機密★啟用前

2024~2025學年度（上）教學質量監測試題

八年級數學

（全卷共三個大題，滿分150分，考試時間120分鐘）

注意事項：

1.試題的答案書寫在答題卡上，不得在試題卷上直接作答；

2.作答前認真閱讀答題卡的注意事項；

3.作圖（包括作輔助線）請一律用累售25鉛筆完成，

一、選擇題：（本大題10個小題，每小題4分，共40分）在每個小題的下面，都給出了代號

為A、5、C、。的四個答案，其中只有一個是正確的，請將答題卡上題號右側正確答案所對

應的方框涂黑.

24

1.計算a結果正確的是（）

A.a2B.a6C.asD.2a2

2.小彬想了解合肥五月份每天的氣溫變化情況，最適合選用的統計圖表是（）

A.條形統計圖B.扇形統計圖C.折線統計圖D.統計表

3.如圖，點8、C、D同一直線上，若△ABC四△DEC,AC=3,BD=10,則CE等于（）

A.3B.7C.10D.13

4.下列各組數分別為一個三角形三邊的長，其中能構成直角三角形的一組是（）

A.2,4,5B.4,6,9C.7,9,10D.9,12,15

5.估計2的值應在（）

A.1和2之間B.2和3之間C.3和4之間D.4和5之間

6.如圖，在中，ZC=90°,BD平分NABC,若AC=10,AD=7,則點。到AB距離

為（）

C

D.

A.6B.5C.4D.3

7.若M=x2+V+6x—2y+2024,則M的最小值是（）

A.2014B.2016C.2018D.2020

8.下列命題中為真命題的是（）

A.27的立方根是一3B,有理數與數軸上的點一一對應

C.面積相等的兩個三角形一定全等D.若a+Z?=0,則"=/

9.如圖，在等腰直角△ABQ中，?ABD90?,BE±AC,AE=2BE.若NBAE=a,則NBDE

的度數為（）

A.aB.?-15°C.45°—ccD.90°—2tz

10.有依次排列的2個整式：a+b,a-b,用這兩個整式的和除以2,得到的結果放在這兩個整式之

間，可以產生第1個整式串：a+b,a,a-b,稱為第1次操作；將第1個整式串中任意相鄰的兩個整

式按上述方式進行第2次操作，可以得到第2個整式串.以此類推，下列說法：

bb

①第2個整式串：a+b,a-\—，a,ci,ci—b；

22

40

②第4個整式串中，從左往右第2個整式乘以從右往左第2個整式的積為/一一〃；

64

③第2024個整式串中，所有整式的和為02°24+1）。.

其中正確的個數是（）

A.0B.1C.2D.3

二、填空題：（本大題8個小題，每小題4分，共32分）請將每小題的答案直接填在答題卡

中對應的橫線上.

11.64的算術平方根是.

12.已知aZ?=2,2a-b=-3,則代數式2a?匕的值為.

13.梁啟超先生曾說：“少年強則國強，少年智則國智，少年富則國富”,在劃線部分這句話中，“國”字出現

的頻率是.

14.若一個多項式M與單項式2必的積是10/—8V，則這個多項式四是.

15.已知等腰三角形的一個內角是100。，則這個等腰三角形的底角的度數為；

16.如圖，已知正方形ABCD與正方形CEFG的面積之差為36,則陰影部分面積為.

17.如圖，四邊形ABCD中，AB=AC,BFJ.AC交AC于點、E,ADLCD,ZABE=ZACD.若

BF=n,CD=8,則CE的長為.

18.一個各個數位上數字互不相等且均不為0的四位正整數〃=。兒力（其中b,c,d<9,且

a,b,c,d為正整數），若滿足a+6+c+d=18,則稱該數為“恒常數”，規定/（〃）=￡■.例

1827

如：四位正整數1827,：1+8+2+7=18,，1827是“恒常數”，*1827）=—^—=203.如果

航=旃是一個“恒常數”，且。+1=》，b+l^c,c+l=d,則尸（M）為.若

M=a"cd是一個“恒常數"，令P（M）=/（1）+。,Q^M）=a+b-c-d,其中c<d，當。（M）

取最大值且P（M）為整數時，M的值為.

三、解答題：（本大題8個小題，第19題8分，其余每題各10分，共78分）解答時每小題

必須給出必要的演算過程或推理步驟，畫出必要的圖形（包括輔助線），請將解答過程書寫

在答題卡中對應的位置上.

19.(1)分解因式：3a3—12a;

（2）化簡：2（x+l）2—（2x+3）（2x—3）.

20.“勞動最光榮、勞動最崇高、勞動最偉大、勞動最美麗”，勞動是一切成功的必經之路，也是培養棟

梁之才的必需方式.某中學為了解該校學生一周課外活動和家庭生活中的勞動時間，隨機抽取部分學生調

查了他們一周課外活動和家庭生活中的勞動時間，用x表示時間（單位：小時），共分成四組：A:

0Wx<3,B:3<x<4,C:4<%<5,D:x>5,將數據進行整理并制成如下統計圖.

請根據圖中提供的信息、，解答下列問題:

學生一周課外活動和家庭學生一周課外活動和家庭

生活勞動時間條形統計圖生活勞動時間扇形統計圖

名學生，補全條形統計圖（要求在條形圖上方注明人數）;

（2）扇形統計圖中C部分對應的圓心角為___________度.

（3）若該中學共有800名學生，請估計該校學生一周課外活動和家庭生活中的勞動時間不少于3小時的人

數.

21.如圖，AD//BC,

（1）尺規作圖：作NA5C的平分線交AD于點E,交AC于點（不寫作法，保留作圖痕跡）

（2）在（1）所作圖形中，若點尸恰為線段AC的中點，求證：VA3C是等腰三角形.請補全下面的證

明過程.

證明：???3E是—ABC的平分線,

.?.①

???AD//BC,

ZAEF=ZCBF.

.'.AB^AE.

?.,/為AC的中點，

:.AF=CF.

在△AEF和VCBF中,

ZAEF=ZCBF

<NAFE=NCFB,

AF=CF

.?.△AEF學△CBF(AAS).

.?.③

AB=CB.

」.△ABC是等腰三角形.

由此發現一個結論，請完成下列命題：如果一個三角形的一個內角的平分線又是其對邊的中線，那么這個

三角形是④.

22.在實數范圍內定義運算：“※”：。※人=2(a—bp—3,例如：3X2=2x(3—2)2—3=—1.

⑴若a=5,b=-3,計算a?的立方根；

(2)若2Xx=15,求x的值.

23.放風箏是清明節的節日習俗，寓意將煩惱和疾病隨著風箏一起放飛，此外，放風箏還是一項娛樂性運

動，無論是與家人還是朋友一起放風箏，都能增進彼此之間的關系.某校八年級幾名同學在學習了“勾股

定理”之后，想用此定理來測量風箏的垂直高度.如圖，牽線放風箏的同學站在A處，風箏在E處，先測

得他抓線的地方與地面的距離A3為L5米，然后測得他抓線的地方與風箏的水平距離5c為15米，最后

根據手中剩余線的長度計算出風箏線BF的長為17米.

(1)求此時風箏的垂直高度所的長;

（2）若放風箏的同學站在點A不動，風箏沿跖的方向繼續上升到。處，風箏線又放出了8米，請求出

風箏沿所方向上升的高度FD的長.

24.某班數學興趣小組的同學在學習整式乘法公式后，構造了以下圖形驗證乘法公式.請你利用數形結合

的思想，通過等積法解決以下數學問題.從邊長為。的正方形中減掉一個邊長為方的正方形（如圖1）,然

后將剩余部分拼成一個長方形（如圖2）.

（1）比較兩圖中陰影部分面積，可以驗證的等式是；（請選擇正確的選項）

A.cT—2ab+b2=（?—/?）B.a2—b2=（a+/?）（a—

（2）若4——9/=20,2x-3y=4,求2x+3y值；

（3）計算：（2+l）（22+1）（24+1）（28+l）---（21024+1）+1.

25.如圖，在VABC中，ZC=90°,AC=16cm,30=12511,點尸和點。分別是VABC邊上的兩

動點，點P從點A開始沿AfC方向運動，速度為每秒1cm,到達C點后停止；點。從點C開始沿

Cf3fA的方向運動，速度為每秒2cm,到達A點后停止，它們同時出發，設運動時間為f秒.

（1）當/=4秒時，求△PCQ的面積；

（2）當/為何值時，點尸恰好在邊AB的垂直平分線上；

（3）當點。在A6邊上運動時，直接寫出△BCQ為等腰三角形時/的值.

26.在等邊VA3C中，點。為3c邊上一點，連接AD.

E

(1)如圖1,若AB=4，CD=1,求AD的長;

(2)如圖2,AD=AE，ZDAE=120°,連接跖交AC于點E,求證：CD=2AF；

（3）如圖3,若AB=2,點。為3C邊的中點，點〃為線段AD上一動點，點N為AB邊上一動點，直

接寫出+ACV的最小值.

參考答案

一、選擇題：（本大題10個小題，每小題4分，共40分）在每個小題的下面，都給出了代號

為4、5、C、。的四個答案，其中只有一個是正確的，請將答題卡上題號右側正確答案所對

應的方框涂黑.

24

1.計算a-?結果正確的是（）

26&2

A.aB.aC.aD.2a

【答案】B

【解析】

【分析】本題主要考查了同底數累的乘法法則：同底數轅相乘，底數不變，指數相加.根據同底數哥的乘

法法則計算即可.

【詳解】解：a2-a4=a2+4=a6.

故選：B.

2.小彬想了解合肥五月份每天的氣溫變化情況，最適合選用的統計圖表是（）

A.條形統計圖B.扇形統計圖C.折線統計圖D.統計表

【答案】C

【解析】

【分析】根據扇形統計圖、折線統計圖、條形統計圖各自的特點來判斷即可.

【詳解】根據統計圖的特點，想了解合肥五月份每天的氣溫變化情況，最適合使用的統計圖是折線統計

圖.

故選：C.

【點睛】此題主要考查了統計圖的選擇。根據統計圖的特點進行分析可得：扇形統計圖表示的是部分在總

體中所占的百分比，但一般不能直接從圖中得到具體的數據；折線統計圖表示的是事物的變化情況；條形

統計圖能清楚地表示出每個項目的具體數目.

3.如圖，點8、C、。在同一直線上，若Z\ABC沿八DEC,AC=3,BD=10,則CE等于（）

【答案】B

【解析】

【分析】本題考查了全等三角形的性質和線段和差，根據全等三角形的性質得出6C=EC,

AC=8=3,再由線段和差即可求解，熟練掌握知識點的應用是解題的關鍵.

【詳解】AABC^ADEC,

ABC=EC,AC=CD=3,

,：BD=10,

：.BC=BD-CD=10-3=7,

：.CE=BC=1.

故選：B.

4.下列各組數分別為一個三角形三邊的長，其中能構成直角三角形的一組是（）

A.2,4,5B.4,6,9C.7,9,10D.9,12,15

【答案】D

【解析】

【分析】本題考查了勾股定理的逆定理.在應用勾股定理的逆定理時，應先認真分析所給邊的大小關系，確

定最大邊后，再驗證兩條較小邊的平方和與最大邊的平方之間的關系，進而作出判斷.

【詳解】解：A、22+42/5?，2,4,5不能構成直角三角形，故本選項不符合題意；

B、42+62^92.4,6,9不能構成直角三角形，故本選項不符合題意;

C、72+92^102-7,9,10不能構成直角三角形，故本選項不符合題意;

D、92+122=152-9,12,15能構成直角三角形，故本選項符合題意.

故選：D.

5.估計2值應在（）

A.1和2之間B.2和3之間C.3和4之間D.4和5之間

【答案】B

【解析】

【詳解】解：：屈<g（后，A4<A/17<5..,.4-2<717-2<5-2./.2<A/17-2<3.

6.如圖，在Rt/VIBC中，ZC=90°,BD平分NABC,若AC=10,AD=7,則點。到AB的距離

為（）

A.6B.5C.4D.3

【答案】D

【解析】

【分析】本題考查了角平分線的性質，點到直線的距離.作。A3于E,根據AC與AD得到CD的

長，由3D平分/ABC，根據角平分線的性到3即可得到答案.

【詳解】解：如圖，作。石工AB于E，

:.CD=AC-AD=10-7=3,

QBD平分/ABC,

而NC=90°,

/.DE=DC=3,

二點。到AB的距離是3.

故選：D.

7.若"=/+/+6%一2丁+2024,則M的最小值是()

A.2014B.2016C.2018D.2020

【答案】A

【解析】

【分析】本題考查了完全平方公式的應用等知識，利用完全平方公式將河轉化為

(x+3)2+(y—+2014,再根據(x+3『>0,(y-l)2>0即可得到M的最小值是2014.

【詳解】解：Af=x2+/+6x-2y+2024

=x?+6x+9+/-2y+1+2014

=(x+3『+(y-1)?+2014,

V(%+3)2>0,(J-1)2>0,

：.M最小值是2014.

故選：A.

8.下列命題中為真命題的是()

A.27的立方根是-3B.有理數與數軸上的點一一對應

C.面積相等的兩個三角形一定全等D.若。+》=0,則/=〃

【答案】D

【解析】

【分析】本題主要考查了命題與定理的知識.利用立方根的定義、實數的性質、全等三角形的判定方法等

知識分別判斷后即可確定正確的選項.

【詳解】解：A、27的立方根是3,故原命題錯誤，是假命題，不符合題意；

B、實數與數軸上的點一一對應，故原命題錯誤，是假命題，不符合題意；

C、面積相等的兩個三角形不一定全等，故原命題錯誤，是假命題，不符合題意；

D、若a+Z?=0,則標=從，正確，是真命題，符合題意.

故選：D.

9.如圖，在等腰直角中，?ABD90?,BE±AC,AE=2BE.若NB4E=a,則NBDE

的度數為()

A

A.aB.a—15°C.45°—。D.90°-2(z

【答案】C

【解析】

【分析】此題考查了等腰直角三角形的性質和判定，全等三角形的性質和判定等知識，解題的關鍵是正確

作出輔助線.

如圖所示，取AE的中點/，根據題意得到4歹=5石=石尸，然后求出==然后證明

出△A5FgAJBDE(SAS),得到NBDE=NABF,進而求解即可.

【詳解】如圖所示，取AE的中點F

A

k

BCD

/.AE=2AF=2EF

,:AE=2BE

：.AF=BE=EF

,：在等腰直角△ABD中，？ABD90?,

AB=BD

?/ZBAF+ZABE=ZDBE+ZABE=90°

：.ZBAF=ZDBE=a

：.△ABF均BDE(SAS)

/.ZBDE=ZABF

,:BE=EF，ZBEF=90°

/.Z￡BF=45°

ZBDE=ZABF=ZABC-NEBF-ZDBE=90°-45°-a=45°-a.

故選：c.

10.有依次排列的2個整式：a+b,a-b,用這兩個整式的和除以2,得到的結果放在這兩個整式之

間，可以產生第1個整式串：a+b,a,a-b,稱為第1次操作；將第1個整式串中任意相鄰的兩個整

式按上述方式進行第2次操作，可以得到第2個整式串.以此類推，下列說法：

bb

①第2個整式串為：a+b,aH—,a,a—,a—b；

22

40

②第4個整式串中，從左往右第2個整式乘以從右往左第2個整式的積為?2--b2；

64

③第2024個整式串中，所有整式的和為Q2°24+l）a.

其中正確的個數是（）

A.OB.1C.2D.3

【答案】D

【解析】

【分析】本題考查了整式的加減運算法則，平方差公式.根據整式的加減運算法則，平方差公式進行計算即

可解答.

【詳解】解：第1個整式串：a+b,aa-b,所有整式的和為3〃=（2i+l）。；

第2個整式串：a+b,a+—,a,a--,a-b,所有整式的和為5。=（2?+l）a；

3bbbb3,

第3個整式串：a+b,ciH—b,ciH—,ciH—，a,a—，a—，a—b,a—b,所有整式的和

424424

為9a=伍+l）a；

L,a-^b,a-b,所有整式的和為17a=（24+l）a；

第4個整式串：a+b,a+-b,

8

...①說法正確;

②由題意得fa+a--b\=a2——Z?2,②的說法正確;

③由題意得，第2024個整式串中，所有整式的和為③的說法正確；

綜上，①②③的說法都正確；

故選：D.

二、填空題：（本大題8個小題，每小題4分，共32分）請將每小題的答案直接填在答題卡

中對應的橫線上.

11.64的算術平方根是.

【答案】8

【解析】

【分析】直接根據算術平方根的定義即可求出結果.

【詳解】解：:82=64,

.?.庖=8.即64的算術平方根是8.

故答案為：8.

【點睛】此題主要考查了算術平方根的定義，解題的關鍵是算術平方根必須是正數，注意平方根和算術平方

根的區別.

12.已知就=2,2a-b=-3,則代數式2a2匕—a/的值為.

【答案】-6

【解析】

【分析】提取公因式，再整體代入即可求解.

【詳解】解：2a2b-ab2=ab(2a-b),

*.*ab=2,2a~b=~3,

???原式=2x(-3)=-6,

故答案為：-6.

【點睛】本題考查了因式分解的應用，掌握因式分解的各種方法以及整體思想是解題的關鍵.

13.梁啟超先生曾說：“少年強則國強，少年智則國智，少年富則國富”,在劃線部分這句話中，“國”字出現

的頻率是.

【答案】7

6

【解析】

【分析】先計算劃線部分字的總數，再數“國”字個數，根據頻率=頻數除以總數的定義即可得.

【詳解】解：：在“少年強則國強，少年智則國智，少年富則國富”這18個字中，“國”字有3個，

31

“國”字出現頻率是一=—；

186

故答案為：—.

6

【點睛】本題主要考查頻數與頻率，頻率是指每個對象出現的次數與總次數的比值(或者百分比)，即頻

率=頻數+數據總數.

14.若一個多項式M與單項式2必的積是10%4—8丁，則這個多項式/是.

【答案】5x2—4/

【解析】

【分析】本題考查了多項式除以單項式，根據多項式M與單項式2爐的積是10/—8V，

A1-2X2=10X4-8?1把等式的兩邊同時除以2/可得多項式

【詳解】解：..?多項式M與單項式2爐的積是10/一8%5,

.?.Mb=10/—8/，

.?.M=00x4—8x5)*,

故答案為：5x2-4x3?

15.已知等腰三角形的一個內角是100。，則這個等腰三角形的底角的度數為；

【答案】40°##40度

【解析】

【分析】此題主要考查等腰三角形的性質及三角形內角和定理的綜合運用.題中沒有指明已知的角是頂角

還是底角，故應該分情況進行分析，從而求解.

【詳解】解：①當這個角是頂角時，底角=(180°—100°)+2=40°；

②當這個角是底角時，另一個底角為100°,因為100。+100。=200。，不符合三角形內角和定理，所以舍

去.

故答案為40。.

16.如圖，已知正方形A3CD與正方形CEFG的面積之差為36,則陰影部分面積為.

【答案】18

【解析】

【分析】本題考查平方差公式的幾何背景.設正方形A3CD的邊長為。，正方形CEFG的邊長為6,由題

意得〃=36，DG=a-b,再根據S陰影部分=S.B?G+S“EDG得至US陰影部分即可.

【詳解】解：設正方形A3CD的邊長為。，正方形CEFG的邊長為6,則儲—尸=36，DG=a-b,

所以S陰影部分=SODG+S4EDG

=-DG*BC+-DG?CE

22

1(a—Z?)+；b(a—b)

二——Cl

2

=^a+b)(a-b)

三…)

=18.

故答案為：18.

17.如圖，四邊形ABCD中，AB=AC,BF/AC交AC于點E，ADLCD,ZABE=ZACD.若

BF=11,CD=8,則CE的長為.

【答案】4

【解析】

【分析】此題主要考查了全等三角形的判定和性質，直角三角形的性質.連接AF,證明

△ABE之A4CD(AAS)得AE=A￡>,BE=CD=8,則石下=5尸—5石=3,再證明

11S相戶名及人4￡）「（印）得石尸=上=3,則CF=5,然后在Rt^CEb中，由勾股定理即可求出

CE的長.

【詳解】解：連接AF,如圖所示：

A

D

/

BC

?/BF1AC,ADYCD,

ZAEB=ZD=90°,

,：AB=AC,

：.AABE^AACD（AAS）,

AE=AD,BE=CD=8,

：.EF=BF-BE=U-S=3,

?：BF1AC,ADLCD,

：.ZAEF=ZD=90°,

AF=AF,

：.RtAAEF=RtAADF（HL）,

EF=DF=3,

CF=CD-DF=8-3=5,

在RtZkCEb中，EF=3,CF=5,

由勾股定理得：CE=y/CF2-EF2=4-

故答案為:4.

18.一個各個數位上的數字互不相等且均不為0的四位正整數加=時（其中IV。，b,c,d<9,且

a,b,c,d為正整數），若滿足a+b+c+d=18,則稱該數為“恒常數”，規定F（河）=5.例

1827

如：四位正整數1827,?.?1+8+2+7=18,，1827是“恒常數”，*1827）=—§—=203.如果

〃=嬴7是一個“恒常數”，且。+1=入b+l^c,c+l=d,貝Ib（加）為.若

M=abed是一個"恒常數"，令P（M）=F（M]+d,Q（M）=a+b-c-d,其中。<“，當。（M）

取最大值且P（M）為整數時，M的值為.

【答案】①.384②.6912

【解析】

【分析】本題考查了新定義運算、整式的加減的應用.由題意得到b=a+l,c=b+l=a+2,

d=c+l=a+3,結合a+b+c+d=18,求得。，b,c,［的值，再計算即可得解；由

Q（M）=a+b-c-d,當。（M）取最大值時，a+b最大，c,d盡可能小，推出c=l,d=2,

a+b=15,再分類求解即可.

【詳解】解：甚不為“恒常數”，a+b+c+d=lS,

又C=Z?+1=Q+2,d=c+l=a+3,

??a+a+l+a+2+a+3=18,

解得a=3,

:?Z?=4,c=5,d=6,

AM-3456,

/.E(M)=*3456)=^^=384；

:Q+Z?+c+d=18且〃，b,c,d為正整數，14a,b,c,d<9,

又Q(A7)=Q+Z?—c—d,

當。（M）取最大值時，a+6最大，c,d盡可能小,

又,：c<d,

「?c=1,d=2,

a+Z?=18—1—2=15,

/（"）=尸（9612）=竺匕=1068,P（M）=l068+2不是整數,舍去；

①當〃=9,則人=6時，

97

*"）=/（8712）=罕=968,。（河）=電出不是整數，舍去；

②當。=8,則方=7時，

97

產（苗）=尸（7812）=竺匕=868,不是整數，舍去；

③當a=7,則b=8時，

97

④當。=6,則Z?=9時，F（M）=F（6912）=-^^=768,尸（航）=出土2=110是整數,符合題

97

思；

???”的值為6912；

故答案為：384；6912.

三、解答題：（本大題8個小題，第19題8分，其余每題各10分，共78分）解答時每小題

必須給出必要的演算過程或推理步驟，畫出必要的圖形(包括輔助線)，請將解答過程書寫

在答題卡中對應的位置上.

19.(1)分解因式：34—12a;

(2)化簡：2(x+l『—(2x+3)(2x—3).

【答案】⑴3a(a+2)(a-2)；(2)-2x2+4x+11

【解析】

【分析】本題考查完全平方公式，平方差公式，因式分解.

(1)先提公因式3a,再利用平方差公式進行因式分解即可；

(2)根據完全平方公式以及平方差公式進行計算即可.

【詳解】解：⑴3a3—12a

=3a(4-4)

=3a(a+2)(a-2)；

(2)2(X+1)2-(2X+3)(2%-3)

=2x2+4x+2-4x2+9

=-2X2+4X+11.

20.“勞動最光榮、勞動最崇高、勞動最偉大、勞動最美麗”，勞動是一切成功的必經之路，也是培養棟

梁之才的必需方式.某中學為了解該校學生一周課外活動和家庭生活中的勞動時間，隨機抽取部分學生調

查了他們一周課外活動和家庭生活中的勞動時間，用x表示時間(單位：小時)，共分成四組：A:

0<x<3,B:3<x<4,C:4<x<5,D:x>5,將數據進行整理并制成如下統計圖.

請根據圖中提供的信息，解答下列問題：

學生一周課外活動和家庭學生一周課外活動和家庭

生活勞動時間條形統計圖生活勞動時間扇形統計圖

(1)此次調查一共隨機抽取了名學生，補全條形統計圖(要求在條形圖上方注明人數)；

(2)扇形統計圖中C部分對應的圓心角為度.

(3)若該中學共有800名學生，請估計該校學生一周課外活動和家庭生活中的勞動時間不少于3小時的人

數.

【答案】(1)50；圖見解析

(2)108(3)估計該校學生一周課外活動和家庭生活中的勞動時間不少于3小時的人數為720名.

【解析】

【分析】本題主要考查了頻數分布直方圖和扇形統計圖的綜合運用，樣本估計總體，讀懂統計圖，從不同

的統計圖中得到必要的信息是解決問題的關鍵.

(1)用3部分人數除以其人數占比求出此次調查隨機抽取的總人數，再求出。組的人數即可補全條形統

計圖；

(2)用360°乘C部分所占的比例即可求解；

(3)用800乘以勞動時間不少于3小時的人數的占比即可求解.

【小問1詳解】

解：20+40%=50(名)，

???此次調查一共隨機抽取了50名學生，

D組的人數為：50-5-20-15=10,

補全條形統計圖：

學生一周課外活動和家庭

生活勞動時間條形統計圖

【小問2詳解】

解：扇形統計圖中C部分對應的圓心角為：360°xl|=108°,

故答案為：108；

【小問3詳解】

解：800x弋「720（名）,

答：估計該校學生一周課外活動和家庭生活中的勞動時間不少于3小時的人數為720名.

21.如圖，AD//BC,

（1）尺規作圖：作NA5C的平分線交AD于點E,交AC于點E.（不寫作法，保留作圖痕跡）

（2）在（1）所作圖形中，若點E恰為線段AC的中點，求證：VA3C是等腰三角形.請補全下面的證

明過程.

證明：是/ABC的平分線,

.?.①

???AD//BC,

：.ZAEF=ZCBF.

■■.AB=AE.

?.?尸為4c的中點,

:.AF=CF.

在和VC即中,

ZAEF=ZCBF

<NAFE=NCFB,

AF=CF

:.△AEF'CBF（AAS）.

.?.③

AB=CB.

.?.△ABC是等腰三角形.

由此發現一個結論，請完成下列命題：如果一個三角形一個內角的平分線又是其對邊的中線，那么這個

三角形是④.

【答案】（1）見解析（2）ZABE=ZCBF,ZABE=ZAEB,AE=BC,等腰三角形

【解析】

【分析】本題考查全等三角形的判定和性質，等腰三角形的判定，作圖-基本作圖.

（1）以B為圓心，以任意長為半徑畫弧，分別交A3、AC于A/、N,分別以M、N為圓心，大于=MN

2

的長為半徑畫弧，兩弧交于K,作射線AK交AD于點E，交AC于點F,得到破平分/ABC；

（2）由角平分線定義，平行線的性質推出/鉆石=得到AB=AE，判定

△A￡F^ACBF（AAS）,推出AE=3C,得到A5=CB,推出VA5C是等腰三角形，由此即可得到結

論.

【小問1詳解】

解：如圖所示，應;平分/ABC；

【小問2詳解】

證明：?.?盛是NA3C的平分線,

ZABE=ZCBF,

?：AD//BC,

：.ZAEF=ZCBF,

:.ZABE=ZAEB,

；?AB=AE,

\?尸為AC的中點，

：.AF=CF.

NAEF=NCBF

在△AEF和YCBF中，＜ZAFE=ZCFB,

AF=CF

：.AAEF均CBF(AAS),

:.AE=BC,

AB=CB.

???VABC是等腰三角形.

由此發現一個結論，請完成下列命題：如果一個三角形的一個內角的平分線又是其對邊的中線，那么這個

三角形是等腰三角形.

故答案為：ZABE=NCBF,ZABE=ZAEB,AE=BC,等腰三角形.

22.在實數范圍內定義運算：“※”：。※人=2（。—3,例如：3^K2=2X（3-2）2-3=-1.

（1）若a=5,b=-3,計算。※Z?的立方根；

（2）若2Xx=15,求x的值.

【答案】（1）5（2）x=—1或x=5.

【解析】

【分析】本考查主要考查了新定義運算、立方根和平方根的性質等知識點，理解新定義運算是解題的關鍵.

（1）直接根據新定義運算法則計算，然后根據立方根的定義即可；

（2）根據題意得到2（2-尤『-3=15,然后整理后利用平方根的性質求解即可.

【小問1詳解】

;=5,Z?=—3,

...a※人=5※（-3）=2義（5+3）2—3=125

???a※/?的立方根是5；

【小問2詳解】

V2派％=15

2（2-3=15

/.（2-x）2=9

2—x—+3

，x=-1或x=5.

23.放風箏是清明節的節日習俗，寓意將煩惱和疾病隨著風箏一起放飛，此外，放風箏還是一項娛樂性運

動，無論是與家人還是朋友一起放風箏，都能增進彼此之間的關系.某校八年級幾名同學在學習了“勾股

定理”之后，想用此定理來測量風箏的垂直高度.如圖，牽線放風箏的同學站在A處，風箏在尸處，先測

得他抓線的地方與地面的距離A3為L5米，然后測得他抓線的地方與風箏的水平距離5c為15米，最后

根據手中剩余線的長度計算出風箏線段'的長為17米.

(1)求此時風箏的垂直高度所的長；

(2)若放風箏的同學站在點A不動，風箏沿跖的方向繼續上升到。處，風箏線又放出了8米，請求出

風箏沿所方向上升的高度ED的長.

【答案】(1)9.5米

(2)12米

【解析】

【分析】此題考查了勾股定理的應用，

(1)根據勾股定理求出FC={BF2-BC2=8米，然后得到CE=A3=1.5米，進而求解即可；

(2)首先得到6尸+8=25米，然后根據勾股定理求出8=20米，進而求解即

可.

【小問1詳解】

米，陟=17米，BCLDE

；?FC=7BF2-BC2=8米

：AB=1.5米

/.CE=AB=1.5米

莊=產。+慮=8+1.5=9.5米；

【小問2詳解】

...風箏線又放出了8米，

：.BD=BF+8=25^,

CD=^BDr-BC2=20米，

/.DF=DC—=20—8=12米.

24.某班數學興趣小組的同學在學習整式乘法公式后，構造了以下圖形驗證乘法公式.請你利用數形結合

的思想，通過等積法解決以下數學問題.從邊長為。的正方形中減掉一個邊長為匕的正方形（如圖1）,然

后將剩余部分拼成一個長方形（如圖2）.

（1）比較兩圖中陰影部分面積，可以驗證的等式是；（請選擇正確的選項）

A.t?2—2ab+b2=（^a—b^B.=（a+6）（a—

（2）若4x?-9V=20,2x-3y=4,求2x+3y的值；

（3）計算:（2+l）（22+1）（24+1）（28+l）...（21024+1）+1.

【答案】⑴B（2）2x+3y=5；

（3）22048

【解析】

【分析】本題考查平方差公式的幾何背景，掌握平方差公式的結構特征是正確解答的關鍵.

（1）分別用代數式表示圖1、圖2陰影部分的面積即可；

（2）根據平方差公式進行計算即可；

（3）將原式配上因式（2-1）,連續利用平方差公式即可.

【小問1詳解】

解：圖1陰影部分可以看作兩個正方形的面積差，即后-廿，

拼成的圖2是長為。+），寬為a—〃的長方形，因此面積為（a+b）（a—9，

所以有a2-b2=（a+/?）（a-b）,

故答案為：B；

【小問2詳解】

解：V4x2-9y2=20,即（2x+3y）（2x-3y）=20,而2x-3y=4,

/.2x+3y=5；

【小問3詳解】

解：（2+1）（22+1）（24+1）（28+1）...（21024+1）+1

=（2-l）（2+l）（22+1）（24+1）（28+1）?--（21024+1）+1

=（22-l）（22+l）（24+l）（28+l）...（21024+l）+l

=（24-l）（24+l）（28+l）...（21024+l）+l

=（28-l）（28+l）...（21024+l）+l

=（216-l）...（21024+l）+l

=22*1+1

_22048

25.如圖，在VABC中，ZC=90°,AC=16cm,6C=12cm，點尸和點。分別是VABC邊上的兩

動點，點P從點A開始沿AfC方向運動，速度為每秒1cm,到達C點后停止；點。從點C開始沿

Cf3fA的方向運動，速度為每秒2cm,到達A點后停止，它們同時出發，設運動時間為/秒.

（1）當/=4秒時，求△PCQ的面積；

（2）當f為何值時，點尸恰好在邊AB的垂直平分線上；

（3）當點。在AB邊上運動時，直接寫出△BCQ為等腰三角形時f的值.

【答案】（1）48cm2

25

（2）當％二一時，點尸恰好在邊A3的垂直平分線上；

2

（3），的值是11或12或三.

【解析】

【分析】本題是三角形的綜合題，考查了勾股定理，等腰三角形的性質，方程思想及分類討論思想等知

識.

（1）由三角形的面積公式即可解答;

(2)可得AP=P5=/cm,PC=(16-r)cm,在RtZkBPC中，得到(16—+12?=/，可求出

,--2-5-.

2，

(3)用r表示出BQ,利用等腰三角形的性質可分5。=3C,CQ=BC和6。=。。三種情況，分別得

到關于f的方程，可求得f的值.

【小問1詳解】

解：當/=4時，AP=4cm,CQ=8cm,

AC=16cm,