題型二反比例函數(shù)的圖象及性質(zhì)

【要點(diǎn)提煉】

一、【反比例函數(shù)的概念】

一般地，函數(shù)y=±（k是常數(shù)，kwo）叫做反比例函數(shù)。反比例函數(shù)的解析式也可以寫(xiě)成

X

了=心3的形式。自變量x的取值范圍是xwo的一切實(shí)數(shù)，函數(shù)的取值范圍也是一切非零實(shí)數(shù)。

二、【反比例函數(shù)的圖象】

反比例函數(shù)的圖象是雙曲線，它有兩個(gè)分支，這兩個(gè)分支分別位于第一、三象限，或第二、四

象限，它們關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱。由于反比例函數(shù)中自變量XW0,函數(shù)yWO,所以，它的圖象與x軸、y

軸都沒(méi)有交點(diǎn)，即雙曲線的兩個(gè)分支無(wú)限接近坐標(biāo)軸，但永遠(yuǎn)達(dá)不到坐標(biāo)軸。

三、【反比例函數(shù)k的幾何意義】

下列圖形中反比例函數(shù)表達(dá)式為y=勺，其中涉及兩個(gè)反比例函數(shù)的，較大的k用人大表示，較

=§2

^kABO=S梯ADCB

差量圖形

y1Vt\\'eg

位0\X

nD1

北大-勺、

S二&_k大-k小s=k大-k小

kJ

2

綜合圖形

4

>0

oojAX01C

$陰=s矩-悶5=綱S=k大-k小

四、【反比例函數(shù)的性質(zhì)】

反比例

函數(shù)

k的符號(hào)k>0

①x的取值范圍是xWO,①x的取值范圍是XWO,

v的取值范圍是ywo；v的取值范圍是ywo；

性質(zhì)②當(dāng)k>o時(shí)，函數(shù)圖象的兩個(gè)分支分別②當(dāng)k<o時(shí)，函數(shù)圖象的兩個(gè)分支分別

在第一、三象限。在每個(gè)象限內(nèi)，y在第二、四象限。在每個(gè)象限內(nèi)，y

隨x的增大而減小。隨x的增大而增大。

【專題訓(xùn)練】

選擇題(共10小題)

1.(2020?蘭州)已知點(diǎn)A(xi,yi),B(垃，")在反比例函數(shù)y=—三的圖象上，若"<打<0，則

下列結(jié)論正確的是()

A.Xl<X2<0B.X2<Xl<0C.0<Xl<X2D.0<X2<Xl

【解答】解：

...圖象位于第二、四象限，在每一個(gè)象限內(nèi)，y隨x的增大而增大，

又：yi<y2<0，

；?圖象在第四象限，

.'.0<%1<%2>

故選：C.

2.(2020?阜新)若A(2,4)與8(-2,a)都是反比例函數(shù)丁=右(^0)圖象上的點(diǎn)，則。的值

是()

A.4B.-4C.2D.-2

【答案】B

【解析】解：:A(2,4)與5(-2,a)都是反比例函數(shù)y=((ZW0)圖象上的點(diǎn)，

?,?%=2義4=-2a,

-4,

故選：B.

7

3.(2020?寧夏)如圖，函數(shù)”=尤+1與函數(shù)”=亍的圖象相交于點(diǎn)M(1,/Ji),N(-2,n).若yi

>72,則X的取值范圍是()

A.工＜-2或0＜%＜1B.%＜-2或彳＞1

C.-2＜尤＜0或0＜尤＜1D.-2＜尤＜0或無(wú)＞1

【答案】D

【解析】解：由一次函數(shù)和反比例函數(shù)的圖象可知，當(dāng)一次函數(shù)圖象在反比例函數(shù)圖象之上時(shí),

所對(duì)應(yīng)的龍的取值范圍為-2Vx<0或x>1,

4.(2020?濰坊)如圖，函數(shù)y=fcv+6(kWO)與y=?(m#0)的圖象相交于點(diǎn)A(-2,3),B(1,

-6)兩點(diǎn)，則不等式依+。>千的解集為(

B.-2<x<0或x>l

C.尤>1D.x<-2或0<尤<1

【答案】D

【解析】解::函數(shù)尸fcv+b(6#0)與丫=?(爪。0)的圖象相交于點(diǎn)A(-2,3),B(1,-6)

兩點(diǎn),

?二不等式"+的解集為：元<-2或0?1,

故選：D.

5.(2020?徐州)如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，函數(shù)y=](x>0)與y=x-1的圖象交于點(diǎn)尸Q,6),

11

則代數(shù)式——工的值為()

ab

y

ii1

A.-4B.-C.—D.-

224

【答案】c

【解析】解:

法一：由題意得,

-_4

y=x,解得,

y=x—1

1+717V17-1

???點(diǎn)P(---------,-----------)

22

即：北尹,V17-1

b=

-2-

.11221

9ab~1+V17-V17-14

法二：由題意得,

函數(shù)（x>0）與y=x-1的圖象交于點(diǎn)P（a,b）,

??ab=4,b〃-1,

.11b—a1

*abab4

故選：C.

6.（2020?山西）已知點(diǎn)A（處，yi）,B（孫”），C（孫”）都在反比例函數(shù)y=（k<0）的圖

象上，且XlVx2Vo<13，則yi，>2，》3的大小關(guān)系是（）

A.y2>yi>y?,B.y?,>y2>yiC.yi>y2>y?,D.y?,>yi>y2

【答案】A

【解析】解：：反比例函數(shù)y=9（左<0）的圖象分布在第二、四象限，

在每一象限y隨x的增大而增大,

而Xl<X2<0<X3,

Ay3<0<yi<y2.

即yi>y\>yi.

故選：A.

417

7.（2020?濱州）如圖，點(diǎn)A在雙曲線y=3上，點(diǎn)8在雙曲線>=?上，且&8〃彳軸，點(diǎn)C、。在x

軸上，若四邊形ABC。為矩形，則它的面積為（）

A.4B.6C.8D.12

【答案】C

【解析】解：延長(zhǎng)R4交y軸于E,則軸，

:點(diǎn)A在雙曲線上，

四邊形AEO。的面積為4,

17

?.,點(diǎn)8在雙曲線線產(chǎn)莖上，且A3〃x軸，

四邊形BEOC的面積為12,

矩形ABCO的面積為12-4=8.

8.（2020?重慶）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，矩形ABCO的對(duì)角線AC的中點(diǎn)與坐標(biāo)原點(diǎn)重合，點(diǎn)

E是x軸上一點(diǎn)，連接AE.若AO平分/OAE,反比例函數(shù)y=[*>0,x>0）的圖象經(jīng)過(guò)AE

上的兩點(diǎn)A,F,且AF=EF,ZkABE的面積為18,則%的值為（

A.6B.12C.18D.24

【答案】B

【解析】解：如圖，連接BD,OF,過(guò)點(diǎn)A作ANLOE于N,過(guò)點(diǎn)尸作于M.

：.MN=ME,

:.FM=^AN,

VA,歹在反比例函數(shù)的圖象上,

k

S^AON=S^FOM=29

1i

：.—ON*AN=*OM?FM,

22

.??ON=

：?ON=MN=EM,

1

：.ME=!(?E,

?o1。

??3AFME=W3△尸。E，

,：AD平分NOAE,

：.ZOAD=ZEAD,

?四邊形A3CO是矩形,

.OA=OD,

：.ZOAD=ZODA=/DAE,

：.AE//BD,

??S/\ABE=S/^AOEf

??S/\AOE=18，

VAF=EF,

.1_

??S^EOF=)SAAOE=9，

.1_

??SAFME=3,

k

-

:?S/\FOM=S^FOE-SAFME=9-2

???左=12.

故選：B.

9.（2020?黔東南州）如圖，點(diǎn)A是反比例函數(shù)（x>0）上的一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)A作軸，垂足

為點(diǎn)C,AC交反比例函數(shù)y=3的圖象于點(diǎn)B,點(diǎn)尸是X軸上的動(dòng)點(diǎn)，則△抬8的面積為（）

A.2B.4C.6D.8

【答案】A

【解析】解：如圖，連接。4、OB、PC.

：AC_Ly軸，

*'?5△APC—SAAOC=3X|6|=3,S^BPC=S^BOC=1x|2|=l,

?^S^R\B=S^APC-S/\BPC=2.

故選：A,

,在菱形ABOC中，AB=2,ZA=60°,菱形的一個(gè)頂點(diǎn)C在反比例函

)

D.y=—

yX

【答案】B

【解析】解：：在菱形A80C中，ZA=60°,菱形邊長(zhǎng)為2,

；.0C=2,ZCOB=60°,

過(guò)C作CELOB于E,

則NOCE=30°,

1

：.OE=^OC=1,C￡=V3,

.?.點(diǎn)C的坐標(biāo)為（-1,V3）,

k

?.?頂點(diǎn)C在反比例函數(shù)L的圖象上,

V3-得上一百,

一1

即尸

二.填空題（共5小題）

11.（2020?大連）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，正方形ABCD的頂點(diǎn)A與。在函數(shù)（尤>0）的

圖象上，軸，垂足為C,點(diǎn)2的坐標(biāo)為（0,2）,則左的值為8.

【答案】8

【解析】解：連接80,與AC交于點(diǎn)0'

:四邊形ABC。是正方形，4CJ_尤軸，

：.BD所在對(duì)角線平行于x軸，

VB（0,2）,

：.O'C=2=BO'=AO'=DO',

.?.點(diǎn)A的坐標(biāo)為（2,4）,

"=2X4=8,

故答案為：8.

12.（2020?宿遷）如圖，點(diǎn)A在反比例函數(shù)（x>0）的圖象上，點(diǎn)3在x軸負(fù)半軸上，直線

AC1

AB交y軸于點(diǎn)C,若荔=1△AOB的面積為6,則4的值為6.

BC2

【答案】6

【解析】解：過(guò)點(diǎn)A作軸于￡>,則△ADCS/^BOC,

"OC~BC~2

24c1

—=一，△AO3的面積為6,

BC2

.1

?°S〉A(chǔ)OC=3=2，

._1_

??S^ACD~2S^AOC~1，

???△AO0的面積=3,

根據(jù)反比例函數(shù)上的幾何意義得，||/c|=3,

???因=6,

9：k>0,

:?k=6?

故答案為：6.

13.（2020?株洲）如圖所示，在平面直角坐標(biāo)系尤Oy中，四邊形OABC為矩形，點(diǎn)A、C分別在x

軸、y軸上，點(diǎn)2在函數(shù)與=［（x>0,左為常數(shù)且左>2）的圖象上，邊AB與函數(shù)（尤>0）

的圖象交于點(diǎn)。，則陰影部分ODBC的面積為一.（結(jié)果用含上的式子表示）

【解析】解：???。是反比例函數(shù)丫2=［（%＞。）圖象上一點(diǎn)

1

???根據(jù)反比例函數(shù)%的幾何意義可知：△AOD的面積為5X2=1.

?.?點(diǎn)2在函數(shù)%=［（比＞0,左為常數(shù)且左＞2）的圖象上，四邊形OA3c為矩形，

...根據(jù)反比例函數(shù)k的幾何意義可知：矩形ABCO的面積為k.

陰影部分ODBC的面積=矩形ABCO的面積-△40。的面積=k-1.

故答案為：k-1.

14.（2020?遼陽(yáng)）如圖，在△ABC中，A3=A。，點(diǎn)A在反比例函數(shù)產(chǎn)/（女〉0,x＞0）的圖象上，

點(diǎn)、B,C在x軸上，OC=豺,延長(zhǎng)AC交y軸于點(diǎn)。，連接3D,若△BCD的面積等于1,則左

的值為3.

【答案】3

【解析】解：作于E,連接04,

*：AB=AC,

：.CE=BE,

1

?.?OC=虧08,

1

???OC=今CE,

*：AE//OD,

：.ACOD^/\CEA,

SbCEA=(C_E)°2=4,

S^CODOC

1

??,ABCD的面積等于1,OC=考OB,

?11

??SACOD=4s△BCO=4,

.1

??SZ\CE4=4X4=1,

OC=^CE,

?11

??S叢AOC=2sACEA=2，

S^AOE=I+1=I，

,**S/^AOE=2^(%>0)，

??k='3,

故答案為3.

15.（2020?齊齊哈爾）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，矩形A5CD的邊A5在y軸上，點(diǎn)C坐標(biāo)為（2,

-2）,并且AO：80=1：2,點(diǎn)。在函數(shù)y=g（尤＞0）的圖象上，則:的值為2.

【答案】2

【解析】解：如圖，???點(diǎn)C坐標(biāo)為（2,-2）,

:?矩形OBCE的面積=2義2=4,

VAO：BO=1：2,

；?矩形AOE。的面積=2,

:點(diǎn)。在函數(shù)y=?（尤>0）的圖象上,

：.k=2,

三.解答題（共6小題）

16.（2020?濟(jì)南）如圖，矩形OABC的頂點(diǎn)A,C分別落在x軸，y軸的正半軸上，頂點(diǎn)8（2,2百），

反比例函數(shù)（x>0）的圖象與BC,AB分別交于。，E,BD=

（1）求反比例函數(shù)關(guān)系式和點(diǎn)E的坐標(biāo)；

（2）寫(xiě)出DE與AC的位置關(guān)系并說(shuō)明理由；

（3）點(diǎn)尸在直線AC上，點(diǎn)G是坐標(biāo)系內(nèi)點(diǎn)，當(dāng)四邊形8CFG為菱形時(shí)，求出點(diǎn)G的坐標(biāo)并判

斷點(diǎn)G是否在反比例函數(shù)圖象上.

【解析】解：(1)"B(2,2V3),則BC=2,

1

而B(niǎo)D=

1Q3L

ACD=2-4=5，故點(diǎn)。(一，2V3),

222

k

--

將點(diǎn)。的坐標(biāo)代入反比例函數(shù)表達(dá)式得：2V33解得

-k=3\3f

2

故反比例函數(shù)表達(dá)式為y=竽，

當(dāng)％=2時(shí)，y=故點(diǎn)E(2,--)；

22

,入3=-3.3-「

(2)由(1)知，D(-,2V3),點(diǎn)E(2,—),點(diǎn)、B(2,2V3),

22

則8￡>=看BE=吟,

1V3

BD21EB-y1BD

寺BC-2-4'AB~2V3-4-BC'

：.DE//AC；

(3)①當(dāng)點(diǎn)尸在點(diǎn)C的下方時(shí)，

當(dāng)點(diǎn)G在點(diǎn)尸的右方時(shí)，如下圖,

過(guò)點(diǎn)尸作尸軸于點(diǎn)X,

,/四邊形BCFG為菱形，則BC=CF=FG=BG=2,

在RtZ\OAC中，0A=BC=2,OC=AB=2y/3,

則tan/OCA=—母＞故NOCA=30°,

則FH=|FC=1,CH=CF-cosZ0CA=2x*=百，

故點(diǎn)尸(1,V3),則點(diǎn)G(3,V3),

當(dāng)x=3時(shí)，y=￥=B,故點(diǎn)G在反比例函數(shù)圖象上;

②當(dāng)點(diǎn)/在點(diǎn)C的上方時(shí)，

同理可得，點(diǎn)G（1,3V3）,

同理可得，點(diǎn)G在反比例函數(shù)圖象上；

綜上，點(diǎn)G的坐標(biāo)為（3,V3）或（1,3V3）都在反比例函數(shù)圖象上.

17.（2020?盤錦）如圖，4、3兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為（-2,0）,（0,3）,將線段繞點(diǎn)2逆時(shí)針旋

轉(zhuǎn)90。得到線段BC,過(guò)點(diǎn)c作era。？，垂足為D,反比例函數(shù)＞=（的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)C.

（1）直接寫(xiě)出點(diǎn)C的坐標(biāo)，并求反比例函數(shù)的解析式；

（2）點(diǎn)P在反比例函數(shù)的圖象上，當(dāng)△PC。的面積為3時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo).

【解析】解：(1)二.將線段繞點(diǎn)2逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到線段BC,

：.AB=BC,ZABC=9Q°,

'JCDLOB,

：.ZCDB=ZAOB=ZABC=90°,

ZABO+ZCBD=ZCBD+ZDCB=90°,

ZABO=ZDCB,

：./\ABO^/\BCD(A4S),

：.CD=OB=3,BD=OA=2,

：?OD=3-2=1,

???C點(diǎn)的坐標(biāo)為(3,1),

.\k=3X1=3,

反比例函數(shù)的解析式為：y=*

3

(2)設(shè)P(1,m),

m

???CO_Ly軸，8=3,

1

由△PC。的面積為3得：-CD*\m-1|=3,

1

x3|m-1|=3,

：.m-1=±2,

.,.m=3或m--1,

33

當(dāng)m=3時(shí)，一=1,當(dāng)根=-1時(shí)，一=-3,

mm

18.（2020?恩施州）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線（〃#0）與元軸、y軸分別相交于

A、3兩點(diǎn)，與雙曲線y=[（x>0）的一個(gè)交點(diǎn)為C,且3C=%C.

（1）求點(diǎn)A的坐標(biāo)；

（2）當(dāng)S^AOC=3時(shí)，求〃和女的值.

【解析】解：（1）由題意得：令（〃W0）中y=0,

BPax-3a=0,解得x=3,

???點(diǎn)A的坐標(biāo)為（3,0）,

故答案為（3,0）.

（2）過(guò)C點(diǎn)作y軸的垂線交y軸于M點(diǎn)，作x軸的垂線交x軸于N點(diǎn)，如下圖所示:

：.ZBCM=ZBAO,且NA30=NC30,

：.￡\BCMs^BAO,

BCCM用1CM

—=----，即：-=---，

BAAO33

???CM=1,

又SMOC=404-CN=3

r1

即：-x3xC/V=3,

2

：.CN=2,

???C點(diǎn)的坐標(biāo)為(1,2),

故反比例函數(shù)的k=1X2=2,

再將點(diǎn)C(1,2)代入一次函數(shù)-3〃(〃W0)中，

即2=〃-3m解得〃=-1,

「?當(dāng)SAAOC=3時(shí)，〃=-1,k=2.

19.(2020?廣州)如圖，平面直角坐標(biāo)系xOy中，目043。的邊OC在x軸上，對(duì)角線AC,OB交于

點(diǎn)、M,函數(shù)丫=點(diǎn)(x>0)的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)A(3,4)和點(diǎn)M.

(1)求上的值和點(diǎn)M的坐標(biāo)；

(2)求回OABC的周長(zhǎng).

【解析】解：(1)???點(diǎn)4(3,4)在尸［上,

"=12,

?；四邊形OABC是平行四邊形，

：.AM=MC,

.,.點(diǎn)M的縱坐標(biāo)為2,

:點(diǎn)M在尸爭(zhēng)的圖象上，

：.M(6,2).

(2)'：AM=MC,A(3,4),M(6,2)

：.C(9,0),

AOC=9,OA=V32+42=5,

平行四邊形O43C的周長(zhǎng)為2X(5+9)=28.

20.(2020?荊州)九年級(jí)某數(shù)學(xué)興趣小組在學(xué)習(xí)了反比例函數(shù)的圖象與性質(zhì)后，進(jìn)一步研究了函數(shù)

y=卷的圖象與性質(zhì)，其探究過(guò)程如下：

(1)繪制函數(shù)圖象，如圖1.

列表：下表是x與y的幾組對(duì)應(yīng)值，其中m=1；

X.??-3-2-111123???

~22

22???

y???12442m

33

描點(diǎn)：根據(jù)表中各組對(duì)應(yīng)值(x,y),在平面直角坐標(biāo)系中描出了各點(diǎn)；

連線：用平滑的曲線順次連接各點(diǎn)，畫(huà)出了部分圖象.請(qǐng)你把圖象補(bǔ)充完整；

(2)通過(guò)觀察圖1,寫(xiě)出該函數(shù)的兩條性質(zhì)；

①函數(shù)的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱；

②當(dāng)x<0時(shí)，y隨x的增大而增大，當(dāng)x〉0時(shí)，y隨x的增大而減小；

(3)①觀察發(fā)現(xiàn)：如圖2.若直線>=2交函數(shù)y=￡的圖象于A,2兩點(diǎn)，連接。4,過(guò)點(diǎn)3作

\x\

04交X軸于C.貝|JS四邊形OABC=4；

②探究思考：將①中“直線尸2”改為“直線尸〃(40)”，其他條件不變，則