專題11與圓有關的位置關系

廠考點類型

'■知識一遍過

（一）與圓有關的位置關系

（1）點與圓的位置關系

位置關系圖形定義性質及判定

點在圓外點在圓的外部d>r。點P在O。的外

點在圓上&點在圓周上d=r=點P在。。上

點在圓內(V)點在圓的內部d<ro點P在O。的內

（2）直線與圓的位置關系

位置關系圖形定義性質及判定

相離€直線與圓沒有公共點d>rQ直線/與O。相離

d1___1

直線與圓有唯一公共

相切6立點，直線叫做圓的切d=r=直線/與。。相切

線，公共點叫做切點

直線與圓有兩個公共

相交￡點，直線叫做圓的割d<r=直線/與O。相交

線

（二）切線的判定與性質

（1）切線的定義：直線和圓只有一個公共點時,這條直線叫做圓的切線，唯一的公共點叫做切點.

（2）切線的性質：圓的切線垂直于經過切點的半徑;

（3）切線的判定：①作垂直，證半徑；②連半徑，證垂直

（三）切線長定理

（1）切線長定義：在經過圓外一點的圓的切線上，這點和切點之間的線段的長，叫做這點到圓的切線長.

（2）切線長定理：從圓外一點引圓的兩條切線，它們的切線長相等，圓心和這一點的連線平分兩條切線的

夾角.

（四）三角形與圓

（1）三角形與外接圓

①經過三角形三個頂點的圓叫做三角形的外接圓，外接圓的圓心是三角形三條邊垂直平分線的交點，叫做

三角形的外心，這個三角形叫做這個圓的內接三角形.

②三角形外心的性質：

★三角形的外心是指外接圓的圓心，它是三角形三邊垂直平分線的交點，外心到三角形各頂點的距離相等；

★三角形的外接圓有且只有一個，即對于給定的三角形，其外心是唯一的，但一個圓的內接三角形卻有無數

個，這些三角形的外心重合.

③直角三角形外接圓的圓心在直角三角形斜邊的中點

（2）三角形與內切圓

①概念：和三角形各邊都相切的圓叫做三角形的內切圓，內切圓的圓心叫做三角形的內心；內心是三角形

三個角平分線的交點;它到三角形的三邊的距離相等，這個三角形叫做圓的外切三角形，

②普通三1角形與內切圓的關系：R為內切圓的半徑

SAABC=-XRX（AB+BC+AC）

③直角三角形的三邊與內切圓的關系

R=|（兩直角邊和-斜邊長）

點一遍過

考點1:點與圓的位置關系

典例1:（2022上?陜西商洛?九年級統考期末）如圖，在△48c中，乙4=90。，AB=3,AC=4,AD1BC,

以點A為圓心，3.5為半徑畫圓，則點。與04的位置關系是（）

A.點。在外B.點。在。力上C.點。在內D.不能確定

【答案】C

【分析】本題根據點到圓心的距離和圓的半徑之間的數量關系，來判斷點和圓的位置關系.當d>7?時，點

在圓外；當d=r時，點在圓上；當d<r時，點在圓內.

要確定點與圓的位置關系，主要確定點與圓心的距離與半徑的大小關系，本題可由勾股定理等性質算出點

與圓心的距離d.

【詳解】解：根據勾股定理求得斜邊BC=V9T16=5,

則4。=變a=受=2.4,

BC5

02.4<3.5,

團點。在。力內.

故選：C.

【變式1］（2024上?廣東廣州?九年級統考期末）在RtAABC中，AACB=90°,AC=5,AB=10,以點C

為圓心，BC為半徑作OC,則點A與OC的位置關系是（）

A.點A在OC內B.點A在OC上C.點4在0c外D.無法確定

【答案】A

【分析】本題考查了點與圓的位置關系，利用勾股定理求得BC邊的長，然后通過比較4C與半徑BC的長即可

得到結論，解題的關鍵是確定圓的半徑和點與圓心之間的距離之間的大小關系.

【詳解】解：團在RtAABC中，Z.ACB=90°,AC=5,AB=10,

EIBC=y/AB2-AC2=V102-52=5后

團4c=5<BC,

團點A在。C內，

故選：A.

【變式2］（2023下?上海?九年級專題練習）如圖，在RtZkABC中，ZC=90°,AC=4,BC=7,點D在邊BC

上，CD=3,OZ的半徑長為3,與。/相交，且點8在外，那么。。的半徑長丁可能是（）

A.r=1B.r=3C.r=5D.r=7

【答案】B

【分析】連接2。交04于E,根據勾股定理求出4。的長，從而求出DE、DB的長，再根據相交兩圓的位置關

系得出r的范圍即可.

【詳解】解：連接4。交。4于E,如圖1,

圖1

在Rt△ACD中，由勾股定理得：AD=y/AC2+CD2=V42+32=5,

則DE=4D-4E=5-3=2,

BC=7,CD=3,

BD=7-3=4,

..。。與。4相交，且點B在。。外，必須2<r<4,

即只有選項B符合題意，

故選：B.

【點睛】本題考查了相交兩圓的性質，點與圓的位置關系，勾股定理等知識點，能熟記相交兩圓的性質和

點與圓的位置關系的內容是解題的關鍵.

【變式3］（2022?廣東江門?統考一模）如圖，是半圓O的直徑，點C在半圓。上，。4=10,BC=16,D

是弧AC上一個動點，連接BD,過點C作CMSiBD,連接AM,在點。移動的過程中，AM的最小值為（）

A.2V10-6B.3V26-10C.4V6-4D.4V13-8

【答案】D

【分析】取BC的中點E,連接AE、AC.在點。移動的過程中，點M在以BC為直徑的圓上運動，當E、

M、A共線時，AM的值最小，最小值為AE-EM,利用勾股定理求出AE即可解決問題.

【詳解】解：如圖，取8c的中點E,連接AE、AC.

BCMSBD,

EB2MC=90°,

回在點。移動的過程中，點”在以BC為直徑的圓上運動,

1

⑦CE=-BC=8,

2

朋3是直徑，

麗AC3=90°,

在R/BABC中，MC=16,48=204=20,

EL4C=VT1B2-BC2=V202-162=12,

在Rt^ACE中，AE=y/AC2+CE2=V122+82=4g,

^\EM+AM>AEf

團當E、M、A共線時，AM的值最小，最小值為AE-EM=4VT^8,

故選：D.

【點睛】本題考查了圓周角定理、勾股定理、點與圓的位置關系等知識，解題的關鍵是確定點M的運動軌

跡是以BC為直徑的圓上運動.

考點2：三角形的外接圓

典例2：（2023上?江蘇南通,九年級南通市實驗中學校考期末）如圖，點。是△ABC的內心，也是△DBC的外

心，若N4=84°,貝亞。的度數為（）

【答案】B

【分析】本題考查了三角形的外心與內心，三角形內角和定理，圓周定理，連接OB,OC,由點。是△力BC的

內心，乙4=84。，結合三角形內角和定理得出N80C=132。，再根據點D也是△的外心，結合圓周角定

理即可得出答案，熟練掌握以上知識點并靈活運用是解此題的關鍵.

【詳解】解：如圖，連接。B,OC,

0B是N4BC1的平分線，0c是44cB的平分線,

???乙OBC=-^ABC,乙OCB=-^ACB,

22

???(BOC=180°-乙OBC-(OCB

11

=180°--/.ABC--乙ACB

22

1

=180°--{/.ABC+乙ACB)

1

=180。-2（180。一乙4）

1

=90。+］乙4

=132°,

???點。也是△08C的外心,

乙D=1"OC=66°,

2

故選：B.

【變式1］（2024上?河北唐山?九年級統考期末）如圖所示的網格由邊長相同的小正方形組成，點2、B、C、

D、E、F、G在小正方形的頂點上，貝UA/IBC的外心是（）

A.點、DB.點EC.點FD.點G

【答案】C

【分析】本題考查了三角形的外接圓與外心，勾股定理等知識點，根據三角形三邊的垂直平分線相交于一

點，這一點叫做它的外心，據此解答即可，解答本題的關鍵是明確三角形的外心是三角形三邊的垂直平分

線的交點.

【詳解】由圖可知，凡4=V22+I2=?FC=V22+I2=V5,FF=V22+l2=V5,

團凡4=FB=FC,

ar點在4B,AC,BC三邊的垂直平分線上，

團點尸是△4BC外心，

故選：C.

【變式2］（2023上?浙江溫州?九年級校聯考期中）如圖，直角坐標系中4（0,4）,B（4,4）,C（6,2）,經過4B,C

三點的圓，圓心為M,若線段DM=4,則點。與的位置關系為（）

C.點。在OM內D.無法確定

【答案】C

【分析】連接BC,作4B和BC的垂直平分線，交點為(2,0),則圓心M的坐標為(2,0),然后求出OM的半徑,

比較即可解答.

回圓心M的坐標為(2,0),

021(0,4).

EL4M=V22+42=2V5>

13線段DM=4,

WM(半徑4M,

回點。在OM內.

故選：C.

【點睛】本題主要考查了三角形的外接圓與外心、坐標與圖形的性質、勾股定理、點與圓的位置關系等知

識，確定圓心的位置是解題的關鍵.

【變式3］（2023上?浙江湖州?九年級校考階段練習）《九章算術》中“今有勾八步，股有十五步，問勾中容

圓徑幾何？"其意思是："今有直角三角形，勾（短直角邊）長為8步，股（長直角邊）長為15步.問該直

角三角形的容圓（外接圓）直徑是多少？"（）

A.14步B.15步C.16步D.17步

【答案】D

【分析】本題主要考查三角形的外接圓及勾股定理.設三角形△ABC,由勾股定理可求得直角三角形的斜邊，

外接圓直徑即斜邊，可求得直徑.

【詳解】解：設三角形為△ABC,ZC=90°,AC=8,BC=15,

AB=yjAC2+BC2=V82+152=17,

zC=90°,

;該直角三角形的容圓（外接圓）直徑即斜邊，

???外接圓的直徑是17步，

故選：D.

考點3：直線與圓的位置關系

典例3：（2023上?河北廊坊?九年級校考階段練習）如圖，在△ABC中，NB=90。，BC=3,以點C為圓心，

3為半徑作圓，則下列判斷正確的是（）

A.點8在內B.點A在OC上

C.邊4B與OC相切D.邊4C與OC相離

【答案】C

【分析】本題考查了點與圓的位置關系，直線與圓的位置關系.熟練掌握點與圓的位置關系，直線與圓的

位置關系是解題的關鍵.

由BC=3,可判斷點8在上，進而可判斷A的正誤；由4C>3,可判斷點A在OC外，進而可判斷B

的正誤；由CB14B,BC=3,可判斷邊4B與OC相切，進而可判斷C的正誤；由邊2C過0c的圓心，可

得邊2C與OC相交，進而可判斷D的正誤.

【詳解】解：0SC=3,

回點B在OC上，A錯誤，故不符合要求;

04C>3,

團點A在OC外，B錯誤，故不符合要求；

EICB1AB,BC=3,

國邊4B與OC相切，C正確，故符合要求；

由題意知，邊2C與OC相交，D錯誤，故不符合要求；

故選：C.

【變式1】（2023?陜西西安?高新一中校考一模）在△ABC中，ZC=90°,ZX=60°,BC=4.若0c與2B相

離，則半徑為「滿足（）

A.r>2B.r<2C.0<r<2D.0<r<2百

【答案】C

【分析】本題主要考查直線與圓的位置關系，勾股定理和含30度直角三角形的性質，

根據含30度直角三角形的性質和勾股定理得到4C和42的長度，再根據OC與48相離可知半徑小于點C到

4B的距離，即可進行求解.

【詳解】解：EZC=90°,N4=60。，BC=4,

EIZB=30°

EL4B=2AC,

SAC2+BC2=AB2

SlAC2+42=4AC2,解得：24C=1V3,

BIAB=-V3

3

設點C至IJ4B的距離為h,則-h=^AC-BC,

0ix-V3-/i=-x4x^V3,

2323

團九=2,

團若。C與4B相離,

EIO<r<2

故選：C.

【變式2]（2012?北京海淀?統考中考模擬）如圖，已知。。是以數軸原點。為圓心,半徑為1的圓，乙4OB=45。,

點P在數軸上運動，若過點P且與。4平行的直線與。。有公共點，設OP=久，貝卜的取值范圍是（）

A.-V2<x<V2B.0<x<V2

C.-1<%<1D.x>V2

【答案】B

【分析】根據題意，知直線和圓有公共點，則相切或相交，相切時，設切點為C,連接OC,根據等腰直角

三角形的直角邊是圓的半徑1,求得斜邊是魚，所以x的取值范圍是OWxW/.

【詳解】解：設切點為C，連接。C,則

圓的半徑。C=1,OCLPC,

0ZXOB=45°,OAWPC,

[3N0PC=45°,

0PC=OC=1,

OOP=V2,

同理，原點左側的距離也是近，且線段是正數

所以x的取值范圍是0<%<V2

故選：B.

【點睛】本題主要考查了直線與圓的位置關系，以及直徑所對的圓周角是直角等知識，解題關鍵是求出相

切的時候的無值，即可分析出X的取值范圍.

【變式3](2023?遼寧盤錦?統考二模)如圖，半徑r=2式的EIM在x軸上平移，且圓心M在x軸上，當EIM

與直線y=x+2相切時，圓心M的坐標為()

【答案】D

【分析】根據題意，進行分情況討論，分別為圓位于直線右側并與直線相切和位于直線左側并于直線相切

兩種情況，進而根據相切的性質及等腰直角三角形的相關性質進行求解即可得解.

【詳解】①當圓位于直線右側并與直線相切時，連接MA,如下圖所示：

團y=%+2

回2(0,2),5(-2,0),AAOB是等腰直角三角形，^ABO=45°

EL4B=2V2

0r=2V2

團△力是等腰直角三角形，ABAM=90°

03M與直線AB相切于點A

囿4。1BM

EIOB=OM=2

團圓心”的坐標為(2,0)；

②當圓位于直線左側并與直線相切時，過點M作MO1B于點C,如下圖所示:

EBM與直線AB相切，MC1AB

BMC=r=2V2

根據直線A8的解析式：y=%+2可知乙4B。=乙MBC=45°

團ABCM是等腰直角三角形

0MB=V2MC=4

麗(-2,0)

團圓心M的坐標為(一6,0),

綜上所述：圓心M的坐標為（2,0）或（一6,0）,

故選：D.

【點睛】本題主要考查了切線的性質，等腰直角三角形的性質及動圓問題，熟練掌握相關幾何求解方法并

進行分類討論是解決本題的關鍵.

考點4：切線的判定綜合

典例4：（2023上?遼寧盤錦?九年級統考期末）如圖，在AABC中，AB=AC=10,4D1BC于點D,BE1AC

于點E,AD,BE相交于點0,再以。為圓心，OE為半徑作一圓.

（1）求證：4B是。。的切線；

（2）當4E=6時，求O。的半徑.

【答案】⑴見解析

(2)3

【分析】（1）過點。作OF1AB于點F,利用等腰三角形的三線合一的性質得到4。為4BAC的平分線，利用

角平分線的性質得到OE=OF,再利用圓的切線的定義解答即可；

（2）利用勾股定理求得線段BE的長度，再利用直角三角形的性質和相似三角形的判定與性質，列出比例式

解答即可.

【詳解】（1）證明：過點。作。F于點F,如圖，

AB=AC,AD±BC,

40為的平分線,

???乙BAD=Z-CAD,

???OE1AC,OF1AB,

???OE=OF,

???OE為。。的半徑，

。尸為。。的半徑，

???4B是。。的切線；

(2)解：BE1AC,AB=AC=10,AE=6,

BE=>JAB2-AE2=V102-62=8.

?-.ECAC-AE4.

AD1BC,

???Z.C+^LDAE=90°,

BE1AC,

??.ZC+乙EBC=90°,

???Z-DAC=Z-EBC,

???^AEO=乙BEC=90°,

AOE~&BCE,

.AE_BE

,,=,

OEEC

.6_8

,,—―J

OE4

???OE—3.

.??。。的半徑為3.

【點睛】本題主要考查了圓的有關性質，等腰三角形的性質，角平分線的性質，圓的切線的定義，勾股定

理，相似三角形的判定與性質，過圓心作直線的垂線段是解決此類問題常添加的輔助線也是解題的關鍵

【變式11(2024上?湖南長沙?九年級湖南師大附中博才實驗中學校考期末)如圖，在等腰△ABC中AB=4C,

以A8為直徑的。。交BC于點D,。石，4；于點凡ED的延長線與48的延長線交于點F.

F

⑴求證：EF是。。的切線；

(2)若CE=1,BD=V5,tanF=求FB■凡4的值.

4

【答案】⑴見解析

⑵FB?FA=詈

【分析】本題主要考查切線的性質，勾股定理，相似三角形的判定和性質，熟練掌握圓的性質是解題的關

鍵.

(1)連接。。，根據42=AC,OB=OD^^ACB=乙ODB,從而得至【J。。IIAC,得至【JEF1。。即可證明結論；

(2)連接力D,證明△FHDsAFDB,得到”=生，設。。=33FD=4t,列出等式進行求值.

FDFB

【詳解】([)解：證明：連接。。，

DE1AC,

???Z-AEY=90°,

???AB=AC,

???乙ABC=Z-ACB,

OB=OD,

???Z.ABC=Z-ODB,

???Z.ACB=Z.ODB,

???OD||AC,

???乙ODF=AAEF=90°,

???DE1OD,

即EF1OD,

■■■。。是。。的半徑，

E尸是O。的切線；

F

(2)解：連接AD,

???43是。。的直徑，

???/,ADB=4ODA+(ODB=90°

由(1)知：乙FDO=LFDB+乙ODB=90。

??.Z.ODA=乙FDB

又???OA=OD,

???Z-FAD=Z-ODA

Z.FAD=Z.FDB

又???z_p=z_p

???△FADFDB

,即：FA-FB=FD2

FDFB

又AB=ACS.^ADB=90°,

a。為邊BC的中線

CD=BD=V5

又■:DE1AC于點E

???乙DEC=90°

.??在Rt△DEC中，DE=yjDC2-CE2=V5-1=2

乂T7??,tanrzr=—0。=-3

FD4

???可設。。=3t,FD=4t

???0、D分別為AB、CB中點

??.ACWD^AC=2OD=6t

△FDOFEA

.FD_OD叩4t_3t

"FE~AE94t+2-6t-l

解得t=三，故FD=4t=-

63

FB-FA=FD2=(y)2=手

【變式2】（福建省龍巖市2023-2024學年九年級上學期期末數學試題）如圖，在。。中，4B是直徑，點C

是BD的中點，過點C作CE1AB于點E,連接8。，交CE于點F，在EC的延長線上取一點P,使PF=PD,

連接4c.

(1)求證：PD是O。的切線；

⑵若PDII4C,求N4BD的度數.

【答案】⑴證明見解析

(2)30°

【分析】(1)連接。。，由等邊對等角的性質，得出乙PDF乙PFD=乙BFE,再由直角三

角形兩銳角互余，得出NOOB+NPDF=90。，即可證明結論；

(2)連接0C,由平行線的性質，得到。。1AC,由垂徑定理，可得品=CDAD,進而求出乙4。。=60°,

再利用圓周角定理，即可求出44BD的度數.

【詳解】(1)證明：如圖，連接。D,

SOD=0B,

EINOBD=Z.ODB,

0PF=PD,

團乙PDF=Z-PFD—Z.BFE,

團CE1AB,

國eBEF=90°,

包乙OBD+乙BFE=90°,

團乙ODB+乙PDF=90°,

團乙OOP=90。，即PD1。。，

又回OD是。。的半徑，

BPD是。。的切線.

(2)解：如圖，連接0C,

由（1）可知，PD10D,

團POII/C,

團。。1AC,

07?=8

團點。是附的中點，

團8c=CD=AD,

國乙AOD=乙DOC=乙COB=—=60°,

3

1

國乙ABD=-^AOD=30°.

2

【點睛】本題考查了等腰三角形的判定和性質，直角三角形兩銳角互余，圓的切線的判定，垂徑定理，圓

周角定理等知識，熟練掌握圓的相關性質是解題關鍵.

【變式3](2024上?重慶合川?九年級統考期末)如圖，四邊形2BCD是。。的內接正方形，E是。。外一點,

4D平分NC4E,連接ED并延長交。。于點凡連接BF交AC于點G.

⑴求證：4E為。。的切線;

(2)求證：AE=AG.

【答案】⑴見解析

(2)見解析

【分析】本題主要考查了圓的內接四邊形的性質，正方形的性質，圓的切線的判定定理；

(1)利用正方形的性質，圓的切線的判定定理解答即可；

(2)利用正方形的性質和全等三角形的判定定理得到△4DE三△4BG(SAS)即可.

【詳解】(1)團四邊形48CD是。。的內接正方形，

^DAC=乙BAC=45°,

胡。平分4L4E,

團匕EAC=2ADAC=90°,

斯C1XE,

ME為。。切線；

(2)回/0平分NC4E,ADAC=45°,

^EAD=^DAC=45°,

^BAC=45°,

^Z.EAD=Z.BAC,

^ABF+￡.ADF=180°,Z.ADE+^ADF=180°,

^\Z-ADE=4ABF.

在和△ZBG中，

Z.ADE=/-ABG

AD=AB

/DAE=Z-BAG

0AADE三△ZBG(SAS).

ME=AG.

【變式4](2024上?山西呂梁?九年級統考期末)如圖,48是O。的直徑,是弦，點。是O。上一點，。。14B,

連接CD交48于點E,F是4B延長線上的一點，且CF=EF.

⑴求證：CF是。。的切線；

(2)若CF=8,BF=4,求弧BD的長度.

【答案】⑴見解析；

(2)3TT.

【分析】本題考查了切線的判定，求弧長；

(1)如圖，連接。C,。0.證明乙。。9二90。即可；

(2)設。。的半徑為丁,在Rt^COF中，勾股定理可得7=6,再根據弧長公式可解決問題.

【詳解】(1)證明：連接。。

???CF=EF

???乙CEF=乙ECF

???0D1AB

乙DOE=90°,

???乙ODE+Z.OED=90°,

???0D=0C,

???乙ODE=Z.OCD,

Z.CEF=Z.OED,

Z.OED=Z.ECF,

???(OCD+乙ECF=90°,

BPzOCF=90°,

???0C1CF,

??.CF是。。的切線.

(2)設。。的半徑為r,

0BF=4,

0OF=r+4,

在RtAOCF中,

OF2=OC2+CF2,

0(r+4)2=r2+82,

解得：r=6,

【變式5](2024上?廣東肇慶?九年級統考期末)如圖所示，在RtZkABC中，點。在斜邊48上，以。為圓心,

。8為半徑作圓。，分別與BC、4B相交于點D、E,連接2D,已知N&W=NB.

%

(1)求證：4。是O0的切線；

(2)若力。=2CD=3時，求陰影部分的面積.

【答案】⑴見詳解

【分析】本題是圓的綜合題目，考查了切線的判定與性質，等腰三角形的性質，直角三角形的性質，解直

角三角形，勾股定理等知識；

(1)如圖1,連接OD,由等腰三角形的性質可證NB=AODB=N&W,由直角三角形的性質可求4W。=90°,

可得結論；

(2)分別求出。。的長度和ADOB的度數，再由S陰影=S扇形DM—SA。.可求解；

【詳解】([)解：如圖1,連接。。，

???Z.ACB=90°,

ACAD+^ADC=90°,

OB=OD,

Z-B=Z-ODB,

v乙CAD=乙B,

???Z-CAD=Z.ODB,

???乙ODB+/LADC=90。，

???/.ADO=90。，

又團。。是半徑，

西。是。。的切線；

(2)回40=2CD=3,乙ACB=90。,

CD1

???sinZ-CAD=—■=

AD2

???ACAD=乙ODB=LB=30°,

???/.CAB=60。，

???/-DAB=30。，

八V3「

???OD=AD-tan30°=3x=V3,

???OD=OB,Z.B=30。，

???乙B=Z.ODB=30。，

???乙DOB=120。，

過。作0”1BD,

則。"=OD?sin30°=V3-sin30°=—,DH=y/OD2-OH2=-BD=3,

22f’

2_

(V3)-n-12001V3_3V3

二S陰影=S扇形0DB_SAODB=痂^2X-TX3=71---

【變式6](2023上,江西新余?九年級統考期末)如圖，4B為回。的直徑，過圓上一點。作團0的切線CO交B4的

延長線于點C,過點。作。E,。臼N。交CD于點E,連接BE.

CAB

⑴求證：直線BE與回。相切.

(2)若C4=4,CD=6,求DE的長.

【答案】⑴證明見解析；

(2)DE的長為學.

4

【分析】(1)連接。D,根據切線的性質和平行線的性質可得乙4。。=ADOE,乙DAO=LEOB,進而可得

乙EOB=Z.DOE,則可以利用SAS證明△80E=△DOE,得〃)BE=乙ODE=90°,可以得到結論；

(2)設。。的半徑為r,根據勾股定理進行列出方程進行求解即可；

本題考查了切線的性質和判定、平行線的性質、全等三角形的判定和性質和勾股定理的應用，靈活運用所

學知識求解是解題的關鍵.

【詳解】(1)如圖，連接。D,

回直線CC與O。相切與點D,

EIZODF=90°,

WEWAD,

0Z.XDO=/.DOE,/.DAO=Z.EOB,

團。￡)=OA,

0Z4Z)O=/.DAO,

S/.EOB=/.DOE,

^.iiBOE^LDOE^,

'OB=OD

乙EOB=乙DOE,

.OE=OE

0ABOESADOE(SAS),

El/OBE=NODE=90°,即。BJ.BE,

又回OB是O。半徑，

回直線BE與。。相切；

(2)設O。的半徑為r,

在RtZiODC中，OD2+DC2=OC2,即產+6?=(r+4尸，

解得：r=2.5,

SAB=2r=5,

0BC=AC+AB=4+5=9,

由(1)得ABOE=AD0E,

0B￡=DE,

在RtABCE中，BC2+BE2=CE2,即92+BE2=(6+DE)2,

092+BE2=(6+BE)2,

解得：BE=當,

EIDE的長為王.

4

【變式7](2024上,四川綿陽?九年級校考期末)如圖，4B為。。的直徑，CE為。。的弦，AC||OE,延長4C

至D,且DE12D,。。的半徑為6.

DD

圖1圖2

⑴求證：直線DE與。。相切；

(2)如圖1,若O4=2CD,求陰影部分面積;

⑶如圖2,若箓=亨，求CD的值.

【答案】⑴見解析

27V3乙

(/n2X)丁~6兀

(3)8-277

【分析】本題主要考查了圓周角定理，切線的判定，平行線的性質和判定，勾股定理，矩形的判定和性質,

熟練掌握切線的判定定理是解決問題的關鍵.

(1)由切線的判定可得出結論；

(2)過點。作。F14D于點F,連接。C,證明四邊形。FDE為矩形，得出。F=DE,0E=DF=6,求出NCOE

60°,OF=3V3,由扇形的面積公式及梯形的面積公式可得出答案；

(3)設力F=CF=x,貝!1CE=V3x,過點C作CM1OE于點M,則四邊形CFOM為矩形，由勾股定理求出x,

則可得出答案.

【詳解】(1)證明：:ACIIOE,DELAD,

???DE1OE,

OE為圓。的半徑，

???直線DE與。。相切；

(2)解：過點。作。尸于點F,連接。C,

圖1

Z.D=Z.DEO=Z.OFD=90°,

???四邊形OFDE為矩形，

OF=DE,OE=DF=6,

??.OA=2CD,OA=6,

CD=3,

...CF=DF-CD=3,

???OFLAC,

AF=CF=3,

AF=-AO.

2

.-./.AOF=30。，

???乙COF=30°,

El乙40c=60°

又。4=OC

回△HOC是等邊三角形.

S/.ACO=60。,又"〃OE

???乙COE=60°,

在RtAOAF中,。F=yJOA2-AF2=V62-32=3后

DE=OF=3V3,

???陰影部分的面積=S^CDEO-S扇形COE

=43+6)*3次-制

27V3「

--------67r.

2

（3）解:過點。作。F14。于點F,由垂徑定理可知，點F為AC的中點，設力尸=CF=%，因答=今則CE=百尤,

過點C作CM1OE于點M,因/C||。瓦則四邊形CFOM為矩形,

.?.OM=CF=x,CM=OF,

???EM=6—x,

CM2=CE2-EM2=(V3x)2-(6-x)2,

又?；OF2=。42-AF2=62-%2,

(V3%)2—(6—x)2=62—x2,

.??%=2V7-2(另一解x=-2-2夕不合題意,舍去).

CD=EM=6-x=6-(2V7-2)=8-2夕.

考點5:切線的性質綜合

典例5：(2024上,陜西渭南?九年級統考期末)如圖，直線AC與。。相切于點C,射線4。與。。交于點

(1)求證：AACD=乙E；

(2)若力C=2g，AD=2,求⑵的長.

【答案】⑴證明見解析

(2)-

13

【分析】(1)連接。C,由切線的性質得到+N4CD=90。，由圓周角定理得到N1+42=90。，由等腰三

角形性質得到N2=NE,對上述角進行等量代換，即可解題.

(2)本題設。。=。。=r,在RtAAC。中，利用勾股定理求得r,證得△0co是等邊三角形，得到乙4。(7=60°,

再根據弧長公式即可求解.

【詳解】(1)解：證明：如下圖，連接OC,

???直線力C與。。相切于點C,

：.0C1CA,

：.zl+^ACD=90°,

?；ED為。。的直徑，

zl+Z2=90°,

???Z-ACD=z2,

???OE=OC,

???z.2=Z-E,

Z.ACD=Z.E；

(2)解：設。0=。。=丁，

???OC1CA,AC=2V3,AD=2,

2

r2+(2V3)=(r+2)2,

r=2,

???點。為4。的中點，

又?：N/C。=90°,

.-.CD=-AO=2,

2

:OCD是等邊三角形，

???Z40C=60°,

的長為空坨=空.

1803

【點睛】本題考查切線的性質、圓周角定理、等腰三角形性質、勾股定理、直角三角形斜邊上的中線等于

斜邊的一半、等邊三角形性質與判定、弧長公式，解題的關鍵在于熟練掌握相關的公式定理，并靈活運用.

【變式11(2022上?北京?九年級清華附中校考階段練習)如圖，4B為O。的直徑，DE切O。于點E,BD1DE

于點。，交O。于點C,連接BE.

(2)若AB=10,BC=6,求CD的長.

【答案】⑴見解析

(2)CD=2

【分析】(1)由DE切。。于點E知。E1ED,結合BD1DE于點。知。E||BD,從而得NOEB=乙EBD=LOBE,

即可得證；

(2)連接4c交。E于點R證四邊形CDEF是矩形，根據相似三角形的判定和性質，求出。F=3,即可得出

答案.

【詳解】(1)證明：SDE與。。相切于點￡,

國0E1ED.

團BD1DE,

團。EIIBO,

^OEB=乙EBD.

BOB=OE,

國乙OEB=乙OBE,

^EBD=乙OBE,

回BE平分

(2)解團連接ZC交。E于點尸，

團是。。的直徑,

氏LACD=ZD=乙DEF=90°,

團四邊形CDEF是矩形,

團CD=EF,

248=10,點。是43的中點,

???OE=OA=OB=-AB=5,

BOEWBD,

^AOFfABC,

EOF=-BC=3,

2

SCD=EF=OE-OF=2.

【點睛】本題主要考查切線的性質、圓周角定理、垂徑定理及矩形的判定和性質，相似三角形的判定和性

質，熟練掌握切線的性質、圓周角定理、垂徑定理等知識點是解題的關鍵.

【變式2］（2024上?湖北武漢?九年級統考期末）菱形48CD的頂點3,C,D在。。上，O在線段4C上.

圖1圖2

（1）如圖1,若2B是。。的切線，求NADC的大小；

（2）如圖2,若AB=2AC=8,AB與。。交于點E,求BE的長.

【答案】（1）乙4。。=120°

(2)BE=當

【分析】（1）連接0B,則可得NB4C+乙40B=90°；由菱形的性質及等腰三角形的性質得N40B=2&OCB=

2/.BAC,由此可求得NOBC,進而求得結果；

（2）連接OB、OE,過點8作BFL4C于R過點。作。N1BE于N；由菱形的性質及勾股定理可求得BF的

長；設圓的半徑的，，則在RtABF。中由勾股定理可求得廠的值；

由面積相等則可求得ON,再由勾股定理及等腰三角形的性質即可求得BE.

【詳解】（1）解：如圖，連接OB,

EL4B是O。的切線，

回乙48。=90°,

即4BAC+4ZO8=90°；

團四邊形是菱形，

^Z.BAC=乙OCB,乙ADC=乙ABC；

團OB=OC,

國乙OCB=Z.OBC,

⑦乙

OCB=Z-OBC=Z-BACf

^AOB=2Z.0CB=2/-BAC,

^OBC+2(OBC=90°,

⑦乙OBC=30°,

^ADC=Z,ABC=/.ABO+Z.OBC=120°；

D

(2)解：如圖，連接08、OE,過點8作BFLAC于R過點。作。N,BE于N；

回四邊形ZBCD是菱形，BF1.AC,

1

^\AF=-AC=4,

2

由勾股定理得B尸=7AB2一己/2=424-16=2V2；

設圓的半徑的小貝1」。尸=4一丁，

在RtABF。中，由勾股定理得：(2V2)2+(4-r)2=r2,

解得：r=3,

WA=AC-OC=5；

^SAAOB=^OABF=^AB-ON,

OABF5x2725>/3

在RtZkOBN中，由勾股定理得：BN=y]OB2-ON2=

WB=OE,ONLAB,

ME=2BN=—

【點睛】本題考查了圓的切線性質，菱形的性質，勾股定理及等腰三角形的性質，綜合運用這些性質與定

理是解題的關鍵.

【變式3](2024上,新疆吐魯番?九年級統考期末)如圖，點力，B,C在。。上，AC是直徑，是弦，點P是

。。外一點，分別作射線P4PB,其中P4是。。的切線，線段P4=PB.

(1)求證：PB是。。的切線.

(2)若NC4B=25。，求NP的度數.

【答案】⑴見解析

(2)乙4PB=50°

【分析】本題考查了切線的性質與判定，圓周角定理；

(1)證明△Q4P三△OBP(SSS),得出NOBP=N04P=90。，即可得證；

(2)根據圓周角定理可得NC08=50。，進而得出乙408=130。，即可求解.

【詳解】(1)證明：如圖，連接。B,0P.

PA=PB

在4。42和仆OBP中\0A=0B

OP=OP

：.△OAP=△OBP(SSS)

.-.乙OBP=Z.OAP=90°

又OB是半徑

PB是O。的切線

(2)???"AB=25°

???LCOB=50°

.-.Z.AOB=130°

,?,四邊形。4PB中NOBP=Z.OAP=90°

/-AOB+Z.APB=180°

???/.APB=50°

【變式4](2024上?河南洛陽?九年級統考期末)如圖，。。與AdBC的BC邊相切于點以與4C邊相切于點

D,與力B邊交于點E,E8是。。的直徑.

⑴求證：DEWOC-,

(2)若。。的半徑是|,AD=2,求CD的長.

【答案】⑴證明見解析

(2)3

【分析】本題考查了切線的判定與性質：經過半徑的外端且垂直于這條半徑的直線是圓的切線；圓的切線

垂直于經過切點的半徑，熟練掌握切線的性質是解題的關鍵.

(1)連接。D,根據切線的性質得到CD=CB,根據全等三角形的性質得到NCOD=NCOB,求得ADE。=

NC08,根據平行線的判定定理得到結論；

(2)先利用勾股定理得到。4=?,貝必8=4,再證明△A。。則利用相似比可求出BC,然后利用

△COD=△COB得出的長即可.

【詳解】(1)證明：連接。D,

???。。與△48C的邊相切于點3,與AC邊相切于點。,

??.CD=CB,^ODC=乙OBC=90°,

在△C。。和△COB中，

CD=CB

乙ODC=Z.OBC

、OD=OB

??.△COD=△CO^(SAS)

???乙COD=(COB,

???乙COB=jx(180°-/OOE),

BOD=OE,

1

???乙DEO=乙ODE=^(180°-乙DOE),

Z.DEO=2COB,

???DEWOC；

(2)在Rt2k4。。中，

OA=y/OD2+AD2=J(I)2+22=I，

53

-.AB=OA+OB=-+-=4,

22

團NOAO=匕CAB,

；.AAOD~2ACB,

絲=絲,即1一

BCABBC4

解得：BC=3,

COD=△COBf

CD=BC=3.

【變式5］（2023上?河北張家口?九年級統考期末）如圖，在AABC中，AB=AC,。為8c的中點，2C與半

圓。相切于點0.

BB

DP

⑴求證：AB是半圓。的切線；

(2)若NA=60。，點P是△ABC的內心，點。與點P之間的距離是2,則半圓。的半徑是

【答案】⑴見解析；

(2)3

【分析】(1)如圖所示，由切線的性質得到NODC=4OEB=90。，由等邊對等角得到NC=NB,據此證明

△OCDmAOBE(AAS),得到。E=。。，即可證明2B是半圓。的切線；

(2)先證明△4BC是等邊三角形，再由點。是44BC的內心，。為BC的中點，得到40、P三點共線，N04D=

30°,貝l]O4=3OP=6,即可得到。D=[。4=3,即半圓。的半徑是

【詳解】(1)證明：如圖所示，過點。作。于E,連接。D,

團"與半圓。相切于點。，

0ZODC=乙OEB=90°,

國。為BC的中點，

0OC=OB,

EL4B=AC,

0ZC=4B,

0AOCDdOBE(AAS),

0OF=OD,

囿4B是半圓。的切線；

(2)解：如圖所示，連接。D,AO,

0ZX=60°,AB-AC,

ElA28C是等邊三角形，

回點P是AABC的內心，。為BC的中點,

囿4、。、P三點共線，4。4。=30。，

回點。與點P之間的距離是2,

回。/=30P=6,

刻C與半圓。相切于點D,

^ODA=90°,

0OD=工。4=3,

2

回半圓。的半徑是3,

故答案為

【點睛】本題主要考查了切線的性質與判定，內心的性質，等邊三角形的性質與判定，全等三角形的性質

與判定，含30度角的直角三角形的性質等等，熟知切線的性質和判定定理是解題的關鍵.

考點6:切線的判定與性質綜合

典例6：(2023上?吉林松原?九年級校考期末)如圖，在△ABC中，AB=AC,。在AB上，以。為圓心，OB為

半徑的圓與AC相切于點尸，交BC于點D,交2B于點G,過D作DE14C,垂足為E.

(1)DE與O。有什么位置關系，請寫出你的結論并證明;

(2)若O。的半徑長為3,AF=4,求CE的長.

【答案】(1)DE與。。相切，證明詳見解析；

(2)1.

【分析】本題考查的是切線的判定，要證某線是圓的切線，已知此線過圓上某點，連接圓心和這點(即為

半徑)，再證垂直即可.

(1)由已知可證得ODIDE,。。為圓的半徑，所以DE與。。相切；

(2)連接OF,由已知可得四邊形ODEF為矩形，從而得到EF的長，再利用勾股定理求得4。的長，從

而可求得ZC的長，此時CE就不難求得了.

【詳解】(1)解：DE與。。相切；

理由如下：

\/\/取

X./、\

==

B^D~C

連接0D,

OB=0D,

???乙ABC=Z-ODB；

-AB=AC,

???Z.ABC=Z.ACB,

???乙ODB=Z-ACB,

WDWAC；

??,DE1AC,

???OD1DE,

???DE與O。相切.

(2)連接。C,OF；

???DE,AF是O。的切線，

OF1AC,OD1DE,

又：DELAC,

四邊形ODEF為矩形，

EF=OD=3；

在RtAOFZ中，AO2=OF2+AF2,

AO=V32+42=V25=5,

AC=AB=AO+BO=8,CE=AC-AF-EF=8-4-3=1,