幾何最值之將軍飲馬鞏固練習（基礎）

1.如圖，正方形A2EF的面積為4,△BCE是等邊三角形，點C在正方形外，在對角線B尸上有一

點P,使尸C+PE最小，則這個最小值的平方為（）

A.4-73B.8+4-73C.12D.8+2-73

2.如圖，在△ABC中，A8=AC,AC的垂直平分線交AC于點N,交A8于點M,AB=12,△BMC的周長

是20,若點P在直線MN上，則融一的最大值為（）

A.12B.8C.6D.2

3.如圖，在NMON的邊。M,ON上分別有點A,。，且NMON=30。，。4=10,OD=6,B,C兩點分別是

邊OM,ON上的動點，則AC+BC+BD的最小值為.

4.如圖，在菱形ABC。中，43=6,ZABC=60°,AC與8。交于點。，點N在AC上且AN=2,點M在

2

BC上且BM=-BC,P為對角線BD上一點，則PM~PN的最大值為.

o

5.如圖，在菱形ABC。中，AB=2yZ2,NA=120。，點P,Q,K分別為線段BC,C。，BD上的任意一點,

則PK+QK的最小值為.

6.如圖，等邊AABC的邊長為4,是8c邊上的中線，P是邊上的動點，E是AC邊上一點，若

AE=2,當EF+CT取得最小值時，則NECF的度數為多少？

7.如圖，在△ABC中，已知的垂直平分線交A2于點N,交AC于點M,連接

(1)若/A8C=70。，則/NMA的度數是度；

(2)若AB=8,△MBC的周長是14.

①求BC的長度；

②若點P為直線MN上一點、,請你直接寫出APBC周長的最小值.

8.如圖，在四邊形中，BC//AD,BC=A。，點E為的中點，點F為AE的中點，ACLCD,

連接BE、CE、CF.

Cl)判斷四邊形A8CE的形狀，并說明理由；

(2)如果A8=4,/。=30。，點P為8E上的動點，求△抬尸的周長的最小值.

9.如圖，在△ABC中，AB=AC,A。是中線，且AC是DE的中垂線

(1)求證：ZBAD^ZCAD；

(2)連接CE,寫出8。和CE的數量關系，并說明理由；

(3)當/BAC=90。，BC=8時，在AD上找一點P,使得點P到點C與到點E的距離之和最小，求△8”

的面積.

10.如圖，在△ABC中，ZACB=90°,以AC為邊在△ABC外作等邊三角形ACD,過點。作AC的垂線,

垂足為E與A3相交于點E,連接CE

(1)說明：AE=CE=BE；

(2)若尸是直線。E上的一點，則當P在何處時，P8+PC最小，并求出此時PB+PC的

值.

AEB

幾何最值之將軍飲馬鞏固練習（基礎）

1.如圖，正方形A2EF的面積為4,△BCE是等邊三角形，點C在正方形外，在對角線B尸上有一

點P,使尸C+PE最小，則這個最小值的平方為（）

A.4-73B.8+4-73C.12D.8+2-73

【解答】B

【解析】連接AC、AE,過點C作CGLA8,如圖所示:

正方形ABEF,

：.AE±BF,OA^OE,

即可得：E關于的對稱點是A,連接AC交3尸于尸，則此時EP+CP的值最小，EP+CP=AC,

?.?正方形的面積為4,△BCE是等邊三角形，

：.AB=BE=2,BE=BC=2,

在中，ZCBG=90°-60°=30°,BC=2,

r.CG=i,5G=心，

/.AC=y/CG2+AG2=^/12+（2+V3）2=/8+4退,

/.AC2=8+4^/3,即這個最小值的平方為8+4^/3.

2.如圖，在△ABC中，A8=ACAC的垂直平分線交AC于點N,交A8于點M,AB=12,△BMC的周長

是20,若點尸在直線MN上，則B4一尸3的最大值為（）

A.12B.8C.6D.2

A

【解答】B

【解析】垂直平分AC,.,.MA=MC,

又：CQBMC=BM+MC+BC=20,BM+MA=AB=12,

/.BC=20-12=8,

在MN上取點P,：MN垂直平分AC,

如圖所示，連接B4、PB、PC,：.PA=PC,

在△PBC中PC-PB<BC

當尸、B、C共線時(PC—PB)有最大值，此時PC—P2=BC=8,故選A

3.如圖，在NMON的邊。W0N上分別有點A,。，且NMON=30。，0A=10,OD=6,B,C兩點分別是

邊OM,ON上的動點，則AC+BC+BD的最小值為.

M

N

DC

【解答】2誨

【解析】作點D關于OM的對稱點O,作點A關于ON的對稱點A',連接A'D',與OMQN的交點就是點B、

C,如圖所示：

此時AC+BC+3。=A'C+BC+B。=A'Z）為最短距離。

連接。。，OA',

根據對稱性可知：

OA=OA',OD=OD',NAOA=60°,ZDOD'=60°,

：.△AO4和△QO。是等邊三角形，

：.OD'=OD=6,OA'=OA=W,ZA'OD=90°,

根據勾股定理，得據。=+002=,102+62=2.,

：.AC+BC+BD的最小值為2/1.

4.如圖，在菱形ABC。中，AB=6,ZABC=6Q°,AC與8。交于點。，點N在AC上且AN=2,點M在

2

BC上且BM=-BC,P為對角線BD上一點，則PM~PN的最大值為.

o

【解答】2

【解析】如圖所示，作以8。為對稱軸作N的對稱點N,連接PN,MN,

AD

MC

根據軸對稱性質可知，PN=PN,：.PM-PN=PM—PNWMN,

當尸,MN三點共線時，取“=”，

:在菱形ABC。中，AB=6,ZABC=60°,：.AC=6,

?.,。為AC中點，；.A0=0C=3,

"：AN=2,：.ON=1,

：.ON=\,CN=2,；.AN=4,

22

,:BM=五BC=5X6=4,

oo

CM=AB-BM=6-4=2,

,CM_CN'_1

一~BM='AN7=5'

：.PM//AB//CD,/CMN=60°,

'：/NCM=60。,：.ANCM為等邊三角形，

：.CM=MN'=2,即PM—PN的最大值為2.

/

5.如圖，在菱形ABC。中，AB=2V2,NA=120。，點P,Q,K分別為線段BC,C。，BD上的任意一點,

則PK+QK的最小值為.

【解答】

【解析】過點C作CEL4B,如圖所示:

AD

:菱形4BCD中，AB=2y/r2,ZA=120°,

ZABC=60°,BC=2-\/2,BD平分NABD,

：.BE=V2,CE=y/3BE=>/6,

；BD平分NABD,.?.在AB上作點P關于BD的對稱點P',

：.PK+QK^P'K+KQ,

當P',K,Q三點共線且P'QLAB時，PK+QK有最小值，

即最小值為平行線AB,CD的距離，則最小值為^/6.

6.如圖，等邊△ABC的邊長為4,A。是BC邊上的中線，尸是4。邊上的動點，E是AC邊上一點，若

AE=2,當所+C尸取得最小值時，則NECT的度數為多少？

【解答】NEC尸=30°

【解析】過E作EM〃BC,交于N,如圖所示:

A

VAC=4,AE=2,:.EC=2=AE,

：.AM=BM=2,：.AM=AEf

?「AO是8C邊上的中線，△ABC是等邊三角形，：.AD±BC,

*：EM//BC,：.AD±EMf

9

：AM=AEf.??E和M關于AO對稱，

連接CM交AD于R連接ER則此時成+C尸的值最小，

VAABC是等邊三角形，

???NAC3=60。，AC=BC,*：AM=BM,

：.ZECF=-ZACB=30°.

7.如圖，在△ABC中，已知AB=AC,A8的垂直平分線交AB于點N,交AC于點M,連接

(1)若ZABC=70°,則/NMA的度數是度；

(2)若AB=8,△M8C的周長是14.

①求BC的長度；

②若點尸為直線上一點，請你直接寫出△P8C周長的最小值.

【解答】(1)/NMA=50。；(2)①BC=6,②最小值為14

【解析】（1）'：AB=AC,：.ZC=ZABC=10°,：.ZA=40°,

,：AB的垂直平分線交AB于點N,

：.ZANM=90°,

：.ZNMA=50°；

（2）①:MN是AB的垂直平分線，

△MBC的周長=BM+CM+BC=AM+CM+BC=AC+BC,

VAB=8,AMBC的周長是14,

.*.BC=14-8=6；

②當點尸與M重合時，△P2C周長的值最小，

理由：'：PB+PC^PA+PC,PA+PC^AC,

與M重合時，PA+PC=AC,此時P8+PC最小，

ZiPBC周長的最小值=AC+BC=8+6=14.

8.如圖，在四邊形A8C。中，BC//AD,BC=[A。，點E為的中點，點尸為AE的中點，ACYCD,

連接BE、CE、CF.

（1）判斷四邊形A8CE的形狀，并說明理由；

（2）如果A8=4,/。=30。，點P為8E上的動點，求ARI尸的周長的最小值.

【解答】（1）菱形；（2）2v3+2

【解析】（1）四邊形AOCE是菱形，理由如下

?.?點E是A￡>的中點，：.AE=^AD

?：BC=：.AE=BC

,JBC//AD,BPDC//AE,

四邊形ABCE是平行四邊形，

VAC±CD,點E是的中點，：.CE=AE=DE,

，四邊形ABCE是菱形；

(2)由(1)得，四邊形ABCE是菱形

：.AE=EC=AB=4,且點A、C關于BE對稱，

:點尸是AE的中點，AF=^AE=2,

當B4+P/最小時，4P的周長最小，

即點P為C尸與BE的交點時，AB4P的周長最小，

此時△出尸的周長=B4+PF+AF=CF+AF,

在RtAACD中，點E是A。的中點，則CE=DE,

ZECD=ZD=30°,NACE=90°—30°=60°

.?.△ACE是等邊三角形，；.AC=A￡T=CE=4,

'：AF=EF,CF±AE,：.CF=y/AC2—AF2=2^

△RIB的周長最小=CF+AP=2V^+2.

9.如圖，在△ABC中，AB=AC/。是中線，且AC是。E的中垂線

(1)求證：ZBAD=ZCAD；

(2)連接CE,寫出3。和CE的數量關系，并說明理由；

(3)當/BAC=90。，BC=8時，在AD上找一點P,使得點P到點C與到點E的距離之和最小，求△BCP

的面積.

【解答】(1)見解析；(2)BD=CE；(3)8

【解析】(1)?.?A8=ACA。是中線，ZBAD=ZCAD；

(2)BD=CE.

理由：是中線，：.BD=CD,

關于AC對稱，：.CD=CE,:.BD=CE；

(3)連接B