第14講平面直角坐標(biāo)系與幾何圖形的綜合

【知識(shí)點(diǎn)睛】

?平面直角坐標(biāo)系知識(shí)網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)圖

第四章平面直角坐標(biāo)系知識(shí)網(wǎng)絡(luò)圖

i1y

問(wèn)題一：?jiǎn)栴}五：若也)、

A8B(x2,y2)

坐標(biāo)平面內(nèi)點(diǎn)的坐標(biāo)特征是什么？①AB的中點(diǎn)坐標(biāo)公式是什么？

②AB的兩點(diǎn)間距離公式是什么？

第二象限第一象限

()()

問(wèn)題二：0X

同一直線上各點(diǎn)的坐標(biāo)特點(diǎn)是什么？

問(wèn)題六：

確定一個(gè)點(diǎn)到X軸、y軸的距離的規(guī)律時(shí)什么？

第三象限第四象限

()()

問(wèn)題七：

問(wèn)題三：

坐標(biāo)平面內(nèi)不過(guò)則圖形面積的耒解方法是什么？

坐標(biāo)平面內(nèi)點(diǎn)的對(duì)稱規(guī)律是什么？

問(wèn)題四：?jiǎn)栴}八：

坐標(biāo)平面內(nèi)點(diǎn)與圖形平移的規(guī)律是什么？坐標(biāo)平面內(nèi)的規(guī)律題

各問(wèn)題歸納總結(jié)

若點(diǎn)4(匹，％)、B(xv乂)、。(。，b)

問(wèn)題一：若點(diǎn)P在x軸上，則b=0；若點(diǎn)P在y軸上，則a=0；

若點(diǎn)P在第一象限，則a>0,b>0；若點(diǎn)P在第二象限，則a<0,b>0；

若點(diǎn)P在第三象限，則a<0,b<0；若點(diǎn)P在第四象限，則a>0,b<0；

問(wèn)題二：若點(diǎn)A、B在同一水平線上，則%=乃；若點(diǎn)A、B在同一豎直線上，則X1=X2；

若點(diǎn)P在第一、三象限角平分線上，則。=A;若點(diǎn)P在第二四象限角平分線上，則。=-6;

問(wèn)題三：點(diǎn)尸(。，。關(guān)于x軸對(duì)稱的點(diǎn)Pi坐標(biāo)為雙m-。)；

點(diǎn)P(a，關(guān)于y軸對(duì)稱的點(diǎn)入坐標(biāo)為鳥(niǎo)(一小

點(diǎn)P(a，關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的點(diǎn)P3坐標(biāo)為舄(-。，-乃；

問(wèn)題四：點(diǎn)的平移口訣“左減右加，上加下減”;

問(wèn)題五：線段AB的中點(diǎn)公式:

I22y

若點(diǎn)A、B在同一水平線上，則AB=k-xJ；若點(diǎn)A、B在同一豎直線上，則AB=|M-%|；

若點(diǎn)A、B所在直線是傾斜的，則AB=A8=,(匹—/y+(%—%y(兩點(diǎn)間距離公式)

問(wèn)題六：點(diǎn)尸(。，。到x軸的距離=出|；點(diǎn)P(a,到y(tǒng)軸的距離=|a|；

問(wèn)題七：割補(bǔ)法，優(yōu)先分割，然后才是補(bǔ)全

問(wèn)題八：周期型：①判斷周期數(shù)(一般3到4個(gè))；

②總數(shù)+周期數(shù)=整周期……余數(shù)(余數(shù)是誰(shuí)就和每周期的第幾個(gè)規(guī)律一樣)

注意橫縱坐標(biāo)的規(guī)律可能不同。

【類題訓(xùn)練】

1.如圖，A(8,0),B(0,6),以點(diǎn)A為圓心，AC長(zhǎng)為半徑畫弧，交y軸正半軸于點(diǎn)2,

則點(diǎn)C的坐標(biāo)為()

A.(10,0)B.(0,10)C.(-2,0)D.(0,-2)

【分析】根據(jù)勾股定理求出根據(jù)坐標(biāo)與圖形性質(zhì)解答即可.

【解答】解：由題意得，。8=6,。4=8,

AB22

=7OB-K)A=1。，

貝I]AC=10,

OC=AC-04=2,

.?.點(diǎn)C坐標(biāo)為(-2,0),

故選：C.

2.在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A的坐標(biāo)為(-1,3),點(diǎn)B的坐標(biāo)為(5,3),則線段A2上

任意一點(diǎn)的坐標(biāo)可表示為(

A--------------------B

Ox

A.(3,x)(-1WXW5)B.(無(wú)，3)KW5)

C.(3,尤)(-5WxWl)D.(尤,3)(-5WxWl)

【分析】根據(jù)A、8兩點(diǎn)縱坐標(biāo)相等，可確定AB與x軸平行，即可求解.

【解答】解：：點(diǎn)A的坐標(biāo)為(-1,3),點(diǎn)2的坐標(biāo)為(5,3),A、8兩點(diǎn)縱坐標(biāo)都為

3,

軸，

線段A8上任意一點(diǎn)的坐標(biāo)可表示為(x,3)(-14W5),

故選：B.

3.如圖，在四邊形48。中，AD//BC//x^,下列說(shuō)法中正確的是()

A.點(diǎn)A與點(diǎn)。的縱坐標(biāo)相同B.點(diǎn)A與點(diǎn)B的橫坐標(biāo)相同

C.點(diǎn)A與點(diǎn)C的縱坐標(biāo)相同D.點(diǎn)8與點(diǎn)。的橫坐標(biāo)相同

【分析】根據(jù)與無(wú)軸平行的直線上點(diǎn)的坐標(biāo)特征計(jì)算判斷.

【解答】解：：平行四邊形ABC。中，AO〃BC〃x軸，

.?.點(diǎn)A與。的縱坐標(biāo)相同，點(diǎn)2與C的縱坐標(biāo)相同.

故選：A.

4.如圖，已知/4。2=30°，/AOC=60°,ZAOD=90°,120°,ZAOF=150°,

若點(diǎn)8可表示為點(diǎn)8(2,30),點(diǎn)C可表示為點(diǎn)C(l,60),點(diǎn)E可表示為點(diǎn)E(3,120),

點(diǎn)/可表示為點(diǎn)B(4,150),點(diǎn)8可表示為點(diǎn)2(2,30),則。點(diǎn)可表示為()

A.D(0,90)B.D(90,0)C.D(90,5)D.D(5,90)

【分析】根據(jù)題干得出規(guī)律，從而得出答案.

【解答】解：根據(jù)題意知：橫坐標(biāo)表示長(zhǎng)度，縱坐標(biāo)表示角度，從而得出。點(diǎn)可表示為

(5,90),

故選：D.

5.在平面直角坐標(biāo)系中，若A(機(jī)+3,機(jī)-1),B(1-m,3-m),且直線A8〃x軸，則加

的值是()

A.-1

【分析】根據(jù)平行于x軸的直線上的點(diǎn)的縱坐標(biāo)相等，建立方程求解即可求得答案.

【解答】解：：直線AB〃x軸，

.,.m-1=3-m,

解得：m—2,

故選：C.

6.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，半徑均為1個(gè)單位長(zhǎng)度的半圓組成一條平滑的曲線，點(diǎn)P

從原點(diǎn)。出發(fā)，沿這條曲線向右運(yùn)動(dòng)，速度為每秒三個(gè)單位長(zhǎng)度，則第2022秒時(shí)，點(diǎn)

P的坐標(biāo)是(

A.(2021,0)B.(2022,-1)C.(2021,-1)D.(2022,0)

【分析】利用坐標(biāo)與圖形的關(guān)系，結(jié)合路程問(wèn)題求解.

【解答】解：一個(gè)半圓的周長(zhǎng)是m速度是每秒2L,

所以走一個(gè)半圓需要2秒，2022秒正好可以走1011個(gè)半圓，

故選：D.

7.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A(1,1),B(3,1),C(3,3),D(1,3),動(dòng)點(diǎn)P

從點(diǎn)A出發(fā)，以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度的速度沿AB-CDA3-…路線運(yùn)動(dòng)，當(dāng)

運(yùn)動(dòng)到2022秒時(shí)，點(diǎn)P的坐標(biāo)為()

}'A

01234X

A.(1,1)B.(3,1)C.(3,3)D.(1,3)

【分析】利用路程找規(guī)律，看最后的路腳點(diǎn)，再求解.

【解答】解：由題意得：四邊形ABC。是正方形，且邊長(zhǎng)是2,

點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)一周需要8秒，

2022+8商252余6,結(jié)果到點(diǎn)。處，故坐標(biāo)為(1,3),

故選：D.

8.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，三角形ABC三個(gè)頂點(diǎn)A、B、C的坐標(biāo)A(0,4),B(-1,

b),C(2,c),BC經(jīng)過(guò)原點(diǎn)。，且垂足為點(diǎn)。，則4小。。的值為()

A.10B.11C.12D.14

【分析】可以聯(lián)想到AABC的面積公式，根據(jù)&ABO+SAACO=SAABC即可求解.

【解答】解：(0,4),

：.OA=4,

■:B(-1,b),C(2,c),

...點(diǎn)2,C到y(tǒng)軸的距離分別為1,2,

S/SABO+S^ACO—S^ABC,

.\AX4X1+AX4X2=AXAB?C￡>,

222

：.AB-CD=U,

故答案為：c.

9.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，A,B,C三點(diǎn)坐標(biāo)分別為(0,a),(0,3-a),(1,2),

且點(diǎn)A在點(diǎn)8的下方，連接AC,BC,若在AB,BC,AC若所圍成區(qū)域內(nèi)(含邊界),

橫坐標(biāo)和縱坐標(biāo)都為整數(shù)的點(diǎn)的個(gè)數(shù)為5個(gè)，那么。的取值范圍是()

A.-l<a<0B.-C.lWa<2D.0<aWl

【分析】根據(jù)題意得出除了點(diǎn)C外，其它三個(gè)橫縱坐標(biāo)為整數(shù)的點(diǎn)落在所圍區(qū)域的邊界

上，即線段48上，從而求出。的取值范圍.

【解答】解：：點(diǎn)A(0,a),點(diǎn)B(0,3-a),且A在2的下方,

.'.a<3-a,

解得：a<1.5,

若在AB,BC,AC所圍成區(qū)域內(nèi)(含邊界)，橫坐標(biāo)和縱坐標(biāo)都為整數(shù)的點(diǎn)的個(gè)數(shù)為5

個(gè)，

:點(diǎn)A,B,C的坐標(biāo)分別是(0,a),(0,3-a),(1,2),

...區(qū)域內(nèi)部(不含邊界)沒(méi)有橫縱坐標(biāo)都為整數(shù)的點(diǎn)，

???已知的5個(gè)橫縱坐標(biāo)都為整數(shù)的點(diǎn)都在區(qū)域的邊界上，

?.?點(diǎn)C(l,2)的橫縱坐標(biāo)都為整數(shù)且在區(qū)域的邊界上，

其他的4個(gè)都在線段AB上，

；.3W3-A<4.

解得：-1VaWO,

故選：A.

10.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，OABC是正方形，點(diǎn)A的坐標(biāo)是(4,0),點(diǎn)尸為邊A8

上一點(diǎn)，NCPB=60°,沿CP折疊正方形，折疊后，點(diǎn)B落在平面內(nèi)點(diǎn)3'處，則2,

A.(2,273)B.(旦，2-爪)C.(2,4-2V3)D.(旦，4-273)

22

【分析】過(guò)點(diǎn)"作B'DLOC,因?yàn)?CPB=60°,CB'=OC=OA=4,所以NB'

CD=30°,B'D=2,根據(jù)勾股定理得DC=2?,故。￡)=4-2愿，即2'點(diǎn)的坐標(biāo)

為(2,4-273).

【解答】解：過(guò)點(diǎn)/作皮DLOC

VZCPB=60°,CB'=OC=OA=4

：.ZB'CD=30°,B'D=2

根據(jù)勾股定理得DC=243

.??。。=4-2百，即8'點(diǎn)的坐標(biāo)為(2,4-25/3)

11.如圖，在無(wú)軸，y軸上分別截取OA,OB,使。4=。2,再分別以點(diǎn)A,B為圓心，以

大于-LAB長(zhǎng)為半徑畫弧,兩弧交于點(diǎn)P.若點(diǎn)P的坐標(biāo)為(a,2a-3),則a的值為.

2

【分析】根據(jù)作圖方法可知點(diǎn)P在/8。4的角平分線上，由角平分線的性質(zhì)可知點(diǎn)P到

x軸和y軸的距離相等，可得關(guān)于。的方程，求解即可.

【解答】解：：。4=。2,分別以點(diǎn)42為圓心，以大于山8長(zhǎng)為半徑畫弧，兩弧交

2

于點(diǎn)P,

點(diǎn)尸在NBOA的角平分線上，

.?.點(diǎn)P至1Jx軸和y軸的距離相等，

又丫點(diǎn)尸的坐標(biāo)為(a,2a-3),

??ct~~2a-3,

故答案為：3.

12.如圖，△ABC中，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（0,1）,點(diǎn)C的坐標(biāo)為（4,3）,如果要使與

AABC全等，那么點(diǎn)。的坐標(biāo)是.

【分析】因?yàn)榕c△ABC有一條公共邊AB,故本題應(yīng)從點(diǎn)。在A3的上邊、點(diǎn)D

在AB的下邊兩種情況入手進(jìn)行討論，計(jì)算即可得出答案.

【解答】解：△42。與△ABC有一條公共邊

當(dāng)點(diǎn)。在A8的下邊時(shí)，點(diǎn)。有兩種情況：①坐標(biāo)是（4,-1）；②坐標(biāo)為（-1,-1）；

當(dāng)點(diǎn)。在A2的上邊時(shí)，坐標(biāo)為（-1,3）；

點(diǎn)D的坐標(biāo)是（4,-1）或（-1,3）或（-1,-1）.

13.教材上曾讓同學(xué)們探索過(guò)線段的中點(diǎn)坐標(biāo)：在平面直角坐標(biāo)系中，有兩點(diǎn)A（xi,戶）、

B（X2,y2）,所連線段AB的中點(diǎn)是M,則M的坐標(biāo)為（力學(xué)）,如：點(diǎn)A

22

（1,2）、點(diǎn)8（3,6）,則線段AB的中點(diǎn)M的坐標(biāo)為（工之，2t2）,即M（2,4）.利

22

用以上結(jié)論解決問(wèn)題：平面直角坐標(biāo)系中，若EQ-l,a）,F（b,a-b）,線段EF的

中點(diǎn)G恰好位于y軸上，且到無(wú)軸的距離是1,則4a+b的值等于.

【分析】根據(jù)中點(diǎn)坐標(biāo)公式求出點(diǎn)G的坐標(biāo)，根據(jù)線段所的中點(diǎn)G恰好位于y軸上，

且到x軸的距離是1,得到點(diǎn)G的橫坐標(biāo)等于0,縱坐標(biāo)的絕對(duì)值為1,列出方程組求解

即可.

【解答】解：根據(jù)題意得：G之，史三處），

22

?.?線段的中點(diǎn)G恰好位于y軸上，且到x軸的距離是1,

I—a+a^-—b?1=1

解得：4a+6=4或0.

故答案為：4或0.

14.在平面直角坐標(biāo)系xOy中，對(duì)于任意兩點(diǎn)Pi（xi,yi）與尸2（%2,再）的“非常距離”

給出如下定義：若僅1-%2|冽”-泗,則點(diǎn)P1與點(diǎn)P2的''非常距離”為優(yōu)1-X2卜若|尤1-

X2|<|yi-y2|,則點(diǎn)Pi與點(diǎn)P2的“非常距離”為皿-”|,例如：點(diǎn)Pi（1,2）,點(diǎn)P2（3,

5）,因?yàn)閨1-3|<|2-5|,所以點(diǎn)P與點(diǎn)P2的“非常距離''為|2-5|=3,也就是圖中線段

P1Q與線段P2Q長(zhǎng)度的較大值（點(diǎn)Q為垂直于y軸的直線P1Q與垂直于x軸的直線P1Q

的交點(diǎn)）.已知點(diǎn)A（1，0），8為y軸上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn).

（1）若點(diǎn)A與點(diǎn)2的“非常距離”為2,寫出一個(gè)滿足條件的點(diǎn)B的坐標(biāo)；

（2）直接寫出點(diǎn)A與點(diǎn)2的“非常距離”的最小值.

y

2I—Q

I

op_

【分析】（1）根據(jù)點(diǎn)B位于y軸上，可以設(shè)點(diǎn)B的坐標(biāo)為（0,y）.由“非常距離”的定

義可以確定|0-y|=2,據(jù)此可以求得y的值；

（2）設(shè)點(diǎn)B的坐標(biāo)為（0,y）.因?yàn)閨-工-0|郅0-y|,所以點(diǎn)A與點(diǎn)8的“非常距離”

2

最小值為I-工-0|=上.

22

【解答】解：（1）;B為y軸上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，

設(shè)點(diǎn)8的坐標(biāo)為（0,y）.

?：\-l-0|=A^4,

22

.".|0-y|=2,

解得y=2或>=-2；

.,.點(diǎn)2的坐標(biāo)是（0,2）或（0,-2）；

故答案為：（0,2）或（0,-2）；

(2)V|-A-O|^|O-y|,

2

...點(diǎn)A與點(diǎn)3的“非常距離”最小值為|-1-0|=1；

22

點(diǎn)A與點(diǎn)2的“非常距離”的最小值為工.

2

故答案為：1.

2

15.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知三點(diǎn)的坐標(biāo)分別為A(0,4),B(2,0),C(2,5),

連接AB,AC,BC.

(1)求AC,A8的長(zhǎng)；

(2)/CAB是直角嗎？請(qǐng)說(shuō)明理由.

0|BX

【分析】(1)過(guò)點(diǎn)A作于點(diǎn)〃，再利用勾股定理求解即可；

(2)利用勾股定理的逆定理即可得出結(jié)論.

【解答】解：(1)如圖，

VA(0,4),B(2,0),C(2,5),

???OA=4,OB=2,BC=5,

過(guò)點(diǎn)A作AH,3c于點(diǎn)H,

：.BH=OA=4,AH=OB=2,

：.CH=BC-BH=5-4=1,

在中，

AS=VOA240B2=742+22=2V5'

在RtzXA。？中,

AC=VCH2+AH2=Vl2+22=V5；

(2)/CAB是直角，理由：

由(1)得，AC=娓,AB=2爬,BC=5,

7(V5)2+(2V5)2=52>

:.AC1+AB2^BC2,

：.ZCAB是直角.

16.對(duì)于某些三角形或四邊形，我們可以直接用面積公式或者用割補(bǔ)法來(lái)求它們的面積.下

面我們?cè)傺芯恳环N求某些三角形或四邊形面積的新方法：

如圖1,2所示，分別過(guò)三角形或四邊形的頂點(diǎn)A,C作水平線的鉛垂線/1,12,h,/2之

間的距離d叫做水平寬；如圖1所示，過(guò)點(diǎn)B作水平線的鉛垂線交AC于點(diǎn)D,稱線段

BD的長(zhǎng)叫做這個(gè)三角形的鉛垂高；如圖2所示，分別過(guò)四邊形的頂點(diǎn)B,D作水平線13,

U,13,/4之間的距離叫做四邊形的鉛垂高.

【結(jié)論提煉】

容易證明：”三角形的面積等于水平寬與鉛垂高乘積的一半"，即“s=Lh”

2

【結(jié)論應(yīng)用】

為了便于計(jì)算水平寬和鉛垂高，我們不妨借助平面直角坐標(biāo)系.

已知：如圖3,點(diǎn)A(-5,2),B(5,0),C(0,5),則△ABC的水平寬為10,鉛垂

高為，所以△ABC面積的大小為

圖3圖4

【再探新知】

三角形的面積可以用“水平寬與鉛垂高乘積的一半”來(lái)求，那四邊形的面積是不是也可

以這樣求呢？帶著這個(gè)問(wèn)題，我們進(jìn)行如下探索：

(1)在圖4所示的平面直角坐標(biāo)系中，取A(-4,2),B(1,5),C(4,1),D(-2,

-4)四個(gè)點(diǎn)，得至U四邊形A8CO.運(yùn)用“水平寬與鉛垂高乘積的一半”進(jìn)行計(jì)算得到四

邊形A3C。面積的大小是；用其它的方法進(jìn)行計(jì)算得到其面積的大小是,

由此發(fā)現(xiàn)：用“S=Lh”這一方法對(duì)求圖4中四邊形的面積.(填“適合”或“不

2

適合”)

(2)在圖5所示的平面直角坐標(biāo)系中，取A(-5,2),B(1,5),C(4,2),。2,

-3)四個(gè)點(diǎn)，得到了四邊形A2CD運(yùn)用“水平寬與鉛垂高乘積的一半”進(jìn)行計(jì)算得到

四邊形A8CZ)面積的大小是，用其它的方法進(jìn)行計(jì)算得到面積的大小是,

由此發(fā)現(xiàn)：用“S=Lh”這一方法對(duì)求圖5中四邊形的面積.(“適合”或“不

2

圖5圖6

(3)在圖6所示的平面直角坐標(biāo)系中，取A(-4,2),B(1,5),C(5,1),D(-1,

-5)四個(gè)點(diǎn)，得到了四邊形ABCD.通過(guò)計(jì)算發(fā)現(xiàn)：用“S=Ldh”這一方法對(duì)求圖6

2

中四邊形的面積.(填“適合”或“不適合”)

【歸納總結(jié)】我們經(jīng)歷上面的探索過(guò)程，通過(guò)猜想、歸納，驗(yàn)證，便可得到：當(dāng)四邊形

滿足某些條件時(shí)，可以用“s=Lh”來(lái)求面積.那么，可以用“s=Lh”來(lái)求面積的

22

四邊形應(yīng)滿足的條件是：.

【分析】【結(jié)論應(yīng)用】直接代入公式即可；

【再探新知】(1)求出水平寬，鉛垂高，代入公式求出面積，再利用矩形面積減去周圍

四個(gè)三角形面積可得答案；

(2)(3)與(1)同理；

【歸納總結(jié)】當(dāng)四邊形滿足一條對(duì)角線等于水平寬或鉛垂高時(shí)，四邊形可以用"S=L"'

2

來(lái)求面積.

=20

【解答】解：【結(jié)論應(yīng)用】由圖形知，鉛垂高為4,SAABC=1X1QX4)

故答案為：4,20；

【再探新知】

(1):四邊形A8CO的水平寬為8,鉛垂高為9,

；?運(yùn)用“水平寬與鉛垂高乘積的一半”進(jìn)行計(jì)算得到四邊形ABC。面積的大小為36,

利用四邊形ABCD所在的矩形面積減去周圍四個(gè)三角形面積為8X9-

1111,

yX2X6-yX3X5-yX6X5-yX3X4-37.5,

.?.用“S=Lh”這一方法對(duì)求圖4中四邊形的面積不合適，

2

故答案為：36,37.5,不合適；

(2):四邊形A2CO的水平寬為9,鉛垂高為8,

.??運(yùn)用“水平寬與鉛垂高乘積的一半”進(jìn)行計(jì)算得到四邊形ABCD面積的大小為36,

利用四邊形ABCD所在的矩形面積減去周圍四個(gè)三角形面積為8X9-

yX3X5-yX6X5-yX3X6-yX3X3=36-

.?.用“S=Lh”這一方法對(duì)求圖4中四邊形的面積，合適，

2

故答案為：36,36,合適；

(3).四邊形ABC。的水平寬為9,鉛垂高為10,

；?運(yùn)用“水平寬與鉛垂高乘積的一半”進(jìn)行計(jì)算得到四邊形ABC。面積的大小為45,

利用四邊形ABCD所在的矩形面積減去周圍四個(gè)三角形面積為10X9-

yX5X7-yX4X6-yX5X3-yX4X4=45，

.?.用“S=Lh”這一方法對(duì)求圖4中四邊形的面積，合適，

2

故答案為：合適；

【歸納總結(jié)】當(dāng)四邊形滿足一條對(duì)角線等于水平寬或鉛垂高時(shí)，四邊形可以用

2

來(lái)求面積，

17.如圖所示，在平面直角坐標(biāo)系中，P(2,2),

(1)點(diǎn)A在x的正半軸運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)8在y的正半軸上，且抬=尸8,

①求證：PALPB-,

②求OA+OB的值；

(2)點(diǎn)A在x的正半軸運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)B在y的負(fù)半軸上，且必=尸2,

③求OA-OB的值；

④點(diǎn)A的坐標(biāo)為(8,0),求點(diǎn)8的坐標(biāo).

【分析】(1)①過(guò)點(diǎn)P作軸于E,作PFLy軸于R根據(jù)點(diǎn)P的坐標(biāo)可得PE=

PF=2,然后利用“乩”證明RtZVIPE和RtABPF全等，根據(jù)全等三角形對(duì)應(yīng)角相等可

得/APE=/BPF,然后求出/AP8=/EPP=90°,再根據(jù)垂直的定義證明；

②根據(jù)全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等可得再表示出。4、0B,然后列出方程整理即可

得解；

(2)③根據(jù)全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等可得AE=BF,再表示出PE、PF,然后列出方程整

理即可得解；

④求出AK的長(zhǎng)度，再根據(jù)全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等可得然后求出08,再寫出

點(diǎn)B的坐標(biāo)即可.

【解答】(1)①證明：如圖1,過(guò)點(diǎn)尸作PELx軸于E,作尸尸，》軸于尸，

'：P(2,2),

：.PE=PF=2,

在RtAAPE和RtABPF中，

[PA=PB,

1PE=PF'

：.Rt/\APE^Rt/\BPF(HL),

：./APE=NBPF,

：.ZAPB=ZAPE+ZBPE=ZBPF+ZBPE=ZEPF=9Q°,

：.PA.LPB；

②解：RtAAP￡^RtABPF,

：.BF=AE,

'：OA^OE+AE,OB=OF-BF,

：.OA+OB=OE+AE+OF-BF=OE+OF=2+2=4；

(2)解：③如圖2,VRtAAPE^RtABPF,

：.AE=BF,

'：AE=OA-OE=OA-2,BF=OB+OF=OB+2,

：.OA-2=08+2,

：.0A-0B=4；

◎:PE=PF=2,軸于E,作尸;LLy軸于凡

???四邊形0"方是正方形，

JOE=OF=2,

VA(8,0),

???OA=8,

?\AE=OA-OE=S-2=6,

VRtAAPE^RtABPF,

.a.AE=BF=6,

：.OB=BF-OF=6-2=4,

.,.點(diǎn)2的坐標(biāo)為(0,-4).

18.如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點(diǎn)8(1,0),點(diǎn)C(5,0),以BC為邊在x軸的上

方作正方形A8CD點(diǎn)V(-5,0),N(0,5).

(1)點(diǎn)A的坐標(biāo)為；點(diǎn)D的坐標(biāo)為；

(2)將正方形ABC。向左平移相個(gè)單位，得到正方形A8CO,記正方形48。。與4

0MN重疊的區(qū)域(不含邊界)為W：

①當(dāng)機(jī)=3時(shí)，區(qū)域內(nèi)整點(diǎn)(橫，縱坐標(biāo)都是整數(shù))的個(gè)數(shù)為；

②若區(qū)域W內(nèi)恰好有3個(gè)整點(diǎn)，請(qǐng)直接寫出m的取值范圍.

【分析】(1)先求出正方形的邊長(zhǎng)為8c=4,再求點(diǎn)的坐標(biāo)即可；

(2)①畫出正方形A8CO,結(jié)合圖形求解即可；

②在△OMN中共有6個(gè)整數(shù)點(diǎn)，在平移正方形找到恰好有3個(gè)整數(shù)解的情況即

可.

【解答】解：(1)；點(diǎn)、8(1,0),點(diǎn)C(5,0),

：.BC=4,

:四邊形ABCD是正方形，

AA(1,4),D(5,4),

故答案為：(1,4),(5,4)；

(2)①如圖:共有3個(gè),

故答案為：3；

②在△OMN中共有6個(gè)整數(shù)點(diǎn)，分別是(-1,1),(-1,2),(-1,3),(-2,1),(-

2,2),(-3,1),

,/區(qū)域W內(nèi)恰好有3個(gè)整點(diǎn),

；.2<mW3或6WwV7.

19.類比學(xué)習(xí)是知識(shí)內(nèi)化的有效途徑，認(rèn)真讀題是正確審題的第一步：對(duì)于平面直角坐標(biāo)系

xOy中的點(diǎn)尸(a,b),若點(diǎn)尸的坐標(biāo)為(a+kb,b^)(其中左為常數(shù)，且左W0),則

k

稱點(diǎn)P為點(diǎn)尸的“左系好友點(diǎn)”；例如：尸(1,2)的“3系好友點(diǎn)”為p，(1+3X2,2片)

即I(7,J).

請(qǐng)完成下列各題.

(1)點(diǎn)P(-3,1)的“2系好友點(diǎn)”P的坐標(biāo)為.

(2)若點(diǎn)P在y軸的正半軸上，點(diǎn)尸的“k系好友點(diǎn)”為P點(diǎn),若在三角形OPP中，

pp'=3。尸，求人的值.

(3)已知點(diǎn)A(x,y)在第四象限，且滿足xy=-8；點(diǎn)A是點(diǎn)B(m,")的"-2系

好友點(diǎn)”,求m-2〃的值.

【分析】(1)根據(jù)“人系好友點(diǎn)”的定義列式計(jì)算求解；

(2)設(shè)尸(0,f)(f>0),根據(jù)定義得點(diǎn)P(kt,t),貝I]PP=|Q|=3OP=3f,即可求

解；

(3)點(diǎn)A是點(diǎn)BCm,n)的“-2系好有點(diǎn)“，可得點(diǎn)A(m-2n,n-典)，由xy=-8

2

得到(m-2w)2=16,即可求解.

【解答】解：(1)點(diǎn)尸(-3,1),根據(jù)'次系好友點(diǎn)”的求法可知，k=2,

V-3+2X1=-1,1+^3=-A,

22

：.P'的坐標(biāo)為(-1,-1),

2

故答案為(-1,-1)；

2

(2)設(shè)尸(0,f)其中f>0,根據(jù)“人系好友點(diǎn)”的求法可知，P'(kt,t),

軸，

：.PP'=\kt\,

又；0尸=3PP=3OP,

?二|初=3K

.?.%=±3；

(3)VB(m,n)的-3系好有點(diǎn)A為(m-2n,n-A),

2

?.x=m-In,y—n--,