專題03三角形及基本性質

廠考點類型

考點1：三角形相關線段

—三角形分類、穩定性

考點2：三角形相關線段

——三邊關系

模塊四圖形的性質

講三角形及基本性質

考點3：三角形相關線段03

——高線

考點4：三角形相關線段

——中線

匚下7知識一遍過

（一）三角形的分類

三角形定義：由不在同一直線上的三條線段首尾順次相連接所組成的圖形是三角形

\直角三角形

（1）按角的關系分類：三角形,銳角三角形

斜三角形

鈍角三角形

，不等邊三角形

（2）按邊的關系分類：三角形一舄寸，［底和腰不相等的等腰三角形

等腰二角形《/華一5,

---<---等1-邊--二---角-形

（二）三角形的三邊關系

三角形任意兩邊之和大于第三邊,任意兩邊之差小王第三邊

（三）三角形的相關線段

（1）角平分線：

①角平線上的點到角兩邊的距離相等一到角兩邊距離相等的點在角平分線上（角平分線的判定）

②三角形的三條角平分線的相交于一點叫內心，內心到三邊的幽相等.

（2）中線：

①三條中線交于三角形內部一點，叫其重心:每條中線平分三角形的面積

②直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的二生

(3)rWj線:

①三條高線所在的直線交于一點，叫其為垂心

②高線參考應用：互余關系的等量代換，等面積法求高線

(4)中位線：三角形兩邊中點的連線段.平行于第三邊,且等于第三邊的一半

(四)三角形相關角的性質

(1)內角和定理：

①三角形的內角和等租等；

②推論：直角三角形的兩銳角互余.

(2)外角的性質：

①三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內角和.

②三角形的任意一個外角大于任何和它不相鄰的內嵬.

(3)三角形內外角角平分線模型總結：

如圖①，AD平分/BAC,AE±BC,貝U/a=工/BAC-/CAE=1(180°-ZB-ZC)-(90°-ZC)=-(Z

222

C-ZB)；

如圖②，BO,CO分別是NABC、NACB的平分線，則有/0=1/A+90°；

2

如圖③，BO、CO分別為/ABC、ZACD,/OCD的平分線，則/0='/A,NO'=-ZO；

22

如圖④，BO、CO分別為NCBD、/BCE的平分線，則N0=90°--ZA.

2

考點1:三角形相關線段一一三角形分類、穩定性

典例1:(2023上?安徽亳州?八年級統考期中)在下列條件中：①乙4+NB=Z_C,②乙4=2NB=34C,

③乙4:NBZC=1:2:3,@AA=90°-AB,⑤乙4=48=3〃：中，能確定△4BC是直角三角形的條件有

A.2個B.3個C.4個D.5個

【變式1](2022上,陜西渭南?八年級校考階段練習)在AABC中，若N4=30。，AB=2乙4,則△43。是()

A.直角三角形B.銳角三角形C.鈍角三角形D.無法判斷

【變式2］（2022上?海南省直轄縣級單位?八年級統考期末）若一個三角形兩個外角之和為280。，那么這個

三角形是（）

A.直角三角形B.銳角三角形C.鈍角三角形D.等邊三角形

【變式31（2022上?北京?八年級人大附中校考期中）如圖，對于AA8C,若存在點。,分別在4B,8C,2C上，

使得N1=N2,Z3=Z4,N5=N6,貝U稱ADEF為A/IBC的"反射三角形下列關于"反射三角形"的說法中，

錯誤的是（）.

A.若AABC的“反射三角形”存在，則△48C必為銳角三角形

B.等邊三角形的"反射三角形"必為等邊三角形

C.直角三角形的"反射三角形”必為直角三角形

D.等腰三角形的"反射三角形"必為等腰三角形

【變式4］（2022上?湖北武漢?八年級校考期中）以下生活現象不是利用三角形穩定性的是（）

【變式5］（2022上?四川自貢,八年級富順第二中學校校考階段練習）下列生活實物中，沒有應用到三角形

A.I、田徒他木器

懶

D,活動衣T

【變式6］（2022?吉林長春?統考二模）如圖所示的五邊形木架不具有穩定性，若要使該木架穩定，則要釘上

的細木條的數量至少為（）

【變式7］（2022上?廣西南寧?八年級南寧市天桃實驗學校校考期中）要使四邊形木架不變形，至少要再釘

幾根木條（）

A.4B.2C.1D.3

考點2:三角形相關線段一一三邊關系

典例2：（2024上?黑龍江哈爾濱?八年級統考期末）以下列長度的三條線段為邊，能組成三角形的是（）

A.3,5,9B.4,6,12C.2,2,4D.5,6,8

【變式1】（2024上?湖北恩施?八年級統考期末）如圖，在AABC中，AB=8,AC=6,點。是BC邊上的中

點，貝必。的長山滿足的條件是（）

A.2<m<14B.2<m<8C.2<m<6D.1<m<7

【變式21（2024上廣東廣州?八年級統考期末）如圖，在△ABC中，點。為BC的中點，DE、D尸分別是乙4DB、

乙4DC的角平分線，分別交AB、AC于點E、F,且=7,4E=4,CF=2,連接EF,貝忸產的取值范圍為

A

A.5<EF<9B.3<EF<11C.2<EF<6D.1<EF<5

【變式3】（重慶市合川區2023-2024學年九年級上學期期末數學試題）已知等腰△ABC的底邊長為其腰長

恰好是方程久2—2（m+1）久+6m—2=0的根，則m的值是（）

A.2B.4C.1D.3

考點3:三角形相關線段一一高線

典例3：（2023上?陜西西安?八年級統考期末）如圖是由邊長為1的小正方形組成的網格，ATIBC的頂點4

B,C均在格點上.若4。，8c于點。，則線段2D的長為（）

【變式1】（2023上?全國?九年級期末）如圖，在矩形48CD中，4B=3,AD=4,點P在4D上，PE1AC于

E,PF1BD^-F,貝IjPE+PF等于（）

【變式21（2023上?安徽安慶?八年級統考期末）如圖，在A/IBC中，乙8=55。，ZC=25°,4D是BC邊的高,

4E平分NBAC,貝ikZME的度數為（）

A.12.5°B.15°C.17.5°D.20°

【變式31（2023上?山東日照?八年級校考階段練習）如圖，在△ABC中，和乙4cB的平分線相交于點。，

過點。作EEII8C交于點E,交AC于點F,過點。作。。1AC于點。，已知。。=4,AE+AF=8,貝！U4EF

的面積為（）

A.32B.16C.8D.20

【變式4］（2022上?全國?九年級專題練習）如圖，梯形/BCD中，已知燮膽=工，則受型=_______

SxBCD2S^BCD

【變式5］（2023?全國?八年級課堂例題）在△ABC中,已知BC邊上的高40=8cm,BD=15cm,CD=6cm,

則△4BC的面積為.

【變式6］（2024上?北京朝陽?八年級北京市陳經綸中學分校校考期中）如圖，在△ABC中，ZC=90%力。是

NC4B的平分線，已知AC=4cm,AB=5cm,貝!ISUCD：SAABD=。

【變式71（2024上?安徽合肥?八年級統考期末）如圖，點。是A/IBC內一點，連接力D、BD、CD,其中BD1CD,

BD平分乙48C,若AaBn的面積為4,貝必A8C的面積是.

考點4：三角形相關線段一一中線

典例4：（2023上,全國?八年級專題練習）如圖，AABC的中線4D,BE相交于點尸，FH1BC,垂足為若

SAABC=15,BC=6,貝行口長為.

【變式1］（2024上?吉林四平?八年級統考期末）如圖，在△48C中，。、5分另1］是8。、4。的中點，BF=2EF,

【變式2］（2023上?廣東肇慶?八年級校考期中）如圖，點。是△ABC的三條中線力D,BE,CF的交點，若陰

影部分的面積SABOC=2，則△4BC的面積為.

【變式3］（2023上?河北滄州?九年級統考期中）如圖，E為平行四邊形ZBCD邊BC上一點，凡G分別為DE,

AE的中點，若△DCE與AABE的面積之和為6,則四邊形￡MGF的面積是.

【變式4］（2023上?山東荷澤?八年級校考階段練習）如圖所示，CE,CB分別是AABC,△4DC的中線，AB=

AC,4ACB=4ABC,CE=1.5,貝UCD的長度為（）

C

AEBD

A.2B.3C.4.5D.6

【變式5］（2023上?湖南長沙?八年級校聯考期末）如圖，AD是△力BC的中線，Z.CAD=60°,AD=4,AB-

AC=2,則的長為（）

A.VHB.5C.2V21D.V26

【變式61（2023上?貴州銅仁?八年級校考期中）已知等腰三角形一腰上的中線將它的周長分成6cm和12cm兩

部分，則等腰三角形的腰長為（）

A.4cm或8cmB.4cmC.8cmD.2cm或10cm

【變式7］（2023上?江蘇泰州?九年級校考階段練習）如圖,AD是△ABC的中線,E是力。上一點,=l:n,

連接BE并延長交4C于點凡貝必R4C為（）

A.1:（n-1）B.1:（2n—1）C.1:（n+1）D.1:（2n—2）

考點5：三角形的相關線段一一重心性質

典例5：（2023?上海虹口?統考一模）如圖，點G是△ABC的重心，GE||4C交8c于點E.如果4C=12,那么

GE的長為（）

【變式1］（2023上?湖南懷化?八年級校聯考期末）如圖，P是ATIBC的重心，連接2尸并延長交BC于。，連

接BF并延長交力C于E.若AABF的面積是4,則四邊形CDFE的面積是（）

A

A.2B.5C.3D.4

【變式2］（2023上?浙江寧波?九年級校考期中）如圖，在RtZkABC中，乙4cB=90。，AC=8,BC=6,點

G是△ABC的重心，貝|CG等于（）

【變式3］（2023上?山西太原?九年級校聯考階段練習）如圖，在中，中線BE,CD相交于點。，連接DE,

下列結論：①案②產=3③與=焉④產=￡其中正確的個數為（）

Ats

DLZ、ACOBZUH、ABDC3

考點6：三角形的相關線段一一角平分線

典例6：（2023上?浙江金華?八年級校考階段練習）如圖，△4BC的面積為18cm2,BP平分N4BC,AP1BP于

P,連接PC,則APBC的面積為（）

【變式1］（2023上?遼寧丹東?九年級統考期中）如圖，在ATIBC中，以點B為圓心，以2為半徑畫弧，交邊

48于點D,交邊8c于點E,分別以點D,E為圓心，大于：DE的長為半徑畫弧，兩弧在N28C內部交于點P,

畫射線BP與邊4C交于點F,過點F作BC的平行線恰好經過點D,貝必。?CE的值為（）

A.2A/6B.4A/3C.4D.3日

【變式2］（2022上?湖北隨州?八年級校考期中）如圖，在AABC中，DE||BC,乙48c和乙4cB的平分線分另lj

交ED于點G、F,若FG=3,DE=6,貝UEB+DC的值為（）

【變式3］（2023上?江蘇無錫?八年級無錫市江南中學校考期中）如圖，△28C中，AB=24C,2。是NB"的

角平分線，延長4C至E,使得CE=4C,連接DE、BE.下列判斷：①BD=ED；@BD=2CD；③ED平

分乙CEB；@S^ABD=ShEBD,不一定成立的個數是（）

A.4個B.3個C.2個D.1個

考點7：三角形相關的角一一內角和

典例8：（2023下?河北石家莊?九年級校考開學考試）在探究證明"三角形的內角和是180。"時，綜合實踐小組

的同學作了如圖所示的四種輔助線，其中能證明S4BC的內角和是180。"的有（）

①過點C作EFI38

②延長4C到點F,過點C作CEIIA8

③作CD1A8于點D

④過48上一點D作DEIIBC,DFWAC

A.1個B.2個C.3個D.4個

【變式1］（2023下,遼寧葫蘆島?七年級統考期末）如圖，將一個含30。角的直角三角板的直角頂點C放在直

尺的兩邊MN,PQ之間，則下列結論中：①Z_1=N3；②：N2=N3；③N1+N3=90。；④若乙3=60。,

則ABLPQ.其中正確結論的個數是（）.

A.1個B.2個C.3個D.4個

【變式2］（2024上?安徽合肥?八年級統考期末）如圖，在△48C中，AD是BC邊上的高，4E是NB&C的角平

分線，MF垂直平分4E,垂足為點X,分別交AB、AD.AC于點N、G、F,交CB的延長線于點M,連接EF,

下列結論中錯誤的是（）

1

A.ZM=NZMEB.Z.DAE=j（NABC-ZC）

C.EF||ABD.乙EFC=2乙M+乙C

【變式3］（2024上?北京昌平,八年級統考期末）如圖，把△ABC沿DE折疊后，點力的對應點為4,且點A落

在四邊形BCDE內部，貝此4,zl,N2之間滿足的數量關系是（）

B

A./_A!=zl+z2B.2NA=Z_1+N2C.3N4=2N1+N2D.3NA=2（N1+N2）

【變式4］（2018下?山東棗莊?九年級校聯考期中）如圖，依據尺規作圖的痕跡，計算Na=（）

A.56°B.28°C.68°D.34°

【變式5】（2023上?陜西商洛?八年級統考期末）如圖，在A4BC中，NB4C=60。，BE、CD為AABC的角平

分線.BE與CD相交于點F,FG平分NBFC,有下列四個結論：①4BFC=120°；②BD=CE；③BC=BD+

CE；④若BE_LAC,ABDF=ACEF.所有正確的結論是（）

A.①③B.②③④C.①③④D.①②③④

【變式6］（2023上?浙江臺州?八年級校聯考期中）如圖，將一張三角形紙片4BC的一角折疊，使點4落在△力8c

外的A處，折痕為OE,如果N4=a,乙DEA=0,^CEA'=y,Z.BDA'=9,那么下列式子中不一定成立

的是（）

A

,'a\

BC

A.8=2a+yB.0=180°—CL-yC.乃=90°+，D.3=2a+20—180°

【變式7］（2023上?安徽阜陽?八年級統考階段練習）如圖，把三角形紙片4BC沿DE折疊，當點4落在三角

形A8C內部時，乙4與Nl,乙2之間的數量關系是（）

A.Zl+Z2=2Z.AB.41+42=180。+〃

C.zX=zl-z2D.zl+Z2=180°-LA

考點8：三角形相關的角一一外角定理

典例9：（2023上?廣西河池?八年級統考期中）如圖，在RtAABC中，ZC=90°,ZB=15°,4B的垂直平分

線交8c于點D若BD=6,貝U4C的長為（）

【變式1】（2023上?江西南昌?八年級統考期末）如圖，△力8c中，乙4=36。，AB=AC,BD是AZBC的角

平分線，若在邊力B上截取BE=BC,連接DE,則圖中等腰三角形共有（）

A.3個B.4個C.5個D.6個

【變式2］（2024上,湖北武漢?八年級統考期末）如圖，在△4BD中，AB=AC=DC,^BAC=40°,則NB/W

的度數為（）

BCD

A.75°B.72°C.70°D.68°

【變式3］（2022上?黑龍江哈爾濱?八年級校考期中）如圖，已知中，48