得到的，連接BE、(方相交于點D.

(1)求證：BE=CF；

(2)當四邊形幺5。尸為菱形時，求CD的長.

3

圓的基本性質

會考點歸納

【考點1］圓的認識.

【考點2】點與圓的位置關系.

【考點3】確定圓的條件.

【考點4】三角形的外接圓與外心

【考點5】生活中的旋轉現象.

【考點6】旋轉的性質.

【考點7】坐標與圖形變化-旋轉.

【考點8］作圖-旋轉變換；作圖-平移變換.

【考點9】垂徑定理

【考點10］垂徑定理的應用.

【考點11］圓心角、弧、弦的關系.

【考點12］圓周角定理

【考點13］圓內接四邊形的性質；

【考點14］正多邊形和圓

【考點15］弧長的計算.

【考點16］扇形面積計算

圓的定義：在一個平面內，線段OA繞它固定的一個端點。旋轉一周，另一個端點A所形

成的圖形叫圓。這個固定的端點0叫做圓心，線段OA叫做半徑。

圓的表示方法：以0點為圓心的圓記作。0,讀作圓0。

圓的特點：在一個平面內，所有到一個定點的距離等于定長的點組成的圖形。

確定圓的條件：1）圓心；2）半徑。

備注：圓心確定圓的位置，半徑長度確定圓的大小。

1

【補充】1）圓心相同且半徑相等的圓叫做同圓;

2）圓心相同，半徑不相等的兩個圓叫做同心圓；

3）半徑相等的圓叫做等圓。

圓的對稱性：1）圓是軸對稱圖形，經過圓心的每一條直線都是它的對稱軸；

2）圓是以圓心為對稱中心的中心對稱圖形。

知識點2：圓的有關概念廠、

弦的概念：連結圓上任意兩點的線段叫做弦（例如：右圖中的AB）。\

直徑的概念：經過圓心的弦叫做直徑（例如：右圖中的CD）。

備注：1）直徑是同一圓中最長的弦。2）直徑長度等于半徑長度的2倍。

弧的概念：圓上任意兩點間的部分叫做圓弧，簡稱弧。以A、B為端點的弧記作讀作圓

弧AB或弧AB。

等弧的概念：在同圓或等圓中，能夠互相重合的弧叫做等弧。

半圓的概念：圓的任意一條直徑的兩個端點把圓分成兩條弧，每一條弧都叫做半圓。

優弧的概念：在一個圓中大于半圓的弧叫做優弧。

劣弧的概念：小于半圓的弧叫做劣弧。

知識點3：確定圓的條件

1.過三點的圓

不在同一直線上的三個點確定一個圓。

知識點4：三角形的外接圓與外心

1.三角形的外接圓

經過三角形的三個頂點的圓叫做三角形的外接圓。

2.三角形的外心

三角形的外接圓的圓心是三角形三條邊的垂直平分線的交點，它叫做這個三角形

的外心。

知識點5：旋轉的概念

把一個平面圖形繞著平面內某一點0轉動一個角度,叫做圖形的旋轉,點0叫做旋轉中心，

轉動的角叫做旋轉角（如下圖中的/BOF）,如果圖形上的點B經過旋轉變為點F