重難點專題35圓錐曲線離心率壓軸題（含二級結論）十九大題型匯

總

題型1直接型....................................................................1

題型2二級結論之通徑型..........................................................3

題型3雙曲線漸近線相關..........................................................4

題型4坐標法....................................................................5

題型5二級結論之焦點弦定比分點.................................................7

題型6二級結論之焦點已知底角...................................................8

題型7焦點三角形已知頂角型......................................................9

題型8焦點三角形雙余弦定理.....................................................10

題型9利用圖形求離心率.........................................................11

題型10利用橢圓雙曲線的對稱性求離心率.........................................12

題型11點差法..................................................................14

題型12二級結論之中點弦問題...................................................15

題型13角平分線相關............................................................17

題型14圓錐曲線與圓相關........................................................18

題型15內切圓相關..............................................................19

題型16與立體幾何相關..........................................................20

題型17二級結論之切線方程......................................................23

題型18正切公式的運用..........................................................25

題型19圓錐曲與內心結合........................................................26

題型1直接型

【例題1】（2021?江西南昌?統考模擬預測）已知雙曲線C：《—3=1似>0,6>0）的左、右

焦點分別為用,尸2,過尸2的直線1交C的右支于4,B兩點，且麗?加=0,12|前|=5|加

I,貝北的離心率為

【變式1-1】1?（2021?全國?高三開學考試）設FI,F2分別是橢圓E]+g=l（a>fo>0）的

左、右焦點，過點Fi的直線交橢圓E于4B兩點，|4Fi|=3|BFi|,若cos乙4尸28=*則橢圓E

的離心率為

29

【變式1-1】2.（2021?河北秦皇島?統考二模）橢圓左=1（。>6>0）的左右焦點分

別為Fi,F2,過點FI的直線I交橢圓C于A,B兩點，已知（加+證）?加=0,M=

舛，則橢圓C的離心率為（）

A-IB-TC-TD-I

【變式1-1】3.（2023?江西九江?二模）青花瓷又稱白地青花瓷，常簡稱青花，中華陶瓷燒

制工藝的珍品，是中國瓷器的主流品種之一，屬釉下彩瓷.如圖為青花瓷大盤，盤子的邊緣

有一定的寬度且與桌面水平，可以近似看成由大小兩個橢圓圍成.經測量發現兩橢圓的長軸

長之比與短軸長之比相等.現不慎掉落一根質地均勻的長筷子在盤面上，恰巧與小橢圓相切,

設切點為P,盤子的中心為。，筷子與大橢圓的兩交點為人B,點A關于。的對稱點為C.給

出下列四個命題：

①兩橢圓的焦距長相等；

②兩橢圓的離心率相等；

?\PA\=\PB\；

④BC與小橢圓相切.

其中正確的個數是（）

A.1B.2C.3D.4

【變式1-1】4.（2223下?恩施模擬預測）已知%,尸2分別為雙曲線C:5-§=1（^>0）

4D

的左右焦點，且％到漸近線的距離為1,過尸2的直線1與C的左、右兩支曲線分別交于4B兩

點，且Z14F1,則下列說法正確的為（）

A.△AFF2的面積為2B.雙曲線C的離心率為此

------*------*1]

C.71F1-BF1=10+4V6D.]^+j^y=V6+2

點為A,點Q在y軸上，點P在橢圓上，且滿足PQiy軸，四邊形FMPQ是等腰梯形，直

【變式2-1】1.（2324高三上?湖北?階段練習）已知4,B是橢圓《+f|=l（a>b〉0）的

左右頂點，P是雙曲皖-普=1在第一象限上的一點，直線P4PB分別交橢圓于另外的點

M,N.若直線MN過橢圓的右焦點F,且tan乙4MN=3,則橢圓的離心率為

【變式2-1】2.（2023?湖北武漢?三模）已知橢圓C:t+.=l（a>b>0）,點A,B分別

為橢圓C的左右頂點，點F為橢圓C的右焦點，P為橢圓上一點，且PF垂直于x軸.過原

點0作直線PA的垂線，垂足為M,過原點0作直線PB的垂線，垂足為N,記Si,S2分

別為△MON,48的面積.若||=與，則橢圓C的離心率為

【變式2-1】3.（2223?贛州?二模）已知雙曲線E：§-g=l（a>O,h>0）的左右焦點分別

為F1,尸2,點P在E上，滿足aFiPF?為直角三角形，作。MIPFi于點M（其中。為坐標原

點），且有麗=2而1，貝忸的離心率為

【變式2-1]4.（2023?河北保定?統考二模）已知雙曲線C：/—'=l（a>0,b>0）的右焦點

為F,B為虛軸上端點，M是BF中點，。為坐標原點，OM交雙曲線右支于N,若FN垂直于x軸,

則雙曲線C的離心率為（）

A.V2B.2C.V3D.

題型3雙曲線漸近線相關

則C的離心率為（）

A.V2B.2C.V5D.3

【變式3-1】1.（2022?貴州畢節?統考模擬預測）已知%,尸2是雙曲線*J—看=1

（a>0,6>0）的左、右焦點，點A是C的左頂點，過點出作C的一條漸近線的垂線，垂足為

P,過點P作X軸的垂線，垂足為“，。為坐標原點，且P。平分乙4PM,貝！JC的離心率為（）

A.2B.V2C.3D.V3

【變式3-1】2.（多選）（2023?山東濰坊?三模）函數）/=取+/必>0）的圖象是雙曲線,

且直線％=。和丫=5是它的漸近線.已知函數y=苧%+±則下列說法正確的是（）

A.x*0,\y\>7^B.對稱軸方程是y=每⑺=一爭

C.實軸長為后后D.離心率為竽

【變式3-1】3.（2020上?廣西桂林?高三廣西師范大學附屬中學校考階段練習）已知雙曲

線C：/—、=l（a>0力>0）的右焦點為F,左頂點為A,過F作C的一條漸近線的垂線,

垂足為M,若tan/AMF=1,則C的離心率為

【變式3-1】4.（2022?陜西咸陽?統考二模）已知雙曲線C:（a>0,b>0）的左焦點為

F,過F且與雙曲線C的一條漸近線垂直的直線I與另一條漸近線交于點P,交y軸于點A,

若A為PF的中點，則雙曲線C的離心率為

【變式3-1】5.（多選）（2023?河北唐山?模擬預測）已知雙曲線C：/—?=l（a>0）的左、

右焦點分別為％,F2,過F2作直線y=|%的垂線，垂足為P,O為坐標原點，且〃止。=￡,

過P作C的切線交直線y=—|x于點Q,則（）

A.C的離心率為亨B.C的離心率為孚

C.AOPQ的面積為D.AOPQ的面積為

題型4坐標法

【例題4】（2023?河南?模擬預測）已知雙曲線C：《―f|=l（a>0力>0）的左頂點為A,P

為C的一條漸近線上一點，AP與C的另一條漸近線交于點Q,若直線AP的斜率為1,且A

為PQ的三等分點，則C的離心率為

22

【變式4-1】1.（2023?山東濰坊?模擬預測）已知雙曲線日a―左=1（a>0,6>0）的左

焦點為F,過F的直線交E的左支于點P,交E的漸近線于點M,N,且P,M恰為線段

FN的三等分點，則雙曲線E的離心率為（）

A.2B.C.V5D.V3

【變式4-1]2.（24.25高三上?浙江?開學考試）已知橢圓C：§+g=l（a>b>0）的右焦

點為F,過點F作傾斜角為曲勺直線交橢圓C于4B兩點，弦4B的垂直平分線交久軸于點P,

若憎則橢圓C的離心率0=

【變式4-1】3.（2023?湖北襄陽?模擬預測）如圖，已知有公共焦點Pi（—c,0）、P2（c,0）的

橢圓Ci和雙曲線。2相交于A、B、C、D四個點，且滿足|。*=|OB|=|OC|=|OD|=c,直

線AB與x軸交于點P,直線CP與雙曲線C2交于點Q,記直線AC、AQ的斜率分別為七、

k2,若k「?=2,則橢圓Ci的離心率為

【變式4-1]4.（22.23高三上?河南洛陽?階段練習）已知雙曲線C：§-g=l（a>O.b>0）

的左、右焦點分別為Fi（-c,0）,F2（C,0）,過點FI的直線1與雙曲線C的左支交于點A,與雙

曲線C的一條漸近線在第一象限交于點B,且|FF2l=2|OB|（O為坐標原點）.下列四個結論

正確的是（）

①|BFi|=，4c2—田產2巴

②若同=2F^A,則雙曲線C的離心率1宇;

?\BF1\-\BF2\>2a;

@c-a<\AFX\<V2c-a.

A.①②B.①③C.①②④D.①③④

【變式4-1】5.(2223高三上?河北石家莊?期中)橢圓C:/+f1=l(a>b>0)的左、右焦

點分別為Fi,&,過匕的直線交C于A,B兩點，若3肅=市+24，|詞=|麗其

中0為坐標原點，則橢圓的離心率為

題型5二級結論之焦點弦定比分點

型:-警1#占

1.點F是橢圓的焦點，過F的弦AB與橢圓焦點所在軸的夾角為8%(0分，k為直線AB的

斜率，且而=4而(A>0),則e=VTT詞

當曲線焦點在y軸上時，e=

注：4=器或者A=%而不是益或者笠點F是雙曲線焦點，

2.過F弦AB與雙曲線焦點所在軸夾角為8外(0,今,k為直線AB斜率，且而=4而(2>0

),則e=VTT9|舒|

當曲線焦點在y軸上時，e=缶|

【例題5](23-24高三上?云南?階段練習)已知橢圓C：g+g=l(a>b>0)的左、右焦點

分別為乙,尸2,過點尸2且傾斜角為60。的直線1與C交于A,B兩點.若△4F1&的面積是

△BF/2面積的2倍，貝！JC的離心率為

【變式5-1】1.(2022上?遼寧鞍山?高三鞍山一中校考期中)已知橢圓。搭+3=1的左焦

點為F,過F斜率為百的直線1與橢圓C相交于4B兩點，若提=|,則橢圓。的離心率

e=

【變式5-1]2.（2022?全國?高三專題練習）已知雙曲線定—'=l（a>0,b>0）的右焦點

為F,過F且斜率為舊的直線交C于4B兩點，若麗=4而，貝北的離心率為（）

A-8BD，-5JC-5DU，-5

【變式5-1]3.（2023?浙江溫州?樂清市知臨中學校考二模）已知橢圓5+g=1的右焦點

為尸2,過右焦點作傾斜角為巾勺直線交橢圓于G,"兩點，且南=2嬴，則橢圓的離心率為

（）

A-IB.?C.|D.空

27

【變式5-1】4.（2023?貴州?統考模擬預測）橢圓+^=l（a>b>0）的上頂點為4F是

C的一個焦點，點B在C上，若3而+5而=6,則C的離心率為（）

A.|B.|C返D—

J2/2

題型6二級結論之焦點已知底角

1.已知橢圓方程為5+*=1（。>b>0）,兩焦點分別為尸I,工，設焦點三角形PFH,

NPFR=a,/PF?"=仇則橢圓的離心率e=;=黑溫

2.已知雙曲線方程為《―l（a>0,b>0）兩焦點分別為設焦點三角形母M，

FX,F2,

艮="當=.0則：=二]器,________________________

【例題6】（2008?全國?高考真題）設△ABC是等腰三角形，乙4員;=120。，則以Z,B為焦

點，且過點C的雙曲線的離心率為（）

A.1+B.C.1+V2D.1+V3

【變式6-111.（2022秋?山東青島?高二山東省青島第五十八中學校考期中）橢圓。今+3

=l（a>b〉0）的左、右焦點分別為焦距為2c,若直線y=VI（x+c）與橢圓C的一

個交點M滿足NMF1F2=2AMF2F1,則該橢圓的離心率等于（）

A.V3-1B.V2-1C.亨D.?

【變式6-1】2.（2020秋?貴州貴陽?高二統考期末）已知橢圓C：，+—=l（a>%>0）的

左右焦點分別為Fi,F2,焦距為2c.若直線y=亨Q+c）與橢圓的一個交點M滿足NM%%

=2ZMF1F2,則該橢圓的離心率等于

A.3—V5-B.V5*—C.+1D.—1

【變式6-1】3.（2023?全國?高二專題練習）已知橢圓E的兩個焦點分別為%,點P為

橢圓上一點，目tanNPFF2=E，tan/PF2Fi=2,則橢圓E的離心率為

【變式6-1]4.（2023秋?江西吉安?高三吉安一中校考開學考試）點P是雙曲線的：

=1（a>0,6>0）和圓C2：%2+y2=a2+b2的一個交點，且2NPF1F2=4PF2F1,其中

F1,尸2是雙曲線C1的兩個焦點，則雙曲線C1的離心率為

【變式6-1】5.（2023秋?湖南衡陽?高三衡陽市八中校考階段練習）已知FJ2分別是雙曲

線唁-翁=1（￡1>0力>0）的左、右焦點，點4是雙曲線。的右頂點，點。在過點4且斜率為竽

O

的直線上，△PFF2為等腰三角形，ZPF2F1=120,則雙曲線的離心率為.

題型7焦點三角形已知頂角型

【例題7】（2021高二上?吉林白城?階段練習）已知乙尸2是橢圓和雙曲線的公共焦點，P是

它們的一個公共點，且乙個尸2=或橢圓的離心率為ei,雙曲線的離心率02,則看+譽

【變式7-1】1.（2021?重慶?校聯考三模）已知雙曲線—真=l（a>0,6>0）的左右焦點

分別為乙,尸2,過％的直線交雙曲線C的左支于P,Q兩點，若PF2=PF2QF2,且

△PQF2的周長為12a,則雙曲線C的離心率為（）

A.粵B.WC.V5D.2V2

【變式7-1】2.（2021?山東煙臺?統考二模）已知雙曲線C:5=1（。>0力>0）的左、

右焦點分別為F1,尸2,點4在C的右支上，4Fi與C交于點B,若不?不=0,且|可|=|不

I,則C的離心率為（）

A.V2B.V3C.V6D.V7

【變式7-1]3.（2021?浙江?模擬預測）已知Fi,92分別是雙曲線E：5-g=l（a>0,b>0）

的左、右焦點，直線y=依與E交于4,B兩點，且“遇尸2=60。，四邊形FMF2B的周長C與

面積S滿足16gs=。2,貝恒的離心率為（）

A.孚B.苧C.4D.V3

【變式7-1】4.（2023?上海崇明一模）已知橢圓「1與雙曲線上的離心率互為倒數，且它們

有共同的焦點F1、尸2,P是「1與二在第一象限的交點，當“止尸2=段時，雙曲線「2的離心率

等于

【變式7-1】5.（2022上?江蘇南京?高三南京師大附中校考期中）已知Fi,92分別為雙曲線

C：5—?=19>0力>0）的左，右焦點，過點尸2且斜率為1的直線1與雙曲線C的右支交于

P,Q兩點，若△FiPQ是等腰三角形，則雙曲線C的離心率為

題型8焦點三角形雙余弦定理

22

【例題8]（22-23高二下?河南安陽?開學考試）已知&乃是橢圓。今+:=l（a>b>0）的

兩個焦點，過Fi的直線與橢圓C交于M,N兩點，\MF2\-\MF1\=a,\MFx\+\NF^\=\NF2],

則橢圓C的離心率為（）

A.|B.半C.半D.半

【變式8-1】1.（2223上?河南?模擬預測）雙曲線C:5—\=l（a>0,6>0）的左，右焦

點分別為Fi,尸2,過尸2的直線與C交于A,B兩點，且旃=2嬴，乙4BFi=60。，則雙曲

線C的離心率為（）

A.1B.2C.|D.g

【變式8-1】2.（2023?浙江?一模）已知雙曲線C:5—\=1的左右焦點分別為Fi,F2,0

為坐標原點，A,B為C上位于x軸上方的兩點，且4F//BF2,乙4%/2=60。.記A去,則

交點為P,過點P作PQ//4%,交久軸于點Q.若|OQ|=2|PQ|,則雙曲線。的離心率是.

29

【變式8-1]3.（23-24高三上?江蘇淮安?開學考試）橢圓C:女+^=l（a>b>0）的左、右

焦點分別為尸1尸2,上頂點為A,直線力&與橢圓C交于另一點B,若乙4F2B=120。，則橢

圓C的離心率為

【變式8-1]4.（22-23高三下?山東荷澤?開學考試）已知雙曲線C:§-g=l（a>0,&>0）

的左右焦點分別為Fi,F2,點A在C上，點B在y軸上，。?齊5=0,范=源，則C

的離心率為

【變式8-1】5.（2023?湖南株洲?一模）已知橢圓。5+\=1（￡1>6>0）的左右焦點為尸1,

F2,過％的直線交橢圓C于P,Q兩點，若布=?石，且|西卜恒方則橢圓C的離

心率為

題型9利用圖形求離心率

【例題9】（2023?安徽安慶?二模）在平面直角坐標系xOy中，已知雙曲線C：，-/

=1缶>0力>0）的左、右焦點分別為91,F2I過FI的直線與雙曲線C的右支相交于點P,過

點。,尸2作。NIPFLFZMIPFI,垂足分別為N,M,且M為線段PN的中點，\ON\=a,則雙曲

線C的離心率為（）

A.2B.包C.牛D.平

222

【變式9-1】1.（2223?包頭?二模）雙曲線C：§-g=l（a>0,b>0）的兩個焦點為

Fi（-c,0）,F2（C,0）,以C的虛軸為直徑的圓記為D,過FI作D的切線與C的漸近線

y=一宗交于點H,若△F*。的面積為乎ac,則C的離心率為

【變式9-1]2.（2023秋?江西宜春?高三江西省宜豐中學校考階段練習）雙曲線-g=l

（a力>0）的左焦點為F,直線FD與雙曲線C的右支交于點D,A,B為線段FD的兩個三等分

點，且|。川=|。用=爭1（。為坐標原點），則雙曲線C的離心率為

___2

【變式9-1】3.（2023?湖南邵陽?邵陽市第二中學校考模擬預測）已知乙,尸2是橢圓。女+

g=l（a>b>0）的左、右焦點，4是C的上頂點，點P在過4且斜率為28的直線上，△PF1F2

為等腰三角形，NPFiF2=120°,則C的離心率為（）

A.用B.夕C.叵D.i

101494

22

【變式9-1】4.（2023?海南省直轄縣級單位?文昌中學校考模擬預測）已知橢圓7奈+標

=1（。>匕>0）的左、右焦點分別為尸1尸2,左頂點為4上頂點為B,點P是橢圓上位于第一

象限內的點，且△力BO?△F1PF2，。為坐標原點，則橢圓的離心率為

題型10利用橢圓雙曲線的對稱性求離心率

22

【例題10】（2223高二下?湖南?期末）如圖，已知修尸2是雙曲線c角一下=1的左、右焦點,

P,Q為雙曲線C上兩點，滿足FiPII&Q,且l&QI=IF2Pl=3|/止|,則雙曲線C的離心率為

【變式10-1】1.（2023?河南商丘?模擬預測）已知雙曲線c[—，=l（a>0,b>0）的左、右

焦點分別為Fi，/2,點MN是C的一條漸近線上的兩點，且防萬=2加（。為坐標原點），

|MN|=IFF?卜若P為。的左頂點，且NMPN=135。，則雙曲線C的離心率為（）

A.V3B.2C.V5D.V7

【變式10-112.（2023?福建寧德?模擬預測）已知橢圓C：5+g=l（a>b>0）的右焦點是

F,直線y=日交橢圓于4B兩點,直線皿與橢圓的另一個交點為C,若黑=繇=1,貝嫡

圓的離心率為

【變式10-1】3.（2324高三上?山西大同?階段練習）已知橢圓。]+\=1（（1>6>0）的

左、右焦點分別為％,電,過點P（3c,0）作直線/交橢圓C于MN兩點，若麗=2而，|"力|=4

|嬴|則橢圓C的離心率為

22

【變式10-1]4.（2022?全國?校聯考模擬預測）已知雙曲線C：a-^=l（a>O.b>0）的左、

右焦點分別是Fi,F2I過F2的直線?交雙曲線C于P,Q兩點且使得麗="會

（0<Z<l）.A為左支上一點且滿足元7+彳=6,銀=|加+輛，△加12P的面積為

b2,則雙曲線C的離心率為（）

A.孚B.V2

C.當D.V3

【變式10-1】5.（2021下?山西?高三校聯考階段練習）如圖，O是坐標原點，P是雙曲線

E：，—、=19>06>0）右支上的一點，F是E的右焦點，延長PO,PF分別交E于Q,R

兩點,已知QF_LFR,S.\QF\=2\FR\,則E的離心率為（）

V17DV17rV21D叵

題型11點差法

1.根與系數關系法：聯立直線方程和橢圓（或雙曲線）方程構成方程組，消去一個未知數,

利用一元二次方程根與系數的關系以及中點坐標公式解決；

2.點差法：利用交點在曲線上，坐標滿足方程，將交點坐標分別代入橢圓（或雙曲線）方程，

然后作差，構造出中點坐標和斜率的關系，具體如下：已知/（Xi,%），3（X2,"）是橢圓

x2y2但+H=1①

:+K=l（a>b>0）上的兩個不同的點M（x（）,為）是線段N8的中點，摟囂由①-

a2b1

b2xo

~.一,(%1—％2。°,

屐次

+%2H0)

【例題11】（2223?吉安?一模）橢圓E「+\=l（a>b>0）的內接四邊形48CD的對角線

4&BD交于點P（l,l）,滿足羽=2而，BP=2PD,若直線AB的斜率為-，則橢圓的離心率

等于（）

A.7B.CiD.1

【變式11-111.（2023?湖北?模擬預測）設橢圓黑+/=1（。>6>0）的離心率時孝，C

的左右焦點分別為Fi，%,點A在橢圓C上滿足NFMF2=?AF遇尸2的角平分線交橢圓于

另一點B,交y軸于點D.已知荏=2麗，貝監=

【變式11-1】2.（2022下?云南昭通?高二校聯考期末）已知雙曲線E:§-g=l（a>0,b>0）

斜率為-第勺直線與E的左右兩支分別交于4,B兩點，P點的坐標為（-1,2）,直線4P交E于

另一點C,直線BP交E于另一點，如圖1.若直線CD的斜率為則E的離心率為（）

22

【變式11-1】3.（2223?河北?模擬預測）已知斜率為-2的直線隊與雙曲線E套—左=1

（a>0,6>0）的左、右兩支分別交于點4B,/2//Z1,直線％與E的左、右兩支分別交于點，

C,AC交BD于點P,若點P恒在直線Z:y=-3久上，則E的離心率為

___22

【變式11-114.（2023?云南?統考模擬預測）已知橢圓C套+襄=l（a>b>0）的右焦點

尸90）的>°）和上頂點瓦若斜率為5的直線I交橢圓C于P,Q兩點，目滿足麗+而+而

=0,則橢圓的離心率為

【變式11-1】5.（2020上?重慶沙坪壩?高三重慶八中校考階段練習）如圖，過原點。的直

線AB交橢圓C:§+g=l（a>b>0）于A,B兩點，過點A分別作x軸、AB的垂線

AP,AQ分別交橢圓C于點P,Q,連接BQ交AP于一點M,若前=M，則橢圓C的

2.P為橢圓上一點，e為離心率,

①公，心為兩個頂點，則kp4jkp4z=e2—l;

②41，為關于原點對稱的兩點，貝UkpAi?kpA2=e?-1;

以上結論也適用于雙曲線.

【例題⑵（22-23上徐州?期末）已知橢圓C:g+g=l（a>b>0）,經過原點0的直線

交C于A,B兩點.P是C上一點（異于點A,B）,直線BP交x軸于點D.若直線AP,

BP的斜率之積為a且乙BD0=4B0D,則橢圓C的離心率為^

【變式12-1]1.（22.23下?安徽?一模）已知直線/與橢圓+蕓=l（a>6〉0）交于M,N

兩點，線段MN中點P在直線比=-1上，且線段MN的垂直平分線交x軸于點Q（—q,0）,則橢

圓E的離心率是

【變式12-1]2.（2023?貴州?模擬預測）設O為坐標原點，A為橢圓C:§+g=l（a>b>0）

上一個動點，過點A作橢圓C內部的圓E：2爪》+儼=0（爪>o）的一條切線，切點為

D,與橢圓C的另一個交點為B,D為AB的中點，若OD的斜率與DE的斜率之積為2,

則C的離心率為

【變式12-1】3.（2021?全國?模擬預測）已知橢圓C：2+看=1（。>6>0）的短軸長為4,

上頂點為8,。為坐標原點，點。為。8的中點，雙曲線E:g-g-l（m>0,n>0）的左、右

焦點分別與橢圓C的左、右頂點出,七重合，點P是雙曲線E與橢圓C在第一象限的交點，且

P,。三點共線，直線P&的斜率際42=—$則雙曲線E的離心率為（）

3

Ar

A.-3V5Bn.-C.8V10--10cD.-5+4-V-10

【變式12-1】4.（2223下?南通?階段練習）已知兩點A,M在雙曲C：《—f|=l（a>。力>0）

的右支上，點A與點B關于原點對稱，BM交y軸于點N,若荏1詢，且麗之十8方.而

=0,則雙曲線C的離心率為（）

A.V5B.V6C.V7D.2V2

題型13角平分線相關

普）=I，則雙曲線E的離心率為（）

A.V2B.2C.D.V3

【變式13-1】1.（2223下?湖北?模擬預測）已知％,&分別是雙曲線唁—著=1

（a>0,6>0）的左、右焦點，過％的直線分別交雙曲線左、右兩支于A,B兩點，點C在x

軸上，方=3不，平分NF/C,則雙曲線「的離心率為（）

A.V7B.V5C.V3D.V2

【變式13-112.（2223高三?云南?階段練習）已知橢圓定+著=1似>6>0）的左、右

頂點分別為4B,右焦點為F,P為橢圓上一點，直線4P與直線x=a交于點M,NPFB的角

平分線與直線x=a交于點N,若PF148,△MA8的面積是△NFB面積的6倍，則橢圓C的

離心率是

【變式13-1】3.（2023?山東煙臺?校考模擬預測）設橢圓宅+*=l（a>b〉0）的焦點為

%（—c,0）尸2（C,0）,點P是C與圓“2+y2=c2的交點，NPFI&的平分線交PF2于Q,若

-1

|PQI=5lQ&l，則橢圓C的離心率為（）

A.亨B.V2-1C.乎D.V3-1

【變式13-1]4.（2023春?江西贛州?高三統考階段練習）已知橢圓C]+g=l（a>b>0）

的左、右焦點分別為F-F2.橢圓C在第一象限存在點M,使得|MFi|=|%F2l，直線FiM與

y軸交于點4且尸24是NMF2F1的角平分線，則橢圓C的離心率為（）

A.亨B.亨C.JD.亨

題型14圓錐曲線與圓相關

【例題14】（2023?福建漳州?模擬預測）已知橢圓C:/+\=l（a>6>0）的左、右焦點分

別為Fi、F2,以F2為圓心的圓與左軸交于FI,B兩點，與y軸正半軸交于點4,線段4Fi與C交

于點M.若田陽與C的焦距的比值為粵，則C的離心率為（）

A.B.|C.宇D.空

【變式14-111.（2324高三上?福建福州?開學考試）已知雙曲線C：§-§=l（a>0,fa>0）

的左、右焦點分別為Fi、F2,以F2為圓心的圓與x軸交于FI,B兩點，與y軸正半軸交于

點A,線段2%與C交于點M.若|BM|與C的焦距的比值為亨，則C的離心率為（）

A."1

c?D處

【變式14-1]2.（2023?全國二模）已知雙曲線C:5—'=l（a>0,b>0）的左，右頂點分

別是公，圓久2+y2=a2與c的漸近線在第一象限的交點為“，直線41M交C的右支于點

P.設△”「公的內切圓圓心為/4以了軸，則C的離心率為（）

A.2B.V2C.V3D.V5

22

【變式14-1】3.（2223?馬鞍山?三模）已知Fi,F2分別是雙曲線。"一4=1（a>0,

。>0）的左，右焦點，點M在雙曲線上，MF11MF2I圓0:x2+y2=|（a2+/）,直線MF1

與圓。相交于4B兩點，直線“尸2與圓。相交于P，Q兩點，若四邊形力PBQ的面積為2b房，則

C的離心率為（）

A.fB.C.|D.|

【變式14-1]4.（22.23上?全國?階段練習）已知圓3：久2+（y一竽丫=學過雙曲線

，=l（a>0,6>0）的左、右焦點Fi,F2,曲線CI與曲線C2在第一象限的交點為M,若

\MF1\-\MF2\=12,則雙曲線C2的離心率為（）

A.y/2B.V3C.2D.3

題型15內切圓相關

29

【例題15】（2223高三下江西?階段練習）已知橢圓C:叁+與=l（a>6>0）的左、右焦點

分別為尸1尸2.點P在C上且位于第一象限，圓。1與線段的延長線,線段PF2以及%軸均相切，

△PF1F2的內切圓為圓。2.若圓。1與圓。2外切，且圓。1與圓。2的面積之比為9,則C的離心

率為（）

A-IB.|C.孝D.唱

【變式15-1】1.（2023?山東濰坊?模擬預測）已知雙曲線J4一<=l（a>0力>0）的左,

右焦點分別為Fi,尸2,點尸2與拋物線C2：y2=2px（p>0）的焦點重合，點P為的與C2的一個

交點,若”尸1/2的內切圓圓心的橫坐標為4,。2的準線與G交于A,B兩點，且

則Ci的離心率為（）

A.|B.C.|D.；

【變式15-1]2.（22-23下?寧波?階段練習）已知橢圓+g=l（a>b>0）的左、右焦點

分別為尸1/2,為橢圓上不與頂點重合的任意一點，/為△PF/2的內心，記直線OP,。/的斜

率分別為姮也，若的=決2,則橢圓E的離心率為（）

A空B.|C.乎D.辛

22

【變式15-1】3.（2324高三上?云南昆明?期中）已知橢圓C:女+與=l（a>b>0）的兩個

焦點為Fi（-C,0）,F2（C,0）（C>0）,過Fi作傾斜角為W的直線交橢圓于4B兩點，若△ABF2的內

切圓半徑T=W。，則該橢圓的離心率為

O

【變式15-1】4.（2023?山西?二模）已知橢圓。，+\=1（。>6>0）的左、右焦點分別為

Fi（-c.0）,尸2（。,0）,點網（久0，處）（>0>0是。上一點，點4是直線用尸2與洋由的交點，△AMFi

的內切圓與MF1相切于點M若［MN|=&伊1?2|，則橢圓C的離心率0=

【變式15-1】5.（2223?紅河一模）已知雙曲線E:菖―'=l（a>0乃>0）的左、右焦點

分別為％、F2,若E上存在點P,滿足|0P|=J%F2l，（。為坐標原點），且△PFF2的內

切圓的半徑等于a,則E的離心率為

題型16與立體幾何相關

【例題16】（2023?安徽安慶?一模）.如圖是數學家GerminalDandelin用來證明一個平面

截圓錐得到的截口曲線是橢圓的模型（稱為"Dandelin雙球"）；在圓錐內放兩個大小不同

的小球，使得它們分別與圓錐的側面、截面相切，設圖中球。1,球。2的半徑分別為4和1,

球心距|。1。2|=6,截面分別與球0,球。2切于點E,F,（E,F是截口橢圓的焦點）,則此

橢圓的離心率等于（）

A

A等B.乎C.烏D.1

9326

22

【變式16-1】1.（2223高三下?河北衡水?階段練習）已知乙,尸2分別是雙曲線C轟-左

=l（a>0,b>0）的左、右焦點，過點F2作直線力B1FF2交C于4B兩點.現將C所在平面沿

直線FF2折成平面角為銳角a的二面角，如圖，翻折后4B兩點的對應點分別為4萬，且N4

%夕=0?若黑=||,貝!JC的離心率為（）

【變式16-1】2.（2023云南大理?模擬預測）某同學所在的課外興趣小組計劃用紙板制作

一個簡易潛望鏡模型（圖甲），該模型由兩個相同的部件拼接粘連制成，每個部件由長方形

紙板NCEM（圖乙）沿虛線裁剪后卷一周形成，其中長方形OCEF卷后為圓柱。iS的側面.為

準確畫出裁剪曲線，建立如圖所示的以。為坐標原點的平面直角坐標系，設P（x,y）為裁剪曲

線上的點，作軸，垂足為從圖乙中線段。“卷后形成的圓弧麗（圖甲），通過同學們

的計算發現y與x之間滿足關系式y=3-3cosf（0<X<6TT）,現在另外一個紙板上畫出曲線

y=1—cos女0<%<4n）,如圖丙所示，把沿虛線裁剪后的長方形紙板卷一周，求該裁剪曲

線圍成的橢圓的離心率為（）

甲乙丙

A等B.當

C-D—

23

【變式16-1】3.（2022?遼寧沈陽?一模）如圖，在底面半徑為1,高為6的圓柱內放置兩

個球，使得兩個球與圓柱側面相切，且分別與圓柱的上下底面相切.一個與兩球均相切的平

面斜截圓柱側面，得到的截線是一個橢圓.則該橢圓的離心率為

【變式16-1】4.（2223下遼寧?階段練習）如圖所示圓錐，C為母線SB的中點，點。為底

面圓心，力B為底面圓的直徑，且SC,OB,SB的長度成等比數列，一個平面過4,C,與圓

錐面相交的曲線為橢圓，若該橢圓的短軸與圓錐底面平行，則該橢圓的離心率為.

【變式16-1】5.侈選）（2023?江蘇南通?模擬預測）如圖，已知圓錐PO的軸PO與母線所

成的角為a,過力1的平面與圓錐的軸所成的角為伏S>a）,該平面截這個圓錐所得的截面為

橢圓，橢圓的長軸為4遇2,短軸為B/2,長半軸長為a,短半軸長為6,橢圓的中心為M再以

名史為弦且垂直于P。的圓截面，記該圓與直線P&交于Ci,與直線P公交于。2,則下列說法

正確的是（）

p

A.當。＜a時，平面截這個圓錐所得的截面也為橢圓

B.\NCr\-\NC2\=a2sm（3+瑞嶺）

C.平面截這個圓錐所得橢圓的離心率e=鬻

D.平面截這個圓錐所得橢圓的離心率0=器

題型17二級結論之切線方程

圓錐曲線切線方程的常用結論

22

【結論1］（1）經過圓/+y=N上一點M（xo,yo）的切線方程為x（）x+yoy=r.

（2）當MQo,yo）在圓外時，過M點引切線有且只有兩條，過兩切點的弦所在直線方程為

2

xox+yoy-r.

【結論2】（1）若圓心不在原點，圓的方程：（x—a）2+（y—6）2=八，若”（沏,火）為圓上

一點,則過〃（曲,〉。）切線方程：（久0—a）（x—a）+（yo-b）（y—6）=/

（2）若MQo,yo）在圓外，過M點切線有兩條：切點弦所在直線方程：（久0-a）（x-a）+

（7o-b）（y-6）=r2

方便記憶，求切線和切點弦的方法，統一稱為“代一留一”.

【結論3](1)過圓《+fJ=l(a>b>0)上一點M?),yo)切線方程為簧+需=1；

(2)當MQo,y°)在橢圓《+5=1的外部時，過M引切線有兩條，過兩切點的弦所在直線

方程為箸+置=1.

(3)設過橢圓會+:=l(a>b>0)外一點MQo,yo)引兩條切線，切點分別為力(孫月)，B

(x2,y2).由(1)可知過4B兩點的切線方程分別為：管+猾=1,簧+置=1.又因MQ

是兩條切線的交點，，有署+贊=1,等+歿=1.觀察以上兩個等式，發現力(八九),

現孫及)滿足直爵+瑞-1，二過兩切點4B兩點的直線方程為簧+