專題01圖形的初步（1）

廠考點類型

模塊四圖形的性質

01講圖形的初步（1）

考點12：線段的動點問題

考點13：兩點之間線段最短

考點14：兩點間的距離

考點15：最短路徑問題

L一

知識一遍過

（-）立體圖形的認識

（1）立體圖形概念：有些幾何圖形的各部分不都在同一個平面內。

常見的立體圖形：棱柱、棱錐、圓柱、圓錐、球等。

（2）平面圖形概念：有些幾何圖形的各部分不都在同一個平面內。

常見的平面圖形：線段、角、三角形、長方形、圓等

（二）點、線、面、體的關系

（1）幾何圖形的組成

點：線和線相交的地方是點，它是幾何圖形最基本的圖形。

線：面和面相交的地方是線，分為直線和曲線。

面：包圍著體的是面，分為平面和曲面。

體：幾何體也簡稱體。

（2）點動成線，線動成面，面動成體。

（三）幾何體展開圖

名稱正方體長方體五棱柱圓柱圓錐四棱錐

立體

圖形00￡BA國

平面A

圖形11<>

牛V

(四)正方體展開圖

F,,rn_.

[T0

圖⑺圖⑻圖⑼

第四類，兩排各有3個,也只有1種.如下圖,

"MZO

圖⑴)

(五)直線、線段、射線的相關概念

直線射線線段

■?

圖形

ABABAB

端點個數無一個兩個

直線a線段a

表示法射線AB

直線AB(BA)線段AB(BA)

作直線a作線段a

作法敘述作射線AB

作直線AB作線段AB(BA)

延長線段AB

延長敘述兩端可無限延伸延長射線AB

反向延長線段BA

(六)直線與線段的性質

①經過一點有無數條直線

②經過兩點有且只有一條直線

③經過不共線的三點畫不出直線；經過共線的三點有且只有一條直線

④兩點之間，線段最短。線段的長度表示兩點之間的距離。

（七）線段的中點性質

線段中點：把一條線段分成兩條相等的線段的點叫線段中點；

如圖：M為線段AB的中點，則AMMBM^ABI立B

工二,考點一遍過

考點1:認識立體圖形

典例1:（2023上?河南周口?七年級統考階段練習）下列幾何體中，是圓柱的是（）

【答案】C

【分析】本題考查了幾何體的識別，根據立體圖形的相關知識點逐項判斷即可得出答案，熟練掌握幾何體

的相關定義是解此題的關鍵.

【詳解】解：A、此幾何體是圓錐，故不符合題意；

B、此幾何體是圓臺，故不符合題意；

C、此幾何體是圓柱，故符合題意；

D、此幾何體是凌臺，故不符合題意；

故選：C.

【變式1］（2024上?廣東清遠?七年級統考期末）如圖是我國航天載人火箭的實物圖，可以看成的立體圖形

為（）

A.棱錐與棱柱的組合體B.圓錐與圓柱的組合體

C.棱錐與圓柱的組合體D.圓錐與棱柱的組合體

【答案】B

【分析】本題考查常見幾何體的識別，根據所給圖形可直接得出答案.

【詳解】解：所給圖形上部為圓錐，下部為圓柱，可以看作圓錐與圓柱的組合體，

故選B.

【變式2］（2024上?遼寧沈陽,七年級統考期末）如圖所示的圖形中，屬于棱柱的有（）

A.1個B.2個C.3個D.4個

【答案】B

【分析】本題主要考查棱柱的概念，解題的關鍵是掌握棱柱的定義.根據棱柱的定義逐一判斷即可求出結

果.

【詳解】解：圖中第一個幾何體是三棱柱，屬棱柱；

第二個幾何體是四棱柱，屬于棱柱；

第三個幾何體是圓柱，不屬于棱柱；

第四個幾何體為圓錐，不屬于棱柱；

所以屬于棱柱的有2個.

故選：B.

【變式3］（2022上?安徽滁州?七年級校考階段練習）下列圖形：圓錐、圓柱、圓、球中平面圖形有加個，

立體圖形有〃個，則爪-n的值為（）

A.2B.1C.0D.-2

【答案】D

【分析】首先判斷出平面圖形與立體圖形的個數，即可求得相、”的值，再求代數式的值即可.

【詳解】解：圓錐是立體圖形，

圓柱是立體圖形，

圓是平面圖形，

球是立體圖形，

故平面圖形有1個，立體圖形有3個,

故nr=1,n=3,

貝！Jzn—n=l—3=—2,

故選：D.

【點睛】本題考查了平面圖形與立體圖形的識別，代數式求值問題，熟練掌握和運用平面圖形與立體圖形

的識別方法是解決本題的關鍵.

考點2：立體圖形展開圖

典例2：（2023上?全國?七年級課堂例題）如圖所示均為幾何體的展開圖，則從左到右的圖形對應的幾何體

A.圓錐、三棱錐、圓柱、正方體B.圓錐、四棱錐、圓柱、正方體

C.圓錐、四棱柱、圓柱、正方體D.圓錐、三棱柱、圓柱、正方體

【答案】D

【分析】根據常見的幾何體的展開圖進行判斷即可.

【詳解】解：根據幾何體的平面展開圖，則從左到右，其對應的幾何體名稱分別為：圓錐、三棱柱、圓柱、

正方體，

故選：D.

【點睛】本題考查常見幾何體的展開圖，熟記常見幾何體的平面展開圖的特征是解題的關鍵.

【變式1］（2023上?遼寧沈陽?七年級統考期末）下列不是三棱柱展開圖的是（）

【答案】A

【分析】根據三棱柱的兩底展開是三角形，側面展開是三個四邊形，可得答案.

【詳解】解：B、C、D中間三個長方形能圍成三棱柱的側面，上、下兩個三角形圍成三棱柱的上、下兩底

面，故均能圍成三棱柱，均是三棱柱的表面展開圖；A圍成三棱柱時，兩個三角形重合為同一底面，而另一

底面沒有，

故A不能圍成三棱柱，

故選：C.

【點睛】本題考查了幾何體的展開圖，注意兩底面是對面，展開是兩個全等的三角形，側面展開是三個矩

形.

【變式2］（2023上?云南昆明?九年級統考期末）要制作一個帶蓋的圓柱形禮品盒，下列設計的展開圖中正

確的是（）

【答案】C

【分析】根據四個選項的圖形折合，看是否能折疊成圓柱形即可獲得答案.

【詳解】解：A、可折疊出圓錐體，故不符合題意；

B、可折疊出無蓋圓柱體，故不符合題意；

C、可折疊出圓柱體，故符合題意；

D、可折疊出長方體，故不符合題意.

故選：C.

【點睛】本題主要考查了幾何體的展開圖的應用，熟練掌握簡單幾何體的展開圖是解題關鍵.

【變式3］（2022上?河南周口?七年級期末）下列圖形不能作為一個三棱柱的展開圖的是（）

A./B.C.vD.^x/

【答案】A

【分析】三棱柱展開后，側面是三個長方形，上下底各是一個三角形即可得出答案.

【詳解】解：由圖形可知作為一個三棱柱的展開圖有B、C、D；

故不能作為一個三棱柱的展開圖的是：A；

故選：A.

【點睛】此題考查了三棱柱的展開圖，掌握三棱柱的展開圖是解題的關鍵.

考點3：正方體展開圖

典例3：（2024上?江蘇無錫?七年級期末）如圖，下列圖形不屬于正方體的表面展開圖的有（）

理#0用斗用

A.1個B.2個C.3個D.4個

【答案】C

【分析】本題考查了正方體的展開圖.熟練掌握正方體展開圖"一線不過四，田凹應棄之"（即不能出現同一

行有多余4個正方形的情況，不能出現田字形、凹字形的情況）是解題的關鍵.

根據正方體的展開圖的特點進行判斷作答即可.

【詳解】解：由題意知，從左到右，第1,2,5不屬于正方體的表面展開圖，第3,4,6屬于正方體的表

面展開圖；

故選：C.

【變式1］（2023?浙江?模擬預測）在圖中，實線所圍成的多邊形區域（陰影部分）是由四個全等正方形拼接

而成的.現在若補上圖中標有號碼的其中一個全等小正方形，則可得到九個多邊形區域（每個區域恰好含

有五個全等小正方形），試問這九個多邊形區域中，可以折成無蓋的正方體容器的個數是（）

⑦j⑥：⑤

⑧④

⑨②？③

①

A.3B.4C.5D.6

【答案】D

【分析】根據正方體的展開圖有11種情況：1-4-1型共6種，1-3-2型共3種，2-2-2型一種，3-3型一種，

由此判定找出答案即可.

【詳解】解：根據題意可得：

補上后能夠折成無蓋的正方體容器的有：④⑤⑥⑦⑧⑨，

共6個，

故選：D.

【點睛】此題考查正方體的展開圖，解決此題的關鍵是記住正方體展開圖的類型1-4-1型，2-3-1型，2-2-2

型，3-3型.以及口訣“凹、田應棄之”.

【變式2］（2022上?四川成都?七年級校考期中）在下面的圖形中是正方體的展開圖的是（）

【答案】D

【分析】由平面圖形的折疊及正方體的展開圖解題.注意帶"田”"凹"字的不是正方體的平面展開圖，選項C

折疊后缺少一個底面，故不是正方體的展開圖.

【詳解】解：由正方體的展開圖的特征可知，圖形中D是正方體的展開圖；圖形中A出現了"田"字，不能

圍成正方體，圖形中B出現了"凹"字，選項C折疊后缺少一個底面，故不是正方體的展開圖.

故選：D.

【點睛】本題考查了正方體的展開圖，解題時勿忘記四棱柱的特征及正方體展開圖的各種情形.

【答案】A

【分析】正方體的展開有以下4種類型：1-4口型（分3行，中間4個，上下各1個，共6種情況），1-3-2

型（分3行，中間3個，上行1個，下行2個連在一起，共3種情況），2-2-2型（每行2個，和尾相連，1

種情況），3-3型（每行3個，下一行跟末尾一個相連），利用正方體展開圖的特點即可得出結論.

【詳解】解：屬于正方體展開圖的是第2個、第7個圖，第8個圖，其他都不是正方體的展開圖，

團圖中是正方體的展開圖的共有3個.

故選：A.

【點睛】本題考查了正方體的展開圖，熟記正方體展開圖的11種形式是解題的關鍵，利用不是正方體展開

圖的"一線不過四、田凹應棄之"（即不能出現同一行有多于4個正方形的情況，不能出現田字形、凹字形的

情況）判斷也可.從實物出發，結合具體的問題，辨析幾何體的展開圖，通過結合立體圖形與平面圖形的

轉化，建立空間觀念，是解決此類問題的關鍵.

考點4：點、線、面、體的聯系

典例4：（2023上?河南平頂山?七年級統考期中）下列說法正確的有（）

①五棱柱有10個頂點，10條棱，7個面；

②點動成線，線動成面，面動成體；

③圓錐的側面展開圖是一個圓；

④用平面去截一個正方體，截面的形狀可以是三角形、四邊形、五邊形、六邊形.

A.1個B.2個C.3個D.4個

【答案】B

【分析】本題考查簡單的幾何圖形具有的特點，根據立體圖形的特征，點、線、面、體，圓錐的特征和截

一個幾何體的方法判斷即可.

【詳解】解：①五棱柱有10個頂點，15條棱，7個面，所以①錯誤，不符合題意.

②點動成線，線動成面，面動成體，所以②正確，符合題意.

③圓錐的側面展開圖是一個扇形，所以③錯誤，不符合題意.

④用平面去截一個正方體，截面的形狀可以是三角形、四邊形、五邊形、六邊形，所以④正確，符合題意.

綜上所述，說法正確的有2個，

故選：B.

【變式1］（2023上?湖北咸寧?七年級統考期末）幾何圖形都是由點、線、面、體組成的，點動成線，線動

成面，面動成體，下列生活現象中可以反映"點動成線”的是（）

A.流星劃過夜空B.打開折扇C.汽車雨刷的轉動D.旋轉門的旋轉

【答案】A

【分析】根據點動成線，線動成面，面動成體對各選項分析判斷后利用排除法求解.

【詳解】A、流星劃過夜空是"點動成線"，故本選項符合題意；

B、打開折扇是"線動成面"，故本選項不合題意；

C、汽車雨刷的轉動是"線動成面"，故本選項不合題意；

D、旋轉門的旋轉是"面動成體"，故本選項不合題意；

故選：A.

【點睛】本題考查了點、線、面、體的知識，主要是考查學生立體圖形的空間想象能力及分析問題，解決

問題的能力.

【變式2］（2023上?甘肅蘭州?七年級統考期中）將下面四個圖形繞著虛線旋轉一周，能夠得到如圖所說的

【答案】A

【分析】根據面動成體結合常見立體圖形的形狀解答即可.

【詳解】解：根據面動成體結合常見立體圖形的形狀得出只有A選項符合，

故選A.

【點睛】本題考查了點、線、面、體的知識，是基礎題，掌握常見幾何體的形成是解題的關鍵.

【變式3］（2023?山東青島?七年級校聯考期中）下列現象，能說明"線動成面”的是（）

A.天空劃過一道流星

B.汽車雨刷在擋風玻璃上刷出的痕跡

C.拋出一塊小石子，石子在空中飛行的路線

D.旋轉一扇門，門在空中運動的痕跡

【答案】B

【分析】本題是一道關于點、線、面、體的題目，回憶點、線、面、體的知識；

【詳解】解：回A、天空劃過一道流星說明"點動成線"，

國故本選項錯誤.

配、汽車雨刷在擋風玻璃上刷出的痕跡說明"線動成面"，

團故本選項正確.

團C、拋出一塊小石子，石子在空中飛行的路線說明"點動成線”，

回故本選項錯誤.

團D、旋轉一扇門，門在空中運動的痕跡說明"面動成體"，

回故本選項錯誤.

故選B.

【點睛】本題考查了點、線、面、體，準確認識生活實際中的現象是解題的關鍵.點動成線、線動成面、面

動成體.

考點5：平面的旋轉

典例5：（2023上?山東濱州?七年級統考期末）下列平面圖形繞直線旋轉一周，所得的圖形與其名稱對應不

正確的是（）

A.圓錐B,圓柱C.圓D.球

【答案】C

【分析】根據面動成體，直角三角形繞直角邊旋轉是圓錐，矩形繞邊旋轉是圓柱，直角梯形繞直角邊旋轉

是圓臺，半圓案繞直徑旋轉是球，可得答案.

【詳解】直角三角形繞直角邊旋轉是圓錐，故A正確；

矩形繞邊旋轉是圓柱，故B正確；

三角形繞一邊旋轉是兩個同底的圓錐，故C錯誤；

半圓案繞直徑旋轉是球，故D正確；

故選：C

【點睛】本題考查了點線面體，熟記各種圖形旋轉得出的立體圖形是解題關鍵.

【變式1］（2023?七年級單元測試）將圖中的平面圖形繞虛線旋轉一周，所得到的幾何體是（）

【分析】根據面動成體可得直角梯形繞底邊邊旋轉可得答案.

【詳解】平面圖形繞虛線旋轉一周，可以得到圖A,

故選A.

【點睛】本題考查平面圖形旋轉后所得的立體圖形，熟練掌握一些常見的立體圖形是由什么平面圖形旋轉

得來的是解題的關鍵.

【變式2］（2023上?河南鄭州?七年級校考期中）如圖，以直角三角形的斜邊所在的直線為軸，將圖形旋轉

一周，所形成的幾何體的俯視圖是（）

【答案】B

【分析】本題考查的是幾何圖形的旋轉和三視圖，要熟記把一個直角三角形繞其直角邊所在的直線旋轉一

周所得的幾何體是一個圓錐，則一個直角三角形繞其斜邊所在的直線旋轉一周，旋轉后的幾何體應該是兩

個圓錐，而且還是底面對著底面的圓錐，所以它的俯視圖是一個圓，且有圓心.

【詳解】解：以直角三角形的斜邊所在的直線為軸，將圖形旋轉一周，所形成的幾何體，如圖所示：

【變式3］（2024上?遼寧沈陽,七年級統考期末）如圖所示的平面圖形繞直線/旋轉一周，可以得到的立體圖

形是（）

【答案】D

【分析】此題考查點、線、面、體的問題，解決本題的關鍵是得到所求的平面圖形是得到幾何體的主視圖

的被縱向分成的一半.

從正面看得到的平面圖形是從上到下為等腰三角形，長方形.由此可得出答案.

【詳解】解：面動成體，直角三角形繞直角邊旋轉一周可得圓錐，長方形繞一邊旋轉一周可得圓柱，

那么所求的圖形是下面是圓柱，上面是圓錐的組合圖形.

故選：D.

考點6：截一個幾何體

典例6：（2023上?山東青島?七年級校考期中）如圖所示，用一個平面分別去截下列水平放置的幾何體，所

截的截面有可能是長方形的有（）個

【答案】D

【分析】根據正方體，圓柱，長方體，三棱錐，圓錐，三棱柱的形狀特點，截面的角度和方向，逐一進行

判斷即可得.

本題考查了截一個幾何體，所截的截面形狀.解決問題的關鍵是熟練掌握被截的幾何體形狀，截面的角度

和方向.

【詳解】解：用一個平面去截正方體，所截的截面可能是長方形，

用一個平面去截圓柱體,所截的截面可能是長方形，

用一個平面去截長方體,所截的截面可能是長方形，

用一個平面去截三棱錐,所截的截面可能是長方形，

用一個平面去截圓錐體,所截的截面不可能是長方形

用一個平面去截三棱柱,所截的截面可能是長方形，

團所截的截面可能是長方形的由5個.

故選：D.

【變式1］（2024上?遼寧阜新,七年級統考期末）截一個幾何體可以得到不同的平面圖形，下面四個平面圖

形均可由哪一個幾何體截得（）

【答案】B

【分析】此題考查了幾何體的截面圖，根據題意進行排除即可，解題的關鍵是正確理解幾何體的截面圖

【詳解】根據幾何體的截面可知,

A、圓錐的截面圖為圓，三角形，此選項不符合題意;

C、球的截面圖為圓，此選項不符合題意；

D、圓柱的截面圖為圓，長方形，此選項不符合題意;

故選：B.

【變式2］（2023上?四川成都?七年級校考期末）一個正方體的截面不可能是（）

A.三角形B.四邊形C.五邊形D.七邊形

【答案】D

【分析】用平面去截正方體，得的截面可能為三角形、四邊形、五邊形、六邊形，據此判斷即可.

【詳解】用平面去截正方體，得的截面可能為三角形、四邊形、五邊形、六邊形，不可能為七邊形,

故選D.

【點睛】本題考查正方體的截面，正方體有六個面，截面與其六個面相交最多得六邊形，不可能是七邊形

或者多于七邊形.

【變式3］（2023上?陜西寶雞?七年級校考期中）如圖，用平面截一個幾何體，該幾何體的截面形狀是（）

【答案】B

【分析】根據截幾何體所得截面的形狀的判斷方法進行判斷即可.

【詳解】解：根據判斷，該幾何體的截面形狀是矩形，

故選：B.

【點睛】本題考查截一個幾何體，熟知判斷方法是解題的關鍵，用一個平面截一個幾何體，首先判斷平面

與圍成幾何體的面相交的線是直線還是曲線，再判斷截面的形狀.

考點7：七巧板的應用

典例7：（2023上?福建寧德?九年級福鼎市第一中學校考期中）七巧板是一種古老的中國傳統智力玩具，它

由七個板塊組成，用如圖所示的七巧板拼圖，下列說法正確的是（）

A.能拼成平行四邊形，不能拼成矩形

B.不能拼成平行四邊形，能拼成矩形

C.既能拼成平行四邊形，也能拼成矩形

D.既不能拼成平行四邊形，也不能拼成矩形

【答案】C

【分析】本題考查了七巧板的應用，靈活運用所學知識求解是解決本題的關鍵.根據七巧板的拼法進行判

斷即可.

【詳解】解：如圖所示，

由圖可得，七巧板既能拼成長方形，也能拼成平行四邊形，

故選：C.

【變式11（2023?福建寧德?統考模擬預測）五巧板是一種類似七巧板的智力玩具，它是由正方形分割而成.按

如圖方式分割的一幅五巧板，若從中拿走一塊，使得剩下的四塊板仍然能拼成一個正方形，則拿走的那塊

板的序號是（）

C.③D.⑤

【答案】D

【分析】根據仍要拼得正方形求解即可得到答案.

【詳解】解：依題意可得，

回剩下的四塊板仍然能拼成一個正方形，

回取下來的是⑤，

故選D.

【點睛】本題考查正方形的分割圖，解題的關鍵是根據題意，確保剩下的四塊板仍然能拼成一個正方形.

【變式2]（2023上?浙江麗水?七年級統考期末）2016年第七屆世界歷史文化名城博覽會在南京舉辦.以“多

元，開放，創造”為定位，其會徽是運用"七巧板"（如圖1）元素組合成的"一件云錦嫁衣”圖案.如圖2,若七

巧板的總面積為2S,則這件云錦嫁衣頂部的兩塊的面積和是（

圖2

A.SC-評D-

【答案】B

【分析】根據“七巧板"的分割方法，得出各個部分各占正方形面積的幾分之幾即可.

S

【詳解】解：根據“七巧板"的分割方法可知，SAEFC=l]E^ABCD

團這件云錦嫁衣頂部的兩塊的面積和是!S正方形4BCD+3S正方形4BCD=；X2S=1S,

故選：B

【點睛】本題考查了七巧板，解題的關鍵是理解題意，學會利用數形結合的思想解決問題

【變式3]（2023上?湖北武漢?九年級校考階段練習）如圖（1）是一副七巧板，其中最小正方形的邊長是1,

取其中六塊拼成如圖（2）的形狀，沿圖形外圍構造矩形（虛線部分），則該矩形的面積是（）

A.35B.35.5C.35&D.36>/2

【答案】B

【分析】分三步：第一步計算出原七巧板中各個圖形中對應邊的邊長，第二步求出七巧板中平行四邊形對

應邊的邊長，第三邊求出矩形的長和寬，最后根據矩形面積公式求解即可.

【詳解】解：第一步，由圖（1）可計算出原七巧板中各個圖形中相應邊的長度，如下圖所示：

第二步：可求出七巧板中平行四邊形對應的邊的長度，如下圖所示;

及

2

第三步：可以計算出圖（2）中矩形的長和寬，如下圖所示：

團矩形的長為1+2+亨+2+1=6+|,矩形的寬為1+2—曰+2+1=6—孝,

團矩形的面積為（6+亨）x（6-=36—1=35.5,

故選B.

【點睛】本題主要考查了矩形的性質，勾股定理，七巧板拼接圖形，正確求出各圖形中邊的長度是解題的

關鍵.

考點8：直線、射線、線段

典例8：（2024上?河北保定?七年級統考期末）下列說法：（1）兩點確定一條線段；（2）畫一條射線，使它

的長度為3cm；（3）線段48和線段84是同一條線段；（4）射線48和射線B4是同一條射線；（5）直線4B和

直線BA是同一條直線.其中錯誤的有（）個

A.1.個B.2個C.3個D.4個

【答案】C

【分析】本題考查了直線、射線、線段，根據射線是不可度量的，以及直線、線段和射線的定義即可判斷，

解題的關鍵是掌握直線、線段和射線的定義.

【詳解】解：（1）兩點確定一條直線，錯誤；

（2）射線是不可度量的，錯誤；

（3）線段48和線段84是同一條線段，正確；

（4）射線力B和射線是不同的射線，錯誤;

（5）直線48和直線84是同一條直線，正確；

團錯誤的有3個，

故選：C.

【變式1］（2022下?山東煙臺?六年級統考期中）如圖，點A,8在直線/上，下列說法錯誤的是（）

AB

-------------------------------------!

A.線段A8和線段84是同一條線段

B.直線4B和直線BA是同一條直線

C.圖中以點A為端點的射線有兩條

D.射線力B和射線B4是同一條射線

【答案】D

【分析】根據線段、射線、直線的特點判斷即可.

【詳解】線段和線段B4是同一條線段，

故A正確；

直線4B和直線B4是同一條直線，

故B正確；

圖中以點A為端點的射線有兩條，

故C正確；

射線和射線B4不是同一條射線，

故D錯誤；

故選D.

【點睛】本題考查了線段、射線、直線的特點，熟練掌握各自的特點是解題的關鍵.

【變式2］（2023上?河南平頂山?七年級校聯考階段練習）下列幾何圖形與相應語言描述相符的是（）

b

B.如圖2所示，射線8c經過點4

C.如圖3所示，直線a和直線b相交于點4

D.如圖4所示，射線CD和線段力B沒有交點

【答案】C

【分析】本題考查了直線、射線、線段的定義，正確掌握三者的概念是解題的關鍵.直線向兩方無限延伸，

不需要延長，射線向一方無限延伸，不需延長，但可以反向延長；而線段不延伸，既可以延長，也可以反

向延長.

【詳解】解：A.如圖1所示，應為射線B4經過點C,故不符合題意；

B.如圖2所示，射線BC不經過點4故不符合題意；

C.如圖3所示，直線a和直線b相交于點4,符合題意；

D.如圖4所示，射線CD和線段4B有交點，故不符合題意;

故選C.

【變式3］（2024上?天津河東,七年級統考期末）如圖，觀察圖形，下列說法正確的有（）個

②射線AC和射線2D是同一條射線，

+BD>AD,

④圖中一共有5條線段.

A.1B.2C.3D.4

【答案】C

【分析】本題考查了直線、射線、線段相關知識，兩點之間，線段最短，掌握線段、射線、直線的表示方

法是解題的關鍵.根據直線的表示方法對①進行判斷；根據射線的表示方法對②進行判斷；根據線段的性

質對③④進行判斷.

【詳解】解：①直線4B和直線B力是同一條直線，直線沒有端點，此說法正確；

②射線4C和射線40是同一條射線，都是以A為端點，同一方向的射線，正確；

③+根據兩點之間，線段最短，可得此說法正確；

④圖中有線段AC,線段力D,線段CD,線段4B,線段BC,線段BD,6條線段.故原說法不正確；

所以共有3個正確.

故選：C.

考點9：兩點確定一條直線

典例9：（2023上?河北滄州?七年級統考期中）在下列現象中，可以用基本事實"兩點確定一條直線"來解釋的

有（）

木匠彈墨線打靶瞄準彎曲公路改直拉繩插秧

A.1個B.2個C.3個D.4個

【答案】c

【分析】本題主要考查了直線的性質，熟練掌握直線的性質是解題的關鍵.有直線的性質即可得到答案.

【詳解】解：木匠彈墨線，打靶瞄準，拉繩插秧都可以用基本事實"兩點確定一條直線"來解釋，

彎曲公路改直利用的是兩點之間，直線最短，故不可以用基本事實"兩點確定一條直線"來解釋.

故選：C.

【變式1］（2023上?河北滄州,七年級統考期中）在平面上有三個點，可以確定的直線的條數為（）

A.1條B.3條C.1條或3條D.無法確定

【答案】C

【分析】本題考查兩點確定一條直線，分三點共線和三點不共線兩類討論根據任意三點不共線的點確定直

線公式噠尸代入求解即可得到答案.

【詳解】解：當三點共線時，能確定一條直線，

當三點不共線時，直線條數為：g二1=3,

故選：C.

【變式2］（2023上?安徽宿州,七年級統考階段練習）在下列現象中，體現了基本事實"兩點確定一條直線"

的有（）

平板彈墨線建筑工人砌墻會場擺直茶杯彎河道改直

A.1個B.2個C.3個D.4個

【答案】C

【分析】本題主要考查了直線的性質以及線段的性質，直接利用直線的性質以及線段的性質分析得出答案.

【詳解】解：第一、二、三幅圖中的生活、生產現象可以用基本事實"兩點確定一條直線"來解釋，第四幅圖

中利用的是"兩點之間，線段最短”的知識.

故選：C.

【變式3］（2023上?陜西西安?七年級陜西師大附中校考期中）在下列生活、生產現象中，可以用基本事實"兩

點確定一條直線”來解釋的是()

A.鐘表的秒針旋轉一周，形成一個圓面；

B.把筆尖看成一個點，當這個點運動時便得到一條線；

C.把彎曲的公路改直，就能縮短路程；

D.木匠師傅鋸木料時，一般先在木板上畫出兩個點，然后過這兩個點彈出一條墨線.

【答案】D

【分析】本題考查直線的性質.根據兩點確定一條直線，進行判斷即可.

【詳解】解：A、鐘表的秒針旋轉一周，形成一個圓面；說明線動成面，不符合題意；

B、把筆尖看成一個點，當這個點運動時便得到一條線；說明點動成線，不符合題意；

C、把彎曲的公路改直，就能縮短路程；是因為兩點之間，線段最短，不符合題意；

D、木匠師傅鋸木料時，一般先在木板上畫出兩個點，然后過這兩個點彈出一條墨線；是因為兩點確定一條

直線，符合題意；

故選D.

考點10：線段和與差的計算

典例10：(2023上?山東青島?七年級校考階段練習)如圖，C為線段4。上一點，點B為CD的中點，且4。=

9cm,BD=2cm.

I_______________________________1_____|___________|

ECHI)

⑴圖中共有條線段；

(2)求力C=：

⑶若點￡在直線4。上，且EA=3cm,求BE的長.

【答案】(1)6,詳見解析；

(2)5cm,詳見解析；

(3)4或10cm,詳見解析.

【分析】本題考查了線段的應用，線段的中點，線段的和(差)等知識點，

(1)固定A為端點，數線段，依次類推，最后求和即可；

(2)根據=—CD=4C-2BC,計算即可；

(3)分點E在點A左邊和右邊兩種情形求解；

熟練掌握線段的中點，靈活運用線段的和，差是解題的關鍵.

【詳解】(1)以A為端點的線段為：AC,AB,AD；

以C為端點的線段為：CB,CD；

以B為端點的線段為：BD；

共有3+2+1=6(條)；

故答案為：6；

(2)團點8為CD的中點，BD=2cm,

SCD=2BD=2x2=4(cm),

EL4C=AD—CO=9—4=5(cm),

故答案為：5cm；

(3)AB=AC+BC=7cm,EA=3cm,

當點E在線段4。上時，

iiill

EACOD

BE=AB-AE=7-3=4(cm),

當點E在線段D4的延長線上時，

iiill

AECBD

BE=AB+AE=7+3=10(cm),

EIBE的長是4或10cm.

【變式1](2023上?全國?七年級專題練習)如圖，點C在線段48上，點M、N分別是AC、8C的中點.

MCNB

IIII

(1)若4C=10,BC=6,求線段MN的長.

(2)若4C+BC=a,請直接寫出MN的長.

⑶若把(2)小題中"點C在線段AB上"改為"點C在直線4B上"，試探究MN、AC,BC之間的數量關系.

【答案】⑴MN=8

{2}MN=^a

⑶當點C在線段上時，MN=|(4C+8C)；當點C在點B的右側時，MN=|(4C—BC)；當點C在點4的左

側時，MN=：(BC-AC)

【分析】本題考查兩點之間的距離，掌握線段的中點的性質、線段的和差運算是解題的關鍵.

(1)由點M、N分別是AC、BC的中點.可知MC=5,CN=3,從而可求得MN的長度；

(2)由點N分別是4C、BC的中點，MN=MC+QV=2Q4C+BC)；

(3)由于點C在直線48上，所以要分三種情況進行討論計算MN的長度.

【詳解】(1)解：團點M、N分別是力C、BC的中點，AC=10,BC=6,

11

團MC="C=5,CN=-BC=3,

22

團MN=MC+CN=8；

(2)解：回點M、N分別是/C、BC的中點，

1i

^\MC=-AC,CN=-BC,

22

mN=MC+CN=|(XC+BC)=^AB=|a；

(3)解：當點C在線段4B上時，

由⑵可知：MN=MC+CN=^(AC+BC)；

當點C在線段4B外時，若點C在點B的右側，

III]I

ABMNC

團點M、N分別是4C、BC的中點，

^MC=-AC,CN=-BC,

22

-1

MN=MC-CN=：{AC-BC)；

當點c在線段外時，若點c在點a的左側，

I1III

CMNAB

團點M、N分別是AC、BC的中點.

11

回MC=-AC,CN=-BC

22f

??.MN=CN-MC=3(BC-")；

綜上所述，當點C在線段上時，MN=lG4C+BC)；當點C在點B的右側時，MN=^AC-BC)；當點C在

點a的左側時，MN-AC).

【變式2】(重慶市渝北區2023-2024學年七年級上學期期末數學試題)如圖，點C、。是線段4B上兩點，

4C:BC=3:2,點。為4B的中點.

ADCH

圖1

AEDCB

圖2

⑴如圖1所示，若4B=20,求線段CD的長；

⑵如圖2所示，若E為47的中點，ED=5,求線段4B的長.

【答案】⑴2

⑵25

【分析】本題考查了與線段中點的有關的計算，線段的和與差.明確線段之間的數量關系是解題的關鍵.

(1)由題意可得，AC=1AB=12,AD=\AB=10,根據CD=AC—4D,計算求解即可；

(2)由題意得，AC=^AB,AD=^AB,AE=^AC=^AB,根據ED=AD-4E==5,計算求解

即可.

【詳解】(1)解：囿48=20,4C:BC=3:2,點。為4B的中點，

團4C=-3AB=12,1AD=-AB=10,

52

團CO=AC-AD=2,

團線段CO的長為2；

(2)解：mC:BC=3:2,點。為的中點，E為AC的中點，

3113

^AC=-AB,AD=-AB,AE=-AC=—AB,

52210

131

0￡￡>=AD-AE=-AB-—AB^-AB=5,

2105

解得，AB=25,

團線段AB的長為25.

【變式3](2023上?浙江溫州?七年級統考期末)如圖，點C是直線4B上一點，點M是線段4C的中點.

AMCB

IIII

⑴若4B=8,點C在線段4B上，S.AC=3BC,貝的長為.

(2)若4B=a,AB-AC=^,求8M的長(用含a的代數式表示).

【答案】(1)3

(2)BM=孕喈

【分析】本題主要考查線段中點有關的線段和差倍分的計算，熟練掌握線段中點的性質是解題的關鍵.

(1)由題意得，AB=8,AC=3BC,可求得4C=6,BC=2,結合點M是線段4C的中點，即可求得的

長；

(2)分兩種情況討論：當點C在點4,8之間，BC^AB-AC^l，得到"=拳結合點M是線段2C的中

點，求得CM=/aC=或即可求得BM的長；②當點C在點4左側，4C=4B-”多結合點M為AC中點，

AM=^AC=^,即可求得BM的長.

【詳解】(1)解：???43=8,

AC+BC=8,

又4c=3BC,

BC+3BC=8,

AC=6,BC=2,

???點M是線段ac的中點，

AM=3.

(2)解：分兩種情況：①當點C在點4B之間，

???BCAB-AC

3

AC=AB-BC=a—=-a,

33

???點M為4C中點，

???CM=-AC=-x-a=

2233

BM=CM+BC=-+-=-a,

333

②當點c在點/左側，

???AB-AC

ACAB

33

又??,點M為AC中點，

AM^-AC—

2233

CL4a

BM=AM+AB=-+a

33

綜上：8M=/或季

考點11:線段的中點問題

典例11：(2023下?湖北武漢?七年級校考階段練習)已知點C、D、E分別為線段48上的點(。在E點左邊),

且滿足DE=^AB.

'。圖1B

II

A圖28

⑴如圖1,若BC=2AC,AB=9,。為4C中點時，求8E的長；

(2)若點C為BE的中點，DC=3AD,試探究線段DE與CB之間的數量關系.

【答案】⑴3

(2)7BC=2DE

【分析】本題考查線段的和差，中點的定義，運用了方程的思想.

⑴如圖，設4C=%,根據8c=2AC,AB=9可得x=3,得到4C=3,BC=6,由中點的定義得出4。=|,

最后將數據代入BE=AB-AD-DE計算即可；

(2)如圖，設DE=a,BC=b,由中點的定義得到EC=BC=b,所以。C=a+6,從而得到4。=](a+b),

最后利用48=4。+￡^+<8。和￡^=348可得到關于葭b等量關系式，從而問題得解.

【詳解】(1)解：如圖，設力C=x,

IIIII

ADCEB

1

WC=2AC,AB=9,DE=-AB,

2

9

團BC=2AC=2x,DE=一，

2

團％+2x=9,

0x=3,

朋C=3,BC=2AC=6,

回。為/C中點，

17

BAD=-AC=

22

39

團BE=AB-AD-DE=9----=3.

22

團BE的長為3.

(2)如圖，設DE=a,BC=b,

iiill

ADECB

團點。為BE的中點，

團EC=BC=b,

WC=DE+EC=a+b,

aDC=3AD,

^\AD==|(a+h),

24B=AD+DC+BC——(a+b)+a+b+b=—a-\—b,

3'’33

又團OE=-AB,

2

團48=2DE,

團-ad—b=2a,

33

團7b=2a,

B7BC=2DE.

團線段DE與CB之間的數量關系為7BC=2DE,

【變式1](2024上?重慶渝中?七年級重慶巴蜀中學校考期末)如圖，C,。是線段上的兩個點，且

AC-.CD-.BD=1:2:4,點M是線段的中點，MD=2cm.

II11?

ACDMB

⑴求線段AB的長；

(2)若N是線段4B上一點，滿足BC=8DN,求線段AN的長.

【答案】⑴28cm

⑵9cm或15cm

【分析】本題考查的是兩點間的距離的計算，線段中點的性質，線段的和差計算；

(1)根據題意，設力C=x,CD=2x,BD=4x,得出4B=7x,根據線段中點的性質得出BD==(x,

進而根據DM=：x=2,即可求解；

(2)先求得DN==3cm,然后分①當N在。點左側時；②當N在。點右側時，結合圖形，即可求解.

【詳解】(1)解：vAC-CD-.BD=1:2:4,

設/C=x,CD=2x,BD=4%,

iiii?

ACDMB

AB=AC+CD+BD=7x,

???M是48的中點，

17

???BD=-AB=-x,

22

7I

DM=BD-BM=4%——x=-x,

22

DM=2cm,

i

：Q

?-2x=2,

解得x=4,

AB=7x=28cm；

(2)vCD=2x,BD—4%,

i?i????

ACN\DMN?B

??.BC=BD+CD=6x=6x4=24cm,

AD=AC+CD=3x=12cm,

???BC=8DN,

???DN=-BC=3cm,

8

①當N在。點左側時，

AN=AD-DN=12-3=9cm,

②當N在。點右側時,

ZN=40+ON=12+3=15cm,

綜上：ZN的長為9cm或15cm.

【變式2](2022上?湖南岳陽?七年級統考期末)如圖，線段48=30,AC=10,點M是線段4C的中點.

???t?

AMCNB

(1)則線段BC的長度為」

(2)在線段CB上取一點M滿足NB=3CN.求線段MN的長.

【答案】⑴20

(2)10

【分析】(1)根據圖示，利用線段加減關系求解即可；

(2)根據中點的定義可知MC=^AC,由NB=3CN,可知CN=^BC,然后根據MN=MC+NC求解即可.

【詳解】(1)解：AB=30,AC=10,

BC=AB-AC=30-10=20,

故答案為：20.

(2)解：???BC=20,NB=3CN,

■.CN=-BC=-X20=5,

44

又??,點M是AC的中點，AC=10,

MC=-AC=5,

2，

MN=MC+NC=5+5=10.

【點睛】本題考查了兩點間的距離，利用了線段的和差，線段中點的定義，熟練掌握線段中點的定義是解

答本題的關鍵.

【變式3](2022上?湖南長沙?七年級統考期末)已知點C在線段上，AC=2BC,點。、E在直線AB上，

點。在點E的左側.若AB=18,DE=8,線段QE在線段A8上移動.

ADCEBA