專題11相似三角形中的“K”字型相似模型

【模型展示】

2

特點AZ）

如圖，直角三角形被斜邊上的高分成的兩，,直角三角形與原三角形相似，即

△ACD^/\ABC^ACBD.

結論C^=ADAB,BC?=BD-BA,C》=DA-DB

【模型證明】

“三垂直”模型

匕

BCD

如圖，NB=ND=/ACE=90。,則△A8CS/\CQE

解決方案“一線三等角”模型

A

BCD

如圖，NB=NACE=/D,則△ABCs/iCDE

特別地,連接AE,若C為8。的中點，則△ACEs△ABCs△CDE.

【題型演練】

一、單選題

1.如圖，矩形紙片ABCD中，AB=6,BC=8,E是邊CD上一點，連接AE.折疊該紙片，使點A落在AE

上的G點，并使折痕經過點B,得到折痕BF,點F在AD上.若DE=4,則AF的長為（）

C.3D.2

2.如圖，邊長為10的等邊AABC中，點。在邊AC上，且AD=3,將含30。角的直角三角板（N尸=30。）

繞直角頂點O旋轉，DE、。廠分別交邊AB、BC于P、Q.連接尸。，當防//PQ時，。。長為（）

A.6B.739C.10D.673

4

3.如圖，在矩形A2CD中，CD=4,E是BC的中點，連接AE,tan/AE8=§,尸是A。邊上一動點，沿過

點尸的直線將矩形折疊，使點。落在AE上的點"處，當八?，是直角三角形時，尸。的值為（）

.2—608T24

A.§或］B.§或亍

4.如圖，在矩形ABCD中，AB=4,AD=5,E、F、G、H分別為矩形邊上的點，HF過矩形的中心O,

且毋'=E為A3的中點，G為CO的中點，則四邊形匹6尸的周長為（）

2

A.3A/5B.6A/5C.8gD.6#）

5.如圖，E、F、G、”分別為矩形ABC。的邊A8、BC、CD、D4的中點，連接AC、HE、EC、GA、GF,

已知AG_LGP,AC=m,則下列結論：?ZDGA=ZCGF；?ADAG^ACGF；③48=2；?BE=^CF.正

確的個數是（）

A.2個B.3個C.4個D.5個

4

6.如圖，在AA5C中，ZC=90°,AB=5cm,cosB=-.動點。從點A出發沿著射線AC的方向以每秒1cm

的速度移動，動點E從點8出發沿著射線54的方向以每秒2cm的速度移動.已知點。和點E同時出發，設

它們運動的時間為f秒.連接3D.下列結論正確的有（）個

①3C=4；

②當AD=AB時，tanZABD=2；

25

③以點8為圓心、8E為半徑畫。8,當"古時，DE與08相切；

④當NCBD=NADE時，t=^.

A.1B.2C.3D.4

二、填空題

3

7.如圖，正方形ABC。的對角線AC,5□相交于點。，AB=5y[2,E為OC上一點，OE=2,連接BE,

過點A作/FLBE于點尸，與BD交于點G,則EF的長是.

8.如圖，在矩形ABCD中，AB=9,3c=12,尸是邊AD上一點，連接即，將沿8尸折疊使點A落

在G點，連接AG并延長交8于點E,連接GO.若△D￡G是以DG為腰的等腰三角形，則”的長為

9.如圖，AABC為等邊三角形，點D,E分別在邊ASAC上，3。=3,將VADE沿直線。E翻折得到VRDE,

當點尸落在邊BC上，且3F=4CF時，Z5E-AF的值為.

三、解答題

10.如圖，在矩形ABC。中，E為的中點，EF_LEC交AB于尸,延長山與直線CD相交于點G,連接

FC(AB>AE).

4

(1)求證：AAEFs^DCE；

（2）AAEF與△ECP是否相似？若相似，證明你的結論；若不相似，請說明理由；

（3）設黑=左，是否存在這樣的左值，使得AA斯與尸C相似？若存在，證明你的結論并求出左的值；若

BC

不存在，請說明理由.

11.（1）問題

如圖1,在四邊形ABC。中，點尸為上一點，當NDPC=NA=/B=90。時，求證：ADBC=APBP.

（2）探究

若將90。角改為銳角或鈍角（如圖2）,其他條件不變，上述結論還成立嗎？說明理由.

（3）應用

如圖3,在AABC中，AB=2日ZB=45°,以點A為直角頂點作等腰放&DE.點。在BC上，點E在

AC上，點廠在BC上，且NEFD=45。，若CE=下,求C￡）的長.

12.【感知】如圖①，在四邊形ABCZ）中，點P在邊48上（點P不與點重合），NA=N3=NO尸C=90。.易

證△ZMRS^PBC.（不需要證明）

【探究】如圖②，在四邊形A8C。中，點尸在邊A8上（點尸不與點48重合），ZA=NB=ZDPC.若PD=4,

PC=8,BC=6,求AP的長.

【拓展】如圖③，在AABC中，AC=BC=8,AB=12,點P在邊AB上（點尸不與點A、8重合），連結

CP,作NCPE=NA,PE與邊BC交于點、E,當△CPE是等腰三角形時，直接寫出AP的長.

5

13.如圖，在矩形ABCD中，E是BC上一點，于點/，設=；=/1(彳＞0).

(1)若4=1,求證：CE=FE；

(2)若AB=3,AD=4,且D、B、尸在同一直線上時，求4的值.

14.如圖，矩形ABCD中，AB=1,BC=3,點E是邊BC上一個動點(不與點B、C重合)，AE的垂線

AF交CD的延長線于點F,點G在線段EF上，滿足FG：GE=1：2,設BE=x.

ADDF

(1)求證:

AB-BE

(2)當點G在△ADF的內部時，用x的代數式表示NADG的余切;

(3)當/FGD=/AFE時，求線段BE的長.

15.如圖，已知四邊形ABCD,ZB=ZC=90°,P是BC邊上的一點，ZAPD=90°.

(1)求證：AABP-APCD；

(2)若BC=10,CD=3,PD=36,求AB的長.

6

16.如圖，四邊形ABC。和四邊形AEFG都是矩形，C,F,G三點在一直線上，連接Ab并延長交邊C。于

點若/AFG=/ACD.

(1)求證：①AMFCs△MCA；

②若A8=5,AC=8,求竺的值.

BE

(2)若。M=CM=2,AD=3,請直接寫出EF長.

17.如圖，在正方形ABC。中，點E在A。上，防，BE交8于點尸.

(1)求證：AABE?ADEF；

(2)連結8尸，若AABE?AEBF,試確定點E的位置并說明理由.

18.如圖，正方形ABCD的邊長等于G，尸是BC邊上的一動點，/APB、NAPC的角平分線尸￡、尸尸分別

交AB、CD于E、尸兩點，連接

(1)求證：ABEPs^CPF；

(2)當/抬8=30。時，求△「￡1/的面積.

7

19.如圖，四邊形ABCD是矩形，點P是對角線AC上一動點(不與A、C重合),連接PB,過點P作PELPB,

交射線。C于點E,已知AD=3,AC=5.設AP的長為x.

(1)AB=；當x=1時，――=；

ro

(2)試探究：否是定值?若是，請求出這個值；若不是，請說明理由；

(3)當APCE是等腰三角形時，請求出x的值.

20.【推理】

如圖1,在正方形ABC。中，點E是C。上一動點，將正方形沿著2E折疊，點C落在點尸處，連結8E,

CF,延長B交4D于點G.

(1)求證：LBCE4CDG.

【運用】

(2)如圖2,在【推理】條件下，延長2P交于點若吧=上,CE=9,求線段QE的長.

HF5

【拓展】

(3)將正方形改成矩形，同樣沿著2E折疊，連結C尸，延長CF,2尸交直線于G,兩點，若行=左，

BC

黑HD4求D名F的值(用含化的代數式表示).

HF5EC

圖1圖2備用圖

8

21.在矩形ABC。中，點E是8邊上一點，將VADE沿AE折疊，使點。恰好落在3C邊上的點尸處.

H

圖2

3

(1)如圖1,若tanNEFC=：,求AB：3c的值；

(2)如圖2,在線段所上取一點G,使AG平分N54F,延長AG,EF交于點H,若FG=BG+CF,求

的值.

22.問題提出

(1)如圖1,在矩形ABCD中，AB=4cm,點E為A2的中點，點尸在2c上，過點E作EG/ABC交ED于

點G.若EG=5cm,則△￡1￡0的面積為________.

BFCBC

圖1圖3

問題探究

(2)如圖2,在矩形ABCD中，AB=6cm,BC=9cm,點P是AD邊上一動點，點。是CZ)的中點將.^ABP

沿著筋折疊，點A的對應點是A,將沿著尸2折疊，點。的對應點是。6請問是否存在這樣的點P,

使得點P、A、M在同一條直線上？若存在，求出此時AP的長度；若不存在，請說明理由.

問題解決

(3)某精密儀器廠接到生產一種特殊四邊形金屬部件的任務，部件要求：如圖3,在四邊形ABCD中，

3c=4cm,點。到8C的距離為5cm,AOd.CD,且CO=&AO.若過點。作MN//BC,過點A作的

垂線，交MN于點、E,交CB的延長線于點X,過點C作CFLMN于點尸，連接AC.設AE的長為尤(cm),

四邊形ABCD的面積為Men?).

①根據題意求出y與x之間的函數關系式；

②在滿足要求和保證質量的前提下，儀器廠希望造價最低.已知這種金屬材料每平方厘米造價60元，請你

9

幫忙求出這種四邊形金屬部件每個的造價最低費用.（石X1.73）

10

專題11相似三角形中的“K”字型相似模型

【模型展示】

C

特點/￡）3

如圖，直角三角形被斜邊上的高分成的兩個直角三角形與原三角形相似，即

△ACD^AABC^/\CBD.

結論CA^^ADAB,BC2=BDBA,CD'^DADB.

【模型證明】

“三垂直”模型

[

BCD

則△ABCs△CDE

如圖，ZB=ZD=ZACE=90°f

解決方

“一線三等角”模型

案

A

二E

BCD

如圖，/B=/ACE=ND,則AABCs^CDE.

特別地，連接AE,若C為BD的中點，則△ACEsAABC^△CDE.

【題型演練】

一、單選題

1.如圖，矩形紙片ABCD中，AB=6,BC=8,E是邊CD上一點，連接AE.折疊該紙片,

使點A落在AE上的G點，并使折痕經過點B,得到折痕BF,點F在AD上.若DE=4,

則AF的長為（）

C.3D.2

【答案】C

11

【分析】由矩形的性質可得AB=CD=6,AD=BC=8,NBAD=ND=90。，通過證明

AFr）F

△ABF-ADAE,可得——=——,即可求解.

ABAD

【詳解】解：???矩形ABCD,

ZBAD=ZD=90。,BC=AD=8

ZBAG+ZDAE=90°

??,折疊該紙片，使點A落在AE上的G點，并使折痕經過點B,得到折痕BF,

?BF垂直平分AG

ZABF+ZBAG=90°

.\ZDAE=ZABF,

AAABF^ADAE

.AFABAF6

??=nn即=-

DEAD48

解之：AF=3.

故答案為：C.

【點評】本題考查了翻折變換，矩形的性質，相似三角形的判定與性質，熟練掌握翻折變換

和矩形的性質，證明三角形相似是解題的關鍵.

2.如圖，邊長為10的等邊“1BC中，點。在邊AC上，且AD=3,將含30。角的直角三角

板（々=30。）繞直角頂點。旋轉，DE、。尸分別交邊AB、于尸、Q.連接PQ,當EFIIPQ

時，。。長為（）

A.6B.739C.10D.6石

【答案】B

【分析】過點。作QK,AC于K,根據等邊三角形，和含30。角的直角三角形，易證得

△ADPs^BP。,從而求得線段BP,AP,BQ,CQ,CK,QK,DK的長度,最后在RtzXOQK

中利用勾股定理可以求得的長度.

【詳解】解：過點。作。K,AC于K,

在等邊AABC中，ZA=N3=NC=60°,AB=BC=AC=10,

在Rt&EFD中，ZE=60°,N尸=30。，

12

,.?EF//PQ,

：.ZDPQ=60°,/。。尸=30。，

ZAPD+ZADP=ZAPD+ZQPB,

：.ZADP=ZQPBf

又,:ZA=ZB=60°,

：./\ADP^/\BPQ,

?AD__A__P__P__D

??BP~BQ~QP9

???在Rt△尸QD中，ZDQP=30°,

PD=；QP，

PD1

即麗=5,

?_A_D___A__P__P__D__1

**BP-B2-2P-2?

VAZ)=3,

._3__l

BP~29

：.BP=6,

已知AB=10

???AP=AB-BP=10-6=4,

?__4____1

,,而一5'

???BQ=8,

：.CQ=BC-BQ=10-S=2f

在Rt^CQK中，NC=60。，

???NKQC=30。，

??.KC=4=2=I,

22

???DK=AC-AD-KC9

：.0K=10—3—1=6,

而sin“嗡,

560。=殷=g

22

KQ=^/3,

在Rt^OQK中，DQ=1KQ2+DK2,

13

DQ=7(73)2+62=J3+36=回，

即=屈.

故選：B.

【點睛】本題考查了等邊三角形的性質，特殊三角函數值，一線三等角的相似模型，正確找

到相似三角形是解題的關鍵.

4

3.如圖，在矩形A8CZ）中，CD=4,E是8C的中點，連接AE,tan/AE8=§,P是邊

上一動點，沿過點尸的直線將矩形折疊，使點。落在AE上的點W處，當是直角三

角形時，尸。的值為（）

【答案】B

【分析】根據矩形的性質得到CD乙8=90。，根據勾股定理求得AE,當AAP。是直

角三角形時，分兩種情況分類計算即可；

【詳解】???四邊形ABC。是矩形，

：.AB=CD,ZB=90°,

4

VCD=4,tanZAEB=-,：.BE=3,

3

在RdABE中，AE=^AB1+BE1=V32+42=5-

是BC的中點，

.".AD—6,

由折疊可知，PD=PD',

14

設P￡）=x,貝lJPD'=x,AP=6-x,

當△APZ7是直角三角形時，

①當乙4。尸=90。時，

???ZAD'P=ZB=90%

'JAD//BC,

：.ZPAD'=ZAEB,

：.AABEsAPDA,

,APPDf

??族—訪‘

.6—xx

?"丁="

._8

??x——,

3

?吁8

''PD-y

②當乙4尸。=90。時，

工ZAPD'=ZB=90°,

'：ZPAE=ZAEBf

：.AAPD^AEBA,

.APPD,

??蔗一萬’

.6-x_x

3~4,

._24

??X一,

7

24

:,PD=——；

7

綜上所述：當AAPD'是直角三角形時，的值為|或日；

故選：B.

【點睛】本題主要考查了矩形的性質，勾股定理，直角三角形的性質，相似三角形的判定與

性質，準確計算是解題的關鍵.

4.如圖，在矩形ABCD中，AB=4,AD=5,E、F、G、H分別為矩形邊上的點，HF

過矩形的中心。，且=E為AB的中點，G為8的中點，則四邊形￡y6尸的周長

為（）

15

A.3.75B.6A/5C.86D.6石

【答案】B

【分析】連接EG,證明四邊形￡HGF是矩形，再證明△A￡7/SADHG,求得AH與。歸的

長度，由勾股定理求得E"與龍，再由矩形的周長公式求得結果.

【詳解】解：連接EG,

四邊形ABCD是矩形，

:.AB=CD,ABI/CD,

?.?E為AB的中點，G為CO的中點，

:.AE=DG,AE//DG,

.??四邊形AEGD是平行四邊形，

:.AD=EG,

???矩形是中心對稱圖形，E由過矩形的中心。.

..EG過點0,且OH=OF,OE=OG,

四邊形EHGF是平行四邊形，

HF=AD=EG,

；?四邊形是矩形，

:.ZEHG=90°,

vZA=ZD=90o,

ZAHE+ZAEH=ZAHE+ZDHG=90°,

:.ZAEH=ZDHG,

:△AEHs乙DHG,

.AH_AE

"~DG~~DH，

設=則。H=5-x,

AE=DG=-AB=2,

2

x_2

?'-——----,

25—x

解得，x=l或4,

r.AH=1或4,

16

當=1時，0/7=4,貝I=JAH?+A爐=7TT^=逐，

HG=y/DH2+DG2=V42+22=26，

二四邊形EFG”的周長=2、（2迷+嶼）=66；

同理，當AH=4時，四邊形EFGH的周長=2x（2行+逐）=6百；

【點睛】本題主要考查了矩形的性質，相似三角形的性質與判定，勾股定理，關鍵在于證明

四邊形EHGF是矩形.

5.如圖，E、F、G、X分別為矩形ABC。的邊A3、BC、CD、的中點，連接AC、HE、

EC、GA,GF,已知AG±GF,AC=瓜，則下列結論：①/DGA=NCGF；②4Gs△CGF；

③A8=2；@BE=y[2CF.正確的個數是（）

A.2個B.3個C.4個D.5個

【答案】B

【分析】由余角的定義可推出/￡>G4+/CGP=90。，并不能說明/￡>G4=/CGb,說明①

錯誤；再根據N/MG+"G4=90。，可推出/ZMG=NCGb,進而可證明A/MG?ACGP,

說明②正確；連接BD,由三角形中位線可知==逅，再由AZMG?ACGP可進一

22

步推出”=坐，即CP=—CG,即8￡=應。b，說明④正確；在MAGCF中，

CGCr2

GF2=CF2+CG2,即可求出CG長度，即可求出AB=2,說明③正確.

【詳解】解：???NAGF=90。，

???NDGA+NCGF=90。,

???不能說明NQG4=NCG/，故①錯誤.

9

：ZDAG^ZDGA=90°f

：./DAG=/CGF,

又???ZADG=NGCF=90°

17

：.ADAGFCGF,故②正確.

如圖連接BD,

■:ADAGFCGF

在加AGCF中，GF2=CF2+CG2,即（當了=（曰CGT+CG?,

解得CG=1

AB=2CG=2,故③正確.

,/BE=CG,

：.CF=—BE,即3E=0C尸，故④正確.

2

綜上正確的有②③④共3個.

故選B.

【點睛】本題考查矩形的性質，余角，三角形中位線，三角形相似的判定和性質以及勾股定

理，綜合性強.能夠連接常用的輔助線和證明A/MG?ACGF是解答本題的關鍵.

4

6.如圖，在AABC中，ZC=90°,AB=5cm,cosB=-.動點。從點A出發沿著射線AC的方

向以每秒1cm的速度移動，動點E從點B出發沿著射線BA的方向以每秒2cm的速度移動.已

知點。和點E同時出發，設它們運動的時間為》秒.連接3D.下列結論正確的有（）個

@BC=4；

18

②當=時，tan/ABD=2；

③以點B為圓心、跖為半徑畫。2,當/=%時，與。2相切；

④當NCBD=NAT>E時，/=

A.1B.2C.3D.4

【答案】D

【分析】利用銳角三角函數求出BC可判斷①，利用勾股定理求AC,BD,AG,再用正切銳

角三角函數定義求值可判斷②，利用相似三角形判定與性質，可判斷③，利用相似三角形判

定與性質建構方程，解方程求解可判斷④

44

【詳解】解：在AABC中，NC=90o,A8=5cm,cosB=w.BC=AHcosB=5x《=4,

故①8C=4正確；

作AG_L8O于G,

在RtAABC中,AC=yjAB2-BC°=&2—4?=3,

'：AD=AB=5,AG±BD

：.CD=AD-AC=5-3=2,DG=BG,

在RtADCB中，BDudcif+BC?=4展+41=2也，

:.DG=BG=非,

在RtABGA中，AG=VAB2-BG2=J52-(A/5)2=275,

，tanZABD=%=半=2,

BG75

故②當=時，tan/ABZ)=2正確；

AC3

AD=t,BE=2t,cosA=——=-

AB5

3"||,BE=2/=2X^=|2

19

???AE=AB-BE=5-2t=5--=—

1313

15

13

-3

25-

5

13

AE

——,ZDAE=ZBAC,

ADAB

：.AADE^^ABC,

：.ZAED=ZACB=90°f

：.ZDEB=90°,

：.DE與。3相切，

25

故③以點5為圓心、郎為半徑畫03,當"一時，。石與相切正確;

過E作即_LAC于〃，

當NC5￡>=NAT>￡時，

NEHD=NDCB=90。,

:.AEHDsADCB,

,HEDH

'9~CD~~CB'

VAE=5-2r,

???AH=|（5-2/）,EH=|（5-2r）,CD=3-t,HD=AD-AH=t-3+^t=^t-3,

?：（5-2.）＞-3

3-t

整理得llr-80t+125=0,

因式分解得0"-25）（-5）=0,

.?"=普或f=5（舍去）,

故④當NCFD=NADE時，一言正確;

20

正確的結論有4個.

故選擇D.

【點睛】本題考查銳角三角函數求邊長，勾股定理，相似三角形判定與性質，圓的切線判定，

一元二次方程的解法，掌握銳角三角函數求邊長，勾股定理，相似三角形判定與性質，圓的

切線判定，一元二次方程的解法是解題關鍵.

二、填空題

7.如圖，正方形ABC。的對角線AC,3。相交于點。，AB=5血,E為0C上一點，OE=2,

連接8E,過點A作鹿于點與BZ）交于點G,則EF的長是.

【答案】業史

29

EFAE

【分析】根據正方形的性質求出AO=3O=CO=5,證明△胡尸得到二

OEBE

即可求出答案.

【詳解】解：???四邊形ABC。是正方形，AB=5夜，

ZAOB=90°,OA=OB=OC=OD,

2OA2=AB2.

AO=BO^CO=5,

■.■AFYBE,

:.ZEBO=ZEAF,

21

:./\EBO^/\EAF噎嚏

?：OE=2,OB=OA=5,

BE=V29,AE=7,

EF1解得g唱

2~V29

故答案為:嗜.

【點睛】此題考查正方形的性質，勾股定理，相似三角形的判定及性質，解題中熟練掌握并

運用各知識點是解題的關鍵.

8.如圖，在矩形45CD中，AB=9,BC=12,尸是邊上一點，連接8尸，將△ABF沿

3尸折疊使點A落在G點，連接AG并延長交CZ)于點E,連接GZ).若△DEG是以DG為腰

的等腰三角形，則AF的長為.

【答案】27-90或？

22

【分析】分兩種情形：如圖1中，當G￡)=GE時，過點G作于M,GN1CD于N.設

ABAF4

AF=x,證明△A4Ps△A￡)E,推出一=一，可得￡>E=?x,再證明AM=A0=6,在Rt4FGM

DADE3

中，利用勾股定理構建方程求解.如圖2中，當。G=OE時，利用相似三角形的性質求解即

可.

【詳解】解：如圖1中，當GD=G￡1時，過點G作GMLAD于M,GN工CD于N.設A尸=x.

圖1

..?四邊形ABCO是矩形，

：.AD=BC=12,ZBAF=ZADE=90°,

由翻折的性質可知，AF=FG,BFLAG,

：.ZDAE+ZBAE=90°,ZABF+ZBAE=90°,

：.ZABF=ZDAE,

22

,/ZBAF=ZADE=90°f

：./\BAF^/\ADE,

.AB_AF

??=,

DADE

.9_x

??一，

12DE

DE=—x,

3

'：GM±ADfGNLCD,

：.ZGMD=ZGND=ZMDN=90°,

???四邊形GM0N是矩形，

：.GM=DN=EN=-x

3f

?；GD=GE,

：?/GDE=NGED,

ZGDA+ZGDE=90°,ZGAD+ZGED=90°,

：.ZGDA=ZGADf

：.GA=GD=GE,

,:GM〃DE,

：.AM=MD=6,

22

在放△/GM中，則有V=（6-x）+（-x）2,

解得.幺理或江曳1（舍棄），

22

：.AF=27一9辨

2

由翻折的性質可知，BA=BG,

：.ZBAG=ZBGA,

■:DG=FE,

：.ZDGE=ZDEG,

U：AB//CD,

23

/BAE=/DEG,

：.ZAGB=ZDGE,

：.B,G,D共線，

VBD=VAB2+AT>2=V92+122=15,BG=BA=9,

：.DG=DE=6,

VABAF^AADE,

.AFAB

**DE-AD，

.AF_9

??=，

612

綜上所述，AF的值為27一9百或3

22

【點睛】本題考查矩形的性質，翻折變換，相似三角形的判定和性質，解直角三角形等知識，

解題的關鍵是學會利用參數構建方程解決問題，屬于中考填空題中的壓軸題.

9.如圖，AABC為等邊三角形，點。，E分別在邊AB,AC上，%)=3,將VADE沿直線

DE翻折得到VEDE,當點尸落在邊8C上，且踮=4C「時，DE-AF的值為.

【分析】根據△ABC為等邊三角形,△4。石與4FDE關于。E成軸對稱，可證△BDFSACFE,

根據BF=4CF,可得CF=4,根據AF為軸對稱圖形對應點的連線QE為對稱軸,可得DELAF,

根據S承形ADFE=^DEAF=SACEF=-SAABC-SACEF,進而可求DE,AF=.

【詳解】解：如圖，作AABC的高A3作△8〃尸的高。”，

24

???△ABC為等邊三角形，XADE與X關于。E成軸對稱,

AZDFE=ZDAE=60°,AD=DF,

：.ZCFE+ZFEC=ZCFE+ZDFB=120°,

AZDFB=/CEF,

又N5=NC=60。，

△BDFs^CFE,

.BDCF

??=,

BECE

設CF=x(x>0),

VBF=4CF,

：.BF=^x,

'：BD=3,

?CE-^

3

*.*BC=BF+CF=^x-\-x=5x,

???AD=AB-BD=BC-BD=DF=5x-3,AE=EF=5x--

3f

*.*△BDFs△CFE,

.DF_BD

??百一#'

5x-3_3

_4x2x

5x-------

3

解得：x=2,

.'.CF=4,

.*.BC=5x=10,

在Rt>ABL中，Z5=60。,

心A8sin60°=1Ox@=53

2

ASzABC=-x10x5>/3=25■，

2

:在RfAB/TO中，BD=3,ZB=60°,

DH=BDsm600=3x3=地，

22

：.SABDF=-BF-DH=-x8x^^=6y[3,

222

,:△BDFsMFE,

25

SCFEyCF)⑶4

?:SABDF=66,

：.SACEF=^-,

3

又：A尸為軸對稱圖形對應點的連線,。E為對稱軸，

：.AD=DF,AAD尸為等腰三角形，DEVAF,

：.S瞰形ADFE=^DEAF=SACEF=-SAABC-SACEF

=25&6也-正=2,

33

?m人09873

3

故答案為:也i.

3

【點睛】本題主要考查等邊三角形的和折疊的性質，一線三等角證明人型相似，以及“垂美

四邊形”的性質：對角線互相垂直的四邊形的面積=對角線乘積的一半.

三、解答題

10.如圖，在矩形ABCD中，E為的中點，EF工EC交AB于F,延長尸E與直線CD相

交于點G,連接BC(AB>AE).

(1)求證：AAEFs^DCE；

(2)AAEP與AECF是否相似？若相似，證明你的結論；若不相似，請說明理由；

(3)設黑=%，是否存在這樣的左值，使得AAEP與ABEC相似？若存在，證明你的結論并

BC

求出女的值；若不存在，請說明理由.

【答案】(1)見解析

(2)相似，證明見解析

26

(3)存在,k吟

【分析】(1)由題意可得NAE尸+NDEC=90。，又由NAEF+NA尸E=90。，可得NDEC=

ZAFE,據此證得結論；

(2)根據題意可證得7?柩AE尸g7?公￡)EG(ASA),可得EF=EG,ZAFE=ZEGC,可得CE

垂直平分PG,aCGF是等腰三角形，據此即可證得AAEF與AECF相似；

(3)假設△AE尸與△8FC相似，存在兩種情況：①當/AFE=NBCF,可得/EFC=90。，根

據題意可知此種情況不成立；②當/AFE=NBFC,使得△AEF與△8FC相似，設BC=a,

1?

則42=3，可得BF=-ka,再由△AEFs^ocE,即可求得左值.

(1)

證明：'：EFA.EC,

：.ZFEC=90°,

：.ZAEF+NDEC=90。,

ZAEF+ZAFE=90°,

：.4DEC=ZAFE,

又,:ZA=ZEDC=90°,

：.△AEFsLDCE；

(2)

解：&\EFsXECF.

理由：為AD的中點，

：.AE=DE,

■:/AEF=NDEG,NA=/EDG,

：.AAEF^AZ)EG(ASA),

：.EF=EG,NAFE=/EGC.

又,：EFLCE,

垂直平分FG,

...△CGF是等腰三角形.

ZAFE=ZEGC=ZEFC.

又：ZA=ZFEC=90°,

：.AAEFsAECF；

(3)

解：存在后=好使得AAEP與△BFC相似.

理由：

假設AAEB與△相似，存在兩種情況：

27

①當/AFE=NBCF,則有/AFE與N8FC互余，于是/E"=90。，因此此種情況不成立；

②當NBFC,使得△AEF與A8FC相似，

設BC=m則

,/AAEFs^BCF,

.AF_AE_1

,*BF-BC-2'

12,

AF=—ka,BF=—ka,

33

???AAEF^ADCE,

11,

.??任=竺，即。》

DCDEka一1a

2

解得，k=號.

；?存在左邛使得△4所與小“C相似.

【點睛】本題考查了矩形的性質，相似三角形的判定及性質，全等三角形的判定與及性質，

等腰三角形的判定及性質，采用分類討論的思想是解決本題的關鍵.

11.（1）問題

如圖1,在四邊形ABC。中，點P為A3上一點，當/DPC=NA=N8=90。時，求證：

ADBC=APBP.

（2）探究

若將90。角改為銳角或鈍角（如圖2）,其他條件不變，上述結論還成立嗎？說明理由.

（3）應用

如圖3,在AABC中，AB=2近,ZB=45°,以點A為直角頂點作等腰放ZvlDE.點。在

BC上，點E在AC上，點尸在BC上，且NE/Z>=45。，若CE=杷,求CD的長.

【答案】（1）見解析；（2）成立，理由見解析；（3）CD=5

【分析】（1）由/￡>PC=/A=B=90。，可得/ADP=/BPC,即可證到△ADP。△^PC,然

后運用相似三角形的性質即可解決問題；

（2）由oS^ZADP=ZBPC,即可證到△AOP"△^尸。，然后運用

相似三角形的性質即可解決問題；

（3）先證△ABDs△DFE,求出。戶=4,MffiAEFC^△DEC,可求FC=1,進而解答即

28

可.

【詳解】(1)證明：如題圖1,

*：ZDPC=ZA=ZB=90°f

：.ZADP+ZAPD=9Q°,ZBPC+ZAPD=90°,

ZADP=ZBPC,

：.△AOPs△BPC,

.ADAP

一而一法’

：.AD-BC=APBP,

(2)結論仍然成立，理由如下，

???ZBPD=ZDPC+ZBPC,

又?.?ZBPD=ZA+ZADP,

/DPC+/BPC=ZA+ZAD尸,

vZDPC=ZA,

設NDPC=ZA=a,

.\ZBPC=ZADP,

:.△ADPs/\BPC,

.ADAP

一而一法’

：.ADBC=APBPf

(3)ZEFD=45。,

:.ZB=ZADE=45°,

:.ZBAD=ZEDF,

:^DFE，

.ABAD

,?麗-

???VAT見是等腰直角三角形，

:.DE=CAD,

???AB=2垃，

:.DF=4,

???ZEFD=45°,ZADE=45°,

ZEFC=ZDEC=135°9

.△EFCSADEC,

FCEC

'~EC~~CD'

；EC=5CD=DF+FC=4+FC,

:.EC°=FC?CD=FC{4+FC)=5,

29

:.FC=\,

CD—5.

【點睛】本題考查相似三角形的綜合題，三角形的相似；能夠通過構造45。角將問題轉化為

一線三角是解題的關鍵.

12.【感知】如圖①，在四邊形ABC。中，點尸在邊上（點P不與點A、B重合），

ZA=ZB=ZDPC=90°.易證△ZMPs^pgc.（不需要證明）

【探究】如圖②，在四邊形ABC。中，點尸在邊A3上（點尸不與點A、2重合），

ZA=NB=NDPC.若尸D=4,PC=8,BC=6,求AP的長.

【拓展】如圖③，在AABC中，AC=BC=8,AB=12,點尸在邊A8上（點P不與點A、

8重合），連結CP,作NCPE=NA,PE與邊BC交于點E,當是等腰三角形時，直

接寫出AP的長.

【答案】【探究】3；【拓展】4或半.

【分析】探究：根據相似三角形的性質列出比例式，計算即可；

拓展：證明△ACPS^BPE,分CP=CE、PC=PE、EC=EP三種情況，根據相似三角形的性

質計算即可.

【詳解】探究：證明：???“尸3是的外角，

ZDPB^ZA+ZPDA,

即ZDPC+ZCPB=ZA+ZPDA,

?/ZA=ZDPC,

：.ZPDA=ZCPB,

又：ZA=ZB,

LDAPs公PBC,

.PDAP

**PC-BC?

VPD=4,PC=8,BC=