第06講平行線的性質

學習目標

課程標準學習目標

1.掌握兩直線平行，同位角相等，并能夠靈活應用。

①平行線的性質2.掌握兩直線平行，內錯角相等，并能夠靈活應用。

3.掌握兩直線平行，同旁內角互補，并能夠靈活應用。

思維導圖

兩直線平行，同位角相等

平行線的性質兩直線平行，內錯角相等

兩直線平行，同旁內角互補

知識點01平行線的性質

i.兩直線平行，同位角相等:

①性質內容:

兩條平行線被第三條直線所截，同位角相等。簡單說成

②符號語言：

若AB〃CD,則/NEB=/NFD

2.兩直線平行，內錯角相等：

①性質內容：

兩條平行線被第三條直線所截，內錯角相等。簡單說成

②符號語言：若AB〃CD,貝！］/NFD

3.兩直線平行，同旁內角互補:

①性質內容：

兩條平行線被第三條直線所截，同旁內角互補。簡單說成o

②符號語言：若AB〃CD,則N2￡Af+NNFD=18（r

【即學即練。

1.用一副三角板拼成如圖所示的形狀,使得兩個三角形的直角邊互相平行，則N1與22相等的依據是（）

A.兩直線平行，同位角相等

B.兩直線平行，內錯角相等

C.兩直線平行，同旁內角互補

D.對頂角相等

【即學即練2】

2.如圖，直線/1〃5RtA/BC中,NB=60°,直角頂點4在直線/上，頂點。在直線/2上，已知Nl=

25°,則/2的度數為（）

B

C

A.35°B.45°C.55°D.65°

【即學即練3】

3.如圖，直線a,b被直線。所截,若。〃6,Zl=48°,則N2的度數是（）

_________b

A.148°B.138°C.142°D.132°

題型精講

題型01根據平行線的性質計算

【典例1】如圖，a//b,Nl=42。，則N2的度數為（

C.138°D.52°

ZBAC=100°，ZDAE=50°,則NC=()

C.30°D.40°

【變式2】如圖，NECQ=50°,點M是￡C上一點，過點M作若〃/平分NNME,則N/Mb

A.60°B.55°C.70°D.65°

【變式3】如圖，AB//DE,BC//EF,若NE=118°,則N8的度數為()

題型02平行線與直角三角板

【典例1］如圖，將直尺與含45°角的直角三角形疊放在一起，若N2=35°,則N1的度數為（）

A.35°B.45°C.55°D.65°

【變式1】如圖，將三角尺的直角頂點放在直尺的一邊上，若Nl=60°15',則N2的大小為（）

【變式2】如圖，直角三角板的直角頂點放在直線6上，且a〃兒/1=55°,則/2的度數為（）

【變式3】將等腰直角三角形NDE和直角三角形N8C（其中NC=30°）按如圖所示的方式擺放，點。在

8C上，若AE〃BC,則ND/C的度數是（）

A.12°B.15°C.20°D.25°

題型03平行線與折疊

【典例1】如圖，紙片的邊緣N3,CD互相平行，將紙片沿斯折疊，使得點瓦。分別落在點D'

D.80°

【變式1】如圖，將矩形紙片4BCO沿2。折疊，得到△2C'D,CD與AB交于點E.若Nl=35°,則

N2的度數為（）

【變式2】如圖，矩形紙片/BCD,M為/。邊的中點將紙片沿2M、CM折疊，使/點落在小處，。點落

在5處，若/1=32°,則（

C.122D.148°

【變式3】如圖，將一條兩邊互相平行的紙帶折疊，下列正確的是（）

A.若/1=工/2,則/1=40°B.若N1=N2,則Nl=55°

2

C.若N1=2N2,則/1=80。D.若N1=3N2,則Nl=108°

題型04平行線間的拐點

【典例1］如圖，直線加〃小含有45°角的三角板的直角頂點。在直線加上，點/在直線"上，若Nl=

20°,則N2的度數為（）

A.15°B.25°C.35°D.45°

【變式1】如圖，直線加〃%△N8C是直角三角形，48=90°,點C在直線〃上.若Nl=50°,則/2

的度數是（）

C

A.60°B.50°C.45°D.40°

【變式2】如圖，AB//CD,則圖中Nl、Z2、N3關系一定成立的是（）

AB

1L

CD

A.Zl+Z2+Z3=180°B.Nl+N2+N3=360°

C.N1+N3=2N2D.Z1+Z3=Z2

【變式3】如圖，AB//CD,則N/、NC、./E、N/滿足的數量關系為（）

D

A.N4+NC+N/=N￡B.ZA+ZC+ZE+ZF=360°

C.AA+ZC+ZE-ZF=180'3D.ZA+ZC-ZE+ZF^l?,Qa

【變式4］如圖，已知4B〃CD,點E,尸分別在N2,CD上,點G,H在兩條平行線CD之間，/AEG

與/FHG的平分線交于點M.若NEGH=84°,/HFD=20°,則的度數為（）

E

CFD

A.64°B.54°C.42°D.32°

題型05平行線的判定與性質求值

【典例1】如圖，已知N1=N2,下列結論正確的是（

A.N3=N4B.N1=N4C.N8=N5D.ND=N5

【變式1］如圖，已知b±c,若Nl=65°,則N2等于（）

【變式2】如圖，直線a,6與直線c,d相交，已知N1=N2,N3=76°,則N4=（）

【變式3】如圖，若/1=55°,Z3+Z4=180a,則/2的度數為（）

題型06平行線的判定與性質證明

【典例1】將下面的解答過程補充完整：如圖，已知DE〃2C,EF平分NCED,ZA=ZCFE,那么斯與

N2平行嗎？為什么？

解：因為。￡〃2C（已知），4

所以/DEF=/CFE（①），

因為斯平分NCED（已知），/

所以NDEF=②（角平分線的定義），/（

所以NCFE=/CEF（③），

因為N/=/CF￡（已知），

所以//=④（等量代換），

所以EFV/AB（⑤）.

【典例2】如圖，已知/4BC=180°-//,BD_LCD于D,EFLCD于E.

（1）求證：AD//BC；,r

AD

（2）若/ADB=36。，求NEFC的度數./~

BFC

【變式1】如圖，/B=NBGD,N2GC=N?試說明N2+N尸=180°.請完善解答過程，并在括號內填

寫相應的理論根據.

解：,:NB=/BGD（已知）,

//CD（）.

ZBGC=ZF（已知），

CD//（）.

//（平行于同一直線的兩直線平行）.

AZB+ZF=lS0°（）.

【變式2】請把以下證明過程補充完整，并在下面的括號內填上推理理由:

己知：如圖，Z1=Z2,/A=/D.

求證：NB=NC

證明：VZ1=Z2,（已知）

又：VZ1=Z3,____________________

AZ2=,（等量代換）

：.AE//FD_____________________________

=ZBFD_____________________________

VZA=ZD（已知）

:"D=（等量代換）

________//CD___________________________

/B=NC.

【變式3］如圖，已知4。〃尸￡,Z1=Z2.

（1）試說明DG//AC；

（2）若/b4c=70°,求N4GD的度數.

【變式4】已知：如圖，點。，E,尸分別是三角形N8C的邊8C,CA,N8上的點，DF//CA,ZFDE=Z

A；

（1）求證：DE//BA.

（2）若NBFD=NBDF=2NEDC,求N3的度數.

強化訓練

1.如圖所示，直線a〃b,直線/與。，6相交，若Nl=110°,N2的度數為（）

2a

A.110°B.55°C.70°D.80°

2.如圖，直線/i〃/2,AB=AC,/BAC=36°,則/1+/2的度數是（）

3.如圖，直線/1〃勿RtA48C中，ZB=60°,直角頂點/在直線（上，頂點C在直線打上，已知/1=

25°,則N2的度數為（）

A.35°B.45°C.55°D.65°

4.如圖兩直線"八〃與△/8C的邊相交，且"八〃分別與N8、8c平行.根據圖中所示角度，可知的

度數為（）

5.如圖，燒杯內液體表面N8與燒杯下底部CD平行，光線旗從液體中射向空氣時發生折射，光線變成

句7,點G在射線所上，已知/"FS=20°,ZFED=60°,則/GF"的度數為（）

6.如圖，直線43〃CZ),GE_LEF于點、E.若/EFD=32°，則N5G￡的度數是()

7.如圖，直線〃〃6,直線/B_L4C,若Nl=50°,則N2=()

A.30°B.40°C.45°D.50°

8.如圖，已知45〃CZ),BE,分別平分N45/和NCDR且交于點貝U()

A.ZE=ZFB.NE+N/=180°

C.2NE+N產=360°D.2ZE-ZF=180°

9.圖1是長方形紙條，ZDEF=a,將紙條沿斯折疊成折疊成圖2,則圖中的NGFC的度數是()

-3a

10.平面鏡在光學儀器中有廣泛的應用.平面鏡反射光線的規律是：射到平面鏡上的光線和被反射出的光

線與平面鏡所夾的銳角相等.如圖①.一束光線加射到平面鏡。上，被。反射后的光線為〃，則/1=/

2.如圖，一束光線先后經平面鏡OM,ON反射后，反射光線CD與48平行，當N/8M=30°時,

ZDCN的度數為（）

圖①圖②

A.40°B.50°C.60°D.70°

11.為增強學生體質，望一觀音湖學校將“跳繩”引入陽光體育一小時活動.圖1是一位同學跳繩時的一

個瞬間.數學老師把它抽象成圖2的數學問題：已知N5〃Cr）,ZEAB^10°,/ECD=105°,則N/EC

圖2

圖1

12.如圖，把△N8C沿線段。￡折疊，使點/落在點尸處，8C〃DE,若//+/8=100°,則/F￡C=.

13.如圖是兩把完全相同的長方形直尺，一把直尺壓住射線。3,且與射線。/交于點C,另一把直尺壓住

射線CM并且與第一把直尺交于點尸，連接。P,已知/尸08=40°,則N/CP的度數是.

14.如圖，Zl=37°,Z2=37°,ZD=54°,那么

D

15.一副直角三角尺疊放如圖1所示，現將45°的三角尺固定不動，將含30°的三角尺/8C繞頂點/

順時針轉動至圖2位置的過程中，使兩塊三角尺至少有一組邊互相平行，則/C/E其余符合條件的度數

為_______________.［例如：圖3,當/C/E=15°時，BC//DE1

16.一副三角尺按如圖所示的方式擺放，/B=/EDF=9G°,點E在NC上，點。在2C的延長線上，EF

//BC,N/=30°,/尸=45°,求出NCED的度數.

17.如圖，AB//CD,ZA=40°,ZC=ZE,求NC的度數.

18.如圖，點M在CD上，已知,4E?平分板平分請說明/￡〃

的理由.

解：因為NA4M+N/A/D=180°(___________),

ZAMC+ZAMD^180°(____________________),

所以(_________________).

因為平分NA4",

AB

所以N1V____________(_______________________)?R