專題02遇到中點如何添加輔助線模型

目錄導航］

目錄

例題講模型］

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模型1.構造中位線模型.......................................................................1

模型2.構造中線模型..........................................................................2

模型3.構造倍長中線（或類中線）模型...........................................................4

習題練模型］

1............................................................................5

例題講模型］

模型1.構造中位線模型

模型解讀

情形1:當圖形中出現兩個中點時，考慮構造中位線.

條件:如圖,在△ABC中，點。E分別為AB,AC的中點.

輔助線作法：連接。￡.

結論：DE=^BC,DE||BC.

情形2：當圖形中出現一個中點時，考慮過中點作已知長度邊的平行線構造中位線.

①條件:如圖1,在△ABC中,。是邊的中點，且已知底邊的長.

輔助線作法：過點D作BC的平行線，交AC于點E（或取AC的中點E,連接Z）E）.

結論：DE=-BC.

2

②條件:如圖2,在AABC中,。是邊A8的中點.輔助線作法:過點A作A/〃CD,交3c的延長線于點F.

結論：DC=^AF-,ABDC^ABAF.

A

BC

圖1圖2

模型運用

例1.如圖，矩形ABC。中，點E、點廠分別是BC和C。的中點，連接EF,若AC=4,則EF=

例2.如圖，已知在RtAABC(AC>BC)中，4G4=90。，BC=6,。為AB邊上的中點，過點。的直線

O尸將VABC的周長平分且交AC于點尸，則DF的長為

例3.如圖，在平行四邊形ABCD中，ZC=120°,AD=8,AB=4拒,點、H、G分別是邊C。、BC上的動

點，連接A"、G",點E為的中點，點下為GH的中點，連接E尸，則所的最小值為

例4.如圖，在VABC中，AC=6,3c=8,AB=10,E,尸分別為邊AC,3C上的點，M,N分別為EF,

AB的中點.若AE=BF=4,則MN的長為

模型2.構造中線模型

模型解讀

情形1:當遇到直角三角形斜邊上的中點時，考慮作斜邊上的中線.

條件:如圖，在Rt^ABC中，乙48090°為斜邊AC的中點.

輔助線作法：連接BD

結論：BD=CD=AD=^AC

情形2：當遇到等腰三角形底邊上的中點時，考慮作底邊上中線，利用“三線合一”解題.

條件:如圖,在等腰△ABC中,。為底邊BC的中點.

輔助線作法：連接AD

結論:4OJ_BC,NBAD-ACAD.

模型運用

例1.如圖，已知RMABC,ZACB=90°,AB=10,AC=8,D,E,尸分別是三邊AB,AC,BC上動點,

且NED尸=90。，G為EF中點，連結CG,則CG最小值為

例2.如圖，在VABC中，AB=AC=16,BC=12,A3C于點尸，BE_LAC于點E,。為48的中點，M為

E尸的中點，則DW的長為

例3.如圖，在VABC中，4）是BC邊上的高線，CE是A3邊上的中線，M=2CD,點尸是CE中點.

A

⑴求證：NDCE=ZADF；

(2)若Z8AC=90o,AE=6,AC=8,求。尸的長.

模型3.構造倍長中線（或類中線）模型

模型解讀

情形1：當遇到三角形中存在中線時，考慮延長中線，作與中線相等的線段構造全等三角形.

條件:如圖1,在△ABC中,是BC邊的中線.

輔助線作法1：延長AD至點E,使DE=AD,連接BE.

輔助線作法2:過點B作BE〃AC,交的延長線于點E.

結論:△ACD%△EBD,AD=DE,BE=AC等.

情形2：當遇到三角形中存在一條線段過一邊的中點時，考慮延長這條線段，作等線段構造全等三角形.

條件:如圖2,在△ABC中，。是8C邊的中點，點E是AB上一點，連接。E.

輔助線作法1：延長ED至點F,使DF=DE,連接CF.

輔助線作法2:過點C作CF//AB交ED的延長線于點F.

結論:△BDE妾△CDFE/AB,BE=CF等

模型運用

例1.如圖1,在AABC中，點。為的中點，連接CD,若AC=6,8C=4,求C。的取值范圍時學生分析，

決定延長C。到E,使CD=DE,連接AE,可得到進而在△AEC中得到CE的取值范圍,

于是可求得CD的取值范圍.

⑴請回答：

①如圖1,連接BE,由已知和作圖能得到AADC/的理由是.

A.SSSB.SASC.AASD.HL

②求得C。的取值范圍是.

A.4<CD<6B.4<CD<6C.1<CD<5D.1<CD<5

⑵如圖2,RE分別是VABC的邊AC,8c的中點，求證：DE//AB,S.DE=^AB.

（3）如圖3,在等邊三角形ABC中，點尸為射線BC位于點C右側的一個動點，將線段PC繞點P逆時針旋轉

120。得到線段尸。，點C的對應點為點。，連接50,點。為80的中點，連接C0.若4?=3,當CQ=%CP

時，直接寫出3尸的長度.

習題練模型

一、單選題

1.如圖，在AABC中，AB=9,AC=7,。為8C中點，則線段力。的取值范圍是（）

A.7<AD<9B.1<AD<4C.2<AD<16D.1<AD<8

2.如圖，在四邊形ABC。中，E、尸分別是邊A3、AO的中點，且所=2,CD=3,BC=5,若ZAFE=65。,

則NADC的度數是（）

A.145°B.150°C.155°D.165°

3.如圖，在VA3C中，點。在BC邊上，E,尸分別是線段AC,8。的中點.若AB=AD,EF=3,貝|AC=

()

4.如圖所示，在四邊形A3。中，AB=2下,CD=2y/3,ZAB。=30。，ZBDC=120°,E,尸分別是AZ）,5c

邊的中點，則EF的長為（）

A.272B.2A/3C.#D.由

5.如圖，VABC中，ZC=90°,AC=8,BC=6,線段DE的兩個端點D、E分別在邊AC,3c上滑動,

且DE=6,若點M、N分別是OE、AB的中點，則"N的最小值為（）

二、填空題

6.如圖，在VABC中，AC=2+V3,NC4B=120。，。是BC的中點，E是AB上一點.若￡>E平分VABC

的周長，則。E的長為.

A

CDD

7.如圖，在平行四邊形A5CD中，AD=2AB,CE_LAB于點E,M是4。的中點，XCEM=40°,貝U

ZAME=____.

AMD

8.如圖，在VABC中，AB=7,BC=11,點。是AC的中點，DE//BC,若NA￡S=90。，則DE的為______.

A

DL

9.如圖，VA3C中，。為BC的中點,E是AD上一點，連接BE并延長交AC于尸.若BE=AC,AF=2,

CF-8.那么所■的長廊為

A

/K

B^D----XC

10.如圖，在VABC中，NC=90。，。為邊AB的中點,E,尸分別為邊AC,BC上的點，且AE=AD,BF=BD,

連接班'.

C

4DB

(1)ZEDF=_____；

(2)若DE=EF=壺,則線段48的長為_____.

三、解答題

11.如圖，AD為VABC的中線，E為AD的中點，3E的延長線交AC于點R求證：CF=2AF.

12.【感知】

(1)如圖1,在VABC中，2E分別是邊AB,AC的中點.則DE和2C的位置關系為，數量關系為

【應用】

(2)如圖2,在四邊形ABC。中，E,尸分別是邊AB,AD的中點，若BC=10,CD=8,EF=3,ZAFE=50°,

求NADC的度數.

【拓展】

(3)如圖3,在四邊形ABC。中，AC與3。相交于點E,M,N分別為的中點，分別交AC,B￡)于

息F,G,EF=EG.求證：BD=AC.

圖1圖2

(1)若AC=3C,如圖1,E、尸分別在3C、AC邊上，且A尸=4,8E=3,則EF=_；

(2)若AC與BC不等，如圖2,E、下分別在BC、AC邊上，求證團AF2+BE2=EF2；

14.如圖①，在四邊形ABCD中，AD//BC,點E是。C的中點，若AE是々AD的平分線.

ADA

(1)求證：BE是一ABC的平分線

(2)線段AB,AD,BC之間的數量關系是二

問題探究：如圖②.在四邊形A8CD中，AB//CD,AF與。C的延長線交于點R點E是BC的中點,

若AE是/BAF的平分線，試探究AB,AF,CF之間的等量關系，并證明你的結論.

15.如圖，VA5c中，點。在邊BC