專題04全等三角形

考點類型

考點1:全等三角形判定

——直接判定

模塊四圖形的性質(zhì)

04講全等三角形

考點io：全等三角形性質(zhì)與判定

（一）全等三角形的性質(zhì)

①全等三角形的對應(yīng)邊、對應(yīng)角相等.

②全等三角形的對應(yīng)角平分線、對應(yīng)中線、對應(yīng)高相等.

③全等三角形的周長等、面積等.

（二）全等三角形的判定

①SSS（三邊對應(yīng)相等）②SAS（兩邊和它們的夾角對應(yīng)相等）

③ASA（兩角和它們的夾邊對應(yīng)相笠）@AAS（兩角和其中一個角的對邊對應(yīng)相等）

☆直角三角形全等

（1）斜邊和一條直角邊對應(yīng)相等（HL）

（2）證明兩個直角三角形全等同樣可以用SAS,ASA和AAS.

（三）全等三角形常見輔助線

（1）利用全等證明角、邊相等或求線段長、求角度：將特征的邊或角放到兩個全等的三角形中，通過證明

全等得到結(jié)論.在尋求全等的條件時，注意公共角、公共邊、對頂角等條件.

（2）全等三角形中的輔助線的作法：

①直接連接法：如圖①，連接公共邊，構(gòu)造全等.

②倍長中線法：用于證明線段的不等關(guān)系，如圖②，由SAS可得△ACD0Z\EBD,則AC=BE.在4ABE中，AB+BE

>AE,即AB+AO2AD.

考點1:全等三角形的判定一一直接判定

典例1：（2024上?陜西延安?八年級統(tǒng)考期末）如圖，48=CD,BF=CE,AE=DF.求證：AABE=ADCF.

【變式1】（2023上?浙江溫州?八年級校考期中）如圖，點、E,尸在CD上，ACWBD,AC=BD,CF=DE,

求證：KAEC=△BFD.

【變式2］（2024上?云南昆明?八年級統(tǒng)考期末）如圖所示,點E在AB上,點D在4C上,NB=AC,AD=AE.求

證：△ABD=△ACE.

【變式31（2023上?浙江溫州?八年級溫州市第十二中學(xué)校聯(lián)考期中）如圖，N4=乙B,AE=BE,點。在AC

邊上，Zl=Z2,4E和8。相交于點O,求證：△4ECmABED.請補全證明過程，并在括號里寫上理由.

B

證明：0Z1=42(),

[21Z.1+=Z.2+,

國乙AEC=,

Z-A=Z-B

在△NEC和△BEO中，AE=

^AEC=乙BED

[?]△AEC=△BED().

【變式4］（2023上?天津靜海?八年級校考期中）如圖，已知NC=4產(chǎn)=90。，AC=DF,AE=DB,BC與EF

交于點0,求證：AABC卦DEF

CF

Q

AEBD

【變式5]（2023上?遼寧盤錦?八年級校考期末）將448c和4DEF如圖放置.已知AB=DE,ZD+/.CHF=

180°,ABWEF,

求證：AABC=ADEF.

考點2：全等三角形的判定一一多次判定

典例2：（重慶市合川區(qū)2023-2024學(xué)年九年級上學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題）如圖，正方形4BCD中，E是BC邊上一

點，連接2E,以AE為邊在力B右側(cè)作正方形力EFH,連接AF,交CD于點N,連接EN.過點尸作FG1BC交BC

的延長線于點G.

H

（1）求證：BE=CG；

(2)求證：BE+DN=EN.

【變式1】（2023上?黑龍江哈爾濱?八年級校考期中）如圖，AB=AC,2。18C于點。，AD=AE,28平

分ND4E交DE于點F.

⑴求證：aABE三△ACD

（2）直接寫出圖中所有全等三角形（AaBE三△4CD除外）.

【變式2］（2021下?福建福州,七年級校聯(lián)考期中）在矩形2BCD中，AB=6,AD=8,E是邊BC上一點,

以點E為直角頂點,在4E的右側(cè)作等腰直角△4EF.

（1）如圖1,當(dāng)點尸在CD邊上時，求BE的長.

（2）如圖2,若EF1DF,求BE的長.

【變式3］（2023下?湖北隨州?八年級統(tǒng)考期末）已知正方形48CD,E為對角線8。上一點.

圖1

⑴如圖1,連接2E,CE,求證：AADE=△CDE-,

(2)如圖2,產(chǎn)是力E延長線上一點，CF1CE,EF交CD于點G,判斷△CFG的形狀，并說明理由;

⑶在（2）的條件下，若48=3,CG=2DG,連接。尸，直接寫出。尸的長為.

考點3：全等三角形的判定一一網(wǎng)格應(yīng)用

典例3：（2022上?重慶潼南?八年級校聯(lián)考期中）如圖，在3X3的正方形網(wǎng)格中標(biāo)出了N1和N2,貝+/2=

【變式1］（2022上,湖北武漢?八年級統(tǒng)考期中）在如圖所示的3x3正方形網(wǎng)格中，Zl+Z2+Z3=

【變式2］（2022上?江蘇無錫,八年級無錫市天一實驗學(xué)校校考階段練習(xí)）如圖，已知方格紙中是4個相同

的小正方形，則m+回2的度數(shù)為.

【變式3］（2022?山東濟南?統(tǒng)考二模）如圖，在4X4的正方形網(wǎng)格中，求a+0=度.

考點4：全等三角形的判定一一尺規(guī)作圖

典例4：（2023上?河南潺河?八年級統(tǒng)考期中）如圖，已知AABC,請根據(jù)下列要求進(jìn)行尺規(guī)作圖，不寫作法,

保留作圖痕跡.

（1）求作AOEF,使△DEF三△ABC,你的依據(jù)是；（填“SSS、SAS、ASA或AAS"）

⑵分別求作N4BC和N4CB的平分線，兩平分線交于點O；

⑶在（2）的條件下，若乙4=70。，則N80C的度數(shù)為.（直接寫出結(jié)果）

【變式1】（2022?福建福州?福建省福州屏東中學(xué)校考二模）如圖，在A4BC中,AB=AC,力。1BC于點￡>,

NB4C為銳角.

⑴將線段AD繞點A順時針旋轉(zhuǎn)（旋轉(zhuǎn)角小于90。），在圖中求作點。的對應(yīng)點E,使得BE=3BC；（要求:

尺規(guī)作圖，不寫作法，保留作圖痕跡）

（2）在（1）的條件下，過點C作CF14B于點尸，連接ERBE,若sin/EBA=畀求號的值.

【變式2】（2021?湖北武漢?九年級專題練習(xí)）求證：全等三角形對應(yīng)邊上的中線相等.已知如圖，AABC

A'B'C,AO是0ABe的中線.

（1）求作/AB'C'的中線4D'（要求尺規(guī)作圖，不寫作法，保留作圖痕跡）;

（2）求證：AD=A'D'

【變式3］（2020上?上海奉賢?八年級校考期末）如圖，已知四邊形ABCD中，AB=24,AD=15,BC=20,CD=7,

BADB+0CBD=9O".

（1）在BD的上方作回A'BD,使回A'BDEBADB（點A與點4不重合）（不寫作法，保留作圖痕跡）；

（2）求四邊形ABCD的面積.

BD

C

考點5：全等三角形的判定一一連接線段

典例5：（2020上,江西南昌?八年級期末）如圖，以。為直角頂點作兩個等腰直角三角形Rt△。4B和Rt△OCD,

且點C在線段力B上（力、B除外），求證：AC2+BC2=CD2

【變式1]（2024上?河南洛陽?八年級偃師市實驗中學(xué)校考期中）如圖，4C與BD相交于點。，AB=DC,AC=

BD.求證：AABO=ADCO.

【變式2]（2023上,浙江杭州?八年級統(tǒng)考期中）如圖，AB14c于點4BD1CD于點與BD交于點。,

AC=DB.求證：。4=OD.

【變式3](2020,湖南邵陽?統(tǒng)考模擬預(yù)測)如圖，BD是回0的直徑,AB與回0相切于點B,點C在00±,CD0AO,

求證：AC是團。的切線.

考點6：全等三角形的判定一一倍長中線

典例6：(2023上?全國?八年級期末)【閱讀理解】

課外興趣小組活動時，老師提出了如下問題：

如圖1,△力8c中，若4B=8,AC=6,求BC邊上的中線力。的取值范圍.小明在組內(nèi)經(jīng)過合作交流，得到

了如下的解決方法：延長4D到點E,使=請根據(jù)小明的方法思考：

(1)由己知和作圖能得到A2DC=AEDB的理由是.

A.SSSB.SASC.AASD.HL

(2)求得力D的取值范圍是.

A.6<AD<8B.6<AD<8C.1<AD<7D.1<AD<7

【感悟】

解題時，條件中若出現(xiàn)"中點""中線"字樣，可以考慮延長中線構(gòu)造全等三角形，把分散的已知條件和所求證

的結(jié)論集合到同一個三角形中.

【問題解決】

(3)如圖2,4。是△ABC的中線，BE交AC于E,交4。于F,5.AE=EF.求證：AC=BF.

【變式11（2023上?全國?八年級期末）如圖，在△力BC中，點。是"的中點，分別以4B,BC為腰向AABC外

作等腰三角形28M和等腰三角形BCN,其中,AB=8M,BC=N,^ABM=120°,NNBC=60。,連接MN.

⑴請寫出8。與MN的數(shù)量關(guān)系，并說明理由.

（2）延長。8交MN于點R求乙MFB的度數(shù).

【變式2】（2023上,全國?八年級專題練習(xí)）如圖，在△4BC中，4D為BC邊上的中線，E為AC上的一點，BE交

AD于點孔已知AE=EF.求證：AC=BF.

【變式3］（2023上,山西長治?八年級校聯(lián)考期中）如圖，AD,4F分另I」是△ABC的中線和高，BE是△4BD的

角平分線

(1)若ABE。=60°,/.BAD=40°,求NBZF的度數(shù).

(2)若4B=8,4C=6,求中線2D長的取值范圍.

考點7：全等三角形的判定一一截長補短

典例7：(2023上?山西長治?八年級校聯(lián)考期中)綜合與探究

數(shù)學(xué)活動課上，同學(xué)們以對角互補的四邊形為活動主題，開展了如下探究.

(1)如圖L在四邊形ABCD中，AB=AD/B=m=90。,E,尸分別是邊BC,CD上的點，且NR4F=：/員4￡).請

探究線段EF,BE,FD之間的數(shù)量關(guān)系.下面是學(xué)習(xí)委員琳琳的解題過程，請將余下內(nèi)容補充完整.

解：延長直到G,使得=連接AG

AB=AD

在^ADF^^ABG=^ADF=90°

BG=DF

ABGADF{SAS),團AG=AF,^BAG=^DAF

國乙BAG+Z-BAE=Z-DAF+Z-BAE

G/IBEC

1

^\Z-EAF=-/.BAD,團乙G/E=/-EAF圖1

2

(2)班長李浩發(fā)現(xiàn)在如圖2所示的四邊形2BCD中，若4B=+=180。，E,尸分別是邊BC,CD上的

點，且2瓦49=3/艮4。，(1)中的結(jié)論仍然是成立的，請你寫出結(jié)論并說明理由.

⑶如圖3,在四邊形4BCD中，4B=AD/B+^ADC=180°,E,尸分別是邊BC,CD延長線上的點，且NE4F=

"BAD,請判斷線段EF,BE,FD之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由.

圖3

【變式1】（2023上,江西贛州,八年級統(tǒng)考期中）我們定義：如圖1,在四邊形ABCD中，如果乙4=a,zC=

180。-a,對角線8。平分NABC,我們稱這種四邊形為“分角對補四邊形

圖1圖2圖3

⑴特例感知：如圖1,在"分角對補四邊形"48CD中，當(dāng)a=90。時，根據(jù)教材中一個重要性質(zhì)直接可得ZM=

DC,這個性質(zhì)是；（填序號）

①垂線段最短：②垂直平分線的性質(zhì)；③角平分線的性質(zhì)；④三角形內(nèi)角和定理

（2）猜想論證：如圖2,當(dāng)a為任意角時，猜想與0c的數(shù)量關(guān)系，并給予證明；

⑶探究應(yīng)用：如圖3,在等腰△力BC中，^BAC=100°,BD平分乙4BC,

求證：BD+AD=BC.

【變式2】（2022上■四川綿陽?八年級校考期中）如圖，已知4c=60。，是A4BC的角平分線，且交

于點P-

⑴直接寫出NDPE=。；

（2）求證：PD=PE；

⑶探究力B、AD.BE的數(shù)量關(guān)系.

【變式3](2023?江蘇?八年級假期作業(yè))正三角形ABC中，E在上，尸在4c上，AEDF=60°,DB=

DC.^BDC=120°,請問現(xiàn)在EF、BE、CF又有什么數(shù)量關(guān)系？

D

考點8：全等三角形的判定一一作平行線

典例8：(2023上?安徽亳州?八年級統(tǒng)考期末)已知：如圖，點。是等邊△ABC的邊力C上一點，點E在邊力B的

延長線上，連接DE交CB于點?

⑴若點產(chǎn)是DE的中點，CD=3,貝UBE的長為

(2)若CD=BE,點/是否為DE的中點？如果是，請證明；如果不是，請說明理由.

【變式1](2023上?廣東珠海?八年級統(tǒng)考期末)在等邊△ABC中，點E為邊48上任意一點，點。在邊CB的延

長線上，且ED=EC.

(1)如圖1,若點E為力B的中點，求證：AE=DB；

(2)如圖2,若點E為4B上任意一點，求證：AE=DB.

【變式2】（2023上,全國?八年級專題練習(xí)）如圖，△ABC是等邊三角形，點。在線段AC上且不與點A、點

C重合，延長BC至點E使得CE=力。，連接OE.

⑴如圖①，若。為AC中點，求NE；

（2）如圖②，連接BD,求證：乙DBE=KE.

【變式3］（2024上?陜西延安?八年級統(tǒng)考期末）問題提出

（1）已知在等邊三角形4BC中，點E在4B上，點。在C8的延長線上，且￡D=EC.

①如圖1,當(dāng)E為A8的中點時，則4EDB.（填"或"="）

圖1

②如圖2,當(dāng)E為48邊上任意一點時，請判斷4E與DB之間的數(shù)量關(guān)系，并給予證明.

DBC

圖2

問題解決

（2）如圖3,現(xiàn)有一塊不規(guī)則圖形的鋼材，它是由一塊等邊A/IBC和一塊等腰AEDC焊接而成的（焊接過

程不考慮變形），設(shè)計要求等腰AEDC的頂點E剛好在線段4B的延長線上，若AB=2m,AE=3m,求CD的

長.

圖3

考點9：角平分線的性質(zhì)與判定

典例9：（2024上?安徽池州,八年級統(tǒng)考期末）如圖，OC平分AMON,P為。C上一點，PA1OM,PB1ON,

垂足分別為A,B,連接2B,4B與。P交于點E.

⑴求證：AOPAW4OPB；

(2)若4B=6,求4E的長.

【變式1］（2023上?山東煙臺?七年級統(tǒng)考期末）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線y=-［%+6與兩坐標(biāo)軸

分別交于點A,B.BC平分2。84交無軸于點C,過點C作CDLAB,垂足為D

⑴求點C的坐標(biāo)；

⑵求直線BC的表達(dá)式；

⑶若P是直線8C上一點，且滿足SAAOP=SMDP，求點尸的坐標(biāo).

【變式2】（2023下?全國?八年級假期作業(yè)）如圖，在0ABe中，0ABe的平分線與0ABe的外角0ACE的平分

線交于點尸，過點尸作尸ZMAC于點。，PHSBA,交BA的延長線于點打，連接AP.求證：AP平分SHAD.

【變式3］（2024上?安徽滁州?八年級統(tǒng)考期末）如圖，點C在線段BD上，分別以BC、CD為邊在BD的同一

側(cè)作等邊△力BC和等邊△ECD,BE與AD相交于點O,BE交4C于點M,AD交CE于點、N.

(1)求證：4BCEm4ACD；

(2)求AB。。的度數(shù)；

⑶連接。C.若/為AC的中點，0B=6,求C。的長.

考點10：全等三角形的性質(zhì)與判定

典例10：(2023上?全國?八年級課堂例題)如圖所示，△48。和A4E