專題09幾何壓軸四種題型

目錄

解題知識必備.......................................

壓軸題型講練.......................................

類型一、線段中點有關(guān)計算-分類討論..............................................1

類型二、雙角平分線模型-分類討論................................................5

類型三、角度綜合運算-分類討論.................................................11

類型四、角的折疊綜合問題.......................................................17

壓軸能力測評（7題）...............................................20

“解題知識必備??

1.線段雙中點模型

模型一：兩線段無公共部分（作和）

已知點B是線段AC上任意一點，點M、N分別為線段AB、BC的中點，則MN《AC

證明：???點M、N為線段AB、BC的中點

AMB=-AB,BN=-BCAMBN

22

-1-i-i-i

則MN=MB+BN=jAB+jBC=j(AB+BC)=jXC

文字語言結(jié)論：兩中點的距離=被平分的兩條線段和的一半

模型二：兩線段有公共部分（作差）

1）已知點B在線段AC的延長線上，點M、N分別為線段AB、BC的中點，則MN^AC

證明：?.?點M、N為線段AB、BC的中點

.\MB=i1AB,BN=1-BCAMCNB

22

則MN=MB-NB=|AB-1BC=j^AB-BC)=^AC

2）已知點B在線段CA的延長線上，點M、N分別為線段AB、BC的中點，則MN=：AC

證明：???點M、N為線段AB、BC的中點

!iBA

.,.MB=-AB,BN=-BC---------------------------

22MN

則MN=NB-MB=iBC-|AB=1（BC-AB）=^AC

文字語言結(jié)論：兩中點的距離=被平分的兩條線段差的一半解:

速記口訣：一半一半又一

2.雙角平分線模型

角平分線的概念：從一個角的頂點出發(fā)，把這個角分成相等的兩個角的射線，叫做這個角的平分線。

已知0C平分/AOB,則/AOC=/COB=ZAOB

一、雙角平分線模型的概述：兩角共一邊，求角平分線之間夾角。

模型一：兩角有公共部分(作和)

已知0C是/AOB內(nèi)的一條射線，0M平分/AOC,ON平分/BOC,求ZMON.

證明：V0M平分NAOC,ON平分/BOC

ZM0C=-ZAOC,ZC0N=-ZBOC

22

111

ZMON=ZMOC+ZCON=-ZAOC+-ZBOC=-ZAOB

222

文字語言結(jié)論：角平分線的夾角=被平分兩角和的一半

模型二：兩角有公共部分(作差)

已知0C是NA0B外的一條射線，0M平分NAOC,ON平分NBOC,求NM0N.

證明：V0M平分/AOC,ON平分/BOC

ZM0C=-ZAOC,ZC0N=-ZBOC

22

ZM0N=ZM0C-ZC0N=-ZAOC--ZBOC=-ZAOB

222

文字語言結(jié)論：角平分線的夾角=被平分兩角差的一半

總結(jié)：一條射線把一個角分成兩個角，這兩個角的平分線所形成的角等于原角的一半.

??壓軸題型講練2

類型一、線段中點有關(guān)計算-分類討論

【典例1]A,B兩點在數(shù)軸上的位置如圖所示，其中點A對應(yīng)的有理數(shù)為-4,且48=10.動點P從點

A出發(fā)，以每秒2個單位長度的速度沿數(shù)軸正方向運動，設(shè)運動時間為f秒(,0).

AOB

(1)當(dāng)t=l時，4P的長為」點尸表示的有理數(shù)為」

(2)當(dāng)PB=2時，求f的值；

⑶M為線段2P的中點，N為線段PB的中點.在點P運動的過程中，線段MN的長度是否發(fā)生變化？若

變化，請說明理由；若不變，求出線段MN的長.

【答案】⑴2,-2；

(2)t=4或t=6；

⑶MN=5

【分析】本題主要是考查數(shù)軸上兩點之間的距離，線段的和差運算和線段的中點的定義，只要能夠畫出

圖形就可以輕松解決，但是要注意考慮問題要全面.

(1)根據(jù)點尸的運動速度，即可求出；

(2)當(dāng)PB=2時，要分兩種情況討論，點P在點B的左側(cè)或是右側(cè)；

(3)分兩種情況結(jié)合中點的定義可以求出線段的長度不變.

【詳解】(1)解：因為點P的運動速度每秒2個單位長度，

所以當(dāng)t=l時，4P的長為2,

因為點A對應(yīng)的有理數(shù)為-4,AP=2,

所以點P表示的有理數(shù)為-2；

(2)解：當(dāng)PB=2,要分兩種情況討論，

點尸在點8的左側(cè)時，因為4B=10,所以4P=8,所以t=4：

點尸在點B的是右側(cè)時，AP=12,所以t=6；

(3)解：長度不變且長為5.

理由如下：當(dāng)P在線段4B上時，如圖，

AMOPNB

7?▲▲44.4

回M為線段AP的中點，N為線段PB的中點，

11

^\MP=-AP,NP=-BP

22f

團MN=^(AP+BP)=^AB,

囿4B=10,

回MN=5.

當(dāng)P在線段4B的延長線上時，如圖，

AOMBNP

-.-AIa?

同理可得：MN=MP-NP=：(AP-BP)==5：

綜上：MN=5.

【變式1-1】已知線段4B=6cm,點C是4B的中點，點。在線段4B上且CD=：CB,則線段4D的長為

()

A.2cmB.4cmC.2cm或3cmD.2cm或4cm

【答案】D

【分析】本題考查線段中點的定義，理解題意，考慮問題要全面是解題的關(guān)鍵.

根據(jù)線段中點的性質(zhì)求出CB,根據(jù)題意求出CD,分點D在線段CB上，點。在線段AC上兩種情況計算即

可.

【詳解】SAB=6cm,點C是4B的中點,

1

回CB=-AB=3cm,

2

0CD=-CB,

3

回C。=lcm,

如圖，當(dāng)點。在線段CB上時，

IIII

ACDB

SAD=AC+CD=3+1=4(cm),

如圖，當(dāng)點。在線段4c上時，

IIII

ADCB

囿4D=AC-CD=3-1=2(cm),

故選：D.

【變式1-2］如圖，點C是線段4B上一點，D為BC的中點，且4B=12,BD=5.若點E在直線4B上,

且4E=3,則DE的長為()

ACDB

IIII

A.4B.15C.3或15D.4或10

【答案】D

【分析】本題考查了兩點間的距離，根據(jù)線段中點的定義得到=10,CD=BD=S,求得47=2,

分兩種情況：當(dāng)點E在點4右側(cè)，當(dāng)點E在點4左側(cè)，根據(jù)線段的和差分別討論，是解決問題關(guān)鍵.

【詳解】解：回。為的中點，BD=5,

回=10,CD=BD=5,

團43=12,

回4C=2,

如圖1,當(dāng)點E在點Z右側(cè)，

回AE=3,

回CE=1,

回DE=CD—CE=4；

ACEDB

iiiii

圖1

EACDB

IIIII

圖2

如圖2,當(dāng)點E在點4左側(cè)，

回/E=3,

WE=AE+AC+CD=3+2+5=10,

故0E的長為4或10,

故選：D.

【變式1-3】已知線段4B=5,點C為直線上一點，且4C:BC=3:2,點D為線段4C的中點，則線段BD

的長為（）

A.3.5B.3.5或7.5C.3.5或2.5D.2.5或7.5

【答案】C

【分析】本題考查的知識點是線段的和與差、含中點線段之間的數(shù)量關(guān)系，解題關(guān)鍵是利用線段比例得

出AC、8C的長.

根據(jù)題意畫出圖形，再分點C在線段4B上或線段4B的延長線上兩種情況進(jìn)行討論.

【詳解】解：①當(dāng)點C在線段4B上時，如下圖：

ADCB

IIII

vAB=5,AC\BC=3:2,

BC—2,AC—3,

???點D是線段AC的中點，

CD=-AC=1.5,

2

BD=BC+CD=2+1,5=3.5；

②當(dāng)點C在線段ZB外時，如下圖：

ABDC

__I_____________I_______I____________________I

AB=5,AC:BC=3:2,

???BC=10,AC=15,

???點D是線段AC的中點，

???AD=CD=-AC=7.5,

2

BD=AD-AB=2.5；

綜上所述,BD=3.5或2.5.

故選：C.

類型二、雙角平分線模型-分類討論

【典例2】劉星對幾何中角平分線等興趣濃厚，請你和他一起探究下面問題吧.已知N40B=100°,射線0E,

。尸分另I」是乙2。。和NCOB的角平分線.

圖1圖3

(1)如圖1,若射線0C在乙408的內(nèi)部，且乙4。。=30。，求NE0F的度數(shù)；

(2)如圖2,若射線0C在NZ08的內(nèi)部繞點。旋轉(zhuǎn)，求NE0F的度數(shù)

⑶若射線。C在乙40B的外部繞點。旋轉(zhuǎn)(旋轉(zhuǎn)中乙40C,N80C均指小于180。的角)，其余條件不變，請

借助圖3探究乙EOF的大小.

【答案】⑴50。

(2)50°

⑶50。或130。

【分析】本題考查的是角的計算，角平分線的定義，熟知從一個角的頂點出發(fā)，把這個角分成相等的兩

個角的射線叫做這個角的平分線是解答此題的關(guān)鍵.注意分類思想的運用.

(1)先求出N80C度數(shù)，根據(jù)角平分線定義求出NEOC和NFOC度數(shù)，求和即可得出答案；

(2)根據(jù)角平分線定義得出NCOE=|N40C,ACOF=34BOC,求出/EOF=^EOC+^FOC=^AOB,

代入求出即可；

(3)分兩種情況：①射線0E,。尸只有1個在乙40B外面，根據(jù)角平分線定義得出NC0E=：N40C,

乙COF=3乙BOC,求出NEOF=NFOC-NCOE=3N4OB；②射線OE,0F2個都在N40B夕卜面，根據(jù)角

平分線定義得出/EOF=*0C,乙COF=3乙BOC,求出/EOF=NEOC+NCOF=1360°-乙40B),

代入求出即可.

【詳解】(1)解：；0E是440C的平分線，^AOC=30°,

1

???4COE=士乙40C=15°

2

???/.AOB=100°

???(COB=2LAOB-AAOC=70°

???OF是4COB的平分線,

1

???2LCOF=~COB=35°,

2

???乙EOF=(COE+Z.COF=15°+35°=50°；

(2)解：乙AOB=100°,

???/-AOC+/.COB=100°,

i1

???乙COE=-^AOC"OF=-^COB,

22

???乙EOF=(COE+Z.COF=+乙COB)=50°；

(3)解：：0E是乙40c的平分線，OF是乙COB的平分線,

乙C0F母乙C0B,

①延長B。至點D,當(dāng)0C在〃0D的內(nèi)部,

乙COB-^AOC=100°

???Z-EOF="OF-(COE="COB-^AOC)=50°；

②延長80至點D,延長40至點M,當(dāng)0C在4DOM內(nèi)部,

???^AOB=100°

???(COB+^AOC=360°-^AOB=260°,

M???乙EOF=(COF+乙COE=i(cCOB+/AOC)=130°；

③延長4。至點M,當(dāng)OC在4BOM內(nèi)部，

???乙AOC—乙COB=100°,

?-?/.EOF=/.COE-/-COF=式乙4OC-乙COB)=50°,

綜上，度數(shù)為50。或130。.

【變式2-1］如圖，已知。4，。8,射線。。在乙4OB內(nèi)部，射線。。逆時針旋轉(zhuǎn)幾。得到。C,OE是乙4。。的

角平分線.

⑴如圖1,若。。是乙408的角平分線，且?guī)?85時，求ND0E.

(2)如圖2,若0F是乙40。的角平分線，則乙40E—乙4。9=_.(用含有n的代數(shù)式表示)

⑶在(1)的條件下，若射線0P從OE出發(fā)繞。點以每秒5。的速度逆時針旋轉(zhuǎn)，射線0Q從0。出發(fā)繞。點

以每秒6。的速度順時針旋轉(zhuǎn),若射線OP、OQ同時開始旋轉(zhuǎn)直至重合后停止運動，多少時間后得到NE0P=

［乙40Q,請直接寫出答案.

【答案】(1)20。

(2)|n°

('3)t=—13sflgt=20s

【分析】本題考查的是角平分線的含義，角的和差運算，角的旋轉(zhuǎn)定義的理解，一元一次方程的應(yīng)用,

理解題意，利用方程思想解決問題是解本題的關(guān)鍵.

(1)證明N40B=90。,求解N40D=^AOB=45。,結(jié)合NC0D=85。,可得NAOC=85°+45°=130°,

求解乙40E=^AOC=65°,再利用角的和差關(guān)系可得答案；

(2)證明乙4。尸=力。。，410E=|乙4。。，結(jié)合乙40E-乙4。尸=|“。。，從而可得答案；

(3)如圖，分兩種情況討論，當(dāng)0Q在乙4。。內(nèi)部時，當(dāng)。Q在乙4。。外部時，由題意可得：/.EOP=5t°,

乙DOQ=6尸，再利用NE0P=1乙40Q建立方程可得答案.

【詳解】(1)解：：0A10B,

BOB=90°,

???。。平分N40B,

1

???乙4。。=三乙4。8=45。，

2

???Z.COD=85°,

???乙4。。=85。+45。=130。，

.?.0E平分

AAOE=-x^AOC=65°,

2

???乙DOE=AAOE-AAOD=65°-45°=20°

(2)解：???OF平分NA。。，

AAOF=-Z-AOD,

2

V0E平分N40C,

???/.AOE=-Z.AOC,

2

1z11

???Z.AOE-AAOF=-^AOC-Z-AOD}=,乙COD=-n°

(3)解：如圖，當(dāng)OQ在NA。。內(nèi)部時，

由題意可得，乙EOP=5t。,ADOQ=6t°,

???^AOD=45°,

???410Q=45°-6t°,

4

???乙EOP=三乙AOQ,

4

5t=-(45-6t)

解得：仁總

Q/-EOP=5尸，乙DOQ=6尸,

???AAOD=45°,

???Z-AOQ=6t°-45°,

4

-Z.EOP=^Z.AOQ,

4

.?.5t=-(6t-45)

解得：t=20,

綜上，當(dāng)t=^s或t=20s時，AEOP=^AAOQ

【變式2-2]一副三角板按如圖1所示放置，邊04。。在直線MN上，4AOB=60°,乙COD=45°.

圖3圖4

如圖2,將三角板COD繞點O順時針旋轉(zhuǎn)到廣。〃，轉(zhuǎn)速為每秒鐘轉(zhuǎn)動5。，當(dāng)。C旋轉(zhuǎn)一周回到射線。N上

時停止轉(zhuǎn)動，設(shè)轉(zhuǎn)動時間為t秒.

⑴當(dāng)。D'與。B重合時，直接寫出的值；

⑵①當(dāng)。。'正好平分NB04時，在圖1中畫出此時。〃的位置，并求出f的值；

②在旋轉(zhuǎn)過程中，作乙8。。的角平分線。E,當(dāng)乙4。￡=15。時.直接寫出/的值.

【答案】⑴15秒

⑵①圖見詳解，t的值為21秒；②t的值為33或45秒

【分析】本題考查了角的計算，特殊角，角平分線的定義，正確的理解題意是解題的關(guān)鍵.

（1）根據(jù)已知角的度數(shù)和平角的定義直接求度數(shù)即可；

（2）①根據(jù)=105。求解即可；②根據(jù)題意分兩種情況得出ND'。。的度數(shù)，求解即可.

【詳解】（1）解：由題知，ZSOD=180°-^AOB-^COD

=180°-60°-45°

=75°

t=￡=15（秒）；

（2）①如圖所示：

圖1

回。zr正好平分NBOA

^ABOD'=4AOD'=-ABOA=30°

2

V乙BOD=75°,

EJND'OD=乙BOD+乙BOD，=75°+30°=105°

.105°?.

t==21,

t的值為21；

②當(dāng)OE在乙8。4內(nèi)部時，

^AOE=15°,

回NBOE=ABOA-/-AOE=60°-15°=45°

回。E平分NBOD'

0ZBOF=HOE=45°

S^D'OA=45°-15°=30°

回N。'。。=4D'OA+^AOD=30°+180°-45°=165°

165°

=33

當(dāng)OE在NBOA夕卜部時，

v^AOE=15°

回NBOE=NB04+AAOE=60°+15°=75°

回。E平分NBOD'

回NBOE=/-D'OE=75°

回。。轉(zhuǎn)動的角度為：乙BOE+HOE+乙BOD=75°+75°+75°=225°,

解得1=答=45,

當(dāng)乙4OE=15。時.t的值為33或45（秒）.

類型三、角度綜合運算-分類討論

【典例3】以直線4B上一點。為端點作射線。C,使NBOC=60。，將一個直角三角形。OE的直角頂點放在點

。處.

E

⑴如圖1,若直角三角形DOE的一邊OD放在射線OB上，則NCOE=；

⑵如圖2,將直角三角形DOE繞點。逆時針方向轉(zhuǎn)動到某個位置，若0E恰好平分乙40C,請判斷。。是否

平分NBOC,并說明理由；

⑶將三角形DOE繞點。逆時針轉(zhuǎn)動到某個位置時，若恰好N40E=54COD,求NBOD的度數(shù).

【答案】⑴30。

(2)。。平分NBOC,理由見解析

(3)zBOD=65°或52.5°

【分析】本題考查了角平分線定義和角的計算，能根據(jù)圖形和已知求出各個角的度數(shù)是解此題的關(guān)鍵.

(1)根據(jù)2(7。￡1=4。。￡1一48。(；即可作答；

(2)由/3。(？=60°,得N40C=180°-60°=120°,上艮據(jù)。E恰好平分N40C,有NEOC=120°+2=60°,

IPRj^zCOD=AEOD-/.EOC=90°-60°=30°,即可得NBOD=NCOD,問題得解；

(3)由N4OE=5NCOD,設(shè)4COD=X,貝UNAOE=5X,分兩種情況：第一種。。在N40C內(nèi)，第二種。。

在4BOC內(nèi)，列出方程，即可作答.

【詳解】(1)解：?；NDOE=90。，NBOC=60。，

???乙COE=乙DOE-乙BOC=30°,

故答案為：30。；

(2)。。平分N80C,理由如下：

?.,直線AB上一點。，

???AAOB=180°,

???Z.BOC=60°,

???NAOC=180°-60°=120°,

0E恰好平分NAOC,

?-?/.EOC=120。+2=60°,

Z-EOD=90°,

???/,COD=乙EOD-乙EOC=90°-60°=30°,

???乙BOD=乙BOC一(COD=60°-30°=30°,

??.Z.BOD=Z.COD,

.??0D平分乙BOC；

(3)???Z-AOE=5乙COD,

.?.設(shè)“。￡>=x,貝lj乙40E=5%.

分兩種情況：

①如圖，。。在N40C內(nèi)，

???5x+90°+x+60°=180°,

???6x=30°,

%-5?

???乙COD=5°,

???Z-BOD=乙BOC+乙COD=60°+5°=65°；

②如圖，。。在NBOC內(nèi)，

???/-AOE+ABOC-匕COD=90°,

?,?5%+60°—x=90°,

解得久=7.5°,

???（BOD=乙BOC-乙COD=60°-7.5°=52.5°；

綜上48。。=65。或52.5。.

【變式3-1］已知O為直線上一點，射線OD、OC、0E位于直線上方,。。在0E的左側(cè)，乙40C=120。,

乙DOE=80°.

⑴如圖1,當(dāng)。。平分N&OC時，求NEOB的度數(shù)；

⑵點R在射線。B上，若射線OF繞點。逆時針旋轉(zhuǎn)n。（0<71<180且n豐60）,^FOA=3^AOD.當(dāng)乙DOE

在N40C內(nèi)部（圖2）和ADOE的兩邊在射線OC的兩側(cè)（圖3）時，"OE和NEOC的數(shù)量關(guān)系是否改變,

若改變，說明理由，若不變，求出其關(guān)系.

【答案】⑴40。

⑵不改變，乙EOF=2乙EOC,理由見解析

【分析】此題主要考查了角平分線的性質(zhì)以及角的有關(guān)計算，解決問題的關(guān)鍵是根據(jù)角的和差關(guān)系進(jìn)行

計算.

(1)利用角平分線和圖形尋找出角之間的關(guān)系即可得到結(jié)論；

(2)分兩種情況，找出角之間的關(guān)系即可求出結(jié)論.

【詳解】(1)解：國00平分乙4OC,

1

^COD=-^A0C=60°,

2

^DOE=80°.

^COE=乙DOE一匕COD=20°,

^AOE=/LAOC+Z.COE=120°+20°=140°,

回4BOE=180°-AAOE=40°；

(2)解：①NDOE在乙4。。內(nèi)部時.

令久。，貝叱DOF=2%。，AEOF=80°-2x°,

回NEOC=120°-(%。+2x°+80°-2x°)=40°-x。,

^\Z-EOF=2/.EOC；

②&DOE的兩邊在射線OC的兩側(cè)時.令乙4。。=x。，

則NDOF=2x。，ND。。=120。—%。，/.EOF=2x°-80°,

^Z-EOC=80°-(120°-x°)=x°-40°,

0ZEOF=24EOC.

綜上可得，NFOE和NEOC的數(shù)量關(guān)系不改變，AEOF=2乙EOC.

【變式3-2］圖1,把一副三角板拼在一起，邊。4。。放在直線EF上，其中乙408=45°,乙COD=60°.

⑴求圖1中乙8。。的度數(shù)；

⑵如圖2,三角板COD固定不動，將三角板40B繞點。順時針旋轉(zhuǎn)一個角度，在轉(zhuǎn)動過程中，三角板408

一直在直線EF上方，設(shè)NEOA=a.

①若08平分NEOD,求a；

②若NAOE=44B。。，求a.

【答案】⑴75。

⑵①a=15°；②60°或100°

【分析】本題考查了角的計算，角平分線的定義；

(1)根據(jù)平角的定義即可得到結(jié)論；

(2)①根據(jù)已知條件和角平分線的定義即可得到結(jié)論；

②分用含a的代數(shù)式表示出乙40c和NBOD,列方程即可得到結(jié)論.

【詳解】(1)EINAOB=45°,NC。。=60°,

0ZBOD=180°-/-AOB-乙COD=75°；

(2)①回“。。=60°,

0ZEOD=180°-60°=120°,

當(dāng)。B平分NEOD時，4EOB=2。D=60°,

SOB=45°,

回乙4OE=60°-45°=15°,

0a=15°；

②當(dāng)射線OB在NEOD內(nèi)部時，

0Z71OB=45°,“。。=60°,Z.EOA=a,

^/.BOD=180°-45°-60°-a=75°-a,

回乙4OE=4乙BOD,

團a=4(75°—a),

解得a=60°.

當(dāng)射線OB在4。。。內(nèi)部時，

回N/OE=a,Z,AOE=4乙BOD

^BOD=-a,

4

^COD=60°,

a

國EBOC=60°--,

4

回NAOB=45°,

0a+45°+60°--=180°,

4

解得a=100°

綜上所述，滿足條件的a的值為60。或100。.

圖1圖2備用圖

如圖，點。為直線4B上一點，Z.BOC=120°.

(1)如圖1,Z71OC=°.

⑵小明把一個三角板MON的直角頂點與圖1中的點O重合，并在直線4B上方旋轉(zhuǎn)QMON=90°).

①如圖2,當(dāng)。M平分乙40C時，求NBON的度數(shù).

②拓展延伸：在三角板M0N繞點O在直線AB上方旋轉(zhuǎn)的過程中，請直接寫出NCOM與NBON的數(shù)量關(guān)

系.

【答案】⑴60°

(2)①NBON的度數(shù)為60。、②當(dāng)直角三角板的。M邊在NBOC的外部時：乙BON—乙COM=3Q°；當(dāng)直角

三角板的0M邊在NBOC的內(nèi)部時：Z.BON+乙COM=30°

【分析】本題主要考查余角、補角及角平分線的定義，解決本題的關(guān)鍵是牢記這些知識點并靈活運用,

在最后一問一定要根據(jù)。”的位置進(jìn)行分類討論.

(1)根據(jù)補角的定義即可求得；

(2)①先求出乙40c的度數(shù)，再根據(jù)角平分線定義求出N40M,最后根據(jù)平角的定義即可求得答案；

②根據(jù)。M在0C的左右兩側(cè)進(jìn)行分類討論.

【詳解】(1)解:(1)???zBOC=120°,

???AAOC=180°-Z.BOC=60°.

故答案為：60.

(2)①?；Z.BOC=120°,

???AAOC=180°-乙BOC=60°,

???0M平分N40C,

???^AOM=-^AOC=30°,

2

???乙MON=90°,

???乙BON=180°-2LAOM-乙MON=60°.

②若0M在。C的左側(cè)時(圖2),

???乙MON=90°,

???乙CON=90。一乙COM,

???乙BOC=120°,

???乙CON+乙BON=120°,

??.90°一/-COM+(BON=120°,

???乙BON-乙COM=120°-90°=30°；

若OM在。C的右側(cè)時(備用圖)，

???乙MON=90°,ABOC=120°,

???乙BOC=(COM+乙MON+乙BON,

???120°=乙COM+90°+(BON,

???(COM+乙BON=120°-90°=30°；

綜上所述：乙COM+(BON=30。或乙BON-乙COM=30°.

類型四、角的折疊問題

【典例4】利用折紙可以作出角平分線.如圖1,通過折疊、展開，則。C為乙4。8的平分線.

展開

-----------?

OC為折痕

圖1

折疊長方形紙片，OC,。。均是折痕，折疊后，點4落在點4,點B落在點夕，連接04.

⑴如圖2,當(dāng)點夕在04上時，判斷N20C與N8。。的關(guān)系，并說明理由；

(2)如圖3,當(dāng)點B'在NCO4的內(nèi)部時，連接08',若乙4OC=44。,48。。=61。，求24。夕的度數(shù).

【答案】⑴乙4OC+NBOD=90。，理由見詳解

(2)30°

【分析】(1)本題考查有關(guān)角平分線的計算，根據(jù)折疊得到C。平分DO平分乙BOB'從而得到

^LAOC=^z.AOA',乙BOD=三乙BOB',結(jié)合NAOA+NBOB，=180。即可得至答案；

（2）本題考查有關(guān)角平分線的計算，根據(jù)折疊得到C。平分DO平分乙BOB，,從而得到乙4，。。=

“0C,乙BOD=LDOB',結(jié)合平角求出NC。。即可得至lj答案；

【詳解】（1）解：由折疊可得，

C。平分"。4,DO平分乙BOB1

11

團乙40C=-^AOA',乙BOD=占乙BOB',

22

團乙4。4+ABOB'=180°,

回乙4OC+乙BOD=|（乙4。4+乙BOB'）=90°：

（2）解：根據(jù)折疊得，

C。平分0。平分/BOB1

回乙40C=44°,/.BOD=61°,

S^A'OC=/-AOC=44°,4BOD=乙DOB'=61°,

0ZCOD=180°-乙4OC-乙BOD=180°-44°-61°=75°,

“OB'=4COD-^B'OD=75°-61°=14°,

回"'OB'=AA'OC-NB'OC=44°-14°=30°.

【變式4-1】如圖，將長方形4BCD沿4E折疊，得到如圖所示的圖形，已知NCEF=50。，貝U/4ED的度數(shù)

是（）

A.40°B.50°C.65°D.76°

【答案】C

【分析】本題考查了角的計算和翻折變換，注意翻折過程中不變的角和邊，根據(jù)鄰補角先求出ADEF,

然后根據(jù)翻折可知乙4ED=|4即進(jìn)而求解.

【詳解】解：?；乙CEF=50°

???乙DEF=180°-乙CEF=130°

由翻折可知

1

^AED=-^DEF=65°

故選：C.

【變式4-2］將一個長方形紙片按如圖所示的方式折疊，BD、BE為折痕，若/ABE=20。，貝ikCBO等于

B

A~\

A.50°B.60°C.70°D.80°

【答案】C

【分析】利用折疊對稱的關(guān)系，角的加減，求出NCBO的值.

【詳解】解：由題意可知：AABE=乙EBA，,乙ABD=乙DBC,

^ABE=20°,

1

^CBD=-^BC

1

=2(180。一〃84)

1

=-(180°-2z^BE)

1

=-(180°-2x20°)

=70°,

故選：C.

【點睛】本題考查了角的計算，折疊對稱，解題的關(guān)鍵是熟練掌握角的計算，圖形的折疊對稱的性質(zhì).

【變式4-3】如圖①，在一張長方形紙ZBCO中，E點在40上，并且乙4EB=60。，分別以BE,CE為折

痕進(jìn)行折疊并壓平，如圖②，若圖②中乙4位。=16。，則NCE?的度數(shù)為______.

AED

AED

B

BCD'

圖①圖②

【答案】38。

【分析】由折疊可得BE平分EL4EA',CE平分回再利用角的和差得至胞DEr>'=180°-：120°+16°=76°,

進(jìn)而可得答案.

【詳解】由折疊可得BE平分EL4E4,CE平分I3OE。

0EL4EB=6O°,

0&4￡4=2&4￡5=120°,

^EA'ED'=16°,

團團。￡￡>'=180°-120°+16°=76°,

1

00CEZ)=-x76o=38o.

2

故答案為：38°.

【點睛】本題考查角的計算，根據(jù)折疊的性質(zhì)得到3E平分她EV,C￡平分配比。是解題關(guān)鍵.

“壓軸能力測評??

1.平面上有A,B,C三點,已知4B=8cm,BC=5cm,則4c的長是()

A.13cmB.3cmC.13cm或3cmD.不能確定

【答案】D

【分析】此題考查兩點之間的距離，兩點之間線段最短，根據(jù)三點在一條直線上時得到最大值和最小值，

再由兩點之間線段最短可進(jìn)一步得出答案選擇即可.

【詳解】三點在一條直線上時，

AC=AB+BC=8+5=13(cm)或4c=AB-BC=8-5=3(cm)；

三點不在一條直線上時，根據(jù)兩點之間線段最短可知，4C在3和13之間，

綜合以上可知只有答案D符合要求.

故選：D.

2.如圖，將長方形紙片的一角作折疊，使頂點4落在4處，DE為折痕，將NBE4對折，使得夕落在直線EA

上，得折痕EG,若E4恰好平分NDE8,貝叱AOC=

【答案】30730&

【分析】本題主要考查了角的計算，由翻折的性質(zhì)可以得到：乙AED=AA'ED,AADE=AA'DE,然后

根據(jù)角平分線的定義得到NDE4=從而可以求出乙4ED,再根據(jù)三角形內(nèi)角和定理可以求出

乙ADE,從而求得N4DC.合理運用翻折的性質(zhì)以及角平分線的定義是本題解題的關(guān)鍵.

【詳解】解：由翻折的性質(zhì)可知：Z.AED=AA'ED,^ADE=^A'DE,

???E4恰好平分WEB,

???^DEA'=/.BEA!,

???4AED=/_DEA!=乙BEA',

又：乙AED+乙DEA，+乙BEA'=180°,

AAAED=乙DEA'=乙BEA'=60°,

又???Z.ADE+Z.AED=90°,

???/.ADE=30°,

AA'DC=90°-30°x2=30°.

故答案為：30°.

3.如圖，在直線l上順次取4B,C三點，已知AB=20,BC=80,點M,N分別從4B兩點同時出發(fā)向

點C運動.當(dāng)其中一動點到達(dá)C點時，M,N同時停止運動.已知點M的速度為每秒2個單位長度，點N速

度為每秒1個單位長度，設(shè)運動時間為t秒.

1/--A--------1-----B------1----------------------------------C--------1-------------

⑴用含t的式子表示線段4M的長度為；

(2)當(dāng)t為何值時，M,N兩點重合？

(3)若點P為AM中點，點Q為BN中點.問：是否存在時間t,使PQ長度為5?若存在，請說明理由.

【答案】(1)21

(2)當(dāng)t=20時，M、N兩點重合

(3)當(dāng)t=30或50時,PQ=5

【分析】本題考查一元一次方程的應(yīng)用、列代數(shù)式、線段的和與差，理解題意，正確得出表示線段的代

數(shù)式，利用數(shù)形結(jié)合思想和分類討論思想求解是解答的關(guān)鍵.

(1)直接根據(jù)路程=時間x速度求解即可；

(2)先用f表示出AM、AN,再根據(jù)題意列出方程求解即可；

(3)先用f表示出P4QA,再分點P在。的左邊和點P在Q的右邊，利用PQ=5列方程求解即可.

【詳解】(1)解：回點M的速度為每秒2個單位長度，運動時間為f秒，

^AM=2t,

故答案為：2t；

(2)解：由題意，AM=2t,AN=20+t,

當(dāng)M,N兩點重合時，AM=AN,

回2t=20+t,

解得t=20,

回當(dāng)t=20時，M、N兩點重合；

(3)解：存在時間f,使PQ=5.

由題意得，AM=2t,BN=t,

回點P為AM中點，點Q為BN中點.

1

回P4=t,BQ=-t,

回QA=20+|t,

當(dāng)點尸在。的左邊時，PQ=20+1t-t=5,解得t=30；

當(dāng)點尸在。的右邊時，PQ=t-(20+1t)=5,解得t=50,

團當(dāng)t=30或50時，PQ=5.

4.【問題背景】如圖1,已知射線。C在NAOB的內(nèi)部，若乙4OB,NAOC和NBOC三個角中有一個角的度數(shù)是

另一個角度數(shù)的兩倍，則稱射線OC是乙4OB的"量尺金線

圖1圖2

【問題感知】

(1)一個角的平分線這個角的"量尺金線"；(填"是"或"不是")

【問題初探】

(2)如圖2,Z.MPN=60°.若射線PQ是NMPN的“量尺金線"，則4QPN的度數(shù)為；

【問題推廣】

(3)在(2)中，若4MPN=%°,0°<x<60°,射線PF從PN位置開始，以每秒旋轉(zhuǎn)3。的速度繞點尸按

逆時針方向旋轉(zhuǎn)，當(dāng)NFPN首次等于180。時停止旋轉(zhuǎn)，設(shè)旋轉(zhuǎn)的時間為t(s).當(dāng)，為何值時，射線PM是

NFPN的"量尺金線"？(用含x的式子表示出f即可)

【答案】(1)是；(2)20或30或40；(3)|x,|x,%；

【分析】本題主要考查新定義下的角的計算，幾何圖形中的角度計算，理解題意，列出相應(yīng)的式子求解，

是解題關(guān)鍵.

(1)根據(jù)“量尺金線”的定義進(jìn)行判斷即可；

(2)根據(jù)"量尺金線"的定義分三種情況討論計算即可；

(3)射線PM是NFPN的"量尺金線"，PM在AFPN的內(nèi)部，PF在A/VPM的外部，然后分三種情況求解即

可.

【詳解】解：(1)一個角的平分線中，大角是小角的2倍，滿足"量尺金線〃的定義，

故答案為：是；

(2)NMPN=60。，射線PQ是NMPN的"量尺金線"，根據(jù)"量尺金線”的定義分三種情況討論：

當(dāng)4QPN=2NMPQ時，如圖，

M

//?/。

P

國乙QPN+24MPQ=60°,

2

團NQPN=60°x|=40°；

當(dāng)NMPQ=24JPN時，如圖,

回24QPN+乙MPQ=60°

團“PN=[x60。=20。；

當(dāng)zJVPM=24QPN時，如圖,

⑦乙MPN=60°,

S/.QPN=1x60°=30°；

綜上：當(dāng)4QPN為20。，30°,40。時，射線PQ是NMPN的“量尺金線

(3)回射線PM是NFPN的"量尺金線”，

EIPM在NFPN的內(nèi)部，

EIPF在NNPM的外部；

分三種情況：

①如圖，當(dāng)ZJVPM=2/FPM時，如圖所示：

12

團NFPN=乙NPM+Z.FPM=%°+-%°=-%°,

22

Q1

配=$%+3=-x(s)；

②如圖，當(dāng)乙FPN=24MPN時，如圖所示：

FM

回乙FPN=2x°,

2

tat=-%(s)；

③當(dāng)N產(chǎn)PM=2ZJVPM時，如圖所示:

回NFPM=2x°,

回NFPN=乙NPM+乙FPM=3x°,

配=3%+3=x(s)；

綜上：當(dāng)f為%或找或|x時，射線PM是NFPN的"量尺金線

操作1：如圖2,把紙片沿8M折疊，使2B落在邊BC上，貝ikMBA'=；

操作2：如圖3,把紙片沿BM、BN折疊，使AB、BC的對應(yīng)邊BA、BC，重合，求NMBN的度數(shù)：

操作3：如圖4,把紙片沿PM、PN折疊，使PB、PC的對應(yīng)邊P9、PC，重合，求NBPM+NNPC的度數(shù).

【答案】(1)45°；(2)45°：(3)90°

【分析】(1)由折疊知乙4BM=Z4BM,再根據(jù)乙4BC=90。即可求解;

(2)由折疊知乙4BM=NA'BM,乙CBN=LC'BN,再根據(jù)/ABC=90。即可求解；

(3)由折疊知NBPM=NB'PM,乙CPN=LC'PN,再根據(jù)NBPC=180。即可求解.

【詳解】解：(1)由折疊知乙4BM=N&BM,

由題意得：AABC=90°

???^MBA'=45°；

故答案為：45°；

(2)由折疊可知：乙ABM=LMBA，4CBN=KC'BN,

???^ABM+NMBA+乙CBN+乙C'BN=90°,

???24MBA，+2乙CBN=90°,

???2(NMB4+乙C'BN)=