二次函數(shù)【知識(shí)梳理】1.定義：一般地，如果是常數(shù)，，那么叫做的二次函數(shù).2.二次函數(shù)用配方法可化成：的形式，其中.3.拋物線(xiàn)的三要素：開(kāi)口方向、對(duì)稱(chēng)軸、頂點(diǎn).①的符號(hào)決定拋物線(xiàn)的開(kāi)口方向：當(dāng)時(shí)，開(kāi)口向上；當(dāng)時(shí)，開(kāi)口向下；相等，拋物線(xiàn)的開(kāi)口大小、形狀相同.②平行于軸（或重合）的直線(xiàn)記作.特別地，軸記作直線(xiàn).4.頂點(diǎn)決定拋物線(xiàn)的位置.幾個(gè)不同的二次函數(shù)，如果二次項(xiàng)系數(shù)相同，那么拋物線(xiàn)的開(kāi)口方向、開(kāi)口大小完全相同，只是頂點(diǎn)的位置不同.5.求拋物線(xiàn)的頂點(diǎn)、對(duì)稱(chēng)軸的方法（1）公式法：，∴頂點(diǎn)是，對(duì)稱(chēng)軸是直線(xiàn).（2）配方法：運(yùn)用配方的方法，將拋物線(xiàn)的解析式化為的形式，得到頂點(diǎn)為(,)，對(duì)稱(chēng)軸是直線(xiàn).（3）運(yùn)用拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)性：由于拋物線(xiàn)是以對(duì)稱(chēng)軸為軸的軸對(duì)稱(chēng)圖形，所以對(duì)稱(chēng)軸的連線(xiàn)的垂直平分線(xiàn)是拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸，對(duì)稱(chēng)軸與拋物線(xiàn)的交點(diǎn)是頂點(diǎn).用配方法求得的頂點(diǎn)，再用公式法或?qū)ΨQ(chēng)性進(jìn)行驗(yàn)證，才能做到萬(wàn)無(wú)一失.6.拋物線(xiàn)中，的作用（1）決定開(kāi)口方向及開(kāi)口大小，這與中的完全一樣.（2）和共同決定拋物線(xiàn)對(duì)稱(chēng)軸的位置.由于拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸是直線(xiàn)，故：①時(shí)，對(duì)稱(chēng)軸為軸；②（即、同號(hào)）時(shí)，對(duì)稱(chēng)軸在軸左側(cè)；③（即、異號(hào)）時(shí)，對(duì)稱(chēng)軸在軸右側(cè).（3）的大小決定拋物線(xiàn)與軸交點(diǎn)的位置.當(dāng)時(shí)，，∴拋物線(xiàn)與軸有且只有一個(gè)交點(diǎn)（0，）：①，拋物線(xiàn)經(jīng)過(guò)原點(diǎn);②,與軸交于正半軸；③,與軸交于負(fù)半軸.以上三點(diǎn)中，當(dāng)結(jié)論和條件互換時(shí)，仍成立.如拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸在軸右側(cè)，則.7.用待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式（1）一般式：.已知圖像上三點(diǎn)或三對(duì)、的值，通常選擇一般式.（2）頂點(diǎn)式：.已知圖像的頂點(diǎn)或?qū)ΨQ(chēng)軸，通常選擇頂點(diǎn)式.（3）交點(diǎn)式：已知圖像與軸的交點(diǎn)坐標(biāo)、，通常選用交點(diǎn)式：.12.直線(xiàn)與拋物線(xiàn)的交點(diǎn)（1）軸與拋物線(xiàn)得交點(diǎn)為(0,).（2）與軸平行的直線(xiàn)與拋物線(xiàn)有且只有一個(gè)交點(diǎn)(,).（3）拋物線(xiàn)與軸的交點(diǎn)二次函數(shù)的圖像與軸的兩個(gè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)、，是對(duì)應(yīng)一元二次方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根.拋物線(xiàn)與軸的交點(diǎn)情況可以由對(duì)應(yīng)的一元二次方程的根的判別式判定：①有兩個(gè)交點(diǎn)拋物線(xiàn)與軸相交；②有一個(gè)交點(diǎn)（頂點(diǎn)在軸上）拋物線(xiàn)與軸相切；③沒(méi)有交點(diǎn)拋物線(xiàn)與軸相離.（4）平行于軸的直線(xiàn)與拋物線(xiàn)的交點(diǎn)同（3）一樣可能有0個(gè)交點(diǎn)、1個(gè)交點(diǎn)、2個(gè)交點(diǎn).當(dāng)有2個(gè)交點(diǎn)時(shí)，兩交點(diǎn)的縱坐標(biāo)相等，設(shè)縱坐標(biāo)為，則橫坐標(biāo)是的兩個(gè)實(shí)數(shù)根.（5）一次函數(shù)的圖像與二次函數(shù)的圖像的交點(diǎn)，由方程組的解的數(shù)目來(lái)確定：①方程組有兩組不同的解時(shí)與有兩個(gè)交點(diǎn);②方程組只有一組解時(shí)與只有一個(gè)交點(diǎn)；③方程組無(wú)解時(shí)與沒(méi)有交點(diǎn).（6）拋物線(xiàn)與軸兩交點(diǎn)之間的距離：若拋物線(xiàn)與軸兩交點(diǎn)為，由于、是方程的兩個(gè)根，故【能力訓(xùn)練】1．二次函數(shù)y=－x2＋6x－5，當(dāng)時(shí)，，且隨的增大而減小。2.拋物線(xiàn)的頂點(diǎn)坐標(biāo)在第三象限，則的值為（）A．B．C．D．．3．拋物線(xiàn)y=x2－2x＋3的對(duì)稱(chēng)軸是直線(xiàn)（）A．x=2B．x=－2C．x=－1D4．二次函數(shù)y=x2+2x－7的函數(shù)值是8，那么對(duì)應(yīng)的x的值是（）A．3B．5C．－3和5D．3和－55．拋物線(xiàn)y=x2－x的頂點(diǎn)坐標(biāo)是（）6．二次函數(shù)的圖象，如圖1－2－40所示，根據(jù)圖象可得a、b、c與0的大小關(guān)系是（）A．a(chǎn)＞0，b＜0，c＜0B．a(chǎn)＞0，b＞0，c＞0C．a(chǎn)＜0，b＜0，c＜0D．a(chǎn)＜0，b＞0，c＜07．小敏在今年的校運(yùn)動(dòng)會(huì)跳遠(yuǎn)比賽中跳出了滿(mǎn)意一跳，函數(shù)h=3．5t－4．9t2(t的單位s；h中的單位：m）可以描述他跳躍時(shí)重心高度的變化．如圖，則他起跳后到重心最高時(shí)所用的時(shí)間是（）A．0．71sB．0.70sC．0.63sD．0．36s8．已知拋物線(xiàn)的解析式為y=－（x—2）2＋l，則拋物線(xiàn)的頂點(diǎn)坐標(biāo)是（）A．（－2，1）B．（2，l）C．（2，－1）D．（1，2）9．若二次函數(shù)y=x2－x與y=－x2+k的圖象的頂點(diǎn)重合，則下列結(jié)論不正確的是（）A．這兩個(gè)函數(shù)圖象有相同的對(duì)稱(chēng)軸B．這兩個(gè)函數(shù)圖象的開(kāi)口方向相反C．方程－x2+k=0沒(méi)有實(shí)數(shù)根D．二次函數(shù)y=－x2＋k的最大值為EQ\F(1,2)10．拋物線(xiàn)y=x2+2x－3與x軸的交點(diǎn)的個(gè)數(shù)有（）A．0個(gè)B．1個(gè)C．2個(gè)D．3個(gè)11．拋物線(xiàn)y=（x—l）2+2的對(duì)稱(chēng)軸是（）A．直線(xiàn)x=－1B．直線(xiàn)x=1C．直線(xiàn)x=2D．直線(xiàn)x=212．已知二次函數(shù)的圖象如圖所示，則在“①a＜0，②b＞0，③c＜0，④b2－4ac＞0”中，正確的判斷是（）A、①②③④B、④C、①②③D、①④13．已知二次函數(shù)(a≠0）的圖象如圖所示，則下列結(jié)論：①a、b同號(hào)；②當(dāng)x=1和x=3時(shí)，函數(shù)值相等；③4a+b=0；④當(dāng)y=－2時(shí)，x的值只能取0．其中正確的個(gè)數(shù)是（）A．l個(gè)B．2個(gè)C．3個(gè)D．4個(gè)14．如圖，拋物線(xiàn)的頂點(diǎn)P的坐標(biāo)是（1，－3），則此拋物線(xiàn)對(duì)應(yīng)的二次函數(shù)有（）A．最大值1B．最小值－3C．最大值－3D．最小值116．將二次函數(shù)y=x2－4x+6化為y=(x—h)2+k的形式：y=___________17．把二次函數(shù)y=x2－4x+5化成y=(x—h)2+k的形式：y=___________18．若二次函數(shù)y=x2－4x+c的圖象與x軸沒(méi)有交點(diǎn)，其中c為整數(shù)，則c=___________________（只要求寫(xiě)一個(gè)）．19．拋物線(xiàn)y=(x－1)2+3的頂點(diǎn)坐標(biāo)是____________．20．二次函數(shù)y=x2－2x－3與x軸兩交點(diǎn)之間的距離為_(kāi)________.21.已知拋物線(xiàn)y=ax2+bx+c經(jīng)過(guò)A（－1,0）、B（3,0）、C（0,3）三點(diǎn)，(1)求拋物線(xiàn)的解析式和頂點(diǎn)M的坐標(biāo)，并在給定的直角坐標(biāo)系中畫(huà)出這條拋物線(xiàn)。(2)若點(diǎn)（x0,y0）在拋物線(xiàn)上，且0≤x0≤4,試寫(xiě)出y0的取值范圍。22.已知直線(xiàn)y＝－2x＋b(b≠0)與x軸交于點(diǎn)A，與y軸交于點(diǎn)B;一拋物線(xiàn)的解析式為y＝x2－(b＋10)x＋c.⑴若該拋物線(xiàn)過(guò)點(diǎn)B，且它的頂點(diǎn)P在直線(xiàn)y＝－2x＋b上，試確定這條拋物線(xiàn)的解析式；⑵過(guò)點(diǎn)B作直線(xiàn)BC⊥AB交x軸于點(diǎn)C，若拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸恰好過(guò)C點(diǎn)，試確定直線(xiàn)y＝－2x＋b的解析式.23．已知拋物線(xiàn)y=(1-m)x2+4x-3開(kāi)口向下，與x軸交于A(x1,0)和B(x2,0)兩點(diǎn)，其中xl<x2．(1)求m的取值范圍；(2)若x12+x22=10，求拋物線(xiàn)的解析式，并在給出的直角坐標(biāo)系中畫(huà)出這條拋物線(xiàn)；24．如圖，有一座拋物線(xiàn)型拱橋，在正常水位時(shí)水面AB的寬是20米，如果水位上升3米時(shí)，水面CD的寬為10米，建立如圖所示的直角坐標(biāo)系，求此拋物線(xiàn)的解析式；25．華聯(lián)商場(chǎng)以每件30元購(gòu)進(jìn)一種商品，試銷(xiāo)中發(fā)現(xiàn)每天的銷(xiāo)售量（件）與每件的銷(xiāo)售價(jià)（元）滿(mǎn)足一次函數(shù)y=162－3x；（1）寫(xiě)出商場(chǎng)每天的銷(xiāo)售利潤(rùn)（元）與每件的銷(xiāo)售價(jià)（元）的函數(shù)關(guān)