直線與圓的最值問題【16類題型匯總】

求解與圓有關的最值問題，其通法是數形結合和轉化化歸思想，與圓有關的最值問題主要表現在求

幾何圖形的長度、面積的最值，求點到直線的距離的最值，求相關參數的最值等方面.解決此類問

題的主要思路是利用圓的幾何性質將問題轉化，今天我們一起來學習一下直線與圓相關最值問題的

所有題型！

總覽題型解讀

【題型1】點到含參直線距離最值.................................................2

【題型2］過定點的弦長最短......................................................3

【題型3】通過點與圓的位置關系求參數范圍.......................................5

【題型4】點圓型最值問題........................................................7

【題型5】斜率型最值問題........................................................9

【題型6】圓上的點到直線的距離為定值的個數（教材原題改編）...................12

【題型7】與基本不等式結合求最值..............................................19

【題型8】隱圓型最值問題.......................................................24

【題型9】阿氏圓...............................................................28

【題型10】與切點弦有關的最值問題.............................................35

【題型11】過定點的弦與圓心所圍成的三角形面積最值............................41

【題型12］半圓與直線交點問題.................................................47

【題型13］三角換元求最值......................................................51

【題型14］圓的軌跡類問題......................................................52

【題型151點到直線距離公式為背景的最值問題...................................57

【題型16】張角最大問題........................................................64

題型匯編[知識梳理與?？碱}型

【題型1】點到含參直線距離最值

基礎知識1

點P到含參直線/距離最大值即尸點到定點/的距離

如圖，直線/繞定點A旋轉，易知PHWPA

/“典型例題/

1.點（0,-1）到直線>=網》+1）距離的最大值為（）

A.1B.41C.百D.2

/“鞏固練習/

【鞏固練習】已知直線/方程為（2+機）％+（1-2相）丁+4-3加=0,那加為時，點0（3,4）到直線/

的距離最大，最大值為

【題型2】過定點的弦長最短

/核心?技巧/

設點M是圓C內一點，過點M作圓C的弦，則弦長的最大值為直徑，最短的弦為與過該點的直徑

垂垂直的弦弦長為

2.已知直線/：加-了-2+1=0和圓Cd+j?-4y=0交于48兩點，貝”//的最小值為()

A.2B.72C.4D.2-72

/“鞏固練習/

【鞏固練習1】過點(1,1)的直線/與圓C：/一4x+r=o相交于z、8兩點，貝|)|//的最小值是

【鞏固練習2】(24-25高三上?江蘇蘇州?開學考試)已知直線/:(2左+l)x-。-l=0(其中左為常

數)，圓。:/+/=8,直線/與圓。相交于/,8兩點，則長度最小值為.

【鞏固練習3】(23-24高二下?廣東茂名?階段練習)已知圓C:(x-3)2+(y-4)2=9,直線

/:(m+3)x-(加+2萬+加=0.則直線/被圓C截得的弦長的最小值為()

A.2aB.V10C.272D.V6

【題型3】通過點與圓的位置關系求參數范圍

/核心?技巧/............

在圓的一般方程中，判斷點與圓的位置關系

已知點河(后,九)和圓的一般式方程oc：X2+y2+Dx+Ey+F=0(D2+￡2-4F>0),

則點M(%,%)與圓的位置關系：

2

①點M(Xg,為)在QC外Q*x0~+y0+Dx0+Ey0+F>0

2

②點M(XQ,JVQ)在OC上xQ++Dx0+Ey0+尸=0

③點M(xo,%)在0c內XQ++DXQ+Ey0+F<0

注意：做題時不要漏掉。2+后2一4/〉o這個不等式

/“典型例題/

3,若點在圓/+/_2④-4=0的內部，則。的取值范圍是().

A.a>\B.0<a<1C.—1<tz<一D.a<1

5

/“鞏固練習/

【鞏固練習1】若點/(2,1)在圓x2+y2_2e-2y+5=0(加為常數)外，則實數機的取值范圍為

()

A.(-oo,2)B.(2,+co)C.(-co,-2)D.(-2,+oo)

【鞏固練習2】若點(0,1)在圓/+/-2辦-2尸0+1=0外，則實數4的取值范圍為.

【鞏固練習3］過點尸。,1)可以向圓好+/+2工-4了+左-2=0引兩條切線，則左的范圍

【題型4】點圓型最值問題

核心?技巧

圓C上的動點P到直線/距離的最大值等于點C到直線/距離的最大值加上半徑，最小值等于點C

到直線距離的最小值減去半徑

/“典型例題/

4,若實數滿足/+/=1,則J(x-1)?+(y-l)2的最大值是.

/“鞏固練習/

【鞏固練習1]若點P（xj）在圓/+力-4），+1=0上，則（-2的最小值為________.

【鞏固練習2]若點尸（X/）是圓。：/+/一8》+6了+16=0上一點，則f+/的最小值為（）

A.2B.4C.6D.8

【鞏固練習3】已知圓C:（x-3）2+（y-4）2=l,點與8（0,1）,P為圓C上動點，

當|上4「+1尸"『取最大值時點P坐標是.

【題型5】斜率型最值問題

....................................................................................................

形如M=2二2的最值問題，可轉化為點（X，V）與定點（。，6）的動直線斜率的最值問題

x-a

/“典型例題/

5,已知實數％，N滿足方程0-2）2+/=3,求上的最大值和最小值

X

6.（24-25高二上?江西上饒?開學考試）已知兩點雙-3,2）,8（2,1）,過點尸的直線/與線段

AB（含端點）有交點，則直線/的斜率的取值范圍為（）

A.B.[-1,1]C.ju[l,+oo）D.-j,l

7.若點尸在曲線?！浮?-2-6>1=。上運動，則忘的最大值為——

/“鞏固練習/

【鞏固練習1】(22-23高二上?安徽馬鞍山?階段練習)已知直線斜率為左，-MkM立,那么傾

3

斜角。的取值范圍是()

八兀］F7i2兀、「八兀］「2兀［「八兀］「2兀、「八兀［「兀23

A.0,-uB.0,-u—,7iC.0,-u—,7TD.0,-u

L6JL23JL3」L3)L6」L3)L3」|_23J

【鞏固練習2】如果實數％,V滿足(％-2)2+/=2,則?的范圍是()

A.(-I」)B.[-1,1](-oo,-l)u(l,+oo)D.(-oo,-l]U[l,+oo)

【鞏固練習3】已知兩點/(3,0),5(0,4),動點p(x,y)在線段43上運動，則二的范圍是.

(x+1)2+/的范圍是.

【題型6】圓上的點到直線的距離為定值的個數(教材原題改編)

/核心?技巧/

教材原題改編：選擇性必修第一冊第99頁

國拓廣探索

；13.已知圓/+，=4,直線/：y=z+6.為何值時，回上恰有三個點到直線/的距離都等于1?

圓心C到直線1的距離為d,圓C上的動點P到直線的距離為d',則

⑴直線與圓有公共點時，此時dWr

①當d>d+r(d/r)時，點P個數為0/\

［d\

②當d=d+r(d.r)時，點P個數為1Id1Q］

③當r—d<d，<r+d(dWr)時，點P個數為2/

④當d=r-d(dWr)時，點P個數為30

⑤當OVdVr—d(dsr)時，點P個數為4-------f-----------------

(2)當直線與圓無公共點時，此時d>rd\^

①當d，<d—r(d>r)時，點P個數為0

②當d=d—r(d>r)時，點P個數為1

③當d—r<dyd+r(d>r)時，點P個數為2

/“典型例題/

8.己知點尸在圓(x-4)2+(y-5)2=16上，點/(4,0),5(0,2).求點尸到直線距離的最大值

9.(多選)在平面直角坐標系xQy中,已知圓/+V=4上有且僅有四個點到直線12x-5y+c=0的

距離為1,則實數。的取值可能是()

A.14B.-13C.12D.-10

10.若圓(x-3產+(y-5)2=r\r>0)上有且僅有兩個點到直線4x-3y-2=0的距離為5,則一的取值

范圍是.

11.已知圓C：%2+/=4,直線/：x+y+m=Q,若圓C上有且僅有兩個不同的點到直線/的距離

為1,則加的取值范圍是.

12.(24-25高二上?江蘇徐州?開學考試)已知圓C：(x+l)2+(y-l)2=4,若直線歹=丘+5上總存在

點P,使得過點P的圓C的兩條切線夾角為60。，則實數k的取值范圍是

/“鞏固練習/

【鞏固練習1】(2024?廣東珠海?一模)己知點-1,0),8(0,3),點尸是圓(x-3y+V=l上任意一

點，貝鼠尸48面積的最小值為()

A.6B.—C.-D.6--

222

【鞏固練習2】已知點尸為圓/+產=1上一點，記”為點尸到直線x-叼-2=0的距離.當加變化時，d

的最大值為.

【鞏固練習3】在圓（x-2）2+/=4上有且僅有兩個點到直線3x+4y+a=0的距離為1,則a的取值

范圍為?

【鞏固練習4】若圓（》-1）2+（丁+1）2=夫2上有且僅有兩個點到直線4工+3了=11的距離等于1,則半徑

R的取值范圍是.

【鞏固練習5】設圓C：（》-1）2+5+1）2=/&>0）上有且僅有兩個點到直線x-y+2=0的距離等

于JL則圓半徑廠的取值范圍是.

【鞏固練習6】已知直線/：y=x+6,圓。：/+「=4,圓O上恰有4個點到直線/的距離為1,則

b的取值范圍為.

【題型7】與基本不等式結合求最值

「核心?技巧/.......................................................

基本不等式：如果。>。，6>0,那么JabW---,當且僅當a=b時，等號成立.（僅限和與積）

常用不等式：若a，bsR,則"”+6）《4!匯,當且僅當a=b時取等號；（從左至右為積，

42

和，平方和）

13.若。，6為正實數，直線2x+(2a-3)y+2=0與直線隊+2>一1=0互相垂直，則好的最大值為

14.設直線/的方程為(a+l)x+y+2-a=0(xeR),若/與x軸正半軸的交點為/,與了軸負半軸的

交點為5,求人4。8(。為坐標原點)面積的最小值.

15.(23-24高二上?貴州銅仁?期中)已知圓/-4&+/-2y=5關于直線2ax+y+b-3=。(°,6為

大于0的數)對稱，則:的最小值為____，此時直線方程為_____.

ab

16,(2024?安徽?模擬預測)已知尸(-2凡0),。(aab)(a>0,6>0),動圓a)?+(y=/&>0)

經過原點，且圓心在直線x+2y=2上.當直線P。的斜率取最大值時，r=()

AV2r2V2rV3n2行

3333

17.(23-24高二上?陜西西安?期中)已知圓。的半徑為2,過圓。外一點尸作圓。的兩條切線，切

點為A,B,那么強.麗的最小值為()

A.-16+4&B.-12+4后C.-12+8&D.-16+872

/“鞏固練習/

【鞏固練習1】過點4L1)的動直線4和過點3(4,5)的動直線4交于點尸(點尸異于/、B),且

I』，貝“尸圖」尸切的最大值是()

A.—B.5C.-D.—

222

【鞏固練習2】過點尸(3,4)的直線/,求/與叼正半軸相交，交點分別是/、民當A4O2面積最小時

的直線方程.

【鞏固練習3】（23-24高二上?江蘇無錫?期中）若圓一+/+2尤一4>+1=0被直線

2"-如+2=0（。>0,6>0）平分，則,+1的最小值為（）

ab

11

A.-B.9C.4D.一

49

【鞏固練習4】已知圓。的方程為/+/=1,過第一象限內的點P（a,b）作圓。的兩條切線尸工,PB,

切點分別為43,若麗.9=8,則6的最大值為（）

A.20B.3C.3拒D.6

【鞏固練習5】（23-24高二下?山西長治?階段練習）已知直線/：x+/y+5=0,圓

C:x2+y2-2x-Amy=0,當圓心C到直線/的距離最小時，圓C的周長為（）

A.2石兀B.2遍兀C.2e兀D.40兀

【鞏固練習6】（23-24高三下?安徽黃山?階段練習）已知圓C|：X2+J?=4和圓。2乂X-2）2+（/-2）2=4,

若點尸（加,"）（加>0,〃>0）在兩圓的公共弦上，則加A/-""的最小值為.

【題型8】隱圓型最值問題

/核心?技巧/........................................................

一、定點定長得圓

在幾何圖形中，通過折疊、旋轉，滑梯模型得到動點的軌跡為繞定點等于定長的圓，從而畫出動點

軌跡，并進行計算

二、直角的對邊是直徑

前世：在。0中，AB為直徑，則始終有AB所對的NC=90°

今生：若有力B是固定線段，且總有NZCB=90°,則C在以ZB為直徑徑的圓上.（此類型本來

屬于定弦定角，但是因為比較特殊，故單獨分為一類）

/II典型例題/

18.設點”(1,0),N(-2,3),直線/:x+ay+2a-l=0,/Ml/于點則的最大值為,

19.已知機eR,直線4：機x+y+2加=0與4：x-叼+4加=0的交點尸在圓C：

(x-3)2+(^-4)2=r2(r>0)±,則-的最大值是()

A.40B.3也C.2行D.3#>

20.(23-24高二上?湖南?期中)設加￡R,直線4:、=以x-4加+2與直線4:x+即一6加一2=0相交于

點P，線段C￡>是圓/+產=9的一條動弦，且口必=4,|京+而|的最小值為.

/“鞏固練習/

【鞏固練習1】已知直線/：2妙+(加+〃)y+2〃=0,點8(3,3),點A在直線/上的射影

為H,則線段2〃長度的取值范圍為.

【鞏固練習2］已知直線4：mx-y+2=0,Z2：x+my+2=0,weR,若4和"交于點M,則|<W|

的最大值是.

【鞏固練習3】已知加，?eR,m2+n2v=0,記直線"x+便y-"=0與直線加=0的交點為

P,點。是圓C：(x+2y+(y-2)2=4上的一點，若尸。與C相切，則歸。|的取值范圍是()

A.[272,714]B."6,2幣]

C.[2,V14]D.[2,2仞

【題型9】阿氏圓

心?技巧/

借助阿氏圓探究最值問題：若43為兩定點，動點P滿足歸/|=川尸同，則彳=1時，動點尸的軌跡為

直線；當4>0且時，動點P的軌跡為圓，此圓稱之為阿波羅尼斯圓，也稱阿氏圓.借助阿波羅

尼斯圓，轉化為到另一定點的距離進而由幾何性質等求解最值.

【模型解讀】

2

如圖1所示，。。的半徑為R,點力、B都在。。夕卜，P為。。上一動點，已知R=《OB,

2

連接24、PB,則當“尸/+1必”的值最小時，P點的位置如何確定？

2

解決辦法：如圖2,在線段0B上截取0C使OC=~^R,則可說明△BP。與△PC。相似，則有

22

-PB=PC。故本題求“P4+wPB”的最小值可以轉化為“尸"+尸C”的最小值，其中與4與C為定點，

P為動點，故當4、P、C三點共線時，“R4+P。'值最小。

///典型例題/

21.（23-24高二上?福建龍巖?期中）古希臘著名數學家阿波羅尼斯發現：平面內到兩個定點43的

距離之比為定值"％片1）的點的軌跡是圓，此圓被稱為“阿波羅尼斯圓在平面直角坐標系xOy中,

IpaI1

4-1,0）,3（2,0）,點尸滿足品=5,則點P到直線X+島=4的距離的最小值為（）

I卜⑴，

A.1B.V2C.2D.3

22.(23-24高二上?廣東佛山?階段練習)已知點/(-2,0)、j,0L直線丁=6+3上存在點X,

使得|K4|=2|7kffi|,則實數上的取值范圍是.

23.(23-24高三上?河北滄州?期末)已知尸(0,4),。為直線y=x-3上的動點，R^O:x2+y2=4

上的動點,則|R。|+:依|的最小值為.

24.已知圓：V+必=1和點^(-1,0)，點5(1,1)，加為圓。上動點,^2\MA\+\MB\的最小值為一.

25.(24-25高三上?山東德州?開學考試)已知點A為直線3x+4y-7=0上一動點，點8(4,0),且

尸(x,y)滿足/+/+無一2=0,則3|4P|+|四的最小值為()

671321

A.—B.—C.—D.—

5555

/u鞏固練習/

【鞏固練習1】(23-24高二上?山東泰安?期中)己知。為坐標原點，A,2均在直線x-y-6=0上，

M=2,動點尸滿足|尸4卜血忸目,則|。尸|的最小值為.

【鞏固練習2】在平面直角坐標系xQy中，已知點3(0,4).若直線2》-了+。=0上存在點2，

使得尸8=2尸/,則實數。的取值范圍是()

A.(―V5,V5)B.[―V5,A/5]

C.(-26,2病D.[-2遙,2石]

【鞏固練習3】已知點41,0),/為圓/+/=4上一動點，N為直線2x-y+7=0上一點，貝|

2MMi+1AW|的最小值為.

Q

【鞏固練習4】已知半徑為|的圓C的圓心在J軸的正半軸上，且直線12x-9了-1=0與圓。相

切.

(1)求圓C的標準方程.

(2)已知N(/o,-1、),尸為圓C上任意一點，試問在>軸上是否一存在定點B(異于點A),使得\P扁B\為

定值？若存在，求點B的坐標；若不存在，請說明理由.

(3)在(2)的條件下，若點。(4,6),試求4尸4|+|尸。的最小值.

【題型10］與切點弦有關的最值問題

基礎知識

1、切點弦方程（二級結論）：圓外一點。（/，/）向圓龍2+了2=/作切線，兩個切點A,B的連線方

程為x0x+%1y=/（類似的其余圓錐曲線都有此類方程）

2、雙切線性質：OP_L/時候

①切線長最小

②切點四邊形面積最小

③切點弦AB最短

④切線夾角最大

⑤AB平行I

3、切點弦的方程的常規求法：如圖，易知力。3四點共圓，且PO為圓的直徑，而AB為兩圓的公

共弦

/“典型例題/

26.古希臘數學家阿波羅尼奧斯（約公元前262-公元前190年）的著作《圓錐曲線論》是古代世界

光輝的科學成果，著作中有這樣一個命題：平面內與兩定點距離的比為常數左（左＞0且上H1）

的點的軌跡是圓，后人將這個圓稱為阿波羅尼斯圓.已知平面直角系中的點E（板,0）,

F（2V2,0）,則滿足忸下|=8|/狎的動點尸的軌跡記為圓E.

（1）求圓E的方程；

⑵過點。（3,3）向圓E作切線QS,QT,切點分別是S,T,求直線ST的方程.

27.（高二下?浙江溫州?期末）己知圓C：V+V=4,點尸為直線x+y-4=0上一動點，過點P向

圓C引兩條切線P4,PB,A,2為切點，則線段初長度的最小值為（）

A.272B.3A/2C.4D.472

28.已知圓C:x2+/-2x-4y-4=0,尸為直線/：x+?+2=0上一點，過點尸作圓C的兩條切線,

切點分別為A和2,當四邊形尸NC5的面積最小時，則直線"的方程為.

///鞏固練習/

【鞏固練習1】（23-24高二上?浙江?期末）已知圓C:X2-2X+J/=。與直線/：夕=,加+2加（加>0）,

過/上任意一點P向圓C引切線，切點為A和5,若線段4s長度的最小值為收，則實數用的值為

（）

R5

A,史D.--------

77

【鞏固練習2】（高二上?湖北黃石?期末）已知點尸是直線/：x+>=4上的一點，過點p作圓

。:/+/=2的切線，切點分別為A、B,則直線也恒過定點,四邊形尸面積的最小

值______.

【鞏固練習3】（23-24高二上?遼寧?期末）已知。“：/+/+2彳一44+1=0,直線/：x-y-1=0,尸為

/上的動點.過點P作GW的切線尸4尸8,切點分別為43,當歸時限同最小時，點P的坐標

為，直線4B的方程為.

【題型11］過定點的弦與圓心所圍成的三角形面積最值

/核心?技巧/

當圓心角為90°時，面積有最大值，此時圓心到直線的距離為一―，注意驗證圓心到直線的距離是

2

否可以取

29.已知直線/：V=H與圓C:x2+/-4x+2=0交于兩點跖N,當ACW面積最大時，斜率先值為

()

A.±V3B.±72C.±1D.土2

3

30.已知圓。：一+/-瓜-4-4=0關于直線y=x+l對稱，且(4,2)在圓上.

(1)求圓C的標準方程；

(2)若直線/：(切+1?-(2加+l)y-優-2=0與圓C交于點/,B,求。8C面積的最大值，并求此時直

線/的方程.

/“鞏固練習/

【鞏固練習1】已知直線/：(小一l)x+(加+1)了-3加+1=0與圓。：/+/=9交于48兩點，則103

的面積的最大值為()

A.2及B.2A/3C.2A/5D.|

【鞏固練習2】已知直線ax+y+a-l=0與圓C:x2+y2-2x-8y+b=0,(a,bwR),交于A,3兩

點，若△4BC的面積的最大值為4,求此時仍=.

［鞏固練習3］已知圓C:(x—1)2+(y_2『=9,直線+加+l)y—加一2=0.

(1)求證：直線/與圓C恒有兩個交點；

(2)若直線/與圓C交于點/,B,求△C4B面積的最大值，并求此時直線/的方程.

【鞏固練習4】已知線段48的端點3的坐標是(6,8),端點A在圓/+丁=16上運動，X是線段48

的中點，且直線/過定點（1,。）.

（1）求點M的軌跡方程，并說明它是什么圖形；

（2）記（I）中求得的圖形的圓心為C：

（力若直線/與圓C相切，求直線/的方程；

（而）若直線/與圓C交于尸，。兩點，求ACP。面積的最大值，并求此時直線/的方程.

【題型12］半圓與直線交點問題

核心?技巧

一、半圓方程

例：化簡曲線C：x—j4—y2=o

移項后兩邊平方得f=4—/nf+r=4,通過方程看曲線是整圓，但要滿足xNO的條件

所以曲線其實是右半圓.這就提醒我們，比如：“兩邊平方”、“分式化整”、“實際問題情境”等，要留意

是否恒等變形.

二、觀察交點個數

觀察動直線是斜率為定值還是直線過定點.當直線斜率為定值時，此直線在平移的過程

中，利用圖形，抓關鍵點，什么時候是有一個和兩個公共點，相交相切位置要清楚，然

后利用點到直線的距離與半徑的不等關系得出參數的范圍.當直線恒過定點時，直線在

旋轉，方法和平移類似，抓關鍵點和位置

/“典型例題/

31.直線，：V=x+加與曲線C：x+6二3=0有兩個公共點，則加的取值范圍是（）

A.[1冏B.(1,V2]C.(3,3@D.

32,若曲線＞=1+“^?（-24》42）與直線歹=左（》-2）+4有兩個交點，則實數后的取值范圍

是.

/“鞏固練習/

【鞏固練習13直線x+y+a=O與半圓了=_打_/有兩個交點，則。的值是

【鞏固練習2】若曲線＞+（-2Vx42）與直線x-y+："=O有兩個交點，則實數機的取值范

圍是.

【鞏固練習3】若直線辰+V+2-24=0與曲線j4-（y-l『+l=x有兩個不同的交點,則實數上的取

值范圍是.

【題型13】三角換元求最值

核心?技巧

x=rcos0+a

圓（X-Q）2+（y-bp=r2的參數方程

y=rsin0+b

33.已知實數x,N滿足*2+9=4（了20）,則加=岳+＞的取值范圍是（）

A.（一26，4）B.[-273,4]C.[-4,4]D.[-4,273]

/“鞏固練習/

【鞏固練習1】若x,＞滿足/+「=1,則+y的最大值為

【鞏固練習2］已知實數x,＞滿足方程（x-2r+/=3.

（1）求歹一X的最大值和最小值（2）求+/的最大值和最小值.

【題型14］圓的軌跡類最值問題

核心?技巧;

求與圓有關軌跡方程的常用方法

1.定義法

當題目條件符合圓的定義時，可直接利用定義確定其圓心和半徑，寫出圓的方程.

2.直譯法

直接將題目條件翻譯成代數方程，求解軌跡方程.

3.直接法

當題目條件中含有與該點有關的等式時，可設出該點的坐標，用坐標表示等式，直接求解軌跡方程.

4.幾何法

利用圖形的幾何性質，確定等量關系，設點、列式，求解軌跡方程.

5.代入法（或相關點法）

當題目條件中已知某動點的軌跡方程，而要求的點與該動點有關時，常找出要求的點與已知點的關

系，代入已知點滿足的關系式求軌跡方程

/“典型例題/

34.在平面直角坐標系X。中，已知點/（2,0）,若點又滿足MT+MO=IO,則點m的軌跡方程

是—.

35.已知圓C：（X-6）2+/=9,點M的坐標為（2,4）,過點N（4,0）作直線/交圓C于48兩點，則

|疝+礪|的取值范圍為

36.已知4■.mx-y-,im+\=Q^l2：x+:即_3心_]=0相交于點尸線段初是圓C：(x+l>+(>+1了=4

的一條動弦，且|/用=2右則|方+而|的范圍為

/u鞏固練習/

【鞏固練習1】（24-25高二上?江蘇徐州?階段練習）已知動點M與兩個定點。（0,0）,43,0）的距離之

比為2,那么直線。朋■的斜率的取值范圍是（）

A.〔2跖6近］B.一日，春T-|

'->,I,ID.

33

【鞏固練習2】已知定點4L0）,m（o:x2+y2=4,M,N為。上的動點，滿足|近|=2括，則而.訴

的取值范圍為.

【鞏固練習3】已知直線/：x->+8=0與x軸相交于點/,過直線/上的動點尸作圓/+「=16的

兩條切線，切點分別為C,。兩點，則直線CD恒過定點坐標為；記河是CD的中點，則

\AM\的最小值為.

【題型15】點到直線距離公式為背景的最值問題

/核心?技巧/

對于卜天+勿1+。|這類式子，可以利用點到直線距離的幾何意義，把問題轉化為為“（國,必）到直線

QX+勿+C=0距離

/“典型例題/

37,（23-24?浙江寧波?期末）實數xj滿足/+了2=2》_2',則|x7+3|的最小值為（）

A.3B.7C.-V2D.3+V2

38.（2024?湖南岳陽?二模）已知點4（三,必）,25,%）是圓/+/=16上的兩點，若408=（則

|西+乂-2|+四+%-2|的最大值為（）

A.16B.12C.8D.4

39.已知實數百"2，%,%滿足=4,其+只=4,xlx2+yly2=Q,則+乂一4|+"+%的

最大值是.

40.（22-23高二上?四川南充?期中）對于圓（x-4+（7-6）2=5上任意一點P（x,y）,

—2y+7〃|+|x—2y+l|（機w1）的值與x,了無關，則加的范圍為（）

A.[1,+?）