專題05特殊三角形

廠考點類型

考點7：垂直平分線的性質

考點1：等腰三角形性質——等邊對等角

考點8：垂直平分線的判定

考點9：直角三角形一斜邊中線

模塊四圖形的性質

考點10：直角三角形——含30°角

05講特殊三角形

考點11：直角三角形——含45°角

考點12：直角三角形一勾股定理

考點13：直角三角形——兩角互余

匚下7知識一遍過

(一)等腰三角形的性質與判定

(1)性質

①等邊對等角:兩腰相等，底角相等，即AB=AC=NB=NC；

②三線合一：頂角的平分線、底邊上的中線和底邊上的高互相重合;

③對稱性：等腰三角形是軸對稱圖形，頂角的平分線(或底邊上的中線或底邊上的高)所在的直線就是對

稱軸.

(2)判定

①定義：有兩邊相等的三角形是等腰二角形；

②等角對等邊:即若NB=NC,貝必ABC是等腰三角形.

注意：三角形中“垂線、角平分線、中線、等腰”四個條件中，只要滿足其中兩個，其余均成立.

失分點警示：當等腰三角形的腰和底不明確時，需分類討論.如若等腰三角形ABC的一個內角為30。，則另

外兩個角的度數為30°、120?；?5°、75°.

(二)等邊三角形的性質與判定

(1)性質

①邊角關系：三邊相等,三角都相等且都等于眥.

②對稱性：等邊三角形是軸對稱圖形，三條高線（或角平分線或中線）所在的直線是對稱軸.

（2）判定

①定義：三邊都相笠的三角形是等邊三角形；

②三個角都相等（均為60。）的三角形是等邊三角形；

③任一內角為60。的等腰三角形是等邊三角形.

即若AB=AC,且/B=60。，貝!!△ABC是等邊三角形.

注意：（1）等邊三角形是特殊的等腰三角形，所以等邊三角形也滿足“三線合一”的性質.

（2）等邊三角形有一個特殊的角60。，所以當等邊三角形出現高時，會結合直角三角形30。角的性質，即

BD=iAB.

2

（三）角平分線與垂直平分線的性質

（1）角平分線

①性質：角平分線上的點到角的兩邊的距離相等.即若

Z1=Z2,PALOA,PBLOB,則用=陽

②判定：角的內部到角的兩邊的距離相等的點在角的角平分線上，即PA=PB。

（2）垂直平分線

①性質：線段的垂直平分線上的點到這條線段的兩端點距離相等.即若。垂直且平分力6,則陽=期

②判定：到一條線段兩端點距離相等的點在這條線段的垂直平分線上.

（四）直角三角形的性質

（1）兩銳角互余.即NA+NB=2Q2；

（2）30。角所對的直角邊等于斜邊的二生.即若NB=30。，則AC=|包；

（3）斜邊上的空線長等于斜邊長的一半.即若CD是中線，則CD=^AB.

（4）勾股定理：兩直角邊a、b的平方和等于斜邊c的平方.即a?+b2=貯.

（五）直角三角形的判定

（1）有一個角是直魚的三角形是直角三角形.即若/C=2QS則AABC是直角三角形;

（2）如果三角形一條邊的中線等于這條邊的二生，那么這個三角形是直角三角形.

即若AD=BD=￡2，貝必ABC是直角三角形

（3）勾股定理的逆定理：若a?+b2=k，則AABC是直角三角形.

'看」考點一遍過

考點1:等腰三角形的性質一一等邊對等角

典例1:（2024上?安徽馬鞍山?八年級安徽省馬鞍山市第七中學校考期末）如圖，AABC三△4DE,點。在BC

上，若4氏4。=30。，則乙4DE的度數為（）

A.60°B.65°C.70°D.75°

【變式1］（2013上?江蘇蘇州?八年級統考期中）如圖，△ABC中，以8為圓心,8c長為半徑畫弧,分別交2C、AB

于。、E兩點，并連接BD、DE.若NA=30。，AB=AC,貝UNBDE的度數為（）

A.67.5°B.52.5°C.45°D.75°

【變式2］（2024上?四川內江?八年級統考期末）如圖，AABC和AECD都是等腰直角三角形，aABC的頂點

A在AECD的斜邊。E上.下列結論：其中正確的有（）

@KACE=ABCD@BD+ADDE

③NZMB=乙BCD@AE2+AD2=2BC2

A.1個B.2個C.3個D.4個

【變式31（2018?天津河東?八年級統考期末）如圖AaOBmAADC,40=乙0=90。,記NSW=a,Z.ABO=￡,

當4。||BC時，a與0之間的數量關系為（）.

A.a+P=90°B.a+2/?=180°C.a=0D.a=2/3

考點2：等腰三角形的性質一一三線合一

典例2：（2024上?河北滄州?八年級統考期末）如圖，等腰A/IBC的底邊BC長為3,面積是6,腰力B的垂直

平分線EF分別交4B,AC于點E,F,若點。為底邊8c的中點，點M為線段EF上一動點，則ABDM的周長

最小值為（）

A

A.4.5B.5C.5.5D.6

【變式1］（2023上?新疆喀什?八年級校聯考期中）如圖，AC=48=80,AABD=90°,BC=6,則△BCD

的面積為（）

A

A.9B.6C.10D.12

【變式2］（2023上?山東聊城?八年級?？茧A段練習）如圖，己知等邊△ABC中，點。是4C的中點，點E是BC

延長線上的一點，且CE=CD,DM1BC,垂足為求證：點加是BE的中點.

【變式3】（2023上?江西南昌?八年級?？茧A段練習）如圖，在AABC中，AB=AC,CD垂直力B于D,P為BC

上的任意一點，過P點分別作PE1A8,PF1CA,垂足分別為E,F.

⑴若P為BC邊中點，則PE,PF,CD三條線段有何數量關系（寫出推理過程）？

（2）若P為線段BC上任意一點，則（1）中關系還成立嗎？

【變式4】(2023上,全國?八年級課堂例題)如圖①所示，點D,E在AABC的邊BC上，AB=AC.

(1)若4。=AE,求證：BD=CE.

(2)如圖②所示，若BD=CE,E為DE的中點，^BAF=70°,求NC的度數.

【變式5](2024上?江蘇?八年級姜堰區實驗初中?？贾軠y)如圖，AABC中，4。是邊BC上的高，E、F分別

是CF、48的中點，5.DC=BF.

⑴判斷并說明OE與CF的位置關系;

(2)若力B=10,CF=8,求DE.

考點3：等腰三角形判定

典例3：(2024上?湖南常德?八年級校聯考期末)如圖所示，在AABC中，BE平分乙48C,DE\\BC.

⑴求證：ABDE是等腰三角形；

(2)若NZ=30°,ZC=70°,求NBDE的度數.

【變式1】（2024上,甘肅武威,八年級校聯考期末）如圖，在AABC中，乙4cB=90。，CE是斜邊力B上的高,

角平分線BD交CE于點M.

⑴求證：aCDM是等腰三角形.

（2）若4B=10,AC=8,求CA/的長度.

【變式2】（2024上?湖南長沙?八年級統考期末）如圖，在AABC中，B。平分N4BC,C。平分N4CB,過點。作

BC的平行線與4B,AC分別相交于點M,N.若4B=5,AC=6,求AAMN的周長.

【變式3］（2023上?江蘇蘇州,八年級?？茧A段練習）如圖，將矩形4BCDCAB<AD）沿BD折疊后，點C落

在點E處，且8E交4D于點F,若48=6,BC=8.

⑴求DF的長；

（2）求4DBF^ADEF的面積；

（3）求4DBF中產點到BD邊上的距離.

考點4：等邊三角形性質

典例4：（2024上?江西贛州?八年級統考期末）如圖，AABC是等邊三角形，已知AE=CD,BQ1AD于Q,

BE與4D交于點P,下列結論中不一定成立的是（）.

A./.APE=ZCB.BP=2PQC.AQ=BQD.AE+BD=AB

【變式1X2024上?全國?九年級專題練習）如圖，。是等邊△ABC邊AB上的一點，且AD:OB=1:2,現將ATIBC

折疊，使點C與D重合，折痕為EF,點E,F分別在4C和BC上，貝。CE:CF=（）

【變式2］（2024上?湖北恩施?八年級統考期末）如圖，△4BC是等邊三角形，點。是4B邊上一點，連接CD,

點E是CO上一點，Z.CAE=上BCD,則下列結論正確的是（）

A.AE=ADB.Z.AED=60°C.BD=CED.^AEC=乙BDC

【變式3］（2023上?山東臨沂?九年級校考階段練習）如圖，aaBC為等邊三角形，點。，E分別在邊BC,

AB上，N2DE=60。若BD=4DC,DE=2.4,貝!|力。的長為（）

A

A.1.8B.2.4C.3D.3.2

考點5:等邊三角形判定

典例5：(2022上?北京?八年級校聯考期末)如圖，E是N40B的平分線上一點，EC1OB于C,ED1。4于

D,連接CD交OE于點F,若N40B=60°.

⑴求證：△OCD是等邊二角形;

(2)若DE=6,求線段OF的長.

【變式1】(2023上?江蘇宿遷?八年級校聯考期中)如圖，ATlBC和ACDE都是等邊三角形，且點A、C、E

在一條直線上，4D與BC相交于點M,BE與CD相交于點N.

求證：

(1)XD=BE；

⑵ACMN是等邊三角形.

【變式2](2023上,廣東廣州?八年級鐵一中學?？计谥?如圖，在AABC中，AB=AC,^BAC=120°,AD

是BC上的中線，E是AC的中點，連接DE.

⑴求證：AADE為等邊三角形;

(2)若2。=3,求4B的長.

【變式3](2023上?江蘇鹽城?八年級統考期中)已知：如圖，等邊ATIBC中，點E在邊BC上，CD||AB,

且CD=BE.

⑴求證：XABE2ACD；

(2)判斷ANDE的形狀，并說明理由.

考點6：等邊三角形判定與性質綜合

典例6：(2024上?山西呂梁?八年級統考期末)如圖，△力8c是等腰三角形，=4C,點￡>,E分別在邊BC,

北上，將△CDE沿著DE折疊，點C的對應點廠恰好落在4B上，且CD=C，B.

⑴求證：△4LE是等腰三角形；

(2)連接CC，交。E于點F,若乙4=60°,AB=8,求DF的長度.

【變式1】（2024上?湖南邵陽,八年級統考期末）如圖1,點A、C、E在同一條直線上，在AACB和AECD中,

CA=CB,CD=CE,^ACB=乙DCE=a,AD,BE相交于點M.

（2）用含a的式子表示N2MB的度數；

⑶如圖2,當a=60。時，取力D,BE的中點分別為點P、Q,連接CP,CQ,PQ,判斷ACPQ的形狀，并加

以證明.

【變式2］（2024上?安徽馬鞍山?八年級安徽省馬鞍山市第七中學校考期末）已知，如圖△4BC,E是上一

點，ABAC=^AEB=a,△ABC角平分線BD交4E于H,G為。H中點，延長2G交BC于尸.

⑴求證：AH=AD；

(2)若a=80°,ZC=40°,求證：AF=AB.

【變式3】（2024上,湖南長沙,八年級統考期末）如圖，點P,M,N分別在等邊△ABC的各邊上，且MP14B

于點P,MN1BC于點M,PN14C于點N.

⑴求證：APMN是等邊三角形;

（2）若AC=12cm,求CM的長.

考點7：垂直平分線的性質

典例7：（2024上?安徽合肥?八年級統考期末）如圖，在AABC中，力。是8c邊上的高，4E是NB4C的角平分

線，MF垂直平分4E,垂足為點X,分別交4B、AD,AC于點N、G、F,交CB的延長線于點連接EF,

下列結論中錯誤的是（）

A.NM=^DAEB.Z.DAE=|{/.ABC-ZC)

C.EF||ABD.乙EFC=2/-M+Z-C

【變式1】（2023上,黑龍江哈爾濱?八年級統考期末）如圖，△ABC中，ABAC=60°,ABAC的平分線AD與

邊BC的垂直平分線MD相交于D,DE14B交4B的延長線于E,DF14c于F,現有下列結論：①DE=DF；

（2）DE+DF=AD-,③DM平分NEDF；@AB+AC=2AE-,其中正確的有（）

A.1個B.2個C.3個D.4個

【變式2］（2018下?山東棗莊?九年級校聯考期中）如圖，依據尺規作圖的痕跡，計算Na=（）

【變式3］（2023上?安徽亳州?八年級?？计谀┤鐖D，在A/IBC中，分別以點力和C為圓心，以大于的

長為半徑作弧，連接兩弧的交點與分別交于點。，點、E,連接CD,若=CD,貝叱4C8的度數為（）

考點8：垂直平分線的判定

典例8：（2024上?陜西商洛?八年級統考期末）如圖，在△ABC中，4D平分NB4C,DE14B于點E,DF1AC

于點R連接EF交4。于點。.

A

⑴求證：4。垂直平分EF；

(2)若NBAC=60。，AD=5,求線段。。的長.

【變式1](2023上?河北承德?八年級校考期末)如圖是風箏的結構示意圖，點Z)是等邊三角形A8C的外部

一點，且AD=CD,過點。作DE||4B交力C于點F,交BC于點E.

⑴求證：BD垂直平分線段4C；

(2)若BC=10,CF=4,求DE的長.

【變式2］（2023上?甘肅定西?八年級統考期中）如圖，在△力BC中，AD平分NB4C,ZC=90°,DE1AB于

點E,點F在4C上，BD=DF.

⑴求證：CF=EB.

（2）連接CE,求證力。垂直平分CE.

【變式3】（2023上?河南周口?八年級校聯考階段練習）在A8CN中，BC=BN,點N在線段4B上（如圖位

置），AB為Rt△4的斜邊，MNLAB于N,MN交AC于M,連接BM,CN相交于R^ACB=90°.

(l)RtAMBC=RtAMBN.

(2)BM垂直平分CM

考點9：直角三角形一一斜邊中線

典例9：（2024?陜西西安??？寄M預測）如圖，在△ABC中，乙4cB=90。，乙4=22.5。，CD14B于點D,

點E為4B的中點，連接CE,若CD=正,貝MB的長為（）

A.2V3B.8C.4V3D.3V6

【變式11（2023上?浙江杭州?八年級統考期中）如圖，已知RtAABC,Rt△DBA,RtAE/lC,其中點F,G,H

分別為斜邊BC,BA,AC的中點，連接DG,AF,EH.則線段DG,AF,EH的數量關系是（）

A.2AF2=2DG2+EH2B.2AF2=DG2+2EH2

C.AF2=DG2+EH2D.2AF2=DG2+EH2

【變式2]（2024上?廣東清遠?九年級統考期末）如圖，正方形4BCD的邊長為8,E為CD邊上一點，連接BE,

器=；,取BE中點凡連接CF,則CF的長為（）

EC3

A.3B.4C.5D.6

【變式3】（2024上?北京海淀?九年級?？奸_學考試）如圖，在RtAABC中，ZC=90°,AC=BC=4,點。

為A8的中點，點、E、尸分別在邊2C、BC上，且NEDF=90。，則下列說法：

①EC+CF=y[2AD-,

@EC2+CF2=2DF2；

③）SAAED+S&BFD=^SAABC（S代表二角形面積）；

@）CA4ED+CABFD=，A4BC（C代表二角形周長）

其中正確的個數有（）

A.1個B.2個C.3個D.4個

考點10：直角三角形一一含30°角

典例10：（2023上■廣東江門?九年級校聯考階段練習）如圖，在平面直角坐標系xOy中，點4在久軸負半軸上,

點B在y軸正半軸上，經過4B,0,C四點，AACO=120°,AB=4,則圓心點。的坐標是（）

A.（V3,l）B.（-V3,l）C.（-1,V3）D.（-2,273）

【變式1］（2024上?天津寧河?八年級統考期末）如圖，在△ABC中，AB=AC,D,￡是△力BC內部的兩點,

4。平分NBAC,Z￡BC==60°,若BE=5,DE=2,貝!|8C的長為（）

A.5B.6C.7D.8

【變式2］（2024上?廣東云浮?九年級羅定中學校聯考期末）如圖，在RtAABC中，AACB=90°,乙4=60。，

AC=6,將△ABC繞點C按逆時針方向旋轉得到此時點4恰好在4B邊上，則點?與點B之間的距

離為（）

B'

-----?------7

A.12B.6C.6V2D.6V3

【變式3］（2023上?廣東肇慶?八年級統考期末）如圖，在RtAABC中，ZC=90°,Z71=30°,4B的垂直平

分線交4C于D,交4B于E,連接BD,給出下歹！J結論：①DB平分NCDE；（2）AE=BC；③BC=2CD-,@BD+

DE=AC.

考點11:直角三角形一一含45°角

典例11：（2023上?江蘇無錫?八年級?？茧A段練習）如圖在等腰直角△ABC中，若乙4c8=90。，E為AD中

點，CD=CE,貝吐D4B的度數為（）

A.60°B.30°C.45°D.15°

【變式1］（2022上?湖南株洲?八年級統考期末）如圖，等腰直角A4BC中，0BAC=9O°,AOI3BC于。，0ABC

的平分線分別交AC、于￡、尸兩點，M為EF的中點，延長AM交2C于點N,連接。下列結論：

①AE=A尸；②AM0EF；（3）AF=DF；@DF=DN,其中正確的結論有（）

B

A.1個B.2個C.3個D.4個

【變式2］（2022?江蘇無錫,校聯考一模）如圖，等腰R/EL48c中，AB=AC=6,0BAC=9O°,。是BC邊的

中點，過點。作。分別交A3、AC于￡、尸（不與8、C重合）.取跖的中點。，連接AO并延長交

BC于G,連接EG、FG.隨著點￡、尸的位置的變化，有以下四個結論：①DE=DF；②四邊形AED尸的

面積始終為9；（3）0￡GF=9O°；④四邊形AEG尸的面積有最小值為其中正確的是（）

A.①②③B.①②④C.①③④D.②③④

【變式3］（2022?四川南充?統考一模）如圖，在等腰直角0ABe中，AACB=90°,。是斜邊的中點，點

D、E分別在直角邊AC、BC上,且NDOE=90。，DE交OC于點、P.給出下列結論:

(1)AD=CE；

(2)CD+CE=V2OC；

(3)的面積等于四邊形COOE的面積的2倍;

(4)POPC=PD-PE.

C.2D.1

考點12:直角三角形一一勾股定理

典例12：（2024上?福建泉州?八年級統考期末）如圖，△ABC中，AB=AC,ABAC=90。，點尸、。在BC上，

且BP=CQ,PD14Q于E,交AC于。，連結4P.下歹U結論：①NP4Q=45°；②PA=PD；（3）AB2-AP2=

i（BC2-PQ2）；④BP?+。。2=24p2.其中正確的是（）

A.①②B.②③C.①②④D.②③④

【變式11（2024上?全國?九年級專題練習）如圖，在RtAABC中，4B=AC,D,E是斜邊BC上兩點，且NZME=

45°,將AADC繞點2順時針旋轉90。后，得到A/IFB,連接