重難點(diǎn)突破15圓錐曲線中的經(jīng)典七大名圓問題

目錄

01方法技巧與總結(jié)

02題型歸納與總結(jié)

題型一:蒙日圓問題..............................................................2

題型二:直徑為圓問題.............................................................8

題型三:四點(diǎn)共圓問題...........................................................12

題型四：內(nèi)準(zhǔn)圓問題.............................................................19

題型五:彭賽歹U圓問題...........................................................24

題型六:焦點(diǎn)弦圓...............................................................28

題型七:準(zhǔn)線圓.................................................................32

03過關(guān)測試....................................................................................37

r

方法牯巧UM年

/MV,4kJJ"UA一出\\

1、曲線r：4+4=i的兩條互相垂直的切線的交點(diǎn)P的軌跡是圓：/+#=a?+/.

ab

2、雙曲線蕓―￥=l（a>b>0）的兩條互相垂直的切線的交點(diǎn)的軌跡是圓/+才=&2—次

ab

3、拋物線y2=2Px的兩條互相垂直的切線的交點(diǎn)在該拋物線的準(zhǔn)線上.

4、證明四點(diǎn)共圓的方法：

方法一:從被證共圓的四點(diǎn)中先選出三點(diǎn)作一圓，然后證另一點(diǎn)也在這個圓上，若能證明這一點(diǎn)，則可肯定這

四點(diǎn)共圓.

方法二:把被證共圓的四個點(diǎn)連成共底邊的兩個三角形，且兩三角形都在這底邊的同側(cè)，若能證明其頂角相

等,則可肯定這四點(diǎn)共圓（根據(jù)圓的性質(zhì)一一同弧所對的圓周角相等證）.

方法三:把被證共圓的四點(diǎn)連成四邊形，若能證明其對角互補(bǔ)或能證明其中一個外角等于其內(nèi)對角時，則可肯

定這四點(diǎn)共圓（根據(jù)圓的性質(zhì)一一圓內(nèi)接四邊形的對角和為180°,并且任何一個外角都等于它的內(nèi)對角）.

方法四:證明被證共圓的四點(diǎn)到某一定點(diǎn)的距離都相等，或證明被證四點(diǎn)連成的四邊形其中三邊中垂線有交

點(diǎn)）,則可肯定這四點(diǎn)共圓（根據(jù)圓的定義:平面內(nèi)到定點(diǎn)的距離等于定長的點(diǎn)的軌跡為圓）.

⑻2

題型歸納與總結(jié)

題型一:蒙日圓問題

1.（2024?上海?模擬預(yù)測）日日新學(xué)習(xí)頻道劉老師通過學(xué)習(xí)了解至U：法國著名數(shù)學(xué)家加斯帕爾?蒙日在研究圓

錐曲線時發(fā)現(xiàn):橢圓的任意兩條互相垂直的切線的交點(diǎn)Q的軌跡是以橢圓的中心為圓心，奇（a為

橢圓的長半軸長，b為橢圓的短半軸長）為半徑的圓,這個圓被稱為蒙日圓.已知橢圓C：《+才=1.

（1）求橢圓。的蒙日圓的方程；

（2）若斜率為1的直線I與橢圓。相切,且與橢圓C的蒙日圓相交于M,N兩點(diǎn),求△OMN的面積（O為

坐標(biāo)原點(diǎn)）；

（3）設(shè)P為橢圓。的蒙日圓上的任意一點(diǎn)，過點(diǎn)P作橢圓。的兩條切線，切點(diǎn)分別為43,求面

積的最小值.

__________B

2_____

【解析】⑴因?yàn)闄E圓。：弓-+。=1,所以，？+>=2,

所以橢圓。的蒙日圓的方程為/+/=4；

+才=1,設(shè)直線I的方程為y=*+m,

y—x-\-m

22

聯(lián)立方程x2_1，消去U并整理得，4/+6?71/+3(?7?—1)=0,

m+g=i

由△=36m2—16(3m2—3)=0,得m2=4,Fp\m\=2,

、777,

所以坐標(biāo)原點(diǎn)O到直線Z:C一夕+m=0的距離d==V2,

V2

所以\MN\^2722-(72)2=2V2,

所以$*=高的斗4=2;

(3)由⑴知，橢圓。的方程為"+3才=3,橢圓。的蒙日圓方程為/+才=4,

設(shè)_?(%%),則舄+*=4,設(shè)人(為,%),B(g,必)，

則切線PA的方程為XxX+3nly=3,切線PB的方程為x2x+3y2y=3,

將P(x0,隊(duì))代入切線_R4,PB的方程，有XiX0+3m%=3,x2x0+3y2y0—3,

故直線AB的方程為xox+3yoy—3,

k()c+3%u=3

將直線AB的方程與橢圓。的方程聯(lián)立得止+3才=3

消去夕并整理得，(舄+3%)/—6g2+9(1—%)=0

顯然就+3加A0,ZV=(-6gy—4(謚+3/)x9(1—城=36*(1+2*)>0,

底…,6尬9(1一笳)

所以電+電=西叁，，巡2=2+3-2，

力o十J%g十

所以=J-(就).山—救匚/U-R癡=3*

又點(diǎn)P(g加到直線的的距離底生曾=—,

J-+9*J4+8*2

所以s加制山?仁”空守，

/2(2+?/0)

設(shè)l=Jl+2%(0W/W4),則S"AB='[1,3],

Li"O

令/U)='"C[1,3]

⑹，(F+3)-/d+3),

,+9力2

則rco=

(t2+3)2(t2+3)2

所以函數(shù)/⑴在［1,3］上單調(diào)遞增，所以加篇=八1)=/,

所以△_R4B面積的最小值為j.

2.（2024?全國?模擬預(yù)測）在圓/+娟=4上任取一點(diǎn)T,過點(diǎn)T作立軸的垂線段TD,垂足為D.當(dāng)點(diǎn)T在

圓上運(yùn)動時，線段TD的中點(diǎn)P的軌跡是橢圓C.

（1）求該橢圓。的方程.

（2）法國數(shù)學(xué)家加斯帕爾?蒙日（1746-1818）發(fā)現(xiàn):橢圓上任意兩條互相垂直的切線的交點(diǎn)，必在一個與

橢圓同心的圓上，稱此圓為該橢圓的“蒙日圓”.若橢圓。的左、右焦點(diǎn)分別為風(fēng)月,P為橢圓C上一動

點(diǎn)，直線。尸與橢圓。的蒙日圓相交于點(diǎn)N,求證：留;幽為定值.

[解析】⑴設(shè)P（g,y0）,則下（如2y0），而點(diǎn)T在圓/+婿=4上，

即有X'Q+4yo=4,化簡得號+yo=l,

所以。的方程為《+”=1.

（2）由⑴知橢圓。的方程,+才=1,長半軸長a=2,短半軸長6=1,半焦距c=6，

顯然直線2—+2,y=±1都與橢圓C相切，因此直線±=±2,y=±1所圍成矩形的外接圓，

即為橢圓C的蒙日圓，方程為a?+才=5,設(shè)\PF{\—m,\PFi\—n,Z.POF[=a,則/.POFi—TZ—a,

222222

在△POE與ZYPO^中，由余弦定理得m=c+\OP\-2c\OP\cosa,n=c+|OP|-2c|OP|cos（兀-a）,

兩式相加得m?+n2=2c2+2|OP|2,又m,+n=2a,則m2+n2+2mn=4a2,

于是|PE|?|P^|=mn=2a2-c2-|OP|2=a2+i>2-\OP\25-\OP\2,

又\PM\-\PN\=（|\OP\）（\OM\+\OP\）=\OM\2-\OP\2=5-\OP\2,

\PM\-\PN\\PM\-\PN\

所以---二----r=1,即---「--r為定值?

3.法國著名數(shù)學(xué)家加斯帕爾?蒙日在研究圓錐曲線時發(fā)現(xiàn):橢圓的任意兩條互相垂直的切線的交點(diǎn)Q的軌

跡是以橢圓的中心為圓心，〃在官（a為橢圓的長半軸長，b為橢圓的短半軸長）為半徑的圓，這個圓被

稱為蒙日圓.已知橢圓+y=l（a>b>0）過點(diǎn)料,一看）.且短軸的一個端點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離為

ab'22/

V3.

（1）求橢圓。的蒙日圓的方程；

（2）若斜率為1的直線，與橢圓。相切，且與橢圓。的蒙日圓相交于雙，N兩點(diǎn)，求△OMN的面積（O為

坐標(biāo)原點(diǎn)）；

（3）設(shè)P為橢圓。的蒙日圓上的任意一點(diǎn)，過點(diǎn)P作橢圓C的兩條切線，切點(diǎn)分別為A,B,求APAB

積的最小值.

【解析】(1)由橢圓4+4=1(。>6>0)短軸的一個端點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離為，得Q=，S,

a2b2

(豈y/_x\2

由橢圓過點(diǎn)(春,一■,得一|--1----1——1,解得/=1,于是JQ2+匕2-2,

'22，ob

所以橢圓。的蒙日圓的方程為"+#=4.

(2)由⑴知，橢圓。的方程為今+才=1,設(shè)直線I的方程為期=岔+口1,

O

y—x+m

2

x2_-i消去。并整理得，4/+6m力+3(饃2—1)=0,

(m+g=1

由△=36m2—16(3m2—3)=0,得m2=4,即\m\=2,

則坐標(biāo)原點(diǎn)。到直線Z：c—9+m=0的距離d=粵=血，I九W|=2/22—0)2=2^/2,

所以△OMN的面積SA0MV=^-\MN\-d=2.

(3)由⑴知，橢圓。的方程為/+3才=3,橢圓。的蒙日圓方程為a;?+才=4,

設(shè)「(羯洗)，則屆+需=4,設(shè)4如%)，B(x2,yj,則居+3褶=3,舄+3雄=3,

當(dāng)切線FA的斜率存在時，設(shè)FA的方程為y=k(x-x1)-\-y1,

由卜2及：2吁1%,消去n得(3fc2+1)/—6k(kx!—y^x+3(kXi—?/i)2—3=0,

+6y=3

2222

Ai=36fc(fca?i—yi)—12(3fc+1)[(kxi—%)?-1]=0,整理得3fc+1—(kxx—%)?=0,

即fc2(3—rci)+2kggi+1—g；=0,則3k%;+2kg%+■冠=0,解得k=一乎~,

33vi

于是"=一守(t-g)+%，即xrx+3yly=3,

3%

當(dāng)切線出的斜率不存在時，4±g,0),PA的方程為2=一四或2=四，滿足上式,

因此切線PA的方程為XiX+3yly=3,同理切線PB的方程為x2x+3y2y=3,

將P(g,隊(duì))代入切線PA,PB的方程，有/皿+3%%=3,N2g+3n2no=3,

從而直線AB的方程為x()x+3y()y=3,當(dāng)W0時,

由｛：號；；@33消去y并整理得：(鬲+3若)/—620工+9(1=0,

顯然就+3%￥0,&=（-6*2—4（就+3若）x9（1—若）=36*（1+2*）>0,

6g=9（1-若）

冗1+/2=舄+3加’12舄+3%

/8若+4

則|AB|=V9加

又點(diǎn)P(x0,y0)到直線AB的距離％=屬+：啟31=；+2*=亞頁，

，就+9%74+8^2

于是4PAB的面積S5AB=y\AB\'h="+*產(chǎn)］，

22(2+若)

設(shè)±=71^1(0<*&4),則$.=^^"6(1,3］,：

LO

令/⑴=e(1，3］，求導(dǎo)得r⑶=若黑>0,即函數(shù)/⑴在(1,3］上單調(diào)遞增，/⑴>/(1)=:，

r+3(r+3)4

當(dāng)隊(duì)=0,即g=±2時，由對稱性不妨令2o=2,直線ABix=春,

Zt=3'解得標(biāo)制，岫=1，"=2-告J京明?仁!

由

所以面積的最小值為j.

離心率為e=q.

(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程和它的“蒙日圓”E的方程；

⑵過“蒙日圓”E上的任意一點(diǎn)M作橢圓。的一條切線AM,4為切點(diǎn)，延長AM與“蒙日圓”E交于點(diǎn)

。，O為坐標(biāo)原點(diǎn),若直線OAf,O。的斜率存在，且分別設(shè)為自,心，證明：自?的為定值.

【解析】⑴由題意知2a=4,e="=.

c=l,fe2=3,

故橢圓的方程號■+<=1,

43

“蒙日圓”E的方程為力2+#=4+3=7,即為2+#=7

⑵當(dāng)切線M4的斜率存在且不為零叱設(shè)切線M4的方程為沙二強(qiáng)+皿則

(y=kx-\-m

2

由y2_，消去g得(3+4%2)%2+87nkR+dm-12=0

/.A=64m2fc2—4(3+4fc2)(4m2—12)=0

:.m2=3+4k]

由{"2jit；，消去"得(1+A;2)^2+2mkx+m2—7=0

???A=4m2fc2-4(l+fc2)(m2-7)=16+12fc2>0

設(shè)。(如％),。(曲,仇)，則±1+±2=；，/巡2=：鼠]，

請_病一7?--Zmk?2

9922

.779例(.kxr+m^kxi+rn)kxrx2+km{xx+x^)+m卜,i+.+Knr[+后十？nm-7fc

??兒1兒2――——2r_*?一

力巡2力巡2力巡2一—7m—7

l+/c2

*.*m2=3+4k2,

.77m2-7fc23+4fc2-7fc23

??砧2=kF=3+4*-7=F'

當(dāng)切線AM的斜率不存在或?yàn)榱銜r，易得%#2=—(■成立，

:,自?防為定值.

___________晝

2?/2_____

5.（2024?江西撫州?模擬預(yù)測）給定橢圓。與+當(dāng)=l（a>b>0）,稱圓心在原點(diǎn)O,半徑為，？奇的圓

ab

是橢圓。的“準(zhǔn)圓”.若橢圓。的一個焦點(diǎn)為尸（四,。0）,其短軸上的一個端點(diǎn)到戶的距離為四.

（1）求橢圓C的方程和其“準(zhǔn)圓”方程；

⑵點(diǎn)P是橢圓。的“準(zhǔn)圓”上的動點(diǎn)，過點(diǎn)尸作橢圓的切線。2交''準(zhǔn)圓”于點(diǎn)跖N.

①當(dāng)點(diǎn)P為''準(zhǔn)圓"與？/軸正半軸的交點(diǎn)時，求直線Z14的方程并證明

②求證:線段AW的長為定值.

一一一"?/2

【解析】⑴C="。，。a=娓。,。.?.6=，^,?,?橢圓方程為二十k=1,準(zhǔn)圓方程為62+#=9.

63

（2）（i）因?yàn)闇?zhǔn)圓力之+d二9與"軸正半軸的交點(diǎn)為F（0°3）,

設(shè)過點(diǎn)F（0。，。3）且與橢圓相切的直線為沙=強(qiáng)+3,

（y=kx-\-3°

所以由<dy2_得（1+2肥）/+i2fcz；+i2=0.

IT+T=1

因?yàn)橹本€。=k/+3與橢圓相切，所以△=144k之—4X12（1+2fc2）=0,解得k=±1,

所以。。，2方程為1/=力+3。y=—x+3,Vkti-ki2=—1,/.±Z2-

（ii）①當(dāng)直線L。，。。中有一條斜率不存在時，不妨設(shè)直線斜率不存在，

則。：/=土，G,當(dāng)Q/=時，。與準(zhǔn)圓交于點(diǎn)（，6。V3）°（V6°,。—V3）,

此時。為。=，3（或g=—四），顯然直線。。，2垂直；

同理可證當(dāng)"：/=一四時，直線Zi。，。22垂直

②當(dāng)。，。。為斜率存在時，設(shè)點(diǎn)P（g,go）,其中屆+需=9.

設(shè)經(jīng)過點(diǎn)_P（g。yo）與橢圓相切的直線為y=t（x—a:0）+隊(duì)，

y-力（27_27。）—|—期。

2

dy2_得（1+2#/2_|_4力（坊—tx（））x+2（go—txo）—6=0.

（"6-+T=1

由Z\=0化簡整理得（6—4）力2+2甌顏力+3—若=0,

因?yàn)殛?*=9,所以有（6—舄）/+2x0y0t+（鬲—6）=0.

設(shè)。。，。。的斜率分別為右。右，因?yàn)椋?。。與橢圓相切，

所以力。，。t2滿足上述方程（6—鬲）F+2xoy&+（舄一6）=0,

所以友.力2=主^=—1,即心，。L垂直.，

6-iCo

綜合①②知：因?yàn)椤！＃?2經(jīng)過點(diǎn)P（g°%）,又分別交其準(zhǔn)圓于點(diǎn)M。，。N,且。。，。L垂直.

所以線段皿N為準(zhǔn)圓/+/=9的直徑，|上fiV|=6,

所以線段皿N的長為定值6.

___________F

題型二:直徑為圓問題

6.（2024.高三.河北.開學(xué)考試）已知橢圓1=l（a>b〉0）的離心率為多,且過點(diǎn)（2,1）.

⑴求橢圓的方程；

（2）直線/：,=建+小與橢圓。交于46兩點(diǎn)，且以線段為直徑的圓過橢圓。的右頂點(diǎn)河，求證:直

線/恒過定點(diǎn),并求出該定點(diǎn)的坐標(biāo).

仁+工=1

a，十/1

"2=8

【解析】⑴依題意可得1e=二=返，解得2

a2[b=2'

a2=62+c2

所以橢圓。的方程為9+4=1.

o2

(2)設(shè)4到,%)，B(x2,y2),

聯(lián)立可得(1+4%2)/2+8kmx+4m2—8=0,

且△=(8km)2-4(l+4A;2)(4m2-8)>0,8fc2+2>m2,

8km47T22—8

所以+x2=--?,2巡2=

l+4fc2l+4fc2

因?yàn)橐訟B為直徑的圓經(jīng)過點(diǎn)時（2方,0）,所以蘇?廟=0,

所以Qi—2^/2')?(劣2—2A/2)+yn/2—0,

所以(力1一2，^)?(62—2〃^)+(kxi+rn)(kx2+m)=0,

2

所以(興+1)力便2+(fcm—2V2)(Ti+x2)+m+8=0,

所以街+1）言恭+（即—2回（一：?）+/+8=0,

當(dāng)m=-6『兒時，l：n=kc-4二卜（6-）,過定點(diǎn)（^^,0）,符合題意；

當(dāng)m=-2V2k時，l:y—kx—2V2fc=—2A/2)，過點(diǎn)71f(2，^,0)，不滿足題意,

22

7.已知直線Z"—小沙一等=0,橢圓。：鼻+#=1,E、后分別為橢圓。的左、右焦點(diǎn).

2m

⑴當(dāng)直線I過右焦點(diǎn)B時,求直線I的方程.

（2）當(dāng)直線I與橢圓。相離、相交時，求山的取值范圍.

（3）設(shè)直線I與橢圓。交于人、B兩點(diǎn)，△人月月、ABEE的重心分別為G、H.若原點(diǎn)。在以線段GH為

直徑的圓內(nèi)，求實(shí)數(shù)小的取值范圍.

2_____

【解析】（1）直線I:x—my—=0經(jīng)過用（“加一1,0）,

,_____2

Vm2—1-=0,

解得7n2=2.

又丁nz>1,

m—V2,故直線，的方程為x—V2y—1=0.

[x—my—=0

（2）由《"得，2m27/2+rn^y+—m2=0,

信+y=l4

因?yàn)閙>1,所以2g?+rny+—1=0,

△VO得，m2—8^^-1）=8—rn<0,

解得m<—2^/2或?n>2^/2.

\*m>1,m>2^2.

由△>0得一2，^VTYIV2A/2^,故1VTnV2^/2,

當(dāng)直線與橢圓相離時7n的取值范圍是{m|m>2A/2};

當(dāng)直線與橢圓相交時m的取值范圍是{館|1VnzV2，^}.

（3）設(shè)4（g,切），B（劣2,紡），后（一。,0）,同（。,0）.

由重心坐標(biāo)公式得

Xi+c—cXi%+c—c%

XG=-3—=3'yG=-§—=T

可知G傳卷），同理"（皆號.

???。在以線段GH為直徑的圓內(nèi)，

由已知/+7=:

工一my一腎=0

消去力，得8y2—4my+m2—4=0;

消去g,得8/-47儲力+7722（^2—4）=Q.

方程8y2—4mly+m2—4=0的判別式△1=16m2—32（m2—4）>0,

方程8x2—4m2x+m2（m2—4）=0的判別式4二16m4—32m2（m2—4）>0,

,m4—4m2,m2—4?八

力僮2+yiV2=-----Q-----+一Q一<o,

oo

4222

Qm—3m—4V0=（m—4）（m+1）<0,r

.\m2<4,

又Tnz>1,

1<m<2,

實(shí)數(shù)的取值范圍為{m|lVnzV2}.

8.（2024.高三.湖北.開學(xué)考試）已知平面內(nèi)一動圓過點(diǎn)P（2,0）,且在g軸上截得弦長為4,動圓圓心的軌跡

為曲線C

（1）求曲線。的方程；

（2）若過點(diǎn)Q（4,0）的直線/與曲線。交于點(diǎn)河，N,問：以MN為直徑的圓是否過定點(diǎn)？若過定點(diǎn)，求出

這個定點(diǎn);若不過定點(diǎn),請說明理由.

【解析】（1）設(shè)動圓圓心（力,9），

當(dāng)力#0時,依題意，Vl^P+22=J（力一2）?+才，即才=4/；

當(dāng)力=0時，點(diǎn)。的軌跡為點(diǎn)（0,0）,滿足才=4名,

所以點(diǎn)C的軌跡方程為y1=4x.

⑵依題意，直線I不垂直于y軸，設(shè)直線I方程為：x=my+4,7W（力（力2,故），

由（力丁"+4消去力并整理得#―47ng-]6=0,/\>0恒成立，

[y=4/

e22

則["1+依學(xué)，令圓心為口力石,利），則yE—2m,xE—2m+4,￡；（2m+4,2m）,

1%例=—16

直徑|7W|=Vm2+11陰一曲=Vm2+1?/(%+例)2—4陰改=4V(m2+l)-(m2+4),

則圓石的方程為[x—(2m2+4)]2+(y-2m)2=4(m2+1)(m2+4),

當(dāng)力=0,g=0時，(2m?+4)2+(2m)2=4(m4+5m2+4)=4(m2+1)(m2+4),

因此對于VmeR,圓E恒過原點(diǎn)，

所以存在定點(diǎn)(0,0),以7WN為直徑的圓過定點(diǎn)(0,0).

9.（2024.寧夏銀川.一模）已知橢圓+V=l（a>b>0）的后心率e=，且點(diǎn)M（―弓2,丁^）在橢

圓E上,直線l：y=-^-x+m與橢圓E交于不同的兩點(diǎn)A.B.

O

（1）求橢圓E的標(biāo)準(zhǔn)方程;

_______________________________

⑵證明:線段AB的中點(diǎn)。在直線為=—日土上;

O

（3）過點(diǎn)B作工軸的平行線,與直線l'-.y=一白的交點(diǎn)為M證明：點(diǎn)N在以線段AB為直徑的圓上.

O

【解析】（1）???€=￡=空，又0?=（?—/,

a3

.1_￡=5.上=4

a2-9"a2-9'

又/—1,b2=4,a2=9,

2a2b2

:.橢圓方程為會+與=1;

94

fy=-2x+?m

⑵聯(lián)立直線與橢圓方程122,??.8/+12加/+9一-36=0,

生+幺=1

194

又因?yàn)橛袃蓚€交點(diǎn)，所以△=144m2—32（9m2—36）>0,

解得—2^2<m<2V2,設(shè)4（劣1，%），石（62,統(tǒng)），

,z,_3m_9（m2-4）

故61+力2一—一—,多逆2—-------------,

/O

。2?2

又幼=—Ti+m,y?=-~x+m,

oo2

2

*,?%+紡=石（61+62）+2m=m,

o

線段AB的中點(diǎn)C的坐標(biāo)為（一竽，2），：一■!■（—五）=?，

線段48的中點(diǎn)。在直線在夕=白上;

O

⑶由已知得：N（一弩■，92）,

NA=+符~‘yi-y）'NB=（我+^^,。）,

電+孚=電+方傳出+恒）=01+22+工館=0,

：.NA-NB=Q,：.NA±NB,

.?.點(diǎn)N在以線段AB為直徑的圓上.

2

10.（2024-山東泰安?模擬預(yù)測）已知拋物線E:x=2py飾>0）,焦點(diǎn)為F,點(diǎn)0（2,1）在E上,直線l1：y=kx

+1（3￥0）與E相交于兩點(diǎn),過分別向E的準(zhǔn)線I作垂線，垂足分別為

2

⑴設(shè)△7^1B1,AJR4A1,AFBB1的面積分別為S1,S2,S3,求證：S；=4s-S3；

（2）若直線AC,BC分別與，相交于河,N,試證明以MN為直徑的圓過定點(diǎn)P,并求出點(diǎn)P的坐標(biāo).

【解析】（1）將（7（2,1）代入，2=2py（p>0）,得p=2,所以拋物線方程為x2=4y,

由題意知F（O,l）,設(shè)紡—1）,4（電，-1）,

由hkx+i得，/2—或3—4=0,A=（―4fc）2+16>0,

{.x=4g

所以力i+g=4k,為何2=—4,

所以S；=（卻1一X2）=4（?—力2）2=4（g——）2

8,53景明+1）㈤.景功+1）欣|（%+1）（紡+1）|，何2]（kx1+2）（kx2+2）\x1xii\

=肅4[（刈+電）一%」（1蚓+16）,即5=48居

22

[肥力任2+2k（力i+62）+4]|x1a;2|4（—4fc+8fc+4）

（2）直線AC的斜率如。=以”=1~=2會，

6]Z6]/4

故直線AC的方程為g—1=，￥（e一2）,令g=—1,得力=2----^-―,

461+2

所以點(diǎn)河的坐標(biāo)為（2——二,一1）,同理，點(diǎn)N的坐標(biāo)為（2——^―.

V/1+2/Vg+2

設(shè)線段MN的中點(diǎn)為（g,—1）,則g=4（2---y-z-+2-----

2\劣1+262+2/

4（6i+g+4）一24（為什力2+4）—2—4（4++4）___2

（劣1+2）（力2+2）[力162+2（劣i+電）+4]—4+2x4fc+4k

8（口一詞

又|7VW|二（2-^+2）-（2-^+2）

2巡2+2（，1+22）+4

8/3+工2）2-4叩2=8\/16肥+164'W+i

上巡2+2（21+電）+4|8|fc|

所以以MN為直徑的圓為（工+舒+3+產(chǎn)出『卜

即/+亳2+*+（9+1丫=4（1+（）令/=0得g=l或g=—3,

故以7WN為直徑的圓過定點(diǎn)（0,1）和（0,—3）.

題型三:四點(diǎn)共圓問題

11.（2024?上海?三模）已知拋物線「:/=29的焦點(diǎn)為F,過點(diǎn)T（l,l）的直線Z與『交于兩點(diǎn).設(shè)T在

點(diǎn)4、8處的切線分別為Zi，L，。與2軸交于點(diǎn)M,勾與c軸交于點(diǎn)N,設(shè)。與。的交點(diǎn)為P

_____________步

⑴設(shè)點(diǎn)A橫坐標(biāo)為a,求切線。的斜率，并證明FM_Lh；

(2)證明：點(diǎn)P必在直線y=x-l±；

(3)若P、M、N、T四點(diǎn)共圓，求點(diǎn)P的坐標(biāo).

【解析】⑴點(diǎn)A橫坐標(biāo)為a,則4a昌，

因?yàn)間=E，K=力,所以點(diǎn)A處的切線斜率為a

所以切線。的方程為g-=a(x—a),

切線。與力軸的交點(diǎn)為朋■(￡,0),

因?yàn)?05)，所以-=三一十，

2U

所以島1屈?&=—1,所以MW_Lli,

當(dāng)a=0時，亦有

結(jié)論得證.

⑵證明:設(shè)A(a,舄，耳居)，由9=弓，得"=人

所以&=0囪=6,

2/2

所以直線，i：g=ax——,直線l*y—bx——,

由，:二“仁￡即兩直線的交點(diǎn)。(警方

因?yàn)辄c(diǎn)人(見亨),,T(l,l)三點(diǎn)共線,

所以kAB=kBT,—=；］,得與一=-1—-,

b—ab—126—1

所以ab—(a+6)+2=0,所以普一勺也+1=0

所以點(diǎn)P在直線g=/一1上

272

(3)因?yàn)橹本€h：y=QN—,直線l2：y-bx——,

所以M倍,0),N借0),由⑵可知P(吟，明，

設(shè)△PMTV的外接圓方程為"+才+。/+坳+9=0,

與+華+F=0

則，號+號+F=0,

(空y+

解得。E=—F=牛

所以外接圓方程為1笥立工―衿沙+牛=。

將7(1,1)代入方程，得6—2(a+b)—ab=0

又a+b=ab+2,解得a+b=-^-,ab=-^-,

OO

所以點(diǎn)P坐標(biāo)為(y.y)

_____________的

解法二:拋物線「的焦點(diǎn),

由⑴可知同理可證得NF_U2,

所以F,M,N,P四點(diǎn)共圓，

所以PF是4PMN的外接圓的直徑，

因?yàn)镻、河、N、T四點(diǎn)共圓，所以點(diǎn)T在△PMN的外接圓上,

所以FT_LTP,

所以k-k=—l,即-―-k=-1,得k=-2,

FTTP1—0TPTP

所以直線TP方程為y—1=—2（力—1）,即y=—2x+3

又點(diǎn)P在直線g=/—l上，

則由卜=-2工+3,得小=7，

[y=x-l[y=j

所以點(diǎn)P坐標(biāo)為（y,y）

⑵已知橢圓（+1=1（99。）的離心率為泉點(diǎn)4口分別為橢圓的右頂點(diǎn)和上頂點(diǎn)，且向匚"

⑴試求橢圓的方程;

⑵斜率為哼的直線，與橢圓交于尸、Q兩點(diǎn),點(diǎn)P在第一象限,求證：A,P,B,Q四點(diǎn)共圓.

【解析】⑴依題意知，\AB\=f,即a2+b2=7^Q2—b2=c2^^^a=2,b=，^,

??.橢圓的方程為與+f=l.

43

⑵設(shè)直線PQ的方程為y=乎a;+小,根據(jù)點(diǎn)P在第一象限可知Y<m<V3,

因?yàn)锳（2,0）,B（0,血），故AB方程為：5+1,

整理得AB方程為y——-^-x+V3,

過A,P,B,Q四點(diǎn)的曲線系方程為：

今+看一1+4（冬2一夕+機(jī)）（烏力+9一遍）=0,

7n

即rc2（-^-+-|-/l）+才（：-九）+初（咒--1-）+Ay（VS+m）—1—V3mA=0,

取心志

則方程可以轉(zhuǎn)化為"+才+2（冬1—J）+（暇+等）—《―1皿=o①.

'124/v66/26

_______________________________B

w葉（述m1\2,/V3.m\2（7V3m\7m249vsm.679

此時（丁一1）+（丁+瓦）—4Ax（一了-p）=.+^^+而,

_+x3

一144'

而（987^）2-4x7x679x3=-28224<0,

故7館2+984館+679x3>0恒成立，

故（嚕TH乎+柒-4x（一9*）>0,

則①為圓的方程，故對nzCR,A,P,B,Q總四點(diǎn)共圓.

13.已知雙曲線C:i—娟=］,過*（2,0）的直線，與雙曲線。的右支交于P,Q兩點(diǎn).

（1）若\PQ\=2V10,求直線I的方程，

（2）設(shè)過點(diǎn)A且垂直于直線I的直線n與雙曲線。交于兩點(diǎn)，其中雙在雙曲線的右支上.

⑴設(shè)△尸MN和的面積分別為&,S2,求Si+S2的取值范圍；

⑻若河關(guān)于原點(diǎn)對稱的點(diǎn)為T,證明：M為的垂心，且P,Q,N,T四點(diǎn)共圓.

【解析】⑴設(shè)_?（◎,%）,Q（,2,紡）,

結(jié)合題意知直線斜率不為0,設(shè)直線Z：c=小9+2,因?yàn)橹本€Z與雙曲線右支相交，

故一1<771V1,

2

聯(lián)立雙曲線方程力2—才=1,得（^2—］）d+47ng+3=0,A=4（m+3）>0,

3

則以+仍=,yiy2=2，

m—1m—1

故IPQI=VIW|yi-d=241］曰）（丁+3）=2㈤,

\m-1\

即9m4—24m2+7=0,解得m2=4■，或m2=/（舍去）,

oo

因此從而直線l的方程為x=±-^-y+2.

oo

（2）⑴若nz=0,則\MN\=2a=2,

,,>led2A/（1+T?22）（7?22+3）L

由（1）可知,\PQ\="|2：——-=2V3,

|m-1|

此時8+S2=y|7W|-\PQ\=2V3;

當(dāng)？71W0時，設(shè)A/（g,g3）,N（g,必），直線n:x——-—y+2,

____________屈

注意到Si+$2=]|AWHPQ

=X,2?1+病)(病+3),2j(l+匍(3+十)=2,(而+十+2乂3病+n+10)

2kTl1-il_____________H+i-2!

令+(0,+oo)網(wǎng)S+&=2J("4p+16)=2/34產(chǎn)+64序+2/64

m"ttVt

28,64

2J3+力F，

綜上可知，$+$2的取值范圍是［2，^,+8）.

（近）先證明河為APQN的垂心，只需證明赤?謁=0,

注意到，礪.謁=（礪+而）（而+而）=麻.成+礪.赤,

而RP-RQ=（為一2,陰）?（g—2,%）

=（，1-2）（附-2）+%納=

同理加?麗=（1+」V

93%,

\m

MP-NQ=^\.+ni)y}y2+(1+2)%統(tǒng)

\m7

3(1+m2)-3m2(1+^-)3(1+m2)3(m2+l)

=--------1------------=-----------------=0f

2-1212i21

m—1