直線與圓的最值問題［16類題型匯總】

求解與圓有關的最值問題，其通法是數形結合和轉化化歸思想，與圓有關的最值問題主要表現在求

幾何圖形的長度、面積的最值，求點到直線的距離的最值，求相關參數的最值等方面.解決此類問

題的主要思路是利用圓的幾何性質將問題轉化，今天我們一起來學習一下直線與圓相關最值問題的

所有題型！

總覽1題型解讀

【題型1】點到含參直線距離最值.................................................2

【題型2］過定點的弦長最短......................................................3

【題型3】通過點與圓的位置關系求參數范圍.......................................5

【題型4】點圓型最值問題........................................................7

【題型5】斜率型最值問題........................................................9

【題型6】圓上的點到直線的距離為定值的個數（教材原題改編）...................12

【題型7】與基本不等式結合求最值..............................................19

【題型8】隱圓型最值問題.......................................................24

【題型9】阿氏圓...............................................................28

【題型10］與切點弦有關的最值問題.............................................35

【題型11］過定點的弦與圓心所圍成的三角形面積最值............................41

【題型12］半圓與直線交點問題.................................................47

【題型13】三角換元求最值......................................................51

【題型14］圓的軌跡類問題......................................................52

【題型151點到直線距離公式為背景的最值問題...................................57

【題型16】張角最大問題........................................................64

題型匯編、知識梳理與常考題型

【題型1】點到含參直線距離最值

基礎知識1

點P到含參直線/距離最大值即P點到定點A的距離

如圖，直線/繞定點A旋轉，易知PH4P4

A.1B.V2C.百

【解答】解：方法一：因為點（0,-1）到直線>=左（》+1）距離d=

???要求距離的最大值，故需左>0；

?.?公+珍2左，當且僅當k=1時等號成立,

可得抬1+生=血,

當左=1時等號成立.

V2k

方法二：由了=做%+1）可知，直線夕=后（》+1）過定點3（-1,0）,

記A（0,-l）,則點/（0,-1）到直線y=無0+1）距離|/臺|=V2

/“鞏固練習/

【鞏固練習】已知直線/方程為（2+加）x+（l-2加力+4-3加=0,那加為時，點。（3,4）到直線/

的距離最大，最大值為

【答案】-12招

【分析】求出直線/過定點P的坐標，當0尸/時，忸。|為所求點到直線距離的最大值，再由垂直求

得切值.

[詳解]直線/:（2+，"）x+0_2加）y+4-3加=0化為（x_2y-3）加=_2x_y—4,

[x-2y—3=0fx=-1

由。.4n,得…

[-2x-y-4=0[y=-2

?二直線/必過定點（-1,-2）.

當點。（3,4）到直線/的距離最大時，。尸垂直于已知的直線/,

即點0與定點P（-L-2）的連線長就是所求最大值，

此時直線尸。與直線（2+加）工+（1—2加）歹+4-3加=0垂直,

4

.,-2-43.2+m_2解得"?=一5,

-1-3

此時，點。（3,4）到直線的最大距離是J（3+1）2+（4+2）2=2713.

綜上所述，"?=-1"時，點。（3,4）到直線的距離最大，最大值為2JII.

故答案為：-不2A/13.

【題型2】過定點的弦長最短

/核心?技巧/

設點M是圓C內一點，過點M作圓C的弦，則弦長的最大值為直徑，最短的弦為與過該點的直徑

垂垂直的弦弦長為2"-|CM「.

/“典型例題/

2.已知直線/：新-了一彳+1=0和圓C:x2+/-4y=0交于48兩點，貝”/目的最小值為（）

A.2B.V2C.4D.2V2

【答案】D

【分析】求出直線/過定點（1,1）,再利用弦長公式即可得到最小值.

【詳解】/:A（x-l）-y+l=O,令x=l,則丁=1,所以直線/過定點（1,1）,

當x=l,y=l得12+12一4乂1=一2<0,則（1』）在圓內，則直線/與圓必有兩交點，

因為圓心（0,2）到直線/的距離d4^（1-0）2+（1-2）2=,所以=2d2—2>272.

/u鞏固練習/

【鞏固練習1】過點（1,1）的直線/與圓C：/一以+/=0相交于/、2兩點，貝|]|/3的最小值是.

【答案】2&

【分析】利用垂徑定理很快就可以找到最小弦長的直線，再利用勾股定理進行求解即可.

【詳解】因為圓C:X2-4X+/=0<^（X-2）2+/=4,圓心C（2,0）,半徑火=2

所以當過點尸（1,1）的直線/垂直于PC時，弦長|/同取最小值，

\AB\=2YJR2-PC2=2V4^2=272.

【鞏固練習2】（24-25高三上?江蘇蘇州?開學考試）已知直線/：（2左+1）》-0-1=0（其中左為常

數），圓。:/+/=8,直線/與圓。相交于4,3兩點，則48長度最小值為.

【答案】26

【分析】求出直線/過的定點，求出圓。的圓心和半徑，連接。尸，當直線/與。尸垂直時弦長最

小，求出48長度最小值.

【詳解】由題意得直線/：（2左+l）x-0-l=0過定點尸（1,2）,

圓。：/+丁=8圓心為。（0,0）,半徑為廠=2血，

連接。尸，當直線/與O尸垂直時弦長N3最小，

此時|OP|=JF+22=#）,

所以AB長度最小值為尸『=2百.

【鞏固練習3】（23-24高二下?廣東茂名?階段練習）己知圓C:（x-3）2+（y-4）2=9,直線

/：(%+3江-(冽+2力+%=0.則直線/被圓。截得的弦長的最小值為()

A.2A/7B.V10C.2>/2D.V6

【答案】A

【分析】先求出直線/所過的定點尸(2,3),數形結合得到當CP時，直線/被圓C截得的弦長最小,

再由垂徑定理得到最小值.

［詳解］直線/:(加+3卜_(加+2)y+加=加+2y=0,

\x-y+1=0fx=2/、

令2CC，解得2,所以直線/恒過定點尸2,3,

\3x-iy=0［>=3

圓C:(x-3)2+(>>-4)2=9的圓心為C(3,4),半徑為廠=3,

JL|PC|2=(2-3)2+(3-4)2=2<9,即P在圓內，

當CP，/時，圓心C到直線/的距離最大為d=|PC|=拒，

此時，直線/被圓C截得的弦長最小，最小值為2-屋=2近.

【題型3】通過點與圓的位置關系求參數范圍

/核心?技巧/

在圓的一般方程中，判斷點與圓的位置關系

已知點和圓的一般式方程。C：x2+y2+Dx+Ey+F-0(.D2+E2-4F>0),

則點M(x0,y0)與圓的位置關系：

2

①點M(Xg,%)在。。外U*xfl++Dxg+Ey0+F>0

2

②點M(XQ,為)在。C上xg+y0~+Dx0+Ey0+F—0

2

③點Af(x()J。)在OC內Ox02+y0+Dx0+Ey0+F<0

注意：做題時不要漏掉。2+后2_4尸〉0這個不等式

3.若點在圓X2+/-2即-4=0的內部，則。的取值范圍是().

A.a>\B.0<a<lC.-1<a<-D.a<1

【答案】D

【分析】根據題意，將點的坐標代入圓的方程計算，即可得到結果.

【詳解】由題可知，半徑/=J/+4,所以awR,把點(a+l,a-l)代入方程，

0')(a+l)2+(a-l)2-2a(a-l)-4<O,解得a<1,所以故a的取值范圍是a<1.

/“鞏固練習/

【鞏固練習1】若點4(2,1)在圓一+廿-2妙-2了+5=0(加為常數)外，則實數機的取值范圍為

A.(-℃,2)B.(2,+oo)C.(一肛-2)D.(-2,+oo)

【答案】C

【分析】由點A在圓外代入圓的方程可得加<2,再由圓的一般方程中。2+爐一4尸可得加<-2,

最后求交集即可.

【詳解】由題意知22+仔一4加一2+5>0,

故加<2,

又由圓的一般方程切+尸=o,

可得。2+爐_4戶>0,即(一2加了+(—2)2-4x5>0,

即加〈一2或加〉2,

所以實數機的范圍為加<-2.

【鞏固練習2】若點(0』)在圓/+/-2以-2y+a+l=0外，則實數。的取值范圍為

【答案】a>\

【分析】根據圓心到點(0,1)的距離大于半徑即可列不等式求解.

【詳解】圓的標準方程為(x-a)2+(y-l)2=a2-a,

由于點(0,1)在圓外，

.(0—47)+(1—1)>a—-a

所以,k解得。>1

a—a>0

【鞏固練習3】過點P。』)可以向圓/+7+2%一4了+斤-2=0引兩條切線，則左的范圍________.

【答案】(2,7)

【分析】根據方程表示圓和點P在圓外可得不等式，由此可解得上的范圍.

【詳解】由x2+j/+2x-4y+%-2=0表示圓可得：4+16—4(左一2)>0,解得：后<7；

?.?過尸可作圓的兩條切線，...P在圓外，...f+F+z-4+后一2>0,解得：A>2；

綜上所述：上的范圍為(2,7).

【題型4】點圓型最值問題

/核心?技巧/

圓C上的動點P到直線/距離的最大值等于點C到直線/距離的最大值加上半徑，最小值等于點C

到直線距離的最小值減去半徑

/“典型例題/

4,若實數無/滿足/+產=1,則J(x-1)2+"一I)?的最大值是.

【答案】V2+1/1+72

【分析】利用兩點間距離幾何意義求解最值.

【詳解】設點尸(尤/),由實數滿足/+y2=l可得：

點尸在以原點為圓心，以1為半徑的圓上，

設點/(1,1),則7(x-l)2+(y-l)2的幾何意義為動點尸到定點/(1,1)的距離|北|,

由a+i2=2>i,則點A在圓/+j?=i夕卜,

結合圖形可知，|4?，腔=1°聞+1=亞+1

7（X-1）2+（J-1）2的最大值是V2+1.

故答案為：V2+1.

/“鞏固練習/

【鞏固練習1】若點尸（X/）在圓，+/一47+1=0上，則（X-1）2+/的最小值為.

【答案】8-2V15

［分析］利用（X-1）2+/表示點（xJ）與點（1,0）的距離的平方，求出圓心（0,2）與點（1,0）的距離為右,

可求得最小距離，繼而可求得所求.

【詳解】因為/+/一47+1=0,化為/+（了_2）2=3,

圓心為（0,2）,半徑為也,

又（x-+V表示點（x,y）與點（1,0）的距離的平方,

圓心（0,2）與點（1,0）的距離為下,

所以點（XJ）與點（1,0）的距離的最小值為石-g,

故（x-iy+V的最小值為（括一括）2=8-2，記

【鞏固練習2］若點P（x/）是圓。:/+/_8》+6了+16=0上一點，則f+/的最小值為（）

A.2B.4C.6D.8

【答案】B

【分析】根據圓外一定點到圓上一點距離的平方的幾何意義進行求解即可.

【詳解】圓。：一+/-8工+6夕+16=0可化為（工一4）2+（>+3）2=9.

f+爐表示點尸（x,y）到點。（0,0）的距離的平方,

因為|CO|=^42+(-3)2=5,

所以f+y2的最小值為(5-3)2=4.

【鞏固練習3】已知圓C:(x—3)2+3-4)2=l,點與8(0,1),P為圓C上動點,

當|P/『+1『取最大值時點P坐標是

【解答】解：設尸(xj),則例2=/+3+])2+/+3-1)2=2(/+/)+2,

yjx2+y2的幾何意義是尸(無,y)到原點的距離，

由已知，圓心C(3,4),半徑為1,C到。的距離|。。|=5,

yjx2+y2的最大值是5+1=6,

."的最大值為2x6?+2=74,

4

由直線＞=]%與圓C:(x—3)2+0—4)2=1,可得(5%-12)(5X-18)=0,

12萬18

x=——或x=——

55

當IPN『+IP8『取最大值時點P坐標是(y,y)

【題型5】斜率型最值問題

//心?技巧/..........................................

形如M=上二白的最值問題，可轉化為點(X，JO與定點(。，6)的動直線斜率的最值問題

x-a

/“典型例題/

5,已知實數無，>滿足方程(》-2)2+r=3,求上的最大值和最小值

X

【解答】解：(1)圓(X-2>+/=3,圓心(2,0),半徑為

令上=左，即乙-y=0,上的最值，就是圓心到直線的距離等于半徑時的左的值,

XX

I。7I

二/,2=6'解得4=±6,，上的最大值為最小值為一百.

yj\+k-X

6.（24-25高二上?江西上饒?開學考試）已知兩點/（T2）,S（2,l）,過點尸（0,-1）的直線/與線段

AB（含端點）有交點，則直線/的斜率的取值范圍為（）

A.（-00,-1]U[1,+（?）B.[-1,1]C.^-co,-|ju[l,+ao）D.-pl

【答案】A

【分析】求出直線上4、PB的斜率后可求直線/的斜率的范圍.

-1-2,,-1-1,

【詳解】二-1,而kpR---------=1,

0+3---------------PB0-2

故直線/的取值范圍為（-叱-1]口（1,+功

7,若點P在曲線C：x2+『-2x-6y+l=0上運動，則」二的最大值為_______.

x+3

74

【答案】y

【分析】先根據已知求出圓心，半徑，再把分式轉化為斜率，最后化簡為直線結合直線和圓的位置

關系應用點到直線距離求解即可.

【詳解】曲線C方程化為（*-1『+5-3）2=9,是以（1,3）為圓心，3為半徑的圓，

告表示點尸（X/）與點（一3,0）連線的斜率，不妨設*=左即直線/：kx-y+3k=0,

又尸在圓上運動，故直線與圓。有公共點，則?/.工,

24v?4

化簡得7人2—24左00解得0W左W一,故二一的最大值為

7x+37

/“鞏固練習/

【鞏固練習1】（22-23高二上?安徽馬鞍山?階段練習）已知直線斜率為左，且YMkM叵,那么傾

3

斜角。的取值范圍是（）

八兀7i2K)八兀2兀

A?卜％卜匕B.卜，/。心，無

八兀[「2兀)「八兀]「兀2兀

C.0,-u—,7iD.o,-u

_Oj|_3)|_3J|_23

【答案】C

【分析】根據斜率和傾斜角的關系，結合圖象可得答案.

【詳解】k=tana在[0,兀)上的圖象如圖所示，

由圖可知，當發4立時,

3

【鞏固練習2】如果實數X,y滿足(—y+r=2,則予的范圍是()

A.(-1,1)B.[-1,1]C.(-oo,-l)<J(l,+oo)D.(-oo,-l]U[l,+<?)

【答案】B

【分析】設十=左，求予的范圍救等價于求同時經過原點和圓上的點(xj)的直線中斜率的范圍，結

合圖象，易得取值范圍.

【詳解】解：設上=斤，則了=履表示經過原點的直線，上為直線的斜率.

X

如果實數X,V滿足(X-2)2+J?=2和｝=左，即直線歹=船同時經過原點和圓上的點(XJ).

X

其中圓心C(2,0),半徑尸=J^

從圖中可知，斜率取最大值時對應的直線斜率為正且剛好與圓相切，設此時切點為E

則直線的斜率就是其傾斜角/EOC的正切值，易得|。。|=2,|C￡|=r=后,

(Av

可由勾股定理求得\OE\=y]0C2-CE2=V2于是可得到k=tanZEOC=——=1為二的最大值;

OEx

同理，上的最小值為-1.

則上的范圍是

X

【鞏固練習3】已知兩點/(3,0),8(0,4),動點P(x,y)在線段N3上運動，則匕!■的范圍是，

x-2

(x+1)2+y2的范圍是.

【答案】f-co,-1-u[l,+oo)

【分析】根據43坐標畫出線段AB,可知』出的幾何意義為(X,y)與C(2,-1)連線斜率，(X+1)2+/

x-2

的幾何意義為(X/)與。(-1,0)距離的平方，即可由斜率公式及距離公式求解.

【詳解】根據題意畫出線段AB如下圖所示：

直線AB的方程為4x+3y—12=0,

上出的幾何意義為(X/)與C(2,-l)連線斜率，kAC=\,kBC=-l-,

x-22

所以■坦/_8,_*u[l,+oo)；

x-2I2

(x+1)2+y2的幾何意義為(XJ)與。(-1,0)距離的平方,

1-4-12116

由點到距離公式可知少尸=^^^二WDA=4,DB=J(-l)2+42=V17,

V42+325

所以+~25~^，

故答案為：1—8，-2D[L+8)

【題型6】圓上的點到直線的距離為定值的個數(教材原題改編)

/核心?技巧/

教材原題改編：選擇性必修第一冊第99頁

@拓廣探索

；13.已知陰/+,=4,直線/：6為何值時，回上恰有三個點到直線/的距離都等于1?

圓心C到直線1的距離為d,圓C上的動點P到直線的距離為d',則

(1)直線與圓有公共點時，此時dWr

①當d,d+r(dWr)時，點P個數為0

②當d=d+r(dWr)時，點P個數為1

③當r—d<GT<r+d(dWr)時，點P個數為2

④當d=r—d(dWr)時，點P個數為3

⑤當0<d'<r-d(dsr)時，點P個數為4

(2)當直線與圓無公共點時，止匕時4r

①當d，<d—r(d>r)時，點P個數為0

②當d'=d—r(d>r)時，點P個數為1

③當d—r<dyd+r(d>r)時，點P個數為2

/“典型例題/

8.己知點尸在圓(x-4)2+(尸5)2=16上，點/(4,0),5(0,2).求點尸到直線48距離的最大值；

【答案】2g+4

【分析】首先求出直線的方程，再根據圓上的點到直線的距離最大值為圓心到直線的距離與半徑

的和求解即可.

【詳解】因為/(4,0),8(0,2),

所以38=a2=-工，所以直線的方程為丁=-lx+2,即x+2y-4=0,

4—022

圓(x-4)2+(y-5)2=16的圓心為(4,5),半徑r=4,

圓心(4,5)至I直線AB的距離為d=J—r—=2,5>4,

故圓與直線研相離，所以圓上的點P到直線NS距離的最大值為20+4.

9.(多選)在平面直角坐標系xOy中，已知圓/+y=4上有且僅有四個點到直線12x-5y+c=。的

距離為1,則實數C的取值可能是()

A.14B.-13C.12D.-10

【答案】CD

【分析】分析可知直線12x-5y+c=0平行且與該直線間距離為1的直線的方程為12x-5y+c+13=0、

l2x-5y+c-13=0,由題意可知，直線12x-5y+c+13=0、12x-5y+c-13=0與圓/=4均相

交，可得出關于c的不等式組，解出c的取值范圍，即可得出合適的選項.

【詳解】設與直線12x-5y+c=0平行且與該直線間距離為1的直線的方程為12x-5y+加=0,

\m-c\

則J12?(5)2=1'解得加=c+13或加=c-13,

所以，直線12%—5>+。+13=0、12x-5y+c-13=0均與圓一+「=4相交,

心<2

13

而圓心為原點。,圓的半徑長為2,所以,解得-13<c<13

5<2

13

10.若圓(x-3>+(y-5)2=r\r>0)上有且僅有兩個點到直線4x-3v-2=0的距離為5,貝心的取值

范圍是.

【答案】4<r<6

,、fr-l<5

【分析】求出圓心尸(3,5)到直線4》-3歹=2的距離等于1,由廠+]>5，能求出半徑廠的取值范圍.

I123x521

【詳解】???圓心尸(3,5)到直線4工—3歹=2的距離等于11=1,

圓(x-3)2+(>-5)2=r2(r>0)上有且僅有兩個點到直線4%-3歹-2=。的距離為5,

[r-1<5

由圓的幾何性質可得?.

[r+l>5

解得4<r<6,

半徑廠的取值范圍是4<6,故答案為4<r<6.

11.已知圓CX2+/=4,直線/：x+y+加=0,若圓。上有且僅有兩個不同的點到直線/的距離

為1,則加的取值范圍是.

【答案】(-30,-0)U(0,3碼

【分析】首先結合已知條件，求出當圓C上有1個和3個不同的點到直線/的距離為1時，圓心到

直線/的距離，進而得到圓C上有且僅有兩個不同的點到直線/的距離為1時，圓心到直線/的距離

的范圍，然后結合點到直線的距離公式求解即可.

【詳解】當圓。上有且僅有兩個點到直線/的距離等于1時，如下圖所示.

由于圓C的半徑為2,

故當圓C上有1個不同的點到直線/的距離為1時，圓心到直線的距離d=2+1=3,

當當圓C上有3個不同的點到直線/的距離為1時，圓心到直線的距離d=2-1=1,

從而圓C上有且僅有兩個不同的點到直線/的距離為1時，

則圓心C到直線/的距離"滿足解得l<d<3,

因為圓心（0,0）到直線/：x+y+加=0的距離d=~^2'

m

所以1<\\<3,解得-372<m<-V2或正<加<3夜，

41

故加的取值范圍是卜3隹-0）U（板,30）.

12.（24-25高二上?江蘇徐州?開學考試）已知圓C：（x+l）2+（y-l）2=4,若直線歹=履+5上總存在

點P,使得過點P的圓C的兩條切線夾角為60。，則實數k的取值范圍是

Q

【答案】k>0^k<--.

【分析】根據切線夾角分析出|PC|=4,由圓心到直線的距離不大于4列出不等式求解可得.

【詳解】圓C:（尤+1）2+（>-1）2=4,則圓心為半徑r=2,

設兩切點為42,則歸/|=|尸卻，因為NAPB=60。，在Rt△尸NC中ZAPC=|NAPB=30。，|/C|=r=2,

所以|/C|=4,

因此只要直線/上存在點P,使得|PC|=4即可滿足題意.

圓心C（-l,l）,所以圓心到直線的距離>「—24,解得人20或左4一一.

yjk2+l15

/“鞏固練習/

【鞏固練習1】（2024?廣東珠海?一模）已知點/（TO）,川0,3）,點尸是圓（了一3）2+/=1上任意一

點，貝LP48面積的最小值為（）

A.6B.—C.-D.6--

222

【答案】D

【分析】求出直線48的方程，利用點到直線的距離，結合圓的性質求出點P到直線48距離的最小

值即可求得最小值.

【詳解】兩點N（T,O）,8（0,3）,則|/即=J（-l>+32=9,直線48方程為y=3x+3,

圓（x-3『+y2=i的圓心C（3,O）,半徑廠=1,

點C到直線48：3工-了+3=0的距離d=,==—

^+（-廳5

因此點尸到直線4B距離的最小值為=M。-1

5

所以AP/3面積的最小值是:xJTUx（號。-1）=6-平

【鞏固練習2】已知點P為圓/+/=1上一點，記“為點尸至|j直線x一沖一2=0的距離.當機變化時,

d的最大值為.

【答案】3

【分析】根據直線方程，求得該直線的定點，利用點到過定點直線以及點到圓上點距離的性質，可

得答案.

【詳解】由直線方程9-2=0,則該直線過定點（2,0）,

易知圓/+/=1上任意定點到該直線的最大距離就是該點到（2,0）的距離，

由圓的方程/+/=],則其圓心為（0,0）,半徑為1,

點（2,0）到圓/+/=]上點的最大距離為2+1=3.

【鞏固練習3】在圓（x-2『+/=4上有且僅有兩個點到直線3x+4y+。=0的距離為1,則。的取值

范圍為?

【答案】（-21,-11川（-1,9）

【分析】由圓的方程確定圓心和半徑，利用點到直線距離公式求得圓心到直線距離"=與@;根據

已知可確定5<d<r+1,由此構造方程求得。的取值范圍.

【詳解】由圓的方程知其圓心為(2,0),半徑-2,

設圓心到直線3x+4y+。=0的距離為d,則d.

???圓上有且僅有兩個點到直線3x+4y+a=0的距離為1,則鼻<d<r+l,

即解得：-21<a<-ll或一1<。<9,

a的取值范圍為(-21,-11)U(—1,9),

【鞏固練習4】若圓(x-l)2+(y+l)2=7?2上有且僅有兩個點到直線4x+3y=ll的距離等于1,則半徑

R的取值范圍是

【答案】1<R<3

【分析】根據題意分析出直線與圓的位置關系，再求半徑的范圍.

【詳解】圓心到直線的距離為2,又圓(x-1)2+(jH-l)2=笈上有且僅有兩個點到直線4x+3y=ll

4-3-11

的距離等于1,滿足1<1,

V42+32

即：|R-2|V1,解得1VRV3.

故半徑尺的取值范圍是1VRV3(畫圖)

y

-5-4

故答案為：1<R<3

【鞏固練習5］設圓C：(》-1)2+(/+1)2=/6>0)上有且僅有兩個點到直線》7+2=0的距離等

于血，則圓半徑廠的取值范圍是.

【答案】（口,3亞）

【分析】

計算圓心到直線的距離為2亞，根據條件得到-川〈夜，解得答案.

【詳解】

圓（龍一+5+1『=/的圓心坐標為（1,-1）,半徑為r,

圓心（1,-1）到直線x-y+2=0的距離”=歸［上3=2收，

J2

因為圓上恰有相異兩點到直線x-y+2=0的距離等于④，

所以|4-廠|〈夜，

即|2夜-川＜0,所以后＜”3夜.

【鞏固練習6】已知直線/：y=x+b,圓。：/+/=4,圓。上恰有4個點到直線/的距離為1,則

b的取值范圍為.

【答案】卜虛，后）

【分析】根據題意可得圓心到直線/的距離小于1,再利用點到直線距離即可求出6的取值范圍.

【詳解】圓。上恰有4個點到直線/的距離為1,則圓心到直線/的距離小于1,

則"=即一也＜6＜血，

VI+1

所以6的取值范圍為（-V2,V2）.

【題型7】與基本不等式結合求最值

核心?技巧

基本不等式：如果。＞0,6＞0,那么JabW—,當且僅當a=b時，等號成立.（僅限和與積）

常用不等式：若a，beR,則"”+6）當且僅當a=b時取等號；（從左至右為積,

42

和，平方和）

13.若。，b為正實數，直線2%+（2。-3?+2=0與直線版+2歹-1=0互相垂直，則ab的最大值為

【解答】解：由直線2x+（2〃一3）y+2=。與直線bx+2>-1=0互相垂直,

所以2b+2（2〃-3）=0,

即2Q+b=3；

又。、6為正實數，所以2°+磋2血益，

即2ab1今2）2=：,當且僅當°=5=9時取“=”；

9

所以的最大值為一.

8

14.設直線/的方程為（a+l）x+y+2-a=0（xeR）,若/與x軸正半軸的交點為/,與了軸負半軸的

交點為3,求兒4。8（。為坐標原點）面積的最小值.

【解答】解：?.?/與x軸正半軸的交點為/,與〉軸負半軸的交點為5,

n—2

力的橫坐標箱>。B的2人坐標。—2<0,求得Q<—1.

求AAOB(O為坐標原點)面積的為:?-~1?(2-a)=[-3+(。+1)]2

2a+1—2a—2-2-(a+1)

9+(a+l)2-6(a+l)9fl+1c、c」一.3+3=6

+二r+3沱當且僅當a+1=-3時，取等

-2(a+1)--2(a+1)-2(o+1)-2

號，故人4。8（。為坐標原點）面積的最小值為6.

15.（23-24高二上?貴州銅仁?期中）已知圓x2-4x+/-2y=5關于直線2辦+y+6-3=0（°,b為

大于0的數）對稱，則:的最小值為____，此時直線方程為____.

ab

9

【答案］12x+3j-7=0

【分析】空1:由題意得直線2ax+y+6-3=0過圓心，從而得到4a+6=2,利用基本不等式“1”的

妙用求解最小值；空2:由空1結果代入回直線方程即可.

【詳解】圓x2-4x+/-2y=5,整理得（x-2）2+（y-l）2=10,則其圓心為（2,1）,

由題意得：直線2ax+了+6-3=0過圓心（2,1）,

所以4a+b=2,又〃>0,b>0,

1?

(當且僅當。=—,b=-

33

時，取

27

此時直線方程為§工+歹一1=0,即2x+3y—7=0.

9

故答案為：—;2x+3歹一7=0.

16,（2024?安徽?模擬預測）已知尸（一2凡0）,。（8帥）（4>0,6>0）,動圓（x-+（y-6了=/（尸>o）

經過原點，且圓心在直線x+2歹=2上.當直線。。的斜率取最大值時，r=（)

AV2R2V2「拒n2g

3333

【答案】B

【分析】運用兩點間斜率公式，結合基本不等式可解.

【詳解】由題意可得，a1+b2=r2,a+2b=2,直線的斜率為女尸0=—^―.

2a+b

2a+b1212(a+2b)=15+亍2b2a

因為——I———+—>15+2

abab1ba

、門，、2b2a-72,令力、、、小、ab,2

當且僅當—=—,即。=b=一時，等于成五，所以-----<—,

ab32a+b9

即當直線P。的斜率取最大值時，a=b=~,所以/="+廿=號，故『=逑.

393

17,（23-24高二上?陜西西安?期中）已知圓。的半徑為2,過圓O外一點尸作圓O的兩條切線，切

點為A,B,那么用.麗的最小值為（）

A.-16+472B,-12+4V2C.-12+872D.-16+8V2

【答案】C

【分析】設|尸。卜d,根據長度表示出cos/gB,然后根據向量的數量積計算公式求解方.麗，結

合基本不等式求解出巨鼠麗的最小值.

設\PO\=d,則仍聞=\PB\=J屋-4,

2

因為sin乙4尸。二一

8

所以cos/力必=1—21-

所以強.而二(22_4)(1_=6/2+||-12>2732-12=872-12,

3?

當且僅當屋=/，即/=4行＞4時，等號成立,

故莎?麗的最小值為80-12

/“鞏固練習/

【鞏固練習1】過點4(1,1)的動直線4和過點5(4,5)的動直線4交于點P(點尸異于/、B),且

…,貝力2圖4尸團的最大值是()

525

A.—B.5C.一D.

22T

【解答】解：因為則尸/，尸3,

所以|P2『+|尸8『=|，團2=25,

則|尸/H%|?尸，『？'『=g,

當且僅當|P4|=|尸3|=-^—時取等號，

25

所以IPZHP5I的最大值為

【鞏固練習2】過點尸(3,4)的直線/,求/與xj正半軸相交，交點分別是/、民當A4O2面積最小時

的直線方程.

【答案】4x+3廣24=0.

【解析】設出截距式方程為二+營=1（。>0,6>0）,代入點的坐標，用基本不等式求得用的最小值,

ab

從而得直線方程.

Yp34

【詳解】設直線/方程為一+?=1（。>01>0）,??,直線過點尸（3,4）,J—+不=1,

abab

34[v）34

1=-+->2J—,當且僅當一=不，即〃=6,b=8時等號成立，???功248,

ab\abab

.?.△/OB面積最小值為24,此時直線方程為±+2=1,即4x+3y-24=0

268

【鞏固練習3】（23-24高二上?江蘇無錫?期中）若圓/+/+2X-4了+1=0被直線

2"-勿+2=0（。>0,6>0）平分，則：的最小值為（）

ab

11

A.-B.9C.4D.-

49

【答案】C

【分析】由題意得圓心（T,2）在直線2辦-勿+2=0（a>0,b>0）上，即得a+b=l,再利用基本不等

式力”的妙用即可求解.

【詳解】由圓/+/+2x—4y+l=0被直線2"一力+2=0（〃>0,6>0）平分，

得圓心（一1,2）在直線2"一切+2=0（。>0,6>0）上，則一2〃―26+2=0,即a+b=l,

而〃>0,6>0,則工+工=（1+，）（〃+6）=2+@+222/2.@+2=4,

ababab\ab

當且僅當2=即0=6=’時取等號，所以工+工的最小值為4.

ab