圓壓軸題輔助線作法

（十四種題型綜合分析與聯系）

目錄:

題型1:“有直徑現直角”

題型2：“有垂徑現三角形”

題型3：題型1和題型2綜合

題型4：構造出圓心角、圓周角之間的關系

題型5：題型1-4綜合

題型6：截長補短作垂直

題型7：構造全等三角形

題型8：構造圓內接四邊形

題型9：作垂線

題型10：構造特殊平行四邊形

題型11：平面直角坐標系中作垂線求數量關系

題型12：構造垂直，拆解線段

題型13：二次函數中作圓尋求數量關系

題型14：內心有關的輔助線作法

題型1：“有直徑現直角”

1.如圖1,在O。中，AB、CD是直徑，弦BELCD,垂足為足

⑵如圖2,點G在CD上，S.ZCAG=ZABE.

①求證：AG=BC；

②若尸G=2,BE=4回,求。G的長.

題型2：“有垂徑現三角形”

2.如圖1,點￡是OO直徑48上一點，AE=2,BE=8,過點E作弦CO1,點G在初上運動，連

接CG.

⑴求cz＞的長.

(2)如圖2,連接/G,作〃CG的角平分線交4G于點尸，在點G運動的過程中，力尸的長度是否會發生變

化？若發生變化，請說明理由；若不會發生變化，請求出其值.

(3)如圖3,過點8作8//LCG于4,連接。H,求。”的最小值.

題型3：題型1和題型2綜合

3.己知：48是。。的直徑，弦8交于點E,且弧36=弧8。.

A

(1)如圖1,求證：CE=DE；

(2)如圖2,連接NC,點尸為/C上的一點，連接3尸，過點C作尸，垂足為點G,若點〃為弧48的

中點，求NQ由的度數；

(3)如圖3,在(2)的條件下，連接尸〃交于點N,若AF=AN,FG=4,求。。的半徑.

題型4：構造出圓心角、圓周角之間的關系

4.如圖，在△/BC中，48=BC,42c=90。,。是48上一動點，連接CD,以CD為直徑的。〃■交/C于

點E,連接期并延長交NC于點尸，交。M于點G,連接8E.

⑴若/E5G=45。，求證：點E是前的中點.

(2)當點。移動到使CD時，求8C:AD的值.

⑶當點。到移動到使岔=30。時，求證：AE-+CF2=EF-.

題型5：題型1-4綜合

5.如圖，在△N3C中，點。是4C的中點，以。為圓心，04為半徑作。。，交BC于點D,交4B于點E,

弧ED與弧DC相等，點尸在線段5E上，NBAC=2NBDF.

(1)求證：AB=AC；

(2)判斷。尸與。。的位置關系，并加以證明；

(3)若。。的半徑為5,EB+DF=AO,求AD的長.

題型6：截長補短作垂直

6.如圖，△48C為。。的內接三角形，AB=AC,/R4C=50。，點P為弧上一點，連接CP.

⑴如圖1,當CP，48時，垂足為E,連接49并延長分別交CP,8c于點色G.

①NBCP=°；

②求證：EF=PE.

⑵如圖，若CP與不垂直，過點A作垂足為E,連接PB,如果尸8=3,PE=1求線段CE的

長.

題型7：構造全等三角形

7.【感知】如圖①，點/、B、P均在OO上，402=90。，則銳角N4P8的大小為度.

【探究】小明遇到這樣一個問題：如圖②，O。是等邊三角形/2C的外接圓，點P在弧/C上（點尸不與

點/、C重合），連接尸/、PB、PC.求證：P8=P4+PC.小明發現，延長尸/至點E,使/E=PC,連

接BE,通過證明可推得△ME是等邊三角形，進而得證.下面是小明的部分證明過程：

證明：延長P4至點E,使4E=PC,連接BE.

???四邊形/2CP是OO的內接四邊形，:+NBCP=180。，

ZBAP+NBAE=180°,ZBCP=NBAE,

???△NBC是等邊三角形，氏4=3C,

：.APBCAEB4（SAS）.

請你補全余下的證明過程.

【應用】如圖③，。。是△4BC的外接圓，ZABC=90°,48=3C,點P在。。上，且點尸與點3在NC

的兩側，連接尸/、PB、PC,若PB=3gPA，則=;的值為多少？

8.是。。上的一條不經過圓心的弦，MN=4在劣弧MN和優弧MN上分別有點/,8（不與M,N重

合），且京=麗，連接4W,BM.

A

(1)如圖1,4B是直徑，AB交MN于點、C,ZABM=3Q°,求NCMO的度數;

(2)如圖2,連接。M,AB,過點。作0。〃48交于點。，求證：/MOD+2/DM0=90。；

(3)如圖3,連接㈤V,BN,試猜想+?沏的值是否為定值，若是，請求出這個值；若不是，請

說明理由.

題型8：構造圓內接四邊形

9.如圖，△ABC內接于。。，弦C。、8E相交于點尸，ZDFB-ZEDC=90°-ZACD.

(1)如圖1,求證：48為。。的直徑;

(2)如圖2,過點、D作DG"BE,求證：DE=BG；

(3)如圖3,在(2)的條件下，8與4B相交于點〃，連接并延長交。。于點K,連接DK,沿DK所

在直線作劣弧DK的軸對稱圖形經過點H,DG=5,AC=8,求線段DE的長度.

題型9：作垂線

10.已知，/、F、E、C四點在。。上，延長CE,AF交于點、B,S.BE=CE=4.

A

備用圖

⑴若4E=BE,

①求證：BF=CF；

②當28=30。時，求ZFC4的度數；

(2)若。。的半徑為3,求Nl+NC?的最大值.

題型10：構造特殊平行四邊形

11.已知△4BC內接于OO,1.4。于點D.

圖1

⑴如圖1,求證：NABD=NACB；

⑵如圖2,改變點A的位置，延長BD依次交/C,。。于點E,F,若/ABC=2NC,求證：BF=AC；

⑶在(2)的條件下，連接FO并延長，交8c邊于點4,若CE=5,AE=3,求線段OH的長.

題型11:平面直角坐標系中作垂線求數量關系

12.在平面直角坐標系x帆中，已知點P(4,3),O。經過點P,過點尸作x軸的平行線交。。于點E.

(1)如圖1,求線段。尸的長；

⑵點N為y軸正半軸上的一動點，點8和點N關于直線PE對稱，連接P4PB.直線尸4尸8分別交。0

于點C,D.直線CD交x軸于點尸，交直線PE于點G.

①點N運動到如圖2位置，連接CE,DE.求證：ZDGP=NECP.

②在點/運動過程中，當。尸=OP時，求點。的坐標.

題型12：構造垂直，拆解線段

13.如圖1,在△4BC中，。在邊/C上，圓。為銳角△3。)的外接圓，連接C。并延長交4B于點R設

NDBC=a.

⑴若c=60。，求/DCE的度數;

(2)如圖2,作8尸垂足為R時與CE交于點G,已知N45Z)=/CAF.

①求證：EB=EG；

②若CE=5,NC=8,求/G+F8的值.

題型13：二次函數中作圓尋求數量關系

14.已知拋物線y=；/+6x+c與x軸交于次4,0),8(—2,0),與y軸交于點C.

（1）求拋物線的解析式及c點坐標；

（2）點。為第四象限拋物線上一點，設點。的橫坐標為小，四邊形/BCD的面積為S,求S與加的函數

關系式，并求S的最值；

（3）點尸在拋物線的對稱軸上，且/BPC=45。，請直接寫出點尸的坐標.

題型14：內心有關的輔助線作法

15.如圖，48為。。的直徑，點C是直線48上方的OO上一點，點M是△ABC的內心，連接/M,BM,

CM.延長CM交。。于點。.

D

(1)若/3=10,AC=6,求8c的長；

⑵求乙IMS的度數；

(3)當點C在直線48上方的。。上運動時，求證：DM若AB.

16.如圖：已知等腰RtA^CD,