專題突破卷17立體幾何中的折疊和探索性問題

熊題生殖嵬

孱題剪各小擊破

題型一：兩個平面折疊后有關二面角的考察

1.已知菱形A3C。中，ZABC=60°,沿對角線AC折疊之后，使得平面平面D4C,

D.當

2.如圖，將正方形ABCD沿對角線AC折疊后，平面3ACL平面D4C,則二面角B-CD-A

的余弦值為（）

D.叵

5

3.已知矩形ABC￡＞中，AB=2,BC=1,折疊使點A,C重合，折痕為MN,打開平面ADAW,

TT

使二面角A-MN-C的大小為§，則直線MN與直線AC的距離為（）

A.BB.—C.1D.—

242

4.如圖，已知梯形ABDC,AB=AC=BD=2.CD=4,沿著對角線AD折疊使得點8,

點C的距離為2夜，此時二面角3-AD-C的平面角為（）

5.在肋AABC中，C=90。,CA=#,CB=^/§',C。是斜邊的高線，現將AC￡＞沿C。折起，使

平面ACDL平面BC。，則折疊后A3的長度為（）

A.2B.6C.75D.3

6.人（1,必），3（-2,%）是直線＞=-3x上的兩點，若沿無軸將坐標平面折成60。的二面角，則

折疊后A、8兩點間的距離是（）

A.6B.2aC.3在D.岳

7.在矩形4BC。中，AD=3AB=3,/是A。邊上一點，將矩形ABC。沿折疊，使平

面與平面3MDC互相垂直，則折疊后A,C兩點之間距離的最小值是（）

1654LLL

A.――B.10-V10C.VlOD.V7

8.如圖，在梯形AAAC中，AiB=BC=CA2=BB,=X,四邊形上（?。4為矩形，點片為4G

的中點，沿B旦，CG折疊，使得點a與4重合于點A,如圖2,則異面直線A4與BG所

AMR3A/10r710n3710

1020510

9.在平面直角坐標系中，已知A（-L4）,3（3,-6）,現沿無軸將坐標平面折成120。的二面角，

則折疊后A,5兩點間的距離為（）

A.2#7B.2后C.8D.3而

10.如圖，在矩形ABCD中，AB=1,BC<,沿8。將矩形ABC。折疊，連接AC,所

得三棱錐A-BCD正視圖和俯視圖如圖，則三棱錐A-BCD中AC長為（）

A.-B.GC.眄D.2

22

題型二：兩個平面折疊后有關外接球的考察

11.某地舉辦數學建模大賽，本次大賽的冠軍獎杯由一個銅球和一個托盤組成，如圖①，己

兀

知球的表面積為32羊，托盤由邊長為8的等邊三角形銅片沿各邊中點的連線垂直向上折疊形

成，即面ADE,面面3EF都與面DFE垂直，如圖②，則經過三個頂點A,B,C的

4c4兀-5兀_

A.iiB.—C.—D.2兀

33

12.如圖，VA3C是邊長為4的正三角形，。是8C的中點，沿將VABC折疊，形成三

棱錐A-BCD.當二面角B-AD-C為直二面角時，三棱錐A-BCD外接球的體積為（）

A.5TIB.20兀C.生醫D.2。島

63

13.在邊長為2的菱形ABCD中，ZABC=120°,將△ABD沿著3D折疊，得到三棱錐

A-BCD,若AC=3,則該三棱錐的外接球的體積是（）

.4"［兀口22屈式小2801兀「201兀

A.----D.----------------C.------U.-----

327273

14.已知在VABC中，AC±BCfAC=2,ZB=30°,。是45的中點，沿著。。將△ACD

折起，使得點A折疊到點A的位置，則當三棱錐的體積最大時，其外接球的表面

積為（）

13兀c52兀

A.亍B.12兀C.16兀D.——

3

15.如圖，一塊邊長為8的正方形鐵片上有四塊全等的陰影部分.將空白部分剪掉，對余下

陰影部分按下面工序加工成一個正四棱錐：將四塊陰影部分分別沿虛線折疊，以其中等腰直

角三角形組成棱錐的底面，余下為棱錐的側面.則所得正四棱錐的外接球表面積是（）

C625兀一625兀

A.16兀B.84兀D.------

,247

16.如圖，VABC是邊長為4的正三角形，。是3c的中點，沿AD將VABC折疊，形成三

棱錐A-BCD.當二面角B-AD-C為直二面角時，三棱錐A-3CD外接球的表面積為（）

AA

17.如圖，在VABC中，AB=AC=C,BC=2e,。是棱8c的中點，以AD為折痕把AACD

折疊，使點C到達點C的位置，則當三棱錐C-ABD體積最大時，其外接球的表面積為（）

18.中國的折紙藝術歷史悠久，一個同學在手工課時，取了一張長方形紙，長邊為20,

短邊為2,如圖A、B、C、D分別為各邊的中點，現沿著虛線折疊得到一個幾何體，則該幾

何體的外接球表面積是（）

A.5萬B.4〃C.3TTD.—

2

19.在菱形A3C0中，AB=5,AC=6,AC與80的交點為G,點N分別在線段A0,

C￡>±,S.AM=^MD,CN=；ND,將AACV。沿MN折疊到,使G￡>'=2&，則

三棱錐Z）'-ABC的外接球的表面積為（）

A,空無c627-289

B.-----71C.-----71D.40兀

16168

題型三：兩個平面折疊后有關立體圖的表面積與體積

20.如圖甲，在等腰直角三角形ABC中，ZA=90°,BC=6,瓦/分別為VABC兩直角邊

上的點，且。〃3C,△AEF沿直線環折疊，得到四棱錐A-3。跖，如圖乙，則四棱錐

21.如圖，等邊三角形△ABC的邊長為4,。，E,尸分別為AB,8C和AC的中點，將△BDE、

ACEF、AADF分別沿DE、防和止折起，使A、B、C三點重合，則折疊后的四面體

的體積為（）

22.如圖，在六邊形ABCDEF中，四邊形3CEF是邊長為2的正方形，和ACDE都

是正三角形，以即和CE為折痕，將六邊形A3CDE/折起并連接場得到如圖

所示的多面體A3FDCE,其中平面AB尸〃平面CDE,二面角A-3尸-。的余弦值為且，

3

則折疊后得到的多面體的體積為（）

23.如圖所示，在邊長為2的正方形紙片A3CD中，AC與3。相交于。，剪去VAOB,將

剩余部分沿OC,OD折疊，使。4,。8重合，則以A(B),C,D,。為頂點的四面體的

體積為()?

A.交B.逑C.2D.3

3333

24.將一張邊長為12cm的紙片按如圖(1)所示陰影部分裁去四個全等的等腰三角形，將余下

部分沿虛線折疊并拼成一個有底的正四棱錐模型，如圖(2)放置，如果正四棱錐的主視圖是

正三角形，如圖(3)所示，則正四棱錐的體積是

A.—46cm3B.—yj6cm3C.—42cm3D.-'Jlcnr'

3333

25.如圖，正方形ABC。的邊長為2,分別取邊BC,CD的中點E,F,連接AE,EF,AF,

以AE,EF,AF,為折痕，折疊這個正方形，使8,C,。重合于一點P,得到一個三棱

錐尸一貝！()

A.平面尸EF_L平面RFB.二面角尸-EF-A的余弦值為:

1%

C.三棱錐P-AEF的體積為一D.三棱錐尸-AEP內切球的表面積為了

24

26.邊長為4的正方形ABCD沿對角線AC折疊，使得平面ACD，平面ABC,則關于四面

體ABCD,下列結論正確的是（）

A.BD=4y/2B.BD=4C.四面體ABCD的體積為了D.四面體

ABCD的體積竺叵

3

27.如圖，正方形ABCD的邊長為2,現將正方形沿其對角線AC進行折疊，使其成為一個

空間四邊形，在空間四邊形中，下列結論中正確的是（）

A.B,。兩點間的距離［滿足0<d<2應

B.異面直線AC,所成的角為定值

C.對應三棱錐O-ABC的體積的最大值為2夜

D.當且僅當AC=2班）時，二面角。—AC—3為60。

28.如圖，在平面四邊形48CD中，AACD和VABC是全等三角形，ZABC=90°,ZBAC=60°,

AB=2.下面有兩種折疊方法將四邊形ABC。折成三棱錐.折法①將AACD沿著AC折起,

形成三棱錐2-ABC,如圖1；折法②：將△海沿著8。折起，形成三棱錐

如圖2.下列說法正確的是（）

A.按照折法①，三棱錐的外接球表面積值為16%

B.按照折法①，存在2,滿足ABLCQ

C.按照折法②，三棱錐A-BCD體積的最大值為G

D.按照折法②，存在4滿足4CL平面4BD,且此時BC與平面A0。所成線面角的

正弦值為走

3

1.已知菱形ABCD中，對角線瓦＞=2,將△ABD沿著8。折疊，使得二面角A-BD-C為120°,

AC=3，則三棱錐A-3CD的外接球的表面積為.

2.長方形ABCD中，AB=4,AD^3,沿對角線AC把平面AC￡＞折起，使平面A81平面

ABC,則折疊后/BCD的余弦值為.

2

3.如圖，在VABC中，&8=47=2,/區4。=3'。是BC的中點，以AD為折痕把AACD折

疊，使點C到達點C的位置，則當平面平面A5D時，其外接球的體積為

Cf

A

4.已知邊長為2的等邊VABC中，。為5c的中點，以為折痕進行折疊，使折后的

TT

NBDC=g則過A,尻C,。四