第四章三角形

（考試時間：100分鐘試卷滿分：120分）

一.選擇題（共10小題，滿分30分，每小題3分）

1.下面幾何體中，是圓錐的為（）

【答案】B

【分析】觀察所給幾何體，可以直接得出答案.

【詳解】解：A選項為圓柱，不合題意;

B選項為圓錐，符合題意;

C選項為三棱錐，不合題意;

D選項為球，不合題意;

故選B.

【點睛】本題考查常見幾何體的識別,熟練掌握常見幾何體的特征是解題的關鍵.圓錐面和一個截它的平

面，組成的空間幾何圖形叫圓錐.

【答案】C

【分析】根據正方體的展開圖的特征,11種不同情況進行判斷即可.

【詳解】解：根據正方體的展開圖的特征，只有第2個圖不是正方體的展開圖，故四個圖中有3個圖是正

方體的展開圖.

故選：C.

【點睛】考查正方體的展開圖的特征，“一線不過四，田凹應棄之”應用比較廣泛簡潔.

3.如圖，ZXOC=2LB0D=90°,乙4。。=126。，貝UNBOC的大小為（）

A.36°B.44°C.54°D.63°

【答案】C

【分析】由乙4。。=48。0=90。，乙4。。=126。，可求出4。。。的度數，再根據角與角之間的關系求解.

【詳解】\'^AOC=90°,4/。0=126。，

SD=/.AOD-/,AOC=36°,

■:(BOD=90°,

:.（BOC=乙BOD-乙COD=90°-36°=54°.

故選：C.

【點睛】本題考查的知識點是角的計算，注意此題的解題技巧：兩個直角相加和乙4。。相比，多加了

乙BOC.

4.如圖，在中，D、E分別在AB邊和AC邊上，DE//BC,M為BC邊上一點（不與B、C重

合），連結AM交DE于點N,則（）

AADAN「BDMNCDN_NEnDNNE

A.—=—B.——=——D.——=—

ANAEMNCE?BM-MCMCBM

【答案】C

【分析】根據平行線的性質和相似三角形的判定可得△ADNS^ABM,△ANEs^AMC,再根據相似三角

形的性質即可得到答案.

NEDNNE44、4一

【詳解】-DE//BC,AAADN^AABM.AANE^AAMC,=蔬=嬴=贏,故選c-

【點睛】本題考查平行線的性質、相似三角形的判定和性質，解題的關鍵是熟練掌握平行線的性質、相似

三角形的判定和性質.

【新考法】數學與實際生活一一利用數學知識解決實際問題

5.如圖是小亮繪制的潛望鏡原理示意圖，兩個平面鏡的鏡面AB與CD平行，入射光線/與出射光線相平

行.若入射光線/與鏡面48的夾角N1=40。10，，則N6的度數為（）

A.1000407B.99080,C.99040,D.99020,

【答案】C

【分析】由入射光線與鏡面的夾角等于反射光線與鏡面的夾角，可得Nl=/2,可求出N5,由〃An可得

Z6=Z5

【詳解】解：由入射光線與鏡面的夾角等于反射光線與鏡面的夾角，可得Nl=/2,

Vzl=40°10,

."2=40°10,

.,.Z5=180°—N1—42=180°-40°10'-40°10,=99°40'

l//m

Z.Z6=N5=99°40,

故選：C

【點睛】本題主要考查了平行線的性質，熟記兩直線平行，內錯角相等是解答本題的關鍵.

【新考法】數學與實際生活一一利用數學知識解決實際問題

6.如圖是脊柱側彎的檢測示意圖，在體檢時為方便測出Cobb角N。的大面小，需將NO轉化為與它相等的

角，則圖中與4。相等的角是（）

凸面I凹面

寬a當cobb>10。為脊柱側彎

A.乙BEAB.乙DEBC./.ECAD./.ADO

【答案】B

【分析】根據直角三角形的性質可知：4。與N4D。互余，NDEB與乙4。。互余，根據同角的余角相等可得結

論.

【詳解】由示意圖可知：和ADBE都是直角三角形，

???4。+4ADO=90°,乙DEB+/.ADO=90°,

?1?乙DEB=Z-0,

故選：B.

【點睛】本題考查直角三角形的性質的應用，掌握直角三角形的兩個銳角互余是解題的關鍵.

7.【易錯題】若等腰三角形的兩邊長分別是3c7W和5cm則這個等腰三角形的周長是()

A.8cmB.13cmC.8cwz或13cmD.lie"或13cm

【答案】D

【分析】題目給出等腰三角形有兩條邊長為3和5,而沒有明確腰、底分別是多少，所以要進行討論，還

要應用三角形的三邊關系驗證能否組成三角形.

【詳解】解：當3是腰時，

：3+3>5,

；.3,3,5能組成三角形，

此時等腰三角形的周長為3+3+5=11(cm),

當5是腰時，

：3+5>5,

5,5,3能夠組成三角形，

此時等腰三角形的周長為5+5+3=13(cm),

則三角形的周長為11cm或13cm.

故選：D

【點睛】本題考查等腰三角形的性質及三角形三邊關系；已知沒有明確腰和底邊的題目一定要想到兩種情

況，分類進行討論，還應驗證各種情況是否能構成三角形進行解答，這點非常重要，也是解題的關鍵.

【幾何模型】三角形折疊模型

8.如圖，三角形紙片42c中，/BAC=90。，AB=2,AC=3.沿過點A的直線將紙片折疊，使點8落在

邊BC上的點。處；再折疊紙片，使點C與點。重合，若折痕與AC的交點為E,則AE的長是()

B

【答案】A

【分析】根據題意可得=A8=2,NB=NADB,CE=DE,NC=NCDE,可得NAOE=90。，繼而

設AEr,則CE=OE=3-x,根據勾股定理即可求解.

【詳解】解：???沿過點A的直線將紙片折疊，使點3落在邊3c上的點。處，

：.AD=AB=2,ZB=AADB,

,??折疊紙片，使點。與點。重合，

:.CE=DE,ZC=ZCDE,

VZBAC=90°,

AZB+ZC=90°,

???ZADB+ZCDE=90%

：.NAOE=90。，

:.AD2+DE2=AE2,

設AE=xf則CE=DE=3-x,

22+(3-X)2=/,

解得X=o

即AE=-

6

故選A

【點睛】本題考查了折疊的性質，勾股定理，掌握折疊的性質以及勾股定理是解題的關鍵.

【幾何模型】一線三垂直模型

9.如圖，點4(0,3)、B(l,0),將線段4B平移得到線段0C,若乙4BC=90。,BC=24B,則點。的坐標是

)

A.(7,2)B.(7,5)C.(5,6)D.(6,5)

【答案】D

【分析】先過點C做出％軸垂線段CE,根據相似三角形找出點C的坐標，再根據平移的性質計算出對應。

點的坐標.

如圖過點。作％軸垂線，垂足為點區

■:乙ABC=90°

：./LABO+Z.CBE=90°

'：ACBE+BCE=90°

：.^ABO=乙BCE

在448。和ABCE中，

(Z.ABO=乙BCE

^Z.AOB=乙BEC=90°'

：.LABO?ABCE,

,AB_AO_OB_1

'*BC~BE~EC~2'

則BE=2AO=6,EC=2OB=2

???點C是由點B向右平移6個單位，向上平移2個單位得到，

???點D同樣是由點A向右平移6個單位，向上平移2個單位得到,

???點A坐標為(0,3),

.?.點O坐標為(6,5),選項D符合題意，

故答案選D

【點睛】本題考查了圖象的平移、相似三角形的判定與性質，利用相似三角形的判定與性質找出圖象左

右、上下平移的距離是解題的關鍵.

10.如圖①，在矩形4BCD中，X為CD邊上的一點，點M從點A出發沿折線AH—HC—CB運動到點B停

止，點N從點A出發沿AB運動到點2停止，它們的運動速度都是lcm/s,若點M、N同時開始運動，設運

動時間為t(s),△AMN的面積為S(cm2),已知S與r之間函數圖象如圖②所示，則下列結論正確的是

()

①當0<tW6時，A/IMN是等邊三角形.

②在運動過程中，使得AADM為等腰三角形的點M一共有3個.

③當0<tW6時，S=—t2.

4

④當t=9+舊時，AADHMABM.

⑤當9<t<9+3百時，S=-3t+9+3V3.

A.①③④B.①③⑤C.①②④D.③④⑤

【答案】A

【分析】由圖②可知：當0<區6時，點M、N兩點經過6秒時，S最大，此時點〃在點X處，點N在點

8處并停止不動；由點M、N兩點的運動速度為lcm/s,所以可得A/f=AR=6cm,利用四邊形A2C￡>是矩形

可知。=AB=6cm；當6f區9時，S=98且保持不變，說明點N在B處不動，點M在線段"C上運動，運

動時間為(9-6)秒，可得8C=3cm,即點H為CD的中點；利用以上的信息對每個結論進行分析判斷后得

出結論.

【詳解】解：由圖②可知：點M、N兩點經過6秒時，S最大，此時點M在點〃處，點N在點B處并停止

不動，如圖,

①：點M、N兩點的運動速度為lcm/s,

?\AH=AB=6cm,

?.?四邊形ABC。是矩形，

CD=AB=6cm.

當t=6s時,5=9V3cm2,

.?JXABXBC=9?

:.BC=35

:當6WV9時，5=9百且保持不變，

.?.點N在8處不動，點M在線段HC上運動，運動時間為（9-6）秒,

：.HC=3cm,即點//為。的中點.

：.BH^CH2+BC2=6.

：.AB=AH=BH=6,

...△ABM為等邊三角形.

ZHAB=60°.

:點M、N同時開始運動，速度均為lcm/s,

：.AM=AN,

...當0〈也6時，AAMN為等邊三角形.

故①正確；

②如圖，當點M在A。的垂直平分線上時，為等腰三角形：

此時有兩個符合條件的點；

當時，為等腰三角形，如圖:

綜上所述，在運動過程中，使得為等腰三角形的點M一共有4個.

，②不正確；

由題意：AM=AN=t,

由①知：ZHAB=60°.

在RtAAME中，

：

'sinZMAE=A—M,

：.ME=AMsm600=^-t,

2

S=-ANxME=-x—txt^—t2.

2224

...③正確；

④當Z=9+g時，CM=?如圖，

由①知：BC=3V3,

：.MB=BC-CM=2y/3.

\'AB=6,

：.ZMAB=30°.

\'ZHAB=6Q°,

：.ZDAH=90o-60°=30°.

ZDAH=ZBAM.

'：ZD=ZB=90°,

：.AADHs^ABM.

...④正確；

⑤當9?9+3B時，此時點M在邊2c上，如圖,

此時MB=9+343-t,

：.S=^xABxMB=|x6x（9+3V3-t）=27+9V3-3t.

⑤不正確；

綜上，結論正確的有：①③④.

故選：A.

【點睛】本題主要考查了動點問題的函數圖象，主要涉及函數圖象上點的坐標的實際意義，三角形的面

積，等腰三角形的判定，等邊三角形的判定，相似三角形的判定，特殊角的三角函數值.對于動點問題,

依據已知條件畫出符合題意的圖形并求得相應線段的長度是解題的關鍵.

二.填空題（共6小題，滿分18分，每小題3分）

11.如圖，己知ANBC三△￡）￡1/,點、B,E,C,尸依次在同一條直線上.若BC=8,CE=5,貝!的長

為.

【答案】3

【分析】利用全等三角形的性質求解即可.

【詳解】解：由全等三角形的性質得：EF=BC=8,

：.CF=EF-CE=8-E>=3,

故答案為：3.

【點睛】本題考查全等三角形性質，熟練掌握全等三角形的性質是解答的關鍵.

12.一個三角形的兩邊長分別是3和5,則第三邊長可以是.（只填一個即可）

【答案】4（答案不唯一，大于2且小于8之間的數均可）

【分析】根據三角形的三邊關系定理：三角形兩邊之和大于第三邊，三角形的兩邊差小于第三邊可得5-

3cx<5+3,再解即可.

【詳解】解：設第三邊長為X,由題意得：

5—3<x<5+3,

則2<x<8,

故答案可為：4（答案不唯一，大于2且小于8之間的數均可）.

【點睛】此題主要考查了三角形的三邊關系：第三邊的范圍是：大于已知的兩邊的差，而小于兩邊的和.

13?【原創題】若直三棱柱的上下底面為正三角形，側面展開圖是邊長為6的正方形，則該直三棱柱的表面

積為.

【答案】36+2V3/2V3+36

【分析】根據題意得出正三角形的邊長為2,進而根據表面積等于兩個底面積加上側面正方形的面積即可

求解.

【詳解】解：\.側面展開圖是邊長為6的正方形，

底面周長為6,

?.?底面為正三角形，

正三角形的邊長為2

作CD1AB,

???△4BC是等邊三角形，AB=BC=AC=2,

AD—1,

???在直角A4QC中，

CD=y/AC2-AD2=V3,

SUBC=5X2XV3=V3;

該直三棱柱的表面積為6X6+28=36+2V3,

故答案為：36+2V3.

【點睛】本題考查了三棱柱的側面展開圖的面積，等邊三角形的性質，正方形的性質，熟練掌握以上知識

是解題的關鍵.

14.如圖，在RtAABC中，ZC=90°,BC<AC.點、D,E分另U在邊BC上，連接DE,將ABDE沿DE

折疊，點B的對應點為點次.若點剛好落在邊2C上，LCB'E=30°,CE=3,貝UBC的長為.

【答案】9

【分析】根據折疊的性質以及含30度角的直角三角形的性質得出B'E=BE=2CE=6,即可求解.

【詳解】解：：將ABDE沿DE折疊，點8的對應點為點9.點夕剛好落在邊4C上，在RtAABC中，NC=

90°,BC<AC,/LCB'E=30°,CE=3,

J.B'E=BE=2CE=6,

：.BC=CE+BE=3+6=9,

故答案為：9.

【點睛】本題考查了折疊的性質，含30度角的直角三角形的性質，熟練掌握以上知識是解題的關鍵.

【新考法】數學與規律探究—圖形類規律

15.在平面直角坐標系中，點A2,44…在X軸的正半軸上，點Bl、B2,B3…在直線曠=

yx(x>0)±,若點&的坐標為(2,0),且^A2B2A3,△438344…均為等邊三角形.貝IJ點B2023

的縱坐標為.

【答案】22022百

【分析】過點兒作_Lx軸，交直線y=20)于點M,過點/作/C_Lx軸于點C,先求出

N&OM=30。，再根據等邊三角形的性質、等腰三角形的判定可得&%=。&=2,然后解直角三角形可

得的長，即可得點名的縱坐標，同樣的方法分別求出點殳,叢,34的縱坐標，最后歸納類推出一般規

律，由此即可得.

【詳解】解：如圖，過點必作1汽軸，交直線y=y%(x>0)于點M,過點Bi作Bi。1%軸于點C,

???4(2,0),

???OAr=2,

當％=2時，y=誓，即M(2,誓),&M=誓，

??.tan乙4]1OM=,

ArO3

???N&OM=30°,

???△4/送2是等邊三角形，

**?Z-A2A1B1=60°MI^2=a/i，

:.Z-OB1A1=30°=Z-ArOM,

???A1B1=OAr=2,

???BrC=4祖?sin60°=2Xy,即點。的縱坐標為2Xy,

同理可得：點B?的縱坐標為22x4，

點當的縱坐標為23xf,

點風的縱坐標為24X爭

歸納類推得：點%的縱坐標為2nx?=2"T8(n為正整數)，

2022

則點B2023的縱坐標為22°23-1百=2V3,

故答案為：22。22次.

【點睛】本題考查了點坐標的規律探索、等邊三角形的性質、正比例函數的應用、解直角三角形等知識

點，正確歸納類推出一般規律是解題關鍵.

16.【創新題】如圖，在AZBC中，力B=4C,乙4<90。，點D,E,F分別在邊4B,BC,CA上，連接

DE,EF,FD,已知點B和點F關于直線DE對稱.設篇=屋若皿=DF，則葛=（結果用含k的代數

式表示）.

【分析】先根據軸對稱的性質和已知條件證明DEII4C,再證△BDEsABAC,推出=通過證

明AABCMECF,推出CF=L/C2.AB,即可求出生的值.

2FA

【詳解】解：,點B和點尸關于直線DE對稱，

DB=DF9

AD=DF,

AD=DB.

vAD—DF,

Z.A=Z,DFA,

???點3和點F關于直線。E對稱，

???(BDE=Z.FDE,

又???(BDE+Z.FDE=Z.BDF=Z-A+Z-DFA,

???Z.FDE=乙DFA,

???DEWAC,

???Z.C=(DEB,Z.DEF=(EFC,

,??點B和點尸關于直線DE對稱，

???Z-DEB=Z-DEF,

Z.C=Z,EFC,

???AB=ACf

???Z-C—Z-B,

在和△￡1（村,

（Z.B=zf

l^ACB=/.EFC'

???△ABCs>ECF.

???在△ABC中，DE\\AC,

Z.BDE=Zi4,乙BED=乙C,

???△BDE—△BAC,

.BE_BD_1

??BC~~BA一2’

I

???EC=-BC

29

BC,

—=k,

AB

i

???BC=k?AB,EC=-k-AB,

2

???△ABCECF.

.AB_BC

,?—,

ECCF

AB_k-AB

#ABCF

解得CF=[1.a-

.CF__CF_CF_*WB_H

"FA~AC-CF-AB-CF-AB--k2AB-2-k2*

2

故答案為：/包.

【點睛】本題考查相似三角形的判定與性質，軸對稱的性質，平行線的判定與性質，等腰三角形的性質，

三角形外角的定義和性質等，有一定難度，解題的關鍵是證明AABCMECF.

三.解答題（共9小題，滿分72分，其中17、18、19題每題6分，20題、21題每題7分，22題8分，23

題9分，24題10分，25題13分）

17.如圖，ABWCD,直線MN與分別交于點E,F,CD上有一點G且GE=GF,Z1=122°.求42的

度數.

【答案】64°

【分析】根據4BIICD,可得ADFE=N1=122。，從而得到NEFG=58。，再由GE=GF,可得NFEG=

AEFG=58°,然后根據三角形內角和定理，即可求解.

【詳解】解：??FBIICD,41=122。

J.Z.DFE=Z1=122°,

C.Z.EFG=180°-乙DFE=58°,

VGE=GF,

:.乙FEG=Z.EFG=58°,

/.Z2=180°-4FEG-乙EFG=64°.

【點睛】本題主要考查了平行線的性質，等腰三角形的性質，三角形內角和定理，熟練掌握平行線的性

質，等腰三角形的性質，三角形內角和定理是解題的關鍵.

【幾何模型】射影定理（相似）

18.在RtAZBC中，ABAC=90°,4。是斜邊8C上的高.

⑴證明：AABDfCBA；

（2）若2B=6,BC=10,求BD的長.

【答案】（1）見解析

⑵BD=Y

【分析】（1）根據三角形高的定義得出乙4DB=90。，根據等角的余角相等，得出4艮4D=NC,結合公共

角=乙B,即可得證；

（2）根據（1）的結論，利用相似三角形的性質即可求解.

【詳解】（1）證明：??,乙84。=90。，4。是斜邊BC上的高.

：,Z.ADB=90°,乙8+4。=90°

???4B+4BAD=90°,

：.^LBAD=ZC

又?：乙B=乙B

△ABD?XCBAj

（2）'：LABD-LCBA

.AB_BD

**CB~AB'

又AB=6,BC=10

.AB23618

??DDDn=----=—=—?

CB105

【點睛】本題考查了相似三角形的性質與判定，熟練掌握相似三角形的性質與判定是解題的關鍵.

19.△ABC在邊長為1的正方形網格中如圖所示.

①以點C為位似中心，作出△ABC的位似圖形△AiBiC,使其位似比為1：2.且4A,B,C位于點C的異

側，并表示出Ai的坐標.

②作出△ABC繞點C順時針旋轉90。后的圖形4A2B2C.

③在②的條件下求出點B經過的路徑長.

【答案】①作圖見解析，點Ai的坐標為（3,-3）；②作圖見解析；③督兀

【分析】①延長AC到Ai使AiC=2AC,延長BC到以使BiC=2BC,貝必A1B1C滿足條件;

②利用網格特點和旋轉的性質畫出A、B的對應點A2、B2,從而得到AAzB2c.

③先計算出OB的長，然后根據弧長公式計算點B經過的路徑長.

【詳解】解：①如圖，△AiBiC為所作，點Ai的坐標為（3,-3）；

②如圖，AA2B2c為所作；

【點睛】本題考查了作圖-位似變換：畫位似圖形的一般步驟為：確定位似中心；分別連接并延長位似中

心和能代表原圖的關鍵點；③根據位似比，確定能代表所作的位似圖形的關鍵點；順次連接上述各點，得

到放大或縮小的圖形.也考查了旋轉變換.

20.如圖，在梯形4BCD中AD||BC,點、F,E分另U在線段BC,4c上，1.ZF4C=AADE,AC=AD

⑴求證：DE=AF

(2)若A4BC=NCDE,求證：AF2=BF-CE

【答案】(1)證明見解析

(2)證明見解析

【分析】(1)先根據平行線的性質可得ACME=N4CF,再根據三角形的全等的判定可得AZMEWA4CF,

然后根據全等的三角形的性質即可得證；

(2)先根據全等三角形的性質可得N4FC=4DEA,從而可得乙4F8=NCED,再根據相似三角形的判定

可得△力BF?△CDE,然后根據相似三角形的性質即可得證.

【詳解】(1)證明：AD||BC,

???Z.DAE=Z.ACF,

Z.DAE=Z-ACF

在和△4CF中，AD=CA，

Z.ADE=4CAF

DAE=Ai4CF(ASA),

???DE=AF.

(2)證明：???△ZME=LACF,

???Z.AFC=Z.DEAf

???180°-/-AFC=180°-乙DEA,^Z,AFB=4CED,

在△,和△血中，｛發覆:靄,

???AABF~&CDE,

.AF_BF

"CE—DE'

由(1)已證：DE=AF,

_AF__BF_

"CE~AF,

AF2=BF-CE.

【點睛】本題考查了三角形全等的判定與性質、相似三角形的判定與性質，熟練掌握相似三角形的判定與

性質是解題關鍵.

21.綜合與實踐

主題：制作無蓋正方體形紙盒

素材：一張正方形紙板.

步驟1：如圖1,將正方形紙板的邊長三等分，畫出九個相同的小正方形，并剪去四個角上的小正方形；

步驟2：如圖2,把剪好的紙板折成無蓋正方體形紙盒.

猜想與證明:

圖1圖2

(1)直接寫出紙板上乙48c與紙盒上乙4181cl的大小關系;

⑵證明(1)中你發現的結論.

【答案】(1)N4BC=z"BiQ

⑵證明見解析.

【分析】(1)AABC和A&B1C1均是等腰直角三角形，N4BC=44/16=45。；

(2)證明AABC是等腰直角三角形即可.

【詳解】(1)解：乙4BC=乙4/iQ

(2)證明：連接4C,

設小正方形邊長為1,則AC=BC=V12+22=Vs,AB=V12+32=VTU,

VAC2+BC2=5+5=叔，

??.△ABC為等腰直角三角形，

=B[C]=1,力iG±BiQ,

??.△必當的為等腰直角三角形，

Z.ABC—=45°,

故/ABC=zHiBiCi

【點睛】此題考查了勾股定理及其逆定理的應用和等腰三角形的性質，熟練掌握其性質是解答此題的關

鍵.

22.如圖，一次函數丫=for+((k為常數，k力0)的圖象與反比例函數y=?(爪為常數，小70)的圖象

在第一象限交于點4(1,n),與x軸交于點8(-3,0).

(1)求一次函數和反比例函數的解析式.

(2)點P在x軸上，a/lBP是以4B為腰的等腰三角形，請直接寫出點P的坐標.

【答案】(1)一次函數的解析式為y=5%+[,反比例函數的解析式為y=：

(2)(-8,0)或(2,0)或(5,0)

【分析】(1)根據待定系數法，把已知點代入再解方程即可得出答案；

(2)首先利用勾股定理求出得4B的長，再分兩種情形討論即可.

【詳解】(1)解：把點B(—3,0)代入一次函數y=依+：得，

9

—3k+1=°,

4

解得：k=j

4

故一次函數的解析式為y=|x+￡

把點4(1,幾)代入y=-x+得=-+-=3,

???4(1,3),

把點4(1,3)代入丫=?,得巾=3,

故反比例函數的解析式為y=|；

(2)解：B(-3,0),力(1,3),AB=732+[1-(-3)]2=5,

當ZB=PB=5時，P(-8,0)或(2,0),

當R4=4B時，點P,B關于直線x=1對稱，

P(5,0),

綜上所述：點P的坐標為(一8,0)或(2,0)或(5,0).

【點睛】本題是反比例函數綜合題，主要考查了函數圖象上點的坐標的特征，等腰三角形的性質等知識，

運用分類思想是解題的關鍵.

23.【原創題】如圖，AABC是邊長為4的等邊三角形，點E,尸分別在邊AB,BC,C4上運動，滿足

AD=BE=CF.

c

E

I\

ADB

⑴求證：AADFmABED；

(2)設力。的長為尤，△DEF的面積為y,求y關于x的函數解析式；

(3)結合(2)所得的函數，描述ADEF的面積隨4。的增大如何變化.

【答案】(1)見詳解

(2)y=W%2_3百久+4V3

(3)當2Vx<4時，AOEF的面積隨40的增大而增大，當0<x<2時，ADEF的面積隨4。的增大而減小

【分析】(1)由題意易得4F=BD,乙4=NB=60。，然后根據“SAS”可進行求證；

(2)分別過點C、尸作CHLAB,FG1AB,垂足分別為點H、G,根據題意可得SA^BC=4瓜4尸=4—

%,然后可得FG=/(4-x),由(1)易得4ADFWABED三ACFE,則有S-DF=SABED=S^CFE=

yx(4-x),進而問題可求解；

(3)由(2)和二次函數的性質可進行求解.

【詳解】(1)證明：???△ABC是邊長為4的等邊三角形，

：.Z.A=ZB=ZC=60°,AB=BC=AC=4,

'：AD=BE=CF,

：.AF=BD=CE,

在△力DF和ABED中，

AF=BD

乙4=Z-B,

AD=BE

：.△ADF三△BED(SAS)；

(2)解：分別過點C、尸作CHI力B,FG1AB,垂足分別為點〃、G,如圖所示：

c

在等邊△力BC中，=ZB=AACB=60°,AB=BC=AC=4,

.,.C//=i4C-sin60°=2V3,

???SMBC=?CH=4g,

設2D的長為x,貝！］4D=BE=CF=x,AF=4-x,

：.FG=AF-sin60°=亨(4-x),

?'?^hADF=,FG=亨x(4—%),

同理(1)可知AAOF任BED=△CFE,

^^ADF=SABED=S^CFE彳*(4—%)，

的面積為y,

?'?y=SXABC3sAADF=4V3—j-x(4—%)=---x2—3V3x+4V3；

解：由(可知：y=—x2-3V3x+443,

(3)2)4

?'?a=乎>0,對稱軸為直線式=-2,

4

2X幽4

當尤>2時，y隨x的增大而增大，當x<2時，y隨x的增大而減小；

即當2<x<4時，ADEF的面積隨4D的增大而增大，當0<%<2時，△DEF的面積隨4。的增大而減小.

【點睛】本題主要考查銳角三角函數、二次函數的綜合及等邊三角形的性質，熟練掌握銳角三角函數、二

次函數的綜合及等邊三角形的性質是解題的關鍵.

【幾何模型】手拉手模型

24.如圖1,AABC是等邊三角形，點。在△ABC的內部，連接AQ,將線段AO繞點A按逆時針方向旋

轉60。，得到線段AE,連接B。，DE,CE.

(1)判斷線段2D與CE的數量關系并給出證明；

(2)延長ED交直線BC于點F.

①如圖2,當點尸與點2重合時，直接用等式表示線段AE,BE和5的數量關系為；

②如圖3,當點歹為線段中點，且即=EC時，猜想的度數，并說明理由.

【答案】(1)80=CE,理由見解析

(2)①BE=AE+CE；②484。=45。，理由見解析

【分析】(1)利用等邊三角形的性質和旋轉的性質易得到△4BD三△4CE(SAS),再由全等三角形的性質求

解；

(2)①根據線段2D繞點A按逆時針方向旋轉60。得到4E得到△力DE是等邊三角形，

由等邊三角形的性質和(1)的結論來求解；②過點A作4G，EF于點G,連接AF,根據等邊三角形的性

質和銳角三角函數求值得到4BAF=NZMG,—=進而得到ABADSAFAG,進而求出N4DB=90。，

ADAB

結合=EO=￡C得到BO=40,再用等腰直角三角形的性質求解.

【詳解】(1)解：BD=CE.

證明：是等邊二角形,

：.AB=AC,Z.BAC=60°.

??,線段40繞點A按逆時針方向旋轉60。得到ZE,

：.AD=AE,/.DAE=60°,

：.^BAC=乙DAE,

：.^BAC-ADAC=乙DAE-乙DAC,

即々BAD=/.CAE.

在△ABO和中

AB=AC

Z-BAD=Z-CAE，

、AD=AE

：.△ABDACE{SAS},

：.BD=CE-,

(2)解：①BE=HE+CE

理由：：線段40繞點A按逆時針方向旋轉60。得到4E,

；.△ADE是等邊三角形，

：.AD=DE=AE,

由(1)得BD=CE,

：.BEDE+BDAE+CE；

②過點A作4G_LEF于點G,連接AR如下圖.

.,△4DE是等邊三角形，4GIDE,

1

\^LDAG=-Z-DAE=30°,

2

——AG=cosZ-Dr\AAG=——v3

AD2

△是等邊三角形,點廠為線段5c中點，

BF=CF,AF1BC,Z.BAF=-ABAC=30°,

2

—AF=cosZ,-DBA/iFl=——V3

AB2

AF

ABAF="AG,第

AB"

：.^BAF+Z-DAF=/-DAG+Z-DAF,

=/.FAG,

??△BADFAG9

：./.ADB=/-AGF=90°.

?：BD=CE,ED=EC,

：.BD=ADf

即△48。是等腰直角三角形，

：.Z.BAD=45°.

【點睛】本題主要考查了等邊三角形的性質，旋轉的性質，全等三角形的判定和性質，解直角三角形，相

似三角形的判定和性質，等腰直角三角形的判定和性質，理解相關知識是解答關鍵.

25.已知拋物線〉=/+法+°與％軸交于4-2,0)、8(6,0)兩點，與y軸交于點C(0,-3).

(1)求拋物線的表達式；

(2)點尸在直線8C下方的拋物線上，連接A尸交BC于點當會最大時，求點尸的坐標及受的最大

AMAM

值；

(3)在(2)的條件下，過點P作x軸的垂線/,在/上是否存在點D使△BCD是直角三角形，若存在，

請直接寫出點。的坐標；若不存在，請說明理由.

【答案】(1)y=ix