2.3直線的交點坐標與距離公式14題型分類

彩題如工總

彩先也寶庫

一、兩條直線的交點

1.兩直線的交點

已知直線。：4x+3u+Ci=0；b：/2工+5少+。2=0.點/（。，b）.

⑴若點/在直線A4x+2u+Ci=0上，則有4。+56+。=0.

（2）若點4是直線h與h的交點,則有鑿:北"梁

2.兩直線的位置關系

方程組?叮始的解一組無數組無解

14加十臺2、十。2一0

直線。與/2的公共點的個數一個無數個零個

直線/1與/2的位置關系相交重合平行

二、兩點間的距離公式

1.兩點間的距離公式：點尸1（修，乃），P檢2,歹2）間的距離公式『01=5/□血—工1口2+口為一^1口2.特別

提醒：此公式與兩點的先后順序無關.

2.原點0(0,0)與任一■點尸(x,y)的距離|+儼.

三、點到直線的距離、兩條平行線間的距離

點到直線的距離兩條平行直線間的距離

定義點到直線的垂線段的長度夾在平行直線間公垂線段的長

|P(x0,y0)/

圖示叭一~^M(x,y)

0/XO\7*

點尸（%0，次）到直線平行直線/i：Zx+W+Ci=0與

/：Ax-\-By-\-C—0的距離，2：Nx+5y+C2=0之間的距離

公式

\Axo+By0-\-C\.|C1-C|

d=-----/—d=.=2

，42+中"十爐

|彩能朋祕籍(一)

求相交直線的交點坐標

I1、兩直線的交點：已知直線小4x+5i?+Ci=0；Z2：A2x+B?y+C2=Q,聯立方程即可求解.

|2、求兩相交直線的交點坐標.

](1)求兩相交直線的交點坐標，關鍵是解方程組.

|(2)解二元一次方程組的常用方法有代入消元法和加減消元法.

I-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

I題型1:求相交直線的交點

1-1.(24-25高二上?全國?課后作業)直線3%+2歹一18=0和一2x+5y—7=0的交點坐標為()

A.(-4,-3)B.(4,3)C.(-4,3)D.(3,4)

!1-2.(2024高二?江蘇?假期作業)直線x+2y-4=0與直線2x-y+2=0的交點坐標是()

A.(2,0)B.(2,1)

C.(0,2)D.(1,2)

1-3.(2024高二下?全國?課堂例題)判斷下列各組直線的位置關系，如果相交，求出交點坐標：

!(1)^:y=2x+3fl2:2x-y+5=0；

1-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------1

!（2）/]：=2x+l,l2:x-2y=0；

⑶4:x=3,Z2:x=10；

i⑷4:y=2x+1,4：2x-y+1=0.

i-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------1

|題型2：求過兩條直線的交點的直線方程

2-1.（2024高二上?天津?期末）過直線x+y+l=O和x-2y+4=0的交點，且與直線x+2k3=0垂直的直線I

|方程是（）.

A.2x-y+3=0B.2x-y+5=0

C.x+2y-4=0D.2x-y-3=0

22（2024高二下?河北張家口?開學考試）過直線》-2了+1=0與3x-y-2=0的交點，且垂直于直線

I工7+1=0的直線方程是.

2-3.（2024高二上?陜西寶雞?階段練習）已知直線/經過直線3》-〉-7=0和4x+y-14=0的交點，且直線/-

|在坐標軸上的截距相等，則直線/的方程是.

|題型3：由兩條直線交點的個數或位置求參數

i3-1.（廣東省廣州市第一一三中學2023-2024學年高二上學期第一階段考數學試題）直線

13無一伏+2）y+左+5=0與直線丘+（2左一3）y+2=0相交，貝。實數人的值為（）

A.左二1或左片9B.左二1或左片一9C.左片1或左W9D.后二1且左片一9

f4x+6y=1

32（2024?上海崇明?一模）若關于x、V的方程組/。無解，則實數。=______

[ax-3y=2

；3-3.（2024高二?全國?課后作業）若直線區-了=左-1與直線如-》=2左相交且交點在第二象限內，則左的取

i值范圍為（）

A.k>\B.k<—C.0<^<—D.—<k<\

222

3-4.（2024高二上?全國?課后作業）若直線5x+4y=2m+l與直線2x+3,y=?7的交點在第四象限，則的取

i值范圍是（）

C.fD.

題型4：三條直線能否構成三角形問題

4-1.（2024高二上,浙江寧波,期末）若三條直線3x-y+l=0,x+y+3=0與依-y+2=0能圍成一個直角三

角形，貝1u=.

4-2.（2024高二?江蘇?假期作業）若三條直線4：辦+了+1=0,l2:x+ay+l=0,4：丫+了+。=0能構成三角

4-3.（2024高二上?全國?課后作業）使三條直線4x+y-4=0,機x+>=0,2x-3碎v-4=0不能圍成三角形的實

數m的值最多有幾個（）

A.3個B.4個C.5個D.6個

彩他題祕籍

（二）

兩點間的距離

1、兩點間的距離公式：

⑴點PG1，為），Pi（x2,"）間的距/公式尸1尸2尸J口工2—4山2+口及一石山2.

⑵原點。（0,0）與任一點尸（X,歷的距離QP|=Jx2+儼.

2、計算兩點間距離的方法

⑴對于任意兩點P1（X1,為）和尸2（必，乃），則|尸0|=J□&—XI口2+□/—y1口2.

⑵對于兩點的橫坐標或縱坐標相等的情況，可直接利用距離公式的特殊情況求解.

前直裝一泵蔽而向衛浦

5-1.（2024高二?江蘇?假期作業）直線/1:3辦-夕-2=0和直線4：（2。-l）x+5qy-l=0分別過定點A和B,

則|4目=|.

5-2.（2024高二上?全國?課后作業）已知/（-1,2）,8（0,4）,點C在x軸上，且|/。|=忸。|,則點C的坐標為

()

5-3.（2024高二上?江蘇南通?階段練習）已知/,8兩點分別在兩條互相垂直的直線2x-y=0和x+即=0上,

i且N3線段的中點為尸（0,3）,則線段A8的長為（）

A.11B.10C.9D.8

「畫直播一由兩溢而而泵施

6-L（2024高二上?新疆喀什?期末）已知點工（3,3。+3）與點5（a,3）之間的距離為5,則實數。的值

i為.

162（2024高二下?全國?課后作業）已知點44,12）,尸為x軸上的一點，且點P與點/的距離等于13,則

!點P的坐標為.

，6-3.（2024高二下?全國裸后作業）已知0）,8（0,10）,且|/刃=17,貝巾=.

「贏彳忌麗麗誕畫笳錄函f

7-L（2024高二上?福建?期中）著名數學家華羅庚曾說過："數形結合百般好，割裂分家萬事休."事實上，

!有很多代數問題可以轉化為幾何問題加以解決，如：，（寸-4+5-6）2可以轉化為點（x,j）到點（。泊）的距

I離，則-4x+8的最小值為（）.

A.3B.272+1C.24>D.岳

7-2.（2024高三下?江西?開學考試）費馬點是指三角形內到三角形三個頂點距離之和最小的點.當三角形三個

|內角均小于120。時，費馬點與三個頂點連線正好三等分費馬點所在的周角，即該點所對的三角形三邊的張

I角相等且均為120。.根據以上性質，.則F（x,y）=7（X-2>/3）2+/+7（x+1-V3）2+（y-1+A/3）2+yJx2+（y-2）2

I的最小值為（）

A.4B.2+20C.3+273D.4+273

7-3.（2024高二上?甘肅武威?期中）函數/（x）=J/+2x+5+-6x+10的最小值是.

r

I彩健甄秘籍（二）

I運用坐標法解決平面幾何問題

!1、利用坐標法解平面幾何問題：（1）建系；（2）坐標表示；（3）幾何關系坐標化；（4）將數“翻譯”為

|形.

"、利用坐標法解平面幾何問題常見的步驟：

I（1）建立坐標系，盡可能將有關元素放在坐標軸上；

I（2）用坐標表示有關的量；

i（3）將幾何關系轉化為坐標運算；

!（4）把代數運算結果“翻譯”成幾何關系.

「藍薪￡一甫至標麗旃而麗而菽

8-1.（2024高二上?河南?階段練習）己知直線/：（m-2）x-（m+l）y+3m=0（，"wR）,直線乙：4x+y+3=0和

Il2:3x-5y-5=0,

!⑴求證：直線/恒過定點；

1（2）設（1）中的定點為尸，/與4，乙的交點分別為A,B,若P恰為42的中點，求機.

82（2024高二上?安徽馬鞍山?期中）已知ZUBC的頂點42邊上的高所在的直線方程為

|4x-v-13=0,NC邊上的中線所在的直線方程為5x-2y-12=0.

"1）求直線N3的方程；

（2）求點C的坐標.

8-3.（2024高二上?四川綿陽?階段練習）在平面直角坐標系xQy中，。為坐標原點，已知直線4：2x-y-2=Q

［和4：x+>+3=0,

|⑴求直線4與，2的交點坐標；

（2）過點尸（3,0）作直線/與直線3分別交于點/、B,且滿足方=；方，求直線/的方程.

彩健題海籍

點到直線的距離

點到直線的距離的求解方法：

「（1）：錄舌函直香函函冢留「只需把直殘而I花為二酸式麗￡「面i應甬前薊i顫的星I函公式添一

；解即可.

，（2）對于與坐標軸平行（或重合）的直線x=a或了=6求點到它們的距離時，既可以用點到直線

的距離公式，也可以直接寫成d=|x（）一旬或d=［”o—臼.

［（3）若已知點到直線的距離求參數時，只需根據點到直線的距離公式列方程求解參數即可.

I巔直最一錄云薊魚諉襁函

9-1.（2024高二?重慶?學業考試）點（1,1）到直線3x+4y-2=0的距離是（）

A.1B.2C.V5

9-2.（2024高二上?全國?課后作業）已知44,0）至I］直線4無一3>+，=0的距離等于3,則°的值為（）

A.-1B.-13或-19C.一1或一31D.-13

9-3.（2024高二下?遼寧?階段練習）己知圓C經過點M（l,2）,N（3,0）,則點尸（2,-1）到圓心C的距離的最小

I值為（）

A.2B.V3C.72D.1

9-4.（2024高二下?上海浦東新?期中）己知動點河（。力）在直線3x+4y+10=0上，則行工廬的最小值

|為.

9-5.（2024高二上?廣東廣州?期末）已知點尸（-2,1）到直線/:3x-4y+7%=0的距離為1,則機的值為（）

A.-5或-15B.-5或15

C.5或-15D.5或15

196（2024?重慶?三模）已知直線/：y=?x-2）+l（keR）上存在一點尸，滿足|0尸口，其中。為坐標原點.

則實數后的取值范圍是（)

A.gB.

C.D.

_°'1_°5__2?3_

題型10：直線圍成的圖形面積問題

10-L（2024高二上?江蘇?專題練習）射線。4所在直線的方向向量為1=（1,后）（左>0）,點P在44Ox內,

「“，。么于點河.

（1）若左=1,尸］|，鼻，求|0凹的值；

⑵若尸(2,1),AQPM的面積是求后的值.

10-2.(2024(Wj二上,廣東湛江,期中)已知直線/：kx+y+k+2—0(kE.

⑴證明：直線/一定經過第三象限；

⑵設直線/與X軸，y軸分別交于/,B點,當點尸(1,0)離直線/最遠時，求AP/5的面積.

10-3.(2024高二下?全國?課堂例題)己知△NBC的頂點4(-2,0),5(2,2),求△N2C的面積.

一頻直G「福我直簿商而前應再一

11-1.(2024高二上,上海浦東新?階段練習)已知點N(-1,2),8(1,4),若直線/過點M(-2,-3),且.、8到

直線/的距離相等，則直線/的方程為.

11-2.(2024?吉林?三模)已知4(-2,0),3(4,。)兩點到直線/:3》-47+1=0的距離相等，貝|a=()

99

A.2B.-C.2或一8D.2或一

22

11-3.(2024高二?全國?課后作業)已知點田1,1),￡(5,4)到直線/的距離都等于2,求直線/的方程.

彩得甄祕籍.

(五)

兩平行線間的距離

求兩條平行直線間距離的兩種方法：

(1)轉化法：將兩條平行線間的距離轉化為一條直線上一點到另一條直線的距離，即化線線距

為點線距來求.

⑵公式法：設直線。：Zx+5.v+Ci=0,/2：Ax+By+C2=Q,則兩條平行直線間

|Ci~C|

的距離d=2

y/A2+B2'

一前直在「采拓際行線而i誦禽

12-L(2024高二下?河南洛陽?階段練習)兩條平行線4：3x+4y-6=O,￡9x+12.y-10=0間的距離等于

()

12-2.(2024高二上?全國?課后作業)兩條平行直線2x-7y+8=0與2x-7了-6=0間的距離為()

A.叵B.2C.14D..后

1453

12-3.（2024高二上?福建寧德?期中）若兩條平行直線4：x-2y+m=0（m>0）與4：2x+號-6=0之間的距離是

275，貝！jm+n=.

12-4.（2024高二下?河南周口?階段練習）已知兩條直線/1：H+2）X+（1-2）7+2X-5=0,

4：（后+1卜+（1-2左力+左一5=0,且〃4，當兩平行線距離最大時，2+左=（）

A.3B.4C.5D.6

題型13:距離公式的綜合應用

13-1?【多選】（2024高二上?福建南平?期末）已知直線4：4x-3y-3=0,直線

Z2:+++m=0（mGR）,則（）

A.當加=一1時，lx-L/2B.當機=2時，4//4

C.當/"〃2時，4與4之間的距離為1D.直線4過定點（2,1）

13-2.【多選】（2024高二下?江蘇南京?期末）已知動點43分別在直線4：3x-4y+6=0與/2：3x-4y+10=0

上移動，則線段N2的中點P到坐標原點。的距離可能為（）

L7LL

A.B.-C.73D.-Js

13-3?【多選】（24-25高二上?全國?單元測試）已知兩條直線44的方程分別為3x+4y+12=0與

◎+8y-ll=0,下列結論正確的是（）

7

A.若〃%,則。=6B.若"4,則兩條平行直線之間的距離為:

C.若…,則。=三32D.若。/6,則直線總乙一定相交

。得甄祕籍一

（A）

直線的對稱問題

有關對稱問題的兩種主要類型

（1）中心對稱：

①點尸（x,y）關于0（°,%）的對稱點P'（x'，/）滿足二;

②直線關于點的對稱可轉化為點關于點的對稱問題來解決.

:（5）花蘇一

n-b/A\

/_xI——）=-1,

[①點/（a,6）關于直線4c+2y+C=（W0）的對稱點4（m,n）,則有":工J'J”

\4——+S——+C=0.

22

i②直線關于直線的對稱可轉化為點關于直線的對稱問題來解決.

「窗直五「直函函漏后嬴

14-1.（2024高二上?河北張家口?期中）點P（2,0）關于直線/:x-y+3=0的對稱點。的坐標為（）.

A.（-3,5）B.（-1,-4）C.（4,1）D.（2,3）

14-2.（2024高二上?湖南郴州?階段練習）已知入射光線經過點”（-3,4）,被直線/：x-3=0反射，反射光

i線經過點N（2,6）,則反射光線所在直線的方程為.

i14-3.（2024高二上,黑龍江哈爾濱?階段練習）直線x-2y+3=0關于點（1,1）對稱的直線方程為.

14-4.（2024?上海靜安?二模）設直線4：尤-2了-2=0與4關于直線/：2x-y-4=0對稱，則直線人的方程是

（）

A.1lx+2j-22=0B.llx+y+22=0

C.5x+j-ll=0D.10x+y-22=0

煉習與梭升

一、單選題

1.（2024高二?全國?課后作業）求直線x+2y—1=0關于直線x+2y+l=0對稱的直線方程（）

A.x+2y—3=0B.x+2y+3=0

C.x-\-2y—2=0D.x+2y+2=0

2.（2024高二上?江蘇連云港?期中）若三條直線2x+0+8=0,x-y-1=0和2x-y=0交于一點，則上的值

為（）

11

A.-2B.——C.3D.-

22

3.（2024高二上?新疆?期中）直線2x+3y+4=0關于y軸對稱的直線方程為（）

A.2x+3y-4=0B.2x—3y+4=0

C.2x-3y-4=0D.3x+2歹一4=0

4.（2024高二上?浙江?期中）已知點Q2）（Q>0）到直線/:x->+3=0的距離為1,則。等于（）

A.41B.2-V2c.V2-1D.V2+1

5.（2024高二上?廣東廣州?期末）已知點尸（T2）到直線/:4x-3y+s=0的距離為1,則加的值為（）

A.-5或-15B.-5或15C.5或-15D.5或15

6.（2024高二上?河北唐山,期中）唐代詩人李頒的詩《古從軍行》開頭兩句說："白日登山望烽火，黃昏飲

馬傍交河."詩中隱含著一個有趣的數學問題一"將軍飲馬”問題，即將軍在觀望烽火之后從山腳下某處出發,

先到河邊飲馬后再回軍營，怎樣走才能使總路程最短？在平面直角坐標系中，設軍營所在區域為

x2+y2<3,若將軍從點4（3,1）處出發，河岸線所在直線方程為x+y=5,并假定將軍只要到達軍營所在區

域即回到軍營，貝「將軍飲馬”的最短總路程為（）

A.B.V10C.275-73D.2V5

7.（2024高二上?河南南陽?階段練習）直線/：4x+3y-2=0關于點對稱的直線方程為（）

A.4x+3y—4=0B.4x+3y—12=0

C.4x—3j^—4=0D.4x—3j—12=0

8.（2024高二?全國?課后作業）工+>=1關于原點對稱的直線是（）

A.x-y-\=0B.x-y+\=0C.x+y+l=0D.x+y-\=0

9.（2024高二上?全國?課后作業）若直線2x-y-3=0與4x-2y+a=0之間的距離為右，則a的值為（）

A.4B.V5-6C.4或一16D.8或一16

10.（2024高二下?河南南陽,階段練習）若平面內兩條平行線小x+（a-1萬+2=0,4：ax+2y+l=0間的

距離為逑，則實數。=（）

4

A.2B.—2或1C.-1D.-1或2

11.（2024高二上?河北石家莊?階段練習）兩直線2x+3y-左=0和x+12=0的交點在y軸上，貝k的值

是（）

A.-24B.6C.+6D.24

12.（2024高二?全國?課后作業）若三條直線2x+y-4=0,x-y+1=0與?-了+2=0共有兩個交點，則實

數。的值為（）

A.1B.-2C.1或-2D.-1

13.（2024高二上?遼寧沈陽?階段練習）兩直線方程為4：3x-2y-6=0,4：x-y-2=0,貝以關于4對稱的

直線方程為（）

A.3x-2y-4=0B.2x+3歹一6=0

C.2x—3y—4=0D.3x—2y—6=0

14.（2024?全國）如果直線歹="+2與直線>關于直線>=x對稱，那么（）

A.a=-,b=6B.a=-.b=-6C.a=3,b=—2D.a=3,b=6

33

15.（2024高二下?貴州）若直線"+尸4=0與直線x-2=0的交點位于第一象限，則實數。的取值范圍

是（）

A.。<一1或Q〉2B.a>-lC.a<2D.-1<a<2

16.（2024高二下?貴州黔東南?階段練習）點尸在直線3x-4y-5=0上，。為原點，則|。巴的最小值是

（）

A.1B.2C.45D.2-75

17.（2024高二上?廣西河池?期末）已知直線4』+即+2=0,/2：2x+4y+3=0相互平行，則入。之間的距

離為（）

AV5RV5r275石

10552

18.（2024高二上?江蘇淮安?期中）唐代詩人李頑的詩《古從軍行》開頭兩句說：“白日登山望烽火，黃昏飲

馬傍交河"，詩中隱含著一個有趣的數學問題一一"將軍飲馬"問題，即將軍在觀望烽火之后從山腳下某處出

發，先到河邊飲馬后再回到軍營，怎樣走才能使總路程最短？在平面直角坐標系中，設軍營所在的位置為

8（-2,0）,若將軍從山腳下的點/（1,0）處出發，河岸線所在直線的方程為x+j=3,貝〃將軍飲馬”的最短總

路程為（）

A.V27B.5C.V15D.729

19.（2024高一下?全國?課后作業）直線/：x+2y-l=0關于點（1,-1）對稱的直線/，的方程為（）

A.2x—y—5—0B.%+2）—3—0C.x+2y+3=0D.2x—y—1=0

20.（2024高二上?四川遂寧?期末）已知點/與點2（2,1）關于直線x+y+2=0對稱，則點N的坐標為（）

A.（-1,4）B.（4,5）

C.（-3,-4）D.（-4,-3）

21.（2024高二上?江蘇連云港?階段練習）著名數學家華羅庚曾說過："數無形時少直覺，形少數時難入微

事實上，有很多代數問題可以轉化為幾何問題加以解決，如：瓜石F7彳可以轉化為平面上點M（xj）

與點N（a,6）的距離.結合上述觀點，可得f（x）=Jx2+1Ox+26++6x+13的最小值為（）

A.5B.V29C.V13D.2+V13

22.（2024高三下?河北石家莊?開學考試）費馬點是指三角形內到三角形三個頂點距離之和最小的點.當三角

形三個內角均小于120。時，費馬點與三個頂點連線正好三等分費馬點所在的周角，即該點所對的三角形三

邊的張角相等均為120。.根據以上性質，z=-爐+/+加+廳+/+商+（.-的最小值為（）

A.2B.y/3C.2-y/3D.2+5/3

二、多選題

23.（2024高二上?全國,課后作業）三條直線x+y=O,x-y=0,x+即=3構成三角形，貝匹的值不能為

（）

A.1B.2

C.-1D.-2

三、填空題

24.（2024高二上?全國?課后作業）直線y=3x-4關于點尸（1,1）對稱的直線方程為.

25.（2024高三?全國?課后作業）若直線》=G+2與y=3x-6關于直線N=x對稱，則實數0=.

26.（2024高二?江蘇?假期作業）己知點“?-4）與點N（2,3）間的距離為7亞，則》=.

27.（2024高二?全國?課后作業）直線2x+5y-3=0關于點M（-l,2）對稱的直線方程是.

28.（2024高二?全國?課后作業）設直線/經過2x-3y+2=0和3x-4y-2=0的交點，且與兩坐標軸圍成等

腰直角三角形，則直線/的方程為.

29.（2024高二?全國?課后作業）如果直線＞=ox+2與直線＞=3x-6關于直線V=x對稱，那么a=,

b=.

30.（2024高二?全國?課后作業）若直線4：y=-x+b與直線4：5x+3y-31=0的交點在第一象限，則實數b

的取值范圍是.

31.（2024高三?全國?專題練習）直線2x-y+3=0關于直線x—y+2=0對稱的直線方程是.

32.（2024高二?全國?課后作業）如果直線/與直線x+y-l=O關于夕軸對稱，那么直線/的方程是.

fx+2y=4

33.（2024?上海奉賢?二模）若關于x,V的方程組，?〈有唯一解，則實數a滿足的條件是______.

[3x+ay=0

34.（2024高三?全國?對口高考）過點尸（0,1）且和《（3,3）,5（5,-1）的距離相等的直線方程是.

,[lx-by=3

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