a百?m模型介紹

1.射影定理定義

①直角三角形中，斜邊上的高是兩直角邊在斜邊上射影的比例中項.

②每一條直角邊是這條直角邊在斜邊上的射影和斜邊的比例中項.

2.如圖在RtZ\A8C中，NA4c=90°,是斜邊8C上的高，有射影定理如下:

@AD2=BD'DC；

回注意：直角三角形斜邊上有高時，才能用射影

@AB2=BD'BC；AC2=CD-BC.

定理！

【例1】.在矩形A8C。中，8￡，47交4。于點￡,G為垂足.若CG=C￡)=1,則AC的長

解：,四邊形ABC。是矩形，,A3=CD=1,ZABC=90°,

\BELAC,：.ZAGB=90°=ZABC,

'：ZBAG=ZCAB,.?.△ABGsZXACB,.?.幽=膽，：.AG-AC=AB2（射影定理），

ABAC

即（AC-1）?AC=12,

解得：AC=H叵或AC=±Y￡（不合題意舍去），即AC的長為紅區，

222

故答案為：止區.

2

【例2】.如圖：二次函數尸a/+foc+2的圖象與x軸交于A、B兩點,與y軸交于C點，若

ACLBC,則a的值為（）

A.--B.--C.-1D.-2

24

解：設A(尤1,0)(xi<0),B(X2,0)(%2>0),C(0,t),

?.?二次函數y=/+6x+2的圖象過點C(0,f),

t=2；

VAC±BC,

29

/.OC=OAOB(射影定理)，即4=|XIX2|=-X1X2,

根據韋達定理知XLX2=2,??.〃=-J1.故選：A.

a2

【例3】.將BC沿弦折疊，交直徑A8于點D,若A0=4,DB=5,則的長是（)

c.V65D.2^/15

根據折疊的性質，知CD所對的圓周角等于/CBD,

又：立所對的圓周角是NCBA,

,：ZCBD=ZCBA,：.AC=CD（相等的圓周角所對的弦相等）;

/.△CAD是等腰三角形；

過C作CELAB于E.

'：AD=4,貝l]AE=r>E=2；：.BE=BD+DE=1；

在RtZ\ACB中，CELAB,根據射影定理，得：

BC2=BEMB=7X9=63；故BC=3小.故選：A.

A變式訓練

[變式1].如圖,在△ABC中，若AB^AC,BC=2BD=6,DELAC,則AC'EC的值是9

解：如圖，?.?在△ABC中，若AB=AC,BC=2BD=6,

J.AD1BC,CD=BD=3.

又DELAC,

：.ZCED=ZCDA=9Q°.

：NC=/C,

△CAD

ACD=EC；即AC?EC=C￡>2=9.（射影定理）

ACDC

故答案是：9.

【變式2].如圖所示，在矩形ABC。中，AELBD于點E,對角線AC,BD交于0,且3E：

￡￡>=1：3,AD=6cm,則AE=cm.

解：設BE=x,因為BE：ED=1：3,故皮>=3x,

根據射影定理，A￡>2=3x(3無+x),即36=12x2,

AE1=BE-ED,AE2=X-3X；即4君2=3/=3X3=9；AE=3.

【變式3]如圖，若拋物線y=o?+云+cQWO）與x軸交于A、B兩點，與y軸交于點C,

^ZOAC=ZOCB.則ac的值為（）

D.1

3

解：設A(xi,0),B(X2,0),C(0,c),

,二次函數y=ox2+bx+c的圖象過點c(0,°),

JOC=c,

ZOAC=ZOCB,OCLAB,

:AOACSMOCB,

???"OA—_0C"f

OCOB

AOC2=OA>OB(即射影定理)

即僅「以|=。2=-xi?尤2,

令a^+bx+c=0,

根據根與系數的關系知.n?x2=—,

a

?c2

?"XiXn==C，

1za

故ac=-1,故選：A.

【變式4】.如圖，正方形ABC。中，E為AB上一點，于點孔已知5EF=5,

過C、D、尸的OO與邊交于點G,則。G=.

在正方形ABCZ5中，ZEAD=ZADC=90°,AF±DE,

：.AAFO^AEAD,

.AD=DF

'"EDAD"

又；DF=5EF=5,

???AD=、ED，DF=、5義（5+1）=病=CD,

在Rt^A尸。中，AF=5/AD2_DF2=V30-25=V5,

VZCDF+ZADF=90°,ZDAF+ZADF=90°,

JZDAF=/CDF,

,/四邊形GFCD是。。的內接四邊形，

：.ZFCD^ZDGF=\SO°,

VZFGA+ZZ）GF=180°,

：.ZFGA=ZFCD9

：.AAFGsADFC,

.AG=AF

"CDDF,

.AG_V5

.而一T，

.,.AG=J^,

J.DG^AD-AG=5巧3-娓

【變式5】.如圖，在△ABC中，以AC邊為直徑的。。交3c于點。，過點2作8GLAC

交。。于點E、H,連A。、ED、EC.若8。=8,DC=6,則CE的長為2后T.

解：:AC為。。的直徑,

AZADC=90°,

'：BG±AC,

：.ZBGC=ZADC=90°,

'：ZBCG=ZACD,

：.△ADCs^BGC,

.DC=AC

"CGBC"

.?.CGMC=DC?BC=6X14=84,

連接AE,

：AC為。。的直徑，.?.NAEC=90°,

AZAEC=ZEGC^9Q°,

NACE=ZECG,

.,.△C￡G^>ACA￡,.?.苴=比，

CEAC

.?.CE2=CGMC=84,.*.C￡=2V21.

故答案為2亞.

【變式6】.如圖，四邊形ABC。是平行四邊形，過點A作AEL3C交8C于點E,點尸在

BC的延長線上，且CB=BE,連接。足

(1)求證：四邊形AEFD是矩形；

(2)連接AC,若NAC￡)=90°，A￡=4,CF=2,求EC和AC的長.

(1)證明：：四邊形ABCO是平行四邊形，.?.A￡)〃BC,AD=BC,

"：CF=BE：.BE+CE=CF+CE,

即BC=EF,：.AD=EF,

：AD〃EF,...四邊形AE即是平行四邊形，

'：AE±BC,.?.NAEF=90°,，平行四邊形AEFD是矩形；

(2)解：如圖，'：CF=BE,CF=2,

:.BE=2,:四邊形ABC。是平行四邊形，J.AB//CD,：.ZBAC^ZAC￡>=90°,

Ay2J2

'：AE.LBC,:.AE2=BE,EC(射影定理)，：.EC=-^—=—=S,

BE2

,'-AC=VAE2<E2=^42+82=4^5.

AD

□fl

百H實戰演練

1.4口圖，在矩形ABC。中,DE±AC,垂足為點E.若sin/AOE=2,AD=4,則AB的長

解：-DELAC,

/.ZADE+ZCAD=90°,

VZACD+ZCAD^90°,

ZACD=ZADE,

'：矩形ABCD的對邊AB//CD,

：.ZBAC=ZACD,

sinZA￡)E=—,BC=AD=4,

5

.BC=4.4=4

：.AC=5,

"AC5""AC5

由勾股定理得，^=VAC2-BC2=3,故選：c-

2.如圖，在矩形ABC。中，BD=2M.對角線AC與3。相交于點。，過點。作AC的垂

A.4B.273C.9D.473

4

解：：四邊形A8CD是矩形，.?./ADC=90°,AC=BD=26,

'：AE=3CE,：.AE=^-AC=2-43>CE=LC=近，

4242

VZADC=90°,AZDAC+ZACD=90°,

VDEXAC,ZAED=ZCEO=90°,

ZADE+ZDAC=90°,ZADE=ZACD,：.AADE^ADCE,.?理=里

CEDE

.,.￡)￡2=A￡?C￡=-^-V3X2Z1_=2,故選：c.

224

3.如圖，在正方形ABC。內，以。點為圓心，長為半徑的弧與以8C為直徑的半圓交

于點尸，延長CP、AP交AB、8C于點M、N.若AB=2,則A尸等于（)

D

A,遮B.2Vwc.巫D.垣

2555

解：如圖，設點S為2C的中點，連接DP,DS,DS與PC交于點W,作PEL2C于點E,

PF1AB于點F,

:.DP=CD=2,PS=CS=1,即。S是尸C的中垂線，:ADCS"ADPS,

：.ZDPS=ZDCB=90°,：.DS=VDC2+CS2=722+l2=疾，

由三角形的面積公式可得產。=生叵，

5

為直徑，：.ZCPB=90°,，-2=依2_氏2=^^,

：.PE=FB=PC^B=-1,/.PF=BE=VpB2-PE2=T>

DUDD

：.AF=AB-FB=^-,:.AP=y//十叩2=當叵故選:B.

55

4.如圖，點P是O。的直徑A4延長線上一點，PC與O。相切于點C,CD±AB,垂足為

D,連接AC、BC、OC,那么下列結論中：①PC2=M?PB；?PC-OC=OP'CD；③。

解：①與。。相切于點C,

：.ZPCB=ZA,NP=NP,.,.△PBC^APCA,：.PC1=PA'PB-,

?-：OCLPC,：.PC'OC=OP'CD-,

@'：CDLAB,OCLPC,：.OC2=OD'OP,

"：OA=OC,：.OA2=OD-OP；

@VXAP'CD=AOC-CP-AGA-CD,OA=OC,：.OA(CP-CD)=AP'CD,

222

所以正確的有①，②，③，④，共4個.故選：D.

5.如圖，在RtZkABC中，ZA=90°,A8=AC=8%,點E為AC的中點，點尸在底邊

BC上，5.FELBE,則CP長.

解：作EH_L8C于H,如圖，

VZA=90°,AB=AC=8%,:.BC=^AB=16M，ZC=45°,

:點E為AC的中點，:.AE=CE=4娓,

為等腰直角三角形，.?.￡"="=性也=4正，.?.2"=12?

V2

在中，

Rt^ABE5￡=^AB2+AE2=4730.

在RtZ\BEP中，'JEHLBF,：.BE2=BH'BF,

即BF==4。%'3,:.CF=BC-BF=1673-孤3=

1273333

故答案為⑻巨.

6.如圖，在矩形ABC。中，點E在邊AD上，把△ABE■沿直線BE翻折，得至lJ△G2E,BG

的延長線交CD于點F.F為CD的中點，連結CG,若點E,G,C在同一條直線上，FG

=1,則C。的長為2+2點,cos/DEC的值為五-1.

解：；四邊形ABCD是矩形，

C.AB^CD,AD//BC,N2C￡)=NA=/￡>=90°,

/AEB=ZEBC,ZBCG=ZDEC,

由折疊的性質得：BG=BA,NEGB=/A=90°,ZGEB=ZAEB,

*.CD=BG,

：.ZEBC=ZGEB,

：.BC=EC,

?.?點E,G,C在同一條直線上，

：.ZCGF=90°,ZCGB=180°-Z￡GB=90°,

?.?尸為CD的中點,

：.CF=DF,

設CP=DB=尤，則BG=Cr>=2x,

/CFG=ZBFC,

:.△CFGsABFC,

?CF=FG

*'BFCF'

：.CF1=FG'BF,

即/=1X（1+2尤），

解得：尤=1+&或x=l-&（舍去），

:.CD=2x=2+2近,

'：ZDEC+ZECD=9Q°,ZGFC+ZECD=90°,

NDEC=ZGFC,

cosZDEC—cosZGFC==——^=-=^2_1>

CF1W2

故答案為：2+2我，V2-1.

7.如圖，在平面直角坐標系中，直線y=fct+l分別交無軸，y軸于點A,B,過點B作BC

XAB交x軸于點C,過點C作交y軸于點D,過點D作DELCD交x軸于點E,

過點E作EPLOE交y軸于點?已知點A恰好是線段EC的中點，那么線段跖的長

解：因為48的解析式為尸爪+1,所以8點坐標為（0,1）,A點坐標為（-50），

由于圖象過一、二、三象限，故%>0,

又因為8C_LAB,BOLAC,

所以在RtZVIBC中，8。2=&。.。。，代入數值為：iCO=k,

k

同理，在RtZXBCD中，CO2=BO^DO,

代入數值為:必=『DO,。。=A2又因為A恰好是線段EC的中點，所以2為尸。的中點，

OF=1+1+M,RtZifED中，

根據射影定理，EO2=DO'OF,即1+』+』）2=^<1+^+1）,

kk

整理得（人-&）（左+加）（/+2）（M+1）=0,解得左=企.

根據中位線定理，EF=2GB=2DC,女=J（加）2+（（a）2）2=a，EF=2^

8.如圖，在菱形ABC。中，過點。作。ELCO交對角線AC于點E,連接BE,點尸是線

段8E上一動點，作P關于直線QE的對稱點P,點。是AC上一動點，連接P。，DQ.若

AE=14,CE=18,則。Q-PQ的最大值為—工曳2_.

3

解：如圖，連接8。交AC于點O,過點。作。K_L3C于點K,延長0E交A8于點凡

連接EP并延長，延長線交A2于點J,作￡7關于AC的對稱線段E/,則點P的對

應點尸"在線段EJ'上.

當點P是定點時，DQ-QP'=DQ-QP",

當DP",。共線時，QD-QP'的值最大，最大值是線段Z5P〃的長，

當點尸與8重合時，點P"與/重合，此時的值最大，最大值是線段DT

的長，也就是線段即的長.

?..四邊形ABC。是菱形，

J.ACLBD,AO=OC,

VA￡=14.EC=18,

：.AC=32,AO=OC=16,

OE=AO-AE=16-14=2,

\'DE±CD,

：.ZDOE=ZEDC=90°,

ZDEO=ZDEC,

：.△EDOS^ECD,

:.D憚=EO?EC=36,

:.DE=EB=EJ=6,

=22

???CDVEC-DE=V182-62=12企>

O￡)=7DE2-0E2=V62-22=4^2-

:.BD=8如,

SADCB=LXOCXBD=LBC?DK,

22

16X872_32

：.DK=

12V2T

'：ZBER=ZDCK,

32

sin/BER=sinZDCK=^-=—^=

CD12V2

:.RB=BE乂至必=為必,

93

?:EJ=EB,ERLBJ,

:.JR=BR=^^,

3

:.JB=DJ'=16五,

3

：.DQ-P'Q的最大值為16泥.

3

解法二:DQ-P,Q=BQ-P'Q^BP',顯然P的軌跡EJ,故最大值為BJ.勾股得CD,OD.△

BDJsABAD,BD2=BJ*BA,可得BJ=16后..

3

故答案為：里亞.

3

9.在矩形ABC。中，點E為射線BC上一動點，連接AE.

(1)當點E在BC邊上時，將AABE沿AE翻折，使點8恰好落在對角線BD上點F處,

AE交BD于點G.

①如圖1,若BC=?AB,求/AED的度數；

②如圖2,當AB=4,且EP=EC時，求BC的長.

(2)在②所得矩形ABC。中，將矩形ABC。沿AE進行翻折，點C的對應點為C,當點

E,C,。三點共線時，求BE的長.

圖1圖2備用圖

解：（1）①：四邊形ABCD是矩形，：.AD=BC,ZBAD=90°,

,:BC=?AB,：.AD=MAB,，tanNAB￡）=果=E,Z.ZAB￡>=60°,

由折疊的性質得：AF=AB,.?.△48尸是等邊三角形，，/4尸8=60°,

AZAFD=180°-ZAFB=120°；

②由折疊的性質得：BF±AE,EF=EB,

；EF=EC,：.EF=EB=EC,：.BC=2BE,

:四邊形ABCD是矩形，AZABC=90°,AD=BC=2BE,AD//BC,

:.△ADGs^EBG,.?.迪=幽=2,：.AG=2EG,

EGBE

設EG=尤，則AG=2尤，：.AE=3x,

在AABE中，BG±AE,，AB2=AG?AE（射影定理），BP42=2x?3x,

解得：x=2展（負值己舍去），，AE=3x=2五,

22=22

^=VAE-ABV（2V6）-4=2a,,BC=2BE=4如,

即BC的長為4衣；

（2）當點E,C,。三點共線時，如圖3,

由②可知，BC=4&,

:四邊形ABCD是矩形，

ZABC=ZBCD=90°,AD=BC=4?CD=AB=4,AD//BC,

：.ZDCE=9Q°,NCED=/B'DA,

由折疊的性質得：AB'=AB=4,ZB'=ZABC=90°,

:.NDCE=/B',DC^AB',：./\CDE^/\B'AD（A4S）,

22

?，-DE=AD=4^2，：.CE=A/DE-CD=V（4V2）2-42=4,

:.BE=BC+CE=4如+4.

B'

B

E

圖3

10.如圖，已知。。的半徑為2,A8為直徑，CD為弦,A2與CD交于點M,將弧C￡)沿

著C。翻折后，點A與圓心。重合，延長。4至P,使AP=O4,連接尸C.

(1)求證：PC是的切線；

(2)點G為弧AD8的中點，在PC延長線上有一動點。，連接QG交A8于點E,交弧

BC于點與8、C不重合).問GE?GF是否為定值？如果是，求出該定值；如果不

是，請說明理由.

解：⑴\'PA=OA=2,AM=OM=\,CM=M，

又:/01/尸=/0加。=90°,

22

；?PC=VMC+PM-2^3，

"：OC=2,PO=4,

：.PC2+OC2^PO2,

：.ZPCO=90°,

...PC與o。相切；

(2)GE?Gf"為定值，理由如下：如圖2,

連接G4、AF.GB,

;點G為弧AOB的中點,

AC=GB,

：.ZBAG=ZAFG,

/AGE=/FGA,

：.AAGE^AFGA,

?.?AG-FG-,

GEAG

J.GE-GF^AG2,

為直徑，A2=4,

：.ZBAG=ZABG=45°,

:.AG=2?

：.GE-GF=AG2=8.

11.如圖1,在正方形ABC。中，點E是AB邊上的一個動點(點E與點A,B不重合)，連

接CE,過點8作BfUCE于點G,交A。于點尺

(1)求證：AABF當LBCE；

(2)如圖2,當點E運動到A3中點時，連接DG,求證：DC=DG；

(3)如圖3,在(2)的條件下，過點C作CMLOG于點分別交ADBF于點M,

N,求螞的值.

NH

(1)證明：'.'BF1.CE,

：.ZCGB^90°,

：.ZGCB+ZCBG=9Q,

:四邊形ABC。是正方形，

:./CBE=90°=ZA,BC=AB,

：.ZFBA+ZCBG^90,

：.ZGCB=ZFBA,

:AABF^二BCE(ASA)；

(2)證明：如圖2,過點。作。于H,

設AB=CD=BC=2a,

?點E是AB的中點，

：.EA^EB^—AB^a,

2

.'.CE=yf5a,

在RtzXC班中，根據面積相等，得BG，CE=CB，EB,

；.BG=^^-a,

5

CG=VCB2-BG2=邛口’

D

*：ZDCE+ZBCE=90°,/CBF+NBCE=9U°,

:?/DCE=NCBF,

?:CD=BC,ZCHD=ZCGB=90°,

:?△CHD/ABGC(A4S),

：.CH=BG=^^-a,

5

/.GH=CG-CH=當3=CH,

5

,:DH=DH,ZCHD=ZGHD=90°,

△￡>GHg/XDCH(SAS),

：.CD=GD；

(3)解：如圖3,過點。作ZJQLCE于Q,

SHDG=L，DQ?CG=LCH?DG,

22

???吁警g

在RtZ\C。。中，CD=2a,

DH=VCD2-CH2=Ta,

b

VZMDH+ZHDC=90°,ZHCD+ZHDC=90°,

ZMDH=ZHCD,

:.△CHDsADHM,

.PHMH_3

'*CH"DHT

在Rt/XCHG中，CG=匐na,CH=^-a,

55

GH=VCG2-CH2=