第03講二次函數(shù)y=ax2+bx+c(aW0)的圖象

心知識點梳理

一、二次函數(shù)y=ax2+bx+c(aw0)與y=a(x-h)2+k(aw0)之間的相互關系

1.頂點式化成一般式

從函數(shù)解析式y(tǒng)=a(x-丸)2+左我們可以直接得到拋物線的頂點(h,k),所以我們稱

y=a(x—/z)2+左為頂點式，將頂點式y(tǒng)=a(x—/z)2+左去括號，合并同類項就可化成一般

式y(tǒng)=ax2+bx+c.

2.一般式化成頂點式

.(2b\rbpYpvi

y=ox2+bx+c=tzxH—x|+c=。x2H—x+———+c

Ia)a\2a)\2a)

(bY4ac-b2

—ClXHH------------,

I2a)4a

對照y=a(X—/?)2+左，可知/z=—_L,k=4aC~b.

2a4a

：.拋物線丁=。/+6%+。的對稱軸是直線》=—2,頂點坐標星1b

2aI2-4aJ

要點：

i.拋物線丁=。f+法+。的對稱軸是直線x=-2,頂點坐標是_L,4。

2aI2/4aJ

可以當作公式加以記憶和運用.

2.求拋物線>=。必+6%+。的對稱軸和頂點坐標通常用三種方法：配方法、公式法、

代入法，這三種方法都有各自的優(yōu)缺點，應根據(jù)實際靈活選擇和運用.

二、二次函數(shù)y=，/+》*+儀。40)的圖象的畫法

1.一般方法：列表、描點、連線；

2.簡易畫法：五點定形法.

其步驟為：

_(1)先根據(jù)函數(shù)解析式，求出頂點坐標和對稱軸，在直角坐標系中描出頂點M,并用虛

線畫出對稱軸.

(2)求拋物線y=ax2+6x+c與坐標軸的交點，

當拋物線與x軸有兩個交點時，描出這兩個交點A、B及拋物線與y軸的交點C,再找

到點C關于對稱軸的對稱點D,將A、B、C、D及M這五個點按從左到右的順序用平滑曲線

連結起來.

要點：

當拋物線與x軸只有一個交點或無交點時，描出拋物線與y軸的交點C及對稱點D,由

C、M、D三點可粗略地畫出二次函數(shù)圖象的草圖；如果需要畫出比較精確的圖象，可再描出

一對對稱點A、B,然后順次用平滑曲線連結五點，畫出二次函數(shù)的圖象，

三、二次函數(shù)y=ax?+》x+c(。#0)的圖象

2

1.二次函數(shù)y=ax+bx+c(a豐0)圖象與性質

函數(shù)二次函數(shù)y=a%2+法+。％、b、c為常數(shù)，aWO)

圖象〃>0a<0

V

L

\JK

開口方向向上向下

直線元=—2

對稱軸直線X=---

2a2a

（b4ac-b2y'b4ac-b2y

頂點坐標

12a'4aJI2〃’4aJ

2.二次函數(shù)y=ax2+bx+c(aH0)圖象的特征與a、b、c及b2-4ac的符號之間的關系

字母、字母的符號圖象的特征

a>0開口向上

a

a<0開口向下

ab>0（a,b同號）對稱軸在y軸左側

b

ab<0（a,b異號）對稱軸在y軸右側

c=0圖象過原點

cc>0與y軸正半軸相交

c<0與y軸負半軸相交

b2-4ac=0與X軸有唯一交點

b2-4acb2-4ac>0與X軸有兩個交點

b2-4ac<0與x軸沒有交點

、例1.已知二次函數(shù)y=f_4x+3.

⑴將y=f—4x+3化成y=a（x—h）~+k的形式;

(2)畫出該二次函數(shù)的圖象，并寫出其對稱軸和頂點坐標;

2

_8.7-6-5-4-3-2-1?12345678X

【答案】⑴!=(*-2)2-1

(2)對稱軸是直線x=2,頂點坐標是(2,-1)

(3)x<2

【分析】(1)利用配方法先提出二次項系數(shù)，再加上一次項系數(shù)的一半的平方來湊完全平

方式，把一般式轉化為頂點式.

(2)利用描點法畫出圖象；再根據(jù)(1)中的二次函數(shù)解析式直接寫出答案；

(3)觀察圖象并寫出y隨x增大而減小時自變量x的取值范圍.

【解析】(1)解：y=x2-4x+3=(x-2)2-1,

則該拋物線解析式是產(chǎn)(尤-2)2-1；

(2)解:列表，

X01234

y30-103

描點，連線,

2.將二次函數(shù)y=2尤2—8x—1化成y=a(x—//)?+上的形式，結果為()

A.y=2(x-2)2—1B.y=2(x~4)2+32

C.y=2(x-2)2-9D.y=2(x—4)2-33

【答案】C

【解析】

【分析】

先把原拋物線化為：y=2(*-4x+4)-8T再寫成拋物線的頂點式即可得到答案.

解：y=2x2-8x-l

=2(尤2-4%+4)—8—1

=2(x—2)2—9,

即y—2(x—2)2—9.

故選C.

【點睛】

本題考查的是拋物線的一般式化為頂點式，熟知配方法的應用是解題的關鍵.

]1例3.若點(-1,3),(3,3)是二次函數(shù)丁=以2+法+。圖像上的兩點，則此二次函數(shù)的

對稱軸是()

A.直線x=-lB.直線尤=0

C.直線x=lD.直線x=2

【答案】C

【解析】

【分析】

根據(jù)拋物線的對稱性，當兩點縱坐標相等時，對稱軸即為兩點橫坐標的平均數(shù).

???點(-1,3)和點(3,3)的縱坐標都為3,

?*.拋物線的對稱軸為X=寸=1,

故選C.

【點睛】

本題考查了二次函數(shù)的性質，掌握二次函數(shù)的對稱性是解題的關鍵.

例4.在平面直角坐標系中，將拋物線y=Y-4x-4向左平移3個單位，再向上平移

5個單位，得到拋物線的表達式為()

A.y=(x+l)2-13B.y=(x-5)2-13

C.y=(x-5)2-3D.y=(尤+1)2-3

【答案】D

【解析】

【分析】

先配方為頂點式，根據(jù)左加右減，上加下減的方法平移即可；

解：將拋物線丫=/一4%-4=(工一2)2—8先向左平移3個單位得丫=(彳-2+3)2—8,再向上平

移5個單位得y=(x+l)2_8+5=(;c+l)2_3；

故選D.

【點睛】

本題主要考查了二次函數(shù)圖象的平移，準確計算是解題的關鍵.

二次函數(shù)y=f+4x+3的圖象可以由二次函數(shù)y=Y的圖象平移而得到，下列

平移正確的是()

A,先向左平移2個單位，再向上平移1個單位

B.先向左平移2個單位，再向下平移1個單位

C,先向右平移2個單位，再向上平移1個單位

D.先向右平移2個單位，再向下平移1個單位

【答案】B

【解析】

【分析】

把二次函數(shù)y=爐+4x+3化為頂點坐標式,再觀察它是怎樣通過二次函數(shù)y=/的圖象平移

而得到.

解：根據(jù)題意>=必+4犬+3=(x+2)2-1,按照“左加右減，上加下減”的規(guī)律，它可以由

二次函數(shù)y=Y先向左平移2個單位，再向下平移1個單位得到.

故選：B.

【點睛】

此題不僅考查了二次函數(shù)圖像的平移規(guī)律，關鍵是把二次函數(shù)的一般式轉化頂點式.

例6.已知拋物線>=一一2升機，若點尸(-2,5)與點。關于該拋物線的對稱軸對稱，

則點。的坐標是().

A.(4,5)B.(2,5)C.(3,5)D.(0,5)

【答案】A

【解析】

【分析】

先根據(jù)拋物線的解析式求出其對稱軸為x=l,然后利用拋物線的對稱性求解即可.

解：???拋物線的解析式為y=+

b

???拋物線的對稱軸為無==1,

2a

V點P(-2,5)與點Q關于該拋物線的對稱軸對稱,

/.2(4,5),

故選A.

【點睛】

本題主要考查了拋物線的對稱性，解題的關鍵在于能夠熟練掌握拋物線的對稱性.

[、產(chǎn)7.若拋物線M：y=x

?2-（2根-1）彳一3與拋物線加1〉=爐+6》+“+2關于直線

X=1對稱，則加，〃值為（）

13

A.m=一,九=一21B.m=—,n=-23

22

13

C.m=—,n=—19D.m=—,n=—21

22

【答案】D

【解析】

【分析】

分別求出由拋物線M與拋物線AT的對稱軸，根據(jù)關于直線x=1對稱列出關于m的方程求

出機，再找到拋物線〃與y軸的交點（。,-3）,由點（0,-3）關于直線x=l對稱的點（2,-3）,把

（2,-3）代入拋物線“y=/+6x+〃+2,故可求出w的值.

由拋物線M：y=f-（2加-1口-3可知拋物線河的對稱軸為直線》=二二，交y軸于點

（0,—3）,拋物線W：y=爐+6x+〃+2的對稱軸為直線x=—]=—3,

;拋物線M：y=%2—（2加一1）X—3與拋物線M'：y=x1+6x+〃+2關于直線x=l對稱，

????￥一山1,解得

???點（0,—3）關于直線X=1對稱的點（2,-3）,在拋物線“：y=x2+6x+n+21.,

把點（2,-3）代入得一3=4+12+〃+2,

解得〃=-21,

故選D

【點睛】

此題主要考查二次函數(shù)的對稱性，解題的關鍵是熟知二次函數(shù)對稱軸的求解方法、函數(shù)對稱

性的應用.

【解析】

【分析】

假設其中一個圖象正確，然后根據(jù)圖象得到系數(shù)的取值范圍，然后根據(jù)系數(shù)的取值范圍確定

另一個圖象的位置，看是否和圖象相符即可求解.

解：A、根據(jù)一次函數(shù)圖象知道。＜0,與y軸的交點不是（0,1）,故選項錯誤；

B、根據(jù)二次函數(shù)的圖象知道。＜0,同時與y軸的交點是（0,1）,但是根據(jù)一次函數(shù)的圖

象知道。＞0,故選項錯誤；

C、根據(jù)圖象知道兩個函數(shù)圖象與y軸的交點坐標為（0,1）,同時也知道。＞0,故選項正

確；

D、根據(jù)一次函數(shù)圖象知道。＜0,根據(jù)二次函數(shù)的圖象知道。＞0,故選項錯誤.

故選：C.

【點睛】

此題主要考查了二次函數(shù)的圖象、一次函數(shù)的圖象與系數(shù)的關系，首先根據(jù)一次函數(shù)的圖象

得到系數(shù)的取值范圍，然后利用系數(shù)的取值范圍確定函數(shù)圖象的大致位置即可求解.

【答案】（—1,0）

【解析】

【分析】

根據(jù)表格數(shù)據(jù)，該二次函數(shù)的對稱軸為直線x=-1,即可得出頂點坐標.

解：由表可知，該二次函數(shù)的對稱軸為直線x=-1,

當X=-1時，y=0,

二次函數(shù)y=辦?+6x+c圖象的頂點坐標是（-1,0），

故答案為：（-1,0）.

【點睛】

本題考查二次函數(shù)的圖象與性質，由圖表得出二次函數(shù)的對稱軸是解答的關鍵.

m例10.有一個二次函數(shù)y=a（x-無）2的圖象，三位同學分別說出了它的一些特點：

甲：開口向下；乙：對稱軸是直線x=2；丙：與y軸的交點到原點的距離為2,滿足上述全

部特點的二次函數(shù)的解析式為.

【答案】y=-1（x-2）2

【解析】

【分析】

由開口向下，可知。＜0,對稱軸是直線x=2,可得仁2,與y軸的交點到原點的距離為2,

可得與y軸的交點的坐標為（0,±2）,利用待定系數(shù)法求出解析式.

解：?.?二次函數(shù)y=a（x/）2的圖象開口向下，

:對稱軸為直線k2,

：.k=2,

...二次函數(shù)產(chǎn)a（x-k）2的解析式為（x-2）2,

???與y軸的交點到原點的距離為2,

.?.與y軸交于點（0,2）或（0,-2）,

把（0,2）代入得，2=4a,

a=~（舍去），

2

把（0,-2）代入得，-2=4a,

._1

??a=—,

2

解析式為：y=.

故答案為：y=-；（x-2）\

【點睛】

本題主要考查用待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式，此題是開放題，解題的關鍵理解題意.注

意利用待定系數(shù)法求函數(shù)解析式.

立例

11.已知二次函數(shù)＞=依2+法+。的圖象如圖所示，對稱軸為直線x=l,則

a-b+c0；4a+2b+c0.（填“＞”，"="，或，＜”）

【答案】=>

【解析】

【分析】

由圖象可得當A-1時y=0；由圖象可判斷出當時，y>0,可求得答案.

解：：對稱軸為直線x=l，一交點為(3,0),則另一交點為(-1,0)

.?.當x=-l時，y=0,

a—b+c=0；

\?當x=2時，y>0,

.,.4a+2b+c>0；

故答案為：=,>.

【點睛】

本題考查了二次函數(shù)的圖象與系數(shù)的關系：二次函數(shù)y=ax2+bx+c(a#0)的圖象為拋物線，

b

當a>0,拋物線開口向上；對稱軸為直線x=-=；拋物線與y軸的交點坐標為(0,c),

2a

熟練掌握二次函數(shù)的性質是關鍵.

］例12.一次函數(shù)y=Ax+4與二次函數(shù)>=辦2+。的圖象的一個交點坐標為(1,2),另

一個交點是該二次函數(shù)圖象的頂點，則左=,a=,c=.

【答案】-2-24

【解析】

【分析】

把(1,2)代入一次函數(shù)可求鼠把拋物線頂點(0,c)代入一次函數(shù)解析式可求c,再代入(L2)

可求a.

解：把(1,2)代入得,左+4=2,

解得發(fā)=一2,

一次函數(shù)解析式為V=-2x+4,

又：二次函數(shù)頂點為(0?,

代入y=-2x+4得，

c=4,

把(1,2)代入二次函數(shù)表達式得a+c=2,

解得a=-2,

故答案為：k=-2,a=-2,c=4.

【點睛】

本題考查了一次函數(shù)與二次函數(shù)綜合，解題關鍵是熟練運用待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，根據(jù)

拋物線的特征確定頂點坐標.

例13.已知拋物線y=/-2fcc+公+左一2的頂點在坐標軸上，貝11左=.

【答案】0或2

【解析】

【分析】

把拋物線解析式化為頂點式，再根據(jù)頂點在坐標軸上，求出左值即可.

解：拋物線y=尤--2fcv+左一+左-2化為頂點式為：y={x—k)2+k—2,

當頂點在x軸上時，左-2=0,解得，k=2；

當頂點在y軸上時，左=0；

故答案為：0或2.

【點睛】

本題考查了二次函數(shù)頂點坐標，解題關鍵是熟練運用配方法把二次函數(shù)化成頂點式.

[,]例14.已知二次函數(shù)y=Y+bx+c中，函數(shù)y與自變量x的部分對應值如表：

X-i01234

y1052125

A(〃L4,yJ,3(m+6,%)兩點都在該函數(shù)的圖象上，若%=%，則根的值為.

【答案】1

【解析】

【分析】

根據(jù)表中的對應值得到x=l和x=3時函數(shù)值相等，則得到拋物線的對稱軸為直線x=2,由于

yi=y2,所以A(m—4,%),3(m+6,%)是拋物線上的對稱點，貝U2-(m-4)=加+6-2,然后

解方程即可.

解：Vx=l時，y=2；x=3時，y=2,

???拋物線的對稱軸為直線x=2,

3（祖+6,%）兩點都在該函數(shù)的圖象上，yi=y2,

點A（m—4,%），3。九+6,%）是拋物線上的對稱點，

2—（機—4）=機+6—2,

解得：m=l.

故答案為：1.

【點睛】

本題考查了二次函數(shù)圖象上點的坐標特征：二次函數(shù)圖象上點的坐標滿足其解析式.

、'例15.已知點A、B在二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖像上（A在B右側），且關于

圖像的對稱軸直線x=2對稱，若點A的坐標為（m,1）,則點B的坐標為.（用

含有m的代數(shù)式表示）

【答案】（4—m,1）

【解析】

【分析】

先確定拋物線的對稱軸為x=2,然后求出點A（m,1）關于直線x=2的對稱點即可.

解：,二次函數(shù)y=x?+bx+c的圖象的對稱軸為直線x=2,

，點A和點B關于直線x=2對稱，

，點B的橫坐標為4-m,即B（4-m,1）,

故答案為：（4-m,1）

【點睛】

本題考查了二次函數(shù)圖象上點的坐標特征：二次函數(shù)圖象上點的坐標滿足其解析式.

:例16.如圖，在平面直角坐標系xOy中，等腰直角三角形。AB的斜邊OA在x軸上,

且。4=4,如果拋物線yuaN+bx+c向下平移4個單位后恰好能同時經(jīng)過0、A、5三點，

那么a+b+c=.

【答案】I

【解析】

【分析】

根據(jù)等腰直角三角形的性質求得A(4,0),B(2,-2),拋物線>=G2+扇+6向下平移4

個單位后得到y(tǒng)=ax2+bx+c-4,然后把0、A、B的坐標代入，根據(jù)待定系數(shù)法即可求得a、

b、c的值，進而即可求得a+b+c的值.

解：：等腰直角三角形OA8的斜邊OA在x軸上，且04=4,

AA(4,0),B(2,-2),

拋物線y=ax2+Zzx+c向下平移4個單位后得到y(tǒng)=ax2+bx+c-4,

:平移后恰好能同時經(jīng)過。、4B三點、,

c-4=0

v16a+4Z?+c—4=0,

4。+2。+c-4=-2

,1

a=-

2

解得卜=-2,

c=4

6z+/?+c——2+4——,

22

故答案為萬.

【點睛】

本題考查了等腰直角三角形的性質，二次函數(shù)的圖象與幾何變換，待定系數(shù)法求二次函數(shù)的

解析式，求得點的坐標是解題的關鍵.

，躡蹤就線

一、單選題

1.二次函數(shù)y=-Y+/+4經(jīng)過(-2,〃)和(4,〃)兩點，則〃的值是()

A.-4B.-2C.2D.4

【答案】A

【分析】根據(jù)(-2,“)和(4,〃)可以確定函數(shù)的對稱軸x=l,再由對稱軸的x=]=i,即可求

解.

【解析】解：拋物線,=-/+云+4經(jīng)過(-2,〃)和(4,〃)兩點，

可知函數(shù)的對稱軸x=1,

.\b=2；

y——+2x+4,

將點（-2,〃）代入函數(shù)解析式，可得〃=T；

故選：A.

【點睛】本題考查了二次函數(shù)圖象上點的坐標；熟練掌握二次函數(shù)圖象上點的對稱性是解題

的關鍵.

2.將拋物線y=3/向右平移1個單位，再向上平移2個單位后所得到的拋物線的解析式為

（）

A.y=3（尤+1）2—2B.y=3（x+l）2+2C.y=3（尤一1）?一2D.y=3（x-l）2+2

【答案】D

【分析】先根據(jù)拋物線的頂點式得到拋物線y=3尤2的頂點坐標為（0,0）,則拋物線＞=3x2向

右平移1個單位，再向上平移2個單位得到的拋物線的頂點坐標為（1,2）,然后再根據(jù)頂點

式即可得到平移后拋物線的解析式.

【解析】解：???拋物線》=3x2的頂點坐標為（0,0）,

拋物線y=3d向右平移1個單位，再向上平移2個單位得到的拋物線的頂點坐標為（1,2）,

平移后拋物線的解析式為y=3（尤-丁+2.

故選：D.

【點睛】此題考查了二次函數(shù)的平移規(guī)律，解題的關鍵是熟練掌握二次函數(shù)的平移規(guī)律：上

加下減，左加右減.

+區(qū)+3如圖所示，那么，=/+（6—1巾+3的圖象可能是（）

【答案】D

【分析】根據(jù)已知二次函數(shù)y=-/+6x+3的圖象，得出6<0,進而判斷y=f+S-l）x+3

的圖象，即可求解.

【解析】解：二次函數(shù)y=—/+"+3的圖象，開口向下，對稱軸在丁軸左側，貝口%=-5<0,

：.b<0,

：.b-l<0

卜_]

則、=爐+（>-1"+3的圖象，開口向上，對稱軸為直線x=一丁>0,與，軸交于點（。,3）,

-2

故選：D.

【點睛】本題考查了二次函數(shù)圖象的性質，掌握二次函數(shù)圖象的性質是解題的關鍵.

4.將拋物線y=；/+l繞頂點旋轉180。，則旋轉后的拋物線的解析式為（）

A.y=—2/+1B.y=—2x2—1

11

C.y=——x9+1D.y=——x29-1

22

【答案】C

【分析】根據(jù)拋物線、=：犬+1,可得頂點坐標為（0,1）,開口向上，拋物線繞頂點旋轉180。

后，開口向下，頂點和拋物線形狀沒有改變，即可得到答案.

【解析】解：：拋物線y=（無?+1的頂點坐標為（。，1）,開口向上，

拋物線y=g1+l繞頂點旋轉180。后所得的拋物線頂點坐標為（0,1）,開口向下，

???旋轉后的拋物線的解析式為：y=~x2+l.

故選C.

【點睛】本題主要考查拋物線的旋轉變換，掌握拋物線的頂點式與旋轉變換是解題的關鍵.

5.把拋物線y=Y+6.x+c向右平移4個單位，再向下平移3個單位，得到拋物線

y=X2-4x+3,則以。的值分別為（）

A.&=—12,c=32B.b=4fc=—3C.b=0,c=6D.b=4fc=6

【答案】D

【分析】將拋物線y=#-4x+3化成頂點式，再根據(jù)“左加右減，上加下減”，采取逆推的方

法可得拋物線y=爐+云+c的解析式.

【解析】解：將拋物線y=#-4x+3化成頂點式為y=（x-2）2-1,

將拋物線y=f-4x+3向左平移4個單位，再向上平移3個單位得新拋物線解析式為

即y=J+4x+6,

?二拋物線y=x2+bx+c的解析式為y=Y+4x+6,

「.Z?=4,c=6,

故選：D.

【點睛】本題主要考查了二次函數(shù)平移的特征，熟練掌握“左加右減，上加下減”是解題的關

鍵.

6.如圖，二次函數(shù)丁=訃2+區(qū)+C（〃。0）的圖象如圖4所示，則反比例函數(shù)y=。0）和

一次函數(shù),=法+。在同一直角坐標系中的圖象可能是（）.

【答案】C

【分析】根據(jù)二次函數(shù)丁=依2+灰+。（。#0）的圖象開口向上，得出。>0,與y軸交點在y

b

軸的負半軸，得出c<0,禾U用對稱軸尸-丁〉0,得出b<0,然后對照四個選項中的圖象

2a

判定即可.

【解析】解：因為二次函數(shù)>=以2+"+。的圖象開口向上，得出。>0,與y軸交點在y軸

b

的負半軸，得出c<0,利用對稱軸％=--->0,得出6<0,

2a

所以一次函數(shù)y=bx+c經(jīng)過二、三、四象限，反比例函數(shù)y=g經(jīng)過一、三象限.

X

A.一次函數(shù)y=M+c經(jīng)過一、三、四象限，反比例函數(shù)y=三經(jīng)過二、四象限，不符合題

X

思；

B.一次函數(shù)y=6x+c經(jīng)過一、二、三象限，反比例函數(shù)y=@經(jīng)過二、四象限，不符合題

X

思；

C.一次函數(shù)y=6無+C經(jīng)過二、三、四象限，反比例函數(shù)>經(jīng)過一、三象限，符合題意;

X

D.一次函數(shù)y=6x+c經(jīng)過一、三、四象限，反比例函數(shù)y=4經(jīng)過一、三象限，不符合題

X

思；

故選：C.

【點睛】本題考查的是由二次函數(shù)的圖象判斷各項系數(shù)的符號，一次函數(shù)與反比例函數(shù)的圖

象，熟記一次函數(shù)與反比例函數(shù)的圖象的性質是解本題的關鍵.

7.二次函數(shù)y=ad+bx+c的圖象如圖所示，下列結論簿誤的是（）

A.拋物線開口向上B.方程依2+foc+c=0的解為%=1,X2=3

C.拋物線對稱軸為直線x=2D.拋物線與y軸交點坐標為（0,2）

【答案】D

【分析】根據(jù)圖象可得開口方向、與y軸交點坐標、與x軸的交點坐標，由此可求對稱軸和

對應方程的解.

【解析】A.由圖象得：拋物線開口向上，故此結論正確；

2

B.由圖象得:與X軸的交點坐標為（1,0）,（3,0）,所以方程ax+bX+c=0的解為%=1,x?=3,

故此結論正確；

C.3-x=x-1,解得x=2,所以拋物線對稱軸為直線x=2,故此結論正確；

D.由圖象得：頂點坐標為（2,-1）,可設y=a（無一l）（x-3）,-l=?（2-l）（2-3）,解得a=l,

y=Y-4尤+3拋物線與y軸交點坐標為（0,3）,故此結論錯誤.

故選：D.

【點睛】本題考查了由二次函數(shù)的圖象獲取開口方向、與坐標軸交點坐標和對稱軸問題，正

確獲取信息，理解二次函數(shù)與坐標軸的交點坐標，與對應方程之間的關系，會求對稱軸是解

題的關鍵.

8.在同一平面直角坐標系中，若拋物線y=-ox2+3x-c與、=2/一3了一。+4關于苫軸對稱，

貝ija+2c的值為（）

A.0B.-4C.4D.-1

【答案】C

【分析】根據(jù)關于x軸對稱，函數(shù)y是互為相反數(shù)即可解答.

【解析】解：：?=-依2+3尤-<?與丁=2彳2_3彳-0+4關于工軸對稱，

,?—y~2x——3x—c+。，即CLX^—3x+c=2x——3x—c+。，

（a=2缶=2

，解得：,.

[c=-c+a[c=l

a+2c=4.

故選：C.

【點睛】本題主要考查了二次函數(shù)圖像與幾何變換，根據(jù)關于X軸對稱的坐標特征把拋物線

y=-ax2+3x-c化成關于x軸對稱的拋物線的解析式是解題的關鍵.

9.若拋物線y=-/+4x-2向上平移〃7（"7>0）個單位后，在-1<尤<4范圍內與x軸只有一個

交點，則機的取值范圍是（）

A.m>2B.0<m<2C.0<m<7D.2<m<7

【答案】D

【分析】根據(jù)拋物線開口方向，對稱軸及頂點坐標結合圖象求解.

【解析】解：y=*+4x-2,

拋物線對稱軸為直線x=-《-4=2,

2

設平移后拋物線解析式為y=-x2+4x-2+m,

當直線x=-l與拋物線交點在x軸下方，直線尤=4與拋物線交點在x軸上或x軸上方滿足題

-zfe.

月、，

|-l-4-2+m<0

即1，

[―16+16-2+m>0

解得：2<m<7.

故選D.

【點睛】本題考查了二次函數(shù)與不軸交點問題，解題的關鍵是掌握二次函數(shù)和方程及不等式

的關系，通過數(shù)形結合求解.

10.如圖，已知二次函數(shù)丁="2+區(qū)+《。。0）的圖象如圖所示，對于下列結論，其中正確

結論的個數(shù)是（）

①abc>0；

②（a+c）2一/_Q.

③3a+c=0；

④若m為任意實數(shù)；則anf-+bm-b>-6a.

【答案】C

【分析】由拋物線開口向上，交y軸于負半軸，可判斷。>0,c<0,再結合拋物線的對稱

軸即可判斷6,進而可判斷①；將拋物線轉化為交點式，可得。=-3。，然后即可判斷②③;

分別計算07+加7+c與-6a+6+c,變形比較即可判斷④，從而可得答案.

【解析】解：???拋物線開口向上，交y軸于負半軸，

a>0,c<0,

:拋物線的對稱軸是直線x=-l,

2a

b=2a>0,

abc<0,故①錯誤；

??,拋物線過點(—3,0),(1,0),

y=々(％+3)(%-1)=加+2改一3〃,

c=-3a,

?，.3a+c=0,故③正確；

/.(a+c)2-b2=(a-3a丫-(2a)2=0,故②正確；

若m為任意實數(shù),貝Uam2+bm+c=am2+2am—3a=?(m+l)2—4a>—4a,

:一6a+Z?+c=-6a+2a—3a=-7a,a>0,

am2+bm+c>—6a+b+c,

BPtzm2+bm—b>—6a,故④正確；

綜上，正確的結論有3個；

故選：C

【點睛】本題考查了二次函數(shù)的圖象與性質以及相關代數(shù)式的變形，熟練掌握二次函數(shù)的圖

象與性質、靈活進行二次函數(shù)一般式與交點式的轉化是解題的關鍵.

二、填空題

11.拋物線y=3x2-6x+5的頂點坐標為.

【答案】(1,2)

【分析】將拋物線的解析式化為頂點式，然后即可寫出拋物線的頂點坐標.

【解析】解：：拋物線y=3N-6x+5=3(x-1)2+2,

???該拋物線的頂點坐標為(1,2),

故答案為：(1,2).

【點睛】本題考查二次函數(shù)的性質，解答本題的關鍵是會將拋物線解析式化為頂點式.

12.若拋物線y=/+a+3經(jīng)過點8(2,3),則該拋物線的對稱軸為.

【答案】x=l

【分析】將3(2,3)代入拋物線解析式>=/+板+3,即可求得6,從而求得拋物線的解析式，

即可求得對稱軸.

【解析】將3(2,3)代入拋物線解析式y(tǒng)=-+匕尤+3可得，

3=4+?+3,

解得b=-2,

拋物線為y=x2—2尤+3,

拋物線的對稱軸為x==1，

故答案為X=l.

【點睛】本題考查了待定系數(shù)法求拋物線的解析式以及求拋物線的對稱軸，求出拋物線的的

解析式是解題的關鍵.

13.拋物線y=ax2+6x+c的符號問題：

(1)”的符號由拋物線的確定；

(2)b的符號由拋物線的確定;

(3)c的符號由拋物線確定；

(4)的符號由拋物線的確定；

(5)a+6+c的符號由_____在拋物線上的點的位置確定；

(6)a-b+c的符號由______在拋物線的點的位置確定；

(7)2a+6的符號由拋物線與的位置確定；

(8)2〃-6的符號由拋物線與的位置確定.

【答案】開口方向對稱軸的位置與y軸交點所在位置與x軸交點的個

數(shù)x=lx=-1對稱軸x軸的交點開口方向對稱軸

【分析】由拋物線的開口方向判斷〃與。的關系，由拋物線與y軸的交點判斷c與。的關系,

然后根據(jù)對稱軸及拋物線與X軸交點情況進行推理，進而對所得結論進行判斷

【解析】解：（1）a的符號由拋物線的開口方向確定；

（2）b的符號由拋物線的對稱軸的位置確定；

（3）c的符號由拋物線與y軸交點所在位置確定；

（4）62-4ac的符號由拋物線與x軸交點的個數(shù)確定；

（5）a+b+c的符號由尤=1在拋物線上的點的位置確定；

（6）a-b+c的符號由x=-1在拋物線的點的位置確定；

（7）2a+6的符號由拋物線對稱軸與x軸交點的位置確定；

（8）2a-6的符號由拋物線開口方向與對稱軸的位置確定.

故答案是：（1）開口方向；（2）對稱軸的位置；（3）與y軸交點所在位置；（4）與x軸

交點的個數(shù)；（5）x=l；（6）產(chǎn)-1；（7）對稱軸；x軸的交點；（8）開口方向；對稱軸.

【點睛】本題主要考查二次函數(shù)圖象與系數(shù)之間的關系，二次函數(shù)產(chǎn)ax2+6x+c系數(shù)符號由

拋物線開口方向、對稱軸、拋物線與y軸的交點確定.

14.已知二次函數(shù)y=-尤2+履-左+1的圖像頂點在x軸上，貝!|后=

【答案】2

【分析】根據(jù)二次函數(shù)的頂點公式得出頂點縱坐標，令其等于零即可解出.

4x(-1)(-％+1)-左2

4ac-b2

【解析】解：由題意得，頂點縱坐標為:

4a4x(-1)

4次(_1)(_左+1)_后2

即:

4x(-1)一’

解得：k=2.

故答案為：2.

【點睛】本題主要考查二次函數(shù)頂點的公式，關鍵在于理解頂點縱坐標為零.

15.若二次函數(shù)廠爐-2彳-3的圖象上有且只有一個點到x軸的距離等于相，則根的值為

【答案】4

【分析】由拋物線解析式可得拋物線對稱軸為直線廣1,頂點為（1,-4）,由圖象上恰好

只有一個點到無軸的距離為m可得m=4.

【解析】解：,.,>=尤2-2尤-3=（尤-1）2-4,

拋物線開口向上，拋物線對稱軸為直線k1,頂點為（1,-4）,

頂點到x軸的距離為4,

V函數(shù)圖象有一個點到x軸的距離為m,

m=4,

故答案為：4.

【點睛】本題考查了二次函數(shù)圖象上點的坐標特征，能夠理解題意是解題的關鍵.

16.如圖，拋物線>=內2+法-3與y軸交于點C,與X軸交于A,8兩點03=00=304,

則該拋物線的解析式是—.

【答案】y=d-2x-3

【分析】根據(jù)拋物線與y軸交于點C易得點C的坐標為C（0,-3）,根據(jù)03=00=304,可

得點A、8的坐標，再利用待定系數(shù)法即可求得二次函數(shù)的解析式.

【解析】當x=0時,y=-3,.-.C（0,-3）,

0C=3,

**.OB=3,0A=1,

.?.3（3,0）,A（-l,0）,

將3（3,0）,A（—l,0）代入y=&+6x-3得，

j0=9a+36-3

[0=a-b-3，

叫[Ia=,l

???該拋物線的解析式是y=V-2x-3.

【點睛】本題考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式，熟練掌握待定系數(shù)法是本題的關鍵.

17.已知拋物線y=f-6x+8的頂點為P,與x軸相交于M,N兩點（點M在點N左側），

平移此拋物線，使點尸平移后的對應點P'落在無軸上，點M平移后的對應點M'落在y軸上,

則平移后的拋物線解析式為.

2

【答案】y=x-2x+l

【分析】直接利用拋物線與坐標軸交點求法結合頂點坐標求法分別得出N,P點坐標,

進而得出平移方向和距離，即可得出平移后解析式.

【解析】解：當y=。，貝Uo=x2-6x+8,

/.（X-2）（%-4）=0,

解得：占=2,無2=4,

,■,M（2,0）,N（4,0）,

,y=x2—6x+8=(x—3)2—1,

尸點坐標為:(3,-1),

平移該拋物線，使點尸平移后的對應點尸'落在九軸上，點M平移后的對應點落在y軸

上，

???拋物線向上平移一個單位長度，再向左平移2個單位長度即可，

，平移后的解析式為：y=(x-3+2)2-l+l=x2-2x+l.

故答案為：y=x2-2x+l.

【點睛】本題主要考查了拋物線與坐標軸交點求法以及二次函數(shù)的平移，正確得出平移方向

和距離是解題關鍵.

18.如圖，二次函數(shù)y=ax?+bx+c(a/))的圖象經(jīng)過點(1,2)且與x軸交點的橫坐標分

別為XI,X2,其中-1<X1<O,1<X2<2,下列結論：①4a+2b+c<0,②2a+b<0,③b2+8a

>4ac,@a<-1,其中結論正確的有.

【分析】由拋物線的開口方向判斷a的符號，由拋物線與y軸的交點判斷c的符號，然后根

據(jù)對稱軸及拋物線與x軸交點情況進行推理，進而對所得結論進行判斷.

【解析】解：由拋物線的開口向下知a<0,

與y軸的交點為在y軸的正半軸上，得c>0,

b

對稱軸為X=--<1,

2a

Va<0,

:.2a+b<0,

而拋物線與X軸有兩個交點，，b2-4ac>0,

當x=2時，y=4a+2b+c<0,

當x=l時，a+b+c=2.

..4ac-b2

?------L,

4〃

.*.4ac-b2<8a,

b2+8a>4ac,

?；①a+b+c=2,則2a+2b+2c=4,

②4a+2b+c<0,

③a-b+c<0.

由①,③得到2a+2c<2,

由①,②得到2a-c<-4,4a-2c<-8,

上面兩個相加得到6a<-6,

故答案為：①②③④.

【點睛】本題考查二次函數(shù)y=ax2+bx+c系數(shù)符號的確定由拋物線開口方向、對稱軸、拋物

線與y軸的交點、拋物線與x軸交點的個數(shù)等.

三、解答題

19.已知二次函數(shù)-3x+g.

⑴請把二次函數(shù)的解析式化成y=q（X-h）2+左的形式（直接寫出結果），并寫出圖象的頂

點坐標和對稱軸；

（2）請在如圖所示的坐標系內畫出函數(shù)的圖象（不必列表）.

【答案】（l）y=T（x-3）2-2,頂點坐標為（3,-2）,對稱軸為直線尤=3；

⑵見解析

【分析】（1）利用配方法得到y(tǒng)=；（尤-3）2-2,然后根據(jù)二次函數(shù)的性質得到拋物線的

頂點坐標、對稱軸；

（2）求出拋物線與無軸，y軸的交點坐標，結合拋物線的頂點坐標，描點后畫出二次函數(shù)的

圖象即可.

【解析】⑴解：：尸92-3》+3=3.3)2-2,

拋物線的頂點坐標為(3,-2),對稱軸為直線x=3；

(2)當y=0時，即Jx2-3x+1*=0,

22

解得刈=1,X2=5,

???拋物線與x軸的交點坐標為(1,0),(5,0),

當x=o時，y=|_，

拋物線與y軸的交點坐標為(0,,

又：拋物線的頂點坐標為(3,-2),

，函數(shù)圖象如圖，

【點睛】此題主要考查了二次函數(shù)的圖象和性質，正確求出二次函數(shù)頂點坐標是解題關鍵.

20.二次函數(shù)y=Y+fov+c的圖象經(jīng)過點(1,-8),(5,0).

⑴求b,c的值；

⑵求出該二次函數(shù)圖象的頂點坐標和對稱軸.

【答案】(1)6的值為T,。的值為-5；(2)頂點坐標為(2,-9),對稱軸為直線x=2

【分析】(1)把兩點的坐標分別代入二次函數(shù)解析式可求得力、。的值；

(2)把函數(shù)解析式化為頂點式則可求得答案.

【解析】解：(1)二次函數(shù)y=V+bx+c的圖象經(jīng)過點(1,-8),(5,0),

11+b+c=-85/日的=-4

-'-l25+5b+c=0,斛侍==-5'

即6的值為T,c的值為-5；

⑵由(1)