專題2.6直線與圓的位置關系及切線的判定與性質【十大題型】

【蘇科版】

【題型1已知距離及半徑判斷直線與圓的位置關系】..............................................2

【題型2已知直線與圓的位置關系確定取值范圍】................................................2

【題型3根據直線與圓的位置關系確定交點個數】................................................3

【題型4利用直線與圓的位置關系求最值】......................................................4

【題型5定義法判斷切線】.....................................................................5

【題型6切線的判定（連半徑證垂直）】.........................................................6

【題型7切線的判定（作垂直證半徑）】.........................................................7

【題型8利用切線的性質求線段長度】...........................................................8

【題型9利用切線的性質求角度】..............................................................9

【題型10利用切線的判定與性質的綜合運用】...................................................10

【知識點1直線與圓的位置關系】

設。的半徑為r,圓心。到直線/的距離為d

則有：

相交：直線和圓有兩

個公共點直線/和。相交odvr

直

線

與

圓

的

相切：直線和圓只有

位

置一個公共點直線/和。相切od=r

關!

系

相離：直線和圓沒有

公共點直線/和」。相離od>r

?___

【題型1已知距離及半徑判斷直線與圓的位置關系】

【例1】（2022春?金山區(qū)校級月考）已知同一平面內有和點A與點8,如果。。的半徑為6c7九，線段

OA=lQcm,線段OB=6C7W,那么直線45與。。的位置關系為（）

A.相離B.相交C.相切D.相交或相切

【變式1-1］（2022秋?韶關期末）已知。。的半徑等于3,圓心。到直線/的距離為5,那么直線/與O。

的位置關系是（）

A.直線/與。。相交B,直線/與。。相切

C.直線/與相離D.無法確定

【變式1-2］（2022秋?川匯區(qū)期末）在平面直角坐標系中，原點為。，點P在函數y=—i的圖象上，

以點P為圓心，以。尸為半徑的圓與直線＞=-2的位置關系是（）

A.相離B.相切

C.相交D.三種情況均有可能

【變式1-3］（2022秋?自貢期末）如圖，。。的半徑為5,圓心。到一條直線的距離為2,則這條直線

A.hB.hC./3D.U

【題型2已知直線與圓的位置關系確定取值范圍】

【例2】（2022秋?北侖區(qū)期末）O。的半徑為5,若直線/與該圓相交，則圓心。到直線/的距離可能是

（）

A.3B.5C.6D.10

【變式2-1］（2022?松江區(qū)校級模擬）如圖，已知中，NC=90°,AC=3,BC=4,如果以點C

為圓心的圓與斜邊AB有公共點，那么OC的半徑廠的取值范圍是（）

121212

A.OWE器B.—<r^3C.—<r^4D.3WrW4

$55

【變式2-2］（2022秋?叢臺區(qū)校級期中）已知矩形ABC。中，AB=4,BC=3,以點B為圓心r為半徑作

圓，且OB與邊C。有唯一公共點，則r的取值范圍為（）

A.3WY4B.3WY5C.3G<4D.3WW

【變式2-3］（2022秋?叢臺區(qū)校級期中）以坐標原點。為圓心，作半徑為4的圓，若直線y=-x+b與。。

相交，則b的取值范圍是（）

A.0<6<2&B.-4V2<b^442C.-242<b<2V2D.-4V2<b<442

【題型3根據直線與圓的位置關系確定交點個數】

【例3】（2022秋?武漢期末）已知。。的半徑等于5,圓心。到直線/的距離為6,那么直線/與O。的公

共點的個數是（）

A.0B.1C.2D.無法確定

【變式3-1］（2022秋?武漢期末）直角△ABC,ZBAC=90°,AB=8,AC=6,以A為圓心，4.8長度為

半徑的圓與直線BC的公共點的個數為（）

A.0B.1C.2D.不能確定

【變式3-2］（2022?武漢模擬）一個圓的半徑是5cm如果圓心到直線距離是4cm那么這條直線和這個圓

的公共點的個數是（）個.

A.0B.1C.2D.0或1或2

【變式3-3］（2022秋?沐陽縣期中）如圖，在△ABC中，ZC=90°,AC=4,BC=3,以點C為圓心，r

為半徑畫圓.

（1）當廠=時，OC與邊A8相切；

（2）當r滿足時，OC與邊AB只有一個交點；

（3）隨著，的變化，OC與邊的交點個數還有哪些變化？寫出相應的廠的值或取值范圍.

AR

【題型4利用直線與圓的位置關系求最值】

【例4】（2022秋?常熟市期中）如圖，直線y=,x+3與x軸、y軸分別交于A,B兩點，點尸是以C（l,0）

PB,則△RLB面積的最小值是（）

C.15D.20

【變式4-1]（2022秋?涼山州期末）點A是半徑為2的上一動點，點。到直線MN的距離為3.點尸

是上一個動點.在運動過程中若/尸。4=90°,則線段用的最小值是

【變式4-2]（2022?樂亭縣一模）如圖，。。的半徑是5,點A在。。上.P是O。所在平面內一點，且

AP=2,過點尸作直線/,使

（1）點。到直線/距離的最大值為

（2）若N是直線/與O。的公共點，則當線段的長度最大時，。尸的長為.

【變式4-3]（2022?廣漢市模擬）在RtZXABC中，ZC=90°,AC=10,8C=12,點。為線段BC上一動

點.以為。。直徑，作交。。于點E,連BE,則BE的最小值為（）

E

、B

、OJD

A.6B.8C.10D.12

【知識點2切線的判定】

（1）切線判定：①經過半徑的外端并且垂直于這條半徑的直線是圓的切線

②和圓只有一個公共點的直線是圓的切線（定義法）

③如果圓心到一條直線的距離等于圓的半徑，那么這條直線是圓的切線

（2）切線判定常用的證明方法：

①知道直線和圓有公共點時，連半徑，證垂直；

②不知道直線與圓有沒有公共點時，作垂直，證垂線段等于半徑.

【題型5定義法判斷切線】

【例5】（2022?淮安模擬）下列直線中，一定是圓的切線的是（）

A.過半徑外端的直線

B.與圓心的距離等于該圓半徑的直線

C.垂直于圓的半徑的直線

D.與圓有公共點的直線

【變式5-1]（2022秋?嘉定區(qū)期末）下列四個選項中的表述，正確的是（）

A.經過半徑上一點且垂直于這條半徑的直線是圓的切線

B.經過半徑的端點且垂直于這條半徑的直線是圓的切線

C.經過半徑的外端且垂直于這條半徑的直線是圓的切線

D.經過一條弦的外端且垂直于這條弦的直線是圓的切線

【變式5-2]（2022秋?東臺市校級月考）下列命題：（1）垂直于半徑的直線是圓的切線.（2）與圓只有

一個公共點的直線是圓的切線.（3）到圓心距離等于半徑的直線是圓的切線.（4）和三角形三邊所在

直線都相切的圓有且只有一個.其中不正確的有（）

A.2個B.3個C.4個D.1個

【變式5-3]（2022秋?慈溪市期末）己知。。的半徑為5,直線所經過。。上一點尸（點E,尸在點P的

兩旁），下列條件能判定直線EE與。。相切的是（）

A.0P=5B.OE=OF

C.。到直線所的距離是4D.OP±EF

【題型6切線的判定(連半徑證垂直)】

【例6】(2022?順德區(qū)一模)如圖，A,B,C,。是上的四個點，ZADB=ZBDC=60°,過點A作

AE//BC交CD延長線于點E.

(1)求/ABC的大小；

(2)證明：AE是O。的切線.

【變式6-1](2022?昭平縣一模)如圖，AB是O。的弦，。尸，交。。于C,0c=2,30°.

(1)求AB的長；

(2)若C是。尸的中點，求證：是。。的切線.

【變式6-2](2022春?朝陽區(qū)校級月考)如圖，在Rt^ABC中，/C=90°,平分/BAC交BC于點

。為A3上一點，經過點A,。的圓。分別交AB,AC于點E,F,連接EE

求證：BC是圓。的切線.

【變式6-3](2022秋?武夷山市期末)如圖，點P是。。的直徑AB延長線上的一點(PBVOB),點E是

線段。尸的中點.在直徑48上方的圓上作一點C,使得EC=EP

求證：PC是。。的切線.

【題型7切線的判定（作垂直證半徑）】

【例7】（2022?武漢模擬）如圖，在RtZXABC中，/B=90°,N54C的平分線交BC于點。，E為AB上

的一點，DE=DC,以。為圓心，DB長為半徑作O。，AB=5,￡8=3.

（1）求證：AC是。。的切線；

（2）求線段AC的長.

【變式7-1］（2022秋?濱海縣期末）如圖，以點。為圓心作圓，所得的圓與直線a相切的是（）

O

A.以。4為半徑的圓B.以OB為半徑的圓

C.以。C為半徑的圓D.以。。為半徑的圓

【變式7-2］（2022?椒江區(qū)一模）如圖，△ABC為等腰三角形，O是底邊8c的中點，腰48與相切于

點D求證：AC是。。的切線.

D,

BO

【變式7-3](2022秋?丹江口市期中)如圖，。為正方形A8CD對角線上一點，以點。為圓心，OA長為

半徑的。。與BC相切于點E.

(1)求證：CD是。。的切線；

(2)若正方形ABC。的邊長為10,求。。的半徑.

【知識點3切線的性質】

(1)切線性質定理：圓的切線垂直于過切點的半徑

(2)切線性質的推論：①經過圓心且垂直于切線的直線必經過切點

②經過切點且垂直于切線的直線必經過圓心

【題型8利用切線的性質求線段長度】

【例8】(2022?新平縣模擬)如圖，已知A8是。。的直徑，C￡)是的切線，點C是切點，弦BLAB

于點E,連接AC.

(1)求證：AC平分/DCB

(2)若AO_LC。，BE=2,CF=8,求A。的長.

F

【變式8-1](2022?瀘縣一模)如圖，是。。的切線，A為切點，AC是。。的弦，過。作。HLAC于

點H.若OH=3,AB=12,BO=13,求：。。的半徑和AC的長.

B

【變式8-2］（2022?建鄴區(qū)一模）如圖，AB,8是。。的切線，B、。為切點，AB=2,C￡>=4,AC=10.若

ZA+ZC=90°,則。。的半徑是.

【變式8-3X2022?新撫區(qū)校級三模）如圖，△AC。內接于。。,48是。。的切線，/C=45°,ZB=30°.AD

C.2V3D.2V6

【題型9利用切線的性質求角度】

【例91（2022?紅橋區(qū)三模）已知孫、P8是。。的切線，A、3為切點，連接A。并延長，交P8的延長

線于點C,連接P。，交。。于點D

（/）如圖①，若NA。尸=65°,求NC的大小;

（II）如圖②，連接若BD〃AC,求NC的大小.

【變式9-1］（2022秋?香洲區(qū)期末）如圖，PA,P8是。。的兩條切線，A、8是切點，AC是。。的直徑,

/A4C=35°,求/尸的度數.

【變式9-2](2022?老河口市模擬)B4,尸2是。。的切線，A,2是切點，點C是。。上不與A,2重合

的一點，若/APB=70：則NAC3的度數為.

【變式9-3](2022?曲阜市二模)已知B