[優質文檔]對數函數和指數函數知識點及應用2007年高考數學第一輪復習---指數與對數函數一、指數與對數運算:(一)知識歸納:(根式的概念:1,?定義:若一個數的次方等于，則這個數稱的次方根.即，若nana(n,1,且n,N)n,，則稱的次方根，x,axann,1且n,N)na的n1)當為奇數時，次方根記作a;n2)當為偶數時，負數沒有次方根，而正數有兩個次方根且互為相反數，記nanan作n.,a(a,0)nnnn?性質:1);2)當為奇數時，;a,an(a),aa(a,0),na,|a|,)當為偶數時，3n,,a(a,0),2(冪的有關概念:*n0?規定:1)N，2)，a,a,a,？,a(n,a,1(a,0)n個m1p,*nmna,(p,3)Q，4)、N且n,n,1)a,a(a,0,mparsr，s?性質:1)、s,Q)，a,a,a(a,0,rrsr,s2)、s,Q)，(a),a(a,0,rrrr3)Q)(a,b),a,b(a,0,b,0,r,s,(注)上述性質對r、R均適用.3(對數的概念:bba,Na(a,0,且a,1)a?定義:如果的b次冪等于N，就是，那么數稱以為底logN,b,aN的對數，記作其中稱對數的底，N稱真數.alogNlgN1)以10為底的對數稱常用對數，記作，10lnN2)以無理數為底的對數稱自然對數，記作logNe(e,2.71828？)e?基本性質:1)真數N為正數(負數和零無對數)，2)，log1,0alogNa3)，4)對數恒等式:a,Nloga,1a?運算性質:如果則a,0,a,0,M,0,N,0,1);log(MN),logM，logNaaaM2)log,logM,logN;aaaNn3)R).logM,nlogM(n,aalogNm?換底公式:logN,(a,0,a,0,m,0,m,1,N,0),alogamnnlogb,logb.1)，2)logb,loga,1maabam(二)學習要點:bn1((其中)是同一數量關系的三種不N,a,a,N,logN,bN,0,a,0,a,1a同表示形式，因此在許多問題中需要熟練進行它們之間的相互轉化，選擇最好的形式進行運算.在運算中，根式常常化為指數式比較方便，而對數式一般應化為同應化為同底.2(要熟練運用初中學習的多項式各種乘法公式;進行數式運算的難點是運用各種變換技巧，如配方、因式分解、有理化(分子或分母)、拆項、添項、換元等等，這些都是經常使用的變換技巧，必須通過各種題型的訓練逐漸積累經驗.【例1】解答下述問題:(1)計算:2211,,,340.50.253322[(3)(5)，(0.008),(0.02)，(0.32)],0.06258922118491000426253324[(),()，(),50，],()[解析]原式=27981010000471421172,[,，25，，],,(,，2)，2,93102995232lg5,lg8000，(lg2)(2)計算.11lg600,lg0.036,lg0.1222[解析]分子=;lg5(3，3lg2)，3(lg2),3lg5，3lg2(lg5，lg2),33616(lg6，2),lg，,lg6，2,lg,4分母=;1000101003原式=.441223333,a,abba,a823,a,，().(3)化簡:2253aa,a333b，ab，a421111121333333332a[(a),(2b)]a,2b(a,a)[解析]原式=,，1111111a223333352(a)，a,(2b)，(2b)(a,a)5111126aa233333,a(a,2b)，，,a，a，a,a.111336a,2bab(4)已知:值.log9,a,18,5,求log361830b[解析]？18,5,？log5,b,18log18，log21，(log18,log9)2(2,a)18181818？log36,,,.30log5，log6b，(log18,log3)2，2b,a18181818[評析]這是一組很基本的指數、對數運算的練習題，雖然在考試中這些運算要求并不高，但是數式運算是學習數學的基本功，通過這樣的運算練習熟練掌握運算公式、法則，以及學習數式變換的各種技巧.【例2】解答下述問題:logx，logx,2logx且x,1(1)已知，acblogb2a求證:c,(ac)logx2logxaa？logx，,,？x,1,？logx,0[解析]，aalogclogbaa122？1，,,2logc,(logc，1)logb,logcaaaalogclogbaalogblogb2aa=log(ac),logb,log(ac),c,(ac)aaa2lgx，lgylgx，lgy[lg(x,y)](2)若，求的值.log(xy)，，,02lgxlgylgxlgy22[解析]去分母得(lgx，lgy)，[lg(x,y)],0lgx，lgy,0xy,1,,？,，,,lg(x,y),0x,y,1,,2、是二次方程的兩實根，且，解t,t,1,0,yx,0,y,0,x,1,y,1,x,y1,5得，t,25，15,1？x,0,？x,,y,,？log(x，y),0222[評析]例2是更綜合一些的指數、對數運算問題，這種問題更接近考試題的形式，應多從這種練習中積累經驗.二、指數函數與對數函數(一)學習要點:1(指數函數:x?定義:函數稱指數函數，y,a(a,0,且a,1)1)函數的定義域為R，2)函數的值域為，(0,，,)0,a,1a,13)當時函數為減函數，當時函數為增函數.?函數圖像:1)指數函數的圖象都經過點(0，1)，且圖象都在第一、二象限，0,a,1a,12)指數函數都以軸為漸近線(當時，圖象向左無限接近軸，當時，xx圖象向右無限接近軸)，xx,x3)對于相同的，函數的圖象關于軸對稱.ya(a,0,且a,1)y,a與y,a0,a,1a,1?函數值的變化特征:?，，?x,0時0,y,1x,0時y,1?，?，x,0時y,1x,0時y,1??，x,0時y,1x,0時0,y,12(對數函數:?定義:函數稱對數函數，y,logx(a,0,且a,1)a1)函數的定義域為，2)函數的值域為R，(0,，,)0,a,1a,13)當時函數為減函數，當時函數為增函數，x4)對數函數與指數函數互為反函數.y,logxy,a(a,0,且a,1)a?1)對數函數的圖象都經過點(0，1)，且圖象都在第一、四象限，0,a,1a,1yy2)對數函數都以軸為漸近線(當時，圖象向上無限接近軸;當時，y圖象向下無限接近軸).y,logx與y,logxa(a,0,且a,1)x4)對于相同的，函數的圖象關于軸對稱.a1a0,a,1a,1x,1時y,0x,1時y,0?，?，x,1時y,0x,1時y,0?，?，0,x,1時y,0x,0時0,y,1?.?.?函數值的變化特征:(二)學習要點:1(解決含指數式或對數式的各種問題，要熟練運用指數、對數運算法則及運算性質，更關鍵是熟練運用指數與對數函數的性質，其中單調性是使用率比較高的知識.2(指數、對數函數值的變化特點(上面知識結構表中的12個小點)是解決含指數、對數式的問題時使用頻繁的關鍵知識，要達到滾瓜爛熟，運用自如的水平，在使用時常常還要結合指數、對數的特殊值共同分析.3(含有參數的指數、對數函數的討論問題是重點題型，解決這類問題的最基本的分類方案是以“底”大于1或小于1分類.4(在學習中含有指數、對數的復合函數問題大多數都是以綜合形式出現，如與其它函數(特別是二次函數)形成的復合函數問題，與方程、不等式、數列等內容形成的各類綜合問題等等，因此要努力提高綜合能力.1,mxf(x),log【例1】已知是奇函數(其中，a,0,a,1)ax,1(1)求的值;m(2)討論的單調性;f(x),1(3)求的反函數;f(x)f(x)(4)當定義域區間為時，的值域為，求的值.af(x)(1,a,2)f(x)(1,，,)221，mx1,mx1,mx？f(,x)，f(x),log，log,log,0[解析](1)aaa2,x,1x,11,x對定義域內的任意恒成立，x221,mx22？,1,(m,1)x,0,m,,1，21,x？m,,1當m,1時f(x),0(x,1)不是奇函數，，x，1？f(x),log,？(2)定義域為(,,,,1):(1,，,)，ax,1,2,,f(x)loge求導得，a2,x1,a,1(,,,,1)與(1,，,)f(x),0,？f(x)?當時，在上都是減函數;,0,a,1?當時，上都是增函數;f(x),0,？f(x)在(,,,,1)與(1,，,)x，1(另解)設，任取，g(x),x,x,,1或x,x,11221x,1x，1x，1,2(x,x)2121，？g(x),g(x),,,,021x,1x,1(x,1)(x,1)2112，結論同上;？g(x),g(x)21yx，1x，1a，1yyyy,log,a,,(a,1)x,a，1,x,(3)，ayx,1x,1a,1xa，1y,1？a,1,0,？y,0,？f(x),(x,0,a,0且a,1)xa,1(4)上為減函數，？1,x,a,2,？a,3,f(x)在(1,a,2)a,12log,1,a,4a，1,0命題等價于，即，f(a,2),1aa,3a,2，3解得.[評析]例1的各個小題概括了指數、對數函數的各種常見的基本問題，熟練掌握這些基本問題的解答程序及方法是很重要的能力訓練，要認真總結經驗.2f(x),log(x,2ax，3)【例2】對于函數，解答下述問題:12(1)若函數的定義域為R，求實數a的取值范圍;(2)若函數的值域為R，求實數a的取值范圍;(3)若函數在內有意義，求實數a的取值范圍;[,1,，,)(4)若函數的定義域為，求實數a的值;(,,,1):(3,，,)(5)若函數的值域為，求實數a的值;(,,,,1](6)若函數在內為增函數，求實數a的取值范圍.(,,,1]222[解答]記，u,g(x),x,2ax，3,(x,a)，3,a2？u,0對x,R(1)恒成立，，？u,3,a,0,,3,a,3min？a的取值范圍是;(,3,3)(2)這是一個較難理解的問題。從“的值域為R”，這點思考，“的值域logulogx1a2為R”等價于“能取遍的一切值”，或理解為“的值域包u,g(x)(0,，,)u,g(x)含了區間”(0,，,)2的值域為？u,g(x)[3,a,，,),(0,，,),2?命題等價于，u,3,a,0,a,,3或a,3min?a的取值范圍是;(,,,,3]:[3,，,)(3)應注意“在內有意義”與定義域的概念是不同的，[,1,，,)命題等價于“恒成立”，應按的對稱軸分類，x,au,g(x),0對x,[,1,，,)g(x)0,,1a,,1a,,,1,,1aa,,,？,或或，,,,,2(,1),0,,2ga,,4,12,0a,3,,3a,,,,的取值范圍是;(,2,3)(4)由定義域的概念知，命題等價于2x,2ax，3,0不等式的解集為，{x|x,1或x,3}2x,2ax，3,0是方程的兩根，？x,1,x,312x，x,2a,12？,a,2,即a的值為2;,x,x,312,5)由對數函數性質易知:(的值域為，由此學生很容易得，但g(x)[2,，,)g(x),2這是不正確的.因為“”與“的值域為”并不等價，后者要求能g(x),2g(x)[2,，,)g(x)取遍[2,，,)的一切值(而且不能多取).2?g(x)的值域是，[3,a,，,)2?命題等價于;[g(x)],3,a,2,a,,1min即a的值為?1;x,a,1g(x)在(,,,1]為減函數,,0(6)命題等價于:，,,,g(1),0gx對x恒成立(),0,(,,,1],,a,1,即，得a的取值范圍是.[1,2),a,2,[評析]學習函數知識及解決函數問題，首先是要非常準確理解與掌握函數中的每個概念，許多函數的概念都有很深刻的內涵，解決問題時要仔細揣摩各種概念之間的聯系與不同，才能作出準確的解答，并要在學習中不斷積累經驗.【例3】解答下述問題:2A,{x|2logx,21logx，3,0}(?)設集合，182xxx,A()loglog,,若當時，函數的最大值為2，fx22a42求實數a的值.12[解析]？A,{x|2logx,7logx，3,0},{x|,logx,3},{x|2,x,8}22222，而f(x),(logx,a)(logx,2),logx,(a，2)logx，2a22221logx,t,？2,x,8,？,t,3令，22a，22t,，其對稱軸，？f(x),g(t),t,(a，2)t，2a2a，273t,,a,時[g(t)],g(3),2,a,1?當，即，適合;max242273113a，,,[()]()2t,,即a,時gt,g,,a,?當，適合;max2422613a,1或綜上，.61x,27x2()42fx,,a,，(?)若函數在區間[0，2]上的最大值為9，求實數a的值.21272xx()22？fx,,,a,，[解析]，22x令，2,t,？0,x,2,？1,t,42127127a22？f(x),g(t),t,at，,(t,a)，,(1,t,4),22222?拋物線的對稱軸為，g(t)t,a543435,[()](4)49?當，不合;a,時fx,g,,a,,a,,max22825?當時，，適合;a,[f(x)],g(1),14,a,9,a,5max2a,5綜上，xx，1(?)設關于的方程R)，x4,2,b,0(b,(1)若方程有實數解，求實數b的取值范圍;(2)當方程有實數解時，討論方程實根的個數，并求出方程的解.xx，1[解析](1)原方程為b,4,2，xx，1x2xx2，？4,2,(2),2，2,(2,1),1,,1時方程有實數解;？當b,[,1,，,)xb,,1x,0(2)?當時，，?方程有唯一解;2,1x2xb,,1?當時，.？(2,1),1，b,2,1,1，bxx的解為;？2,0,1，1，b,0,？2,1，1，bx,log(1，1，b)2令1,1，b,0,1，b,1,,1,b,0,x的解為;？當,1,b,0時,2,1,1，bx,log(1,1，b)2綜合?、?，得,1,b,01)當時原方程有兩解:;x,log(1,1，b)2b,0或b,,12)當時，原方程有唯一解;x,log(1，1，b)2b,,13)當時，原方程無解.[評析]例3是一組具有一些綜合性的指數、對數問題，問題的解答涉及指數、對數函數，二次函數、參數討論、方程討論等各種基本能力，這也是指數、對數問題的特點，題型非常廣泛，應通過解題學習不斷積累經驗.《訓練題》一、選擇題:*,n1,n,n1,n1(若N，則()n,4，2，1，4,2，1,,n1,n,2n222A(2B(C(D(log4log3234logx,log3,(log4，log3),(，)2(若，則x,()9434log4log334A(4B(16C(256D(81aaa0,a,13(當時，的大小關系是()a,a,aaaaaaaA(B(a,a,aa,a,aaaaaaaC(D(a,a,aa,a,a24(若，則a的取值范圍是()log,1a3331,a,0,a,1或1,a,A(B(2222C(D(,a,10,a,或a,133x5(函數的定義域為[1，2]，則函數的定義域為()y,f(logx)y,f(2)2A([0，1]B([1，2]C([2，4]D([4，16]3f(x),log(x,ax)在(,3,,2)6(若函數上單調遞減，則實數a的取值范圍是()12A([9，12]B([4，12]C([4，27]D([9，27]二、填空題:log322(計算7.lg5，lg2,lg50，4,2x8(函數是減函數，則實數a的取值范圍是.f(x),(a,1)log(1,k),19(若，則實數k的取值范圍是.(1，k)af(x),log(x，,4)(a,0,且a,1)10(已知函數的值域為R，則實數a的取值范ax圍是.三、解答題:112(aa，，2)(a，，3)21aaaa，,3,求11(已知的值.1a4a，4axx12(已知函數，f(x),lg(a,b)(a,1,0,b,1)(1)求的定義域;f(x)(2)此函數的圖象上是否存在兩點，過這兩點的直線平行于x軸,(3)當a、b滿足什么條件時恰在取正值.f(x)(1,，,)x，113(求函數的值域.f(x),log，log(x,1)，log(p,x)222x,114(在函數的圖象上有A、B、Cy,logx(a,1,x,1)am，2m，4三點，它們的橫坐標分別為、、，若m?ABC的面積為S，求函數的值域.S,f(m)15(已知函數，f(x),log(1，x),log(1,x)(a,0且a,1)aa(1)討論的奇偶性與單調性;f(x)11{x|,,x,},求a(2)若不等式的解集為的值;|f(x)|,222,1(3)求的反函數;f(x)f(x)1,1,1f(1),(4)若，解關于的不等式R).xf(x),m(m,3《作案與解析》一、選擇題:1.A2.C3.B4.D5.D6.A二、填空題(,1,0):(0，1)(0，1):(1，4]7(108(9(10((,2,0):(0,2)111211(，？a，,3,(a，),9,a，,7aaa1122，？(a，),49,a，,472aa33111111,,,12222222222？aa，,a，a,(a，a)[(a),a,a，(a)]aa11，,(a，)(a,1，),3，6,18aa111244而，a，,(a，),a，2，,544aaa(18，2)，(47，3)20，50.？原式,,,200555axxxxx？abab,,0,,(,0),(),112((1)，ba,1,a又，故函數的定義域是.？,,1,？x,0(0,，,),0,b,1b,(2)問題的結論取決于的單調性，考察這個函數的單調性有三種方法:f(x)?求導，?運用單調性定義，?復合分析，但以方法?最好.a,1,lgexx,f(x),(alna,blnb),？(解一)求導得:，,xx0,b,1a,b,lna,0,xxxx？，，？alna,blnb,0,而lge,0,a,b,0,lnb,0,,在定義域內單調遞增，故不存在所述兩點;？f(x),0,f(x)xx22a,bfx,fx,()()lg(解二)任取x,x,0，則，2121xx11a,bxxxx2122,aaa,1,,ab,,xxxx2211abab？,,,,,,0,,1，,,xxxx1121b0,,1ab,,bb,,,？f(x),f(x),f(x)即在定義域內單調遞增，故不存在所述兩點;21(3)在單調遞增，?命題等價于:，？f(x)(1，，,)f(1),0？a,b,113(？1,x,p(p,1),？f(x),log[(x，1)(p,x)]221(1)p,p，22，log[(1)]log[()],,