專題34圓綜合測試卷

參考答案與試題解析

選擇題（共10小題，滿分30分，每小題3分）

1.（3分）（2023?甘肅平?jīng)?統(tǒng)考二模）如圖，/、B、C是圓。上的三點，且四邊形4BC0是平行四邊形,

。尸1OC交圓。于點尸，貝此力。尸等于（）

A.15°B.30°C.45°D.60°

【答案】B

【分析】根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)和圓的半徑相等得到△40B為等邊三角形，根據(jù)等腰三角形的三線合一得

到答案.

【詳解】解：

?.?四邊形4BC0是平行四邊形，

.-.OC^AB,又。4=0B=0C,

.-.OA=OB=AB,

.?.△aoB為等邊三角形，

■.■OF1OC,OCWAB,

.".OF1AB,

：.Z.AOF=Z.BOF=30°,

故選：B.

【點睛】本題考查的是圓內(nèi)半徑相等，平行四邊形的性質(zhì)定理、等邊三角形的性質(zhì)的綜合運(yùn)用，掌握等腰

三角形的三線合一是解題的關(guān)鍵.

2.（3分）（2023?福建福州?校考模擬預(yù)測）如圖，PA,PC分別與圓。相切于4C兩點,AB.BC為。。

的兩條弦，且P4IIBC,若tanP=1則非的值是（）

ODL

A.苧B.C.|D.竽

【答案】A

【分析】作CHLAP于H,連接4。并延長交BC于。，則可得041BC,則由垂徑定理得42=4C；設(shè)

P"=3%,根據(jù)正切的定義用工表示出HC,根據(jù)勾股定理求出PC,分別證明P4=PC,根據(jù)題意計算，得到

答案.

【詳解】解：作CHLAP于H,連接4。并延長交BC于D,如圖，

???P4是圓的切線，

：.OA1PA,

-PA\\BC9

'.ADIBC；

：.BD=CD；

?.AB=AC；

-CHLAP,ADLAP,ADLBC,

即4ZHC=^LDAH=乙ADC=90°,

四邊形4DCH是矩形，

;.CD=AH；

設(shè)PH=3x,

4

vtanP=

???HC=4%,

由勾股定理得，PC=7PH2+CH2=5x,

由切線長定理得，PA=PC=5%,貝M"=2x,

CD=2x,

由勾股定理得，4c=7cH2+4"2=2瓜,

vAD1BC,

BC=2CD=4%,

.AB_2V5X_V5

故選：A.

【點睛】本題考查的是垂徑定理，切線的性質(zhì)及切線長定理，勾股定理，三角函數(shù)，矩形的判定與性質(zhì)，

掌握相關(guān)的性質(zhì)定理是解題的關(guān)鍵.

3.（3分）（2023?湖北十堰?統(tǒng)考一模）如圖，在。。的內(nèi)接四邊形48co中，AC1BD,AB=8,CD=2,

則。。的直徑為（）

A.9B.2V15C.2V17D.12

【答案】C

【分析】作直徑⑷7,連BF、CR證明CD=BF=2,利用勾股定理求出4F即可.

【詳解】解：作直徑4F,連BF、CF.

A

???ZF是圓。的直徑，

???乙ACF=Z-ABF=90°,

???CF1AC,

又???BDLAC,

???CF||BD,

/.Z-DBC=Z-BCF,

???CD-BF,

.-.BF=CD=2,

...AF=7AB2+BF2=V82+22=2V17,

???。。的直徑為2g.

故選：C.

【點睛】本題考查勾股定理，圓周角定理，平行線的判定和性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是學(xué)會添加常用輔助

線，構(gòu)造直角三角形解決問題，屬于中考常考題型.

4.（3分）（2023?江蘇蘇州?統(tǒng)考模擬預(yù)測）如圖，扇形AOB中，AAOB=90°,半徑。4=6,C是血的中點,

CD//OA,交A8于點D,貝北。的長為（）

A.2V^—2B.V2C.2D.6V^—6

【答案】D

【分析】連接0C,延長CD交0B于點E,如圖，易得△AOB、△COE、ABDE都是等腰直角三角形，然

后根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)求出CE與DE的長，從而可得答案.

【詳解】解：連接0C,延長CD交0B于點E,如圖，

■,■^AOB=90°,C是通的中點，

.??ZCOE=45°,

■■■CD//OA,"OB=90。，

???CE1OB,

.??ZOCE=ZCOE=45°,

.?.CE=OE4。C=孝x6=3V2,

.?.BE=OB—OE=6-3VL

???OA=OB,2LAOB=90°,

??.ZABO=45°,

.-.ZBDE=ZABO=45°,

.?.EB=ED=6-3V2,

???CD=CE-DE=3V2-(6-3V2)=6近-6.

故選：D.

【點睛】本題考查了圓心角和弧的關(guān)系、等腰直角三角形的判定和性質(zhì)等知識，屬于常考題型，熟練掌握

等腰直角三角形的判定和性質(zhì)是解此題的關(guān)鍵.

5.（3分）（2023?廣東茂名?統(tǒng)考二模）如圖，。。的半徑為4,直徑與直徑。垂直，尸是而上一點,

連接尸C,P8分別交CD于E,F,若CE=2底則8尸的長為（）

（

A.警B.V17C.2V5D.苧

【答案】A

【分析】本題主要考查圓周角定理、解直角三角形等知識，連接2。，過點尸作證明

tanZ.PBD=tan/.PCD=|=設(shè)FH=m,則=2m,構(gòu)建方程求出加，即可求解.

【詳解】解：連接AD,過點尸作于氐

■:AB1CD,

."。。=90°,

■：CE=2V5,0C=4,

；.0E='EC2-0C2=J（2伺）2_42=2,

.-.tan乙ECO=-=

OC2

?:乙PCD=Z-FBD,

1FH

???tan乙PBD=tan乙PCD=-=—,

2BH

設(shè)F”=zn,則=

?：OD=OB,乙DOB=90。,

"FDH=45°,

,?2FHD=90°,

??.乙HFD=4HDF=45。,

：.HF=HD=m,

.,.m+2m=y[2OB=4V2,

■■.BF=7FH2+BH2=7m2+(2m)2=V5m=空.

故選：A.

6.(3分)(2023?湖北武漢?統(tǒng)考模擬預(yù)測)如圖，。。的半徑為20,/是。。上一點，以。4為對角線作

矩形。B4C,且。C=12,延長BC交。。于。，E兩點，貝UCE-BD=()

C\A

OB^D

【答案】c

【分析】設(shè)DE的中點為連接OM,則。"IDE,在Rt^AOB中利用勾股定理求出OB的長，利用三角形

的面積公式求出。M的長，在RtaOCM中，利用勾股定理求出CM的長，進(jìn)而可得出8M的長，由CE—

(EM—CM)-(DM—BM)=BM-CM即可得出結(jié)論.

【詳解】解：如圖，設(shè)DE的中點為連接。M,貝UOM1DE.

?.?在RtZXAOB中，0A=20,AB=OC=12,

.-.0B="小力房=002-122=16,

由矩形0B4C知BC=OA=20,利用△OBC的面積關(guān)系得:

在RtaOCM中，

CM-yJOC2—OM2=J122—怎）=募

■.■BM=BC-CM=20-y=y,

■,.CE—BD=（EM—CM}—（DM—BM}=BM-CM=^--？=

故選：C.

【點睛】本題考查的是圓的基本性質(zhì)及勾股定理，根據(jù)題意作出輔助線，構(gòu)造出直角三角形，利用勾股定

理進(jìn)行解答是解答此題的關(guān)鍵.

7.（3分）（2023?四川德陽?統(tǒng)考中考真題）已知一個正多邊形的邊心距與邊長之比為孚，則這個正多邊形

的邊數(shù)是（）

A.4B.6C.7D.8

【答案】B

【分析】如圖，/為正多邊形的中心，BC為正多邊形的邊，AB,4C為正多邊形的半徑，4D為正多邊形的

邊心距，由霽=哼可得需=71,可得NB=60。，而4B=4C,可得△ABC為等邊三角形，從而可得答案.

DCzDU

【詳解】解：如圖，/為正多邊形的中心，BC為正多邊形的邊，AB,4C為正多邊形的半徑，力D為正多邊

形的邊心距，

A

-.AB=AC,AD1BC,翌=冬

DCz

:.BD=CD/BC,

.??能=苧，即黑=后

?，.tanz.5=~~=y/3f

：.LB-60°,\^AB=ACf

???△48C為等邊三角形，

?"ZC=60。，

???多邊形的邊數(shù)為：嚶=6,

60

故選B

【點睛】本題考查的是正多邊形與圓，銳角三角函數(shù)的應(yīng)用，熟練的利用數(shù)形結(jié)合的方法解題是關(guān)鍵.

8.（3分）（2023?廣東深圳?深圳市東湖中學(xué)校考模擬預(yù)測）如圖，在邊長為6的等邊aABC中，點E在

邊4C上自/向C運(yùn)動，點廠在邊CB上自C向8運(yùn)動，且運(yùn)動速度相同，連接BE/F交于點P,連接CP,

在運(yùn)動過程中，點P的運(yùn)動路徑長為（）

【分析】過點4作。414C于4作。81BC于B,連接。C,交AB于D,證明Rt△AC。三Rt△8C0（HL）,得

OA=OB,再證明△4CF三△BAE（SAS）,可得“PB=180。-60。=120。，確定點P的運(yùn)動路徑是以點。為圓

心，以。力為半徑的弧48,再由弧長公式求解即可.

【詳解】解：如圖，過點/作。4_L4C于/,作。B1BC于B,連接。C,交AB于D,

???△4CB是等邊三角形，

AC=BC=AB,/.ACB=/.CAB=60°,

???^AOB=360o-600-90o-90°=120°,

???OC=OC,

■.Rt△XCO=Rt△BCO(HL),

OA=OB,

.?.oc是48的垂直平分線，=

在RtzXa。。中，Z.DAO=30°,

.?.OD=AD?tan30°=V3>OA—2OD—2V3,

???AE=CF,

.-.△i4CF=A^i4E(SAS),

Z.CAF=Z-ABE,

???Z.CAF+乙BAP=60°,

???4ABE+ABAP=60°,

???/.APB=180°-60°=120°,

???點尸的運(yùn)動路徑是以點。為圓心，以。4為半徑的弧

???點P的運(yùn)動路徑長為華聲=竽兀.

loUD

故選：A.

【點睛】本題考查了等邊三角形的性質(zhì)和判定，扇形的面積，動點P的運(yùn)動軌跡等知識，確定點P的運(yùn)動軌

跡是解本題的關(guān)鍵.

9.(3分)(2023?陜西西安?校考三模)如圖，。。的內(nèi)接四邊形N5CD中，48=3,AD=5,乙BAD=60。,

點C為弧的中點，則NC的長是()

A.4V3B.8V3C.竽D.第

【答案】D

【分析】根據(jù)點C為弧2。的中點可得/C平分血。，再根據(jù)角平分線的性質(zhì)作垂直線，最后根據(jù)全等推

理證明即可.

【詳解】過C作CE1AB于E,CFLAD于F,

A

則匕E=4CFD=4CK4=900,

???點C為弧5。的中點,

；.BC=CD,

工乙BAC=^DAC,BC=CD,

,：CEUB,CFLAD,

:?CE=CF,

以、B、C、。四點共圓，

-?Z-D=Z-CBE,

在△CBE和△CD/中

zCBE=(D

乙E=^CFD

CE=CF

.,?△CBE三ACDF(AAS),

；.BE=DF,

在AAEC和ZU中

(乙E=cAFC

]^EAC=^FAC

IAC=AC

???△AEC三AAFCIAAS),

?,AE=AF,

設(shè)BE=DF=x,

?：AB=3,AD=5,

-'-AE=AF=x+3,

???5=x+3+x,

解得：x=L

即AE=4,

故選：D.

【點睛】本題考查了圓心角、弧、弦之間的關(guān)系，圓內(nèi)接四邊形性質(zhì)，解直角三角形，全等三角形的性質(zhì)

和判定的應(yīng)用，能根據(jù)角平分線正確作出輔助線是解此題的關(guān)鍵，綜合性比較強(qiáng)，難度適中.

10.（3分）（2023?山西呂梁?模擬預(yù)測）如圖，28為半圓。的直徑，M,。是半圓上的三等分點，AB=8,

BD與半圓。相切于點8,點P為詢上一動點（不與點4M重合），直線PC交于點。，8石1。。于點心延

長BE交PC于點、F,則下列結(jié)論正確的個數(shù)有（）

①PB=PD；②配的長為無；③NDBE=45°；@ABCF-/\PCB；⑤CF-CP為定值.

A.1個B.2個C.3個D.4個

【答案】C

【分析】①連接4C,并延長力C,與BD的延長線交于點若PD=PB,得出P為南的中點，與實際不符，

即可判定正誤；

②先求出NBOC,再由弧長公式求得沅的長度，進(jìn)而判斷正誤；

③由NBOC=60。，得aOBC為等邊三角形，再根據(jù)三線合一性質(zhì)得NOBE,再由角的和差關(guān)系得ADBE,便

可判斷正誤；

④證明"PB=NCBF=30。，再利用公共角，可得aBCF?△PCB,便可判斷正誤；

⑤由等邊aOBC得BC=0B=4,再由相似三角形得CF-CP=BC2,便可判斷正誤.

【詳解】①連接4C,并延長4C,與BO的延長線交于點如圖，

■■-M,C是半圓上的三等分點,

：.KBAH=30°,

???BD與半圓。相切于點B.

.-.AABD=90°,

.■.ZW=60°,

乙4cp=AABP,AACP=Z.DCH,

:.乙PDB=AH+乙DCH=4ABp+60°,

乙PBD=90°-AABP,

若乙PDB=LPBD,則4IBP+60°=90°—N4BP,

■■.AABP=15°,

??.P點為瓶的中點，這與P為詢上的一動點不完全吻合,

NPDB不一定等于A4BD,

??.PB不一定等于PD,故①錯誤；

@???M,C是半圓上的三等分點，

.■.zBOC=1x180°=60°,

???直徑AB=8,

OB=OC=4,

???就的長度=曙=3故②正確；

③???NBOC=60。，OB=OC,

■■.AABC=60°,OB=OC=BC,

BE1OC,

???乙OBE=^CBE=3。。,

v/.ABD=90°,

."DBE=6U。,故③錯誤；

④???”、C是荏的三等分點，

zBPC=30°,

???ZCBF=3O°,

Z-CBF=Z.BPC,

Z-BCF=Z-PCB,

:.ABCF~APCB,故④正確；

⑤?；4BCF?4PCB,

CB_CE

~CP~~CB

???CF?CP=CB2,

■.■CB=0B=0C=^AB=4,

.■.CF-CP=16,故⑤正確.

綜上所述：正確結(jié)論有②④⑤，共3個.

故選：C.

【點睛】本題屬于幾何綜合題，主要考查了切線的性質(zhì)，圓周角定理，直角三角形的性質(zhì)，等邊三角形的

性質(zhì)與判定，等腰三角形的性質(zhì)，相似三角形的性質(zhì)與判定，關(guān)鍵是熟練掌握切線的性質(zhì)得到乙48。=90。，

并能靈活應(yīng)用.

二.填空題（共6小題，滿分18分，每小題3分）

11.（3分）（2023?廣東清遠(yuǎn)?統(tǒng)考二模）如圖，。。的直徑和弦CD垂直相交于點E,8=4魚，CF1AD

于點尸，交力B于點G,且。G=l,則。。的半徑長為.

【答案】3

【分析】連接"，BC,OC,根據(jù)垂徑定理和圓周角定理得到CE=OE=2VLBC^BD,NACB=90。，求

出N8=N4GF,根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到8C=CG,GE=EB,設(shè)OE=X,根據(jù)勾股定理得。C2=+。

E2,求出x即可.

【詳解】解：連接AC,BC,OC,

???。。的直徑和弦CD垂直相交于點&CD=4V2,

CE=DE=2V2,BC=BD,乙4cB=90。，

.??48+"48=90。，^CAB=Z.DABf

???CFLAD,

???4GE4=90。，

???^DAB+Z.AGF=90°,

:.Z.B=Z-AGF,

Z-CGB=Z.AGF,

???Z.B=Z-CGB,

???BC—CG,

vAB1CD,

???GE=EB,

設(shè)OE=x,

???OG=1,

???GE=BE=%4-1,

OC=OB=x+x+l=2x+l,

在Rt^OCE中，由勾股定理得：OC2=CE2+OE2,

即（2x+1）2=（2V力+x2,

解得：*=1或%=-5（不符合題意，舍去）,

???OC=2xl+l=3,

即0。的半徑長為3,

故答案為：3.

【點睛】本題考查了垂徑定理，圓周角定理，等腰三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理的應(yīng)用，根據(jù)題意作出

輔助線，構(gòu)造出直角三角形是解答此題的關(guān)鍵.

12.（3分）（2023?湖北咸寧?校考模擬預(yù)測）如圖，RtaABC中，NaCB=9（r/C=12,BC=5,。0與BC

相切于。，與2&BC的延長線分別相切于E、F,則。。的半徑為

【答案】3

【分析】連接。。、OE、OF,設(shè)。。的半徑為r,根據(jù)切線長定理可得BD=BF,AF=AE,CE=CD,根據(jù)

勾股定理求解4B,即可求解.

設(shè)。。的半徑為「，

■:^ACB=90°,

.??四邊形ODCE是矩形，

：.OD—CE—CD-OE-r,

???BC=5,

：.BD=BC-CD=5—r,

???O。與BC相切于。，與AC,BC的延長線分別相切于E、F,乙4cB=90。,47=12,8C=5

■■.BD=BF=5—r,AF=AE=AC+CE=12+r,AB=VXC2+BC2=13,

：.BF=AF-AB=r—1,

.■-r-1=5-r,解得：r=3,

故答案為：3.

【點睛】本題考查了，直角三角形的性質(zhì)，切線的性質(zhì)，勾股定理，掌握切線的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

13.（3分）（2023?湖南株洲?校聯(lián)考三模）如圖，在正方形網(wǎng)格中，每個小正方形的邊長都是1,。。是△ABC

的外接圓，點B,O在網(wǎng)格線的交點上，則cos乙4cB的值是.

【答案】曰/!西

【分析】本題主要考查解直角三角形，勾股定理，圓的概念及性質(zhì)，構(gòu)造直角三角形是解題的關(guān)鍵.

連接力。并延長交。。于點D,連接BD,貝1此48。=90。,乙4cB=N4DB,利用勾股定理求解2D的長，再解直

角三角形可求解.

【詳解】解：連接力。并延長交。。于點D,連接BD,

貝l|N力BD=90°/4CB=LADB,

■：AO=。2+12=V5,

AD=2V5,

vAB=4,

???BD=yjAD2-AB2=2

BD2V5

???cos乙4cB=cosZ-ADB=——=——=—,

AD2V55

故答案為：容

14.（3分）（2023?安徽合肥?合肥市廬陽中學(xué)校考模擬預(yù)測）如圖，在矩形力BCD中，AB=6,BC=4,

點E為BC的中點，AF=2,以EF為直徑的半圓與DE交于點G,貝|GE的長為.

【答案】V10

【分析】連接。G和。尸，首先根據(jù)已知信息推出△DEF為等腰直角三角形，從而得到ZDEF=45。，再結(jié)合

OG=OE,得到NGOE=90。，最后根據(jù)已知信息求出EF的長度，即可得到。E的長度，然后勾股定理求解即

可.

【詳解】解：如圖所示：連接。G和。F,

由題意，AF=2,BF=4,AD=4,=90°,

.??在RtZkACF中，DF=7AF2+=2后

同理，在RtZkBEF中，EF='BE?+BF2=2遮,

：.DF=EF,OE=^EF=V5,

又AD=BF,

???Rt△ADF^Rt△BFF(HL),

:.Z-ADF=乙BFE,

???AADF+/.AFD=90°,

???乙BFE+Z.AFD=90°,

ZPFE=9O°,

???DF=EF,

???Z,FDE=乙FED=45°,

又OG=OE,

??/OGE=4OEG=45。，

???NGOE=90。,

???GE=V2OF=V10,

【點睛】本題考查全等三角形的判定與性質(zhì)，圓的基本性質(zhì)，勾股定理，掌握全等三角形的判定和基本性

質(zhì)是解題關(guān)鍵.

15.（3分）（2023?浙江溫州?校聯(lián)考一模）如圖，半圓的直徑/8=6,C為半圓上一點，連接/C,BC,D

為3c上一點，連接。。，交8c于點E,連接/￡若四邊形NCDE為平行四邊形，則/E的長為.

fE

oB

【答案】2V3

【分析】如圖，連接0c證明4C=Z）E=2O￡,利用勾股定理構(gòu)建關(guān)系式，可得結(jié)論.

【詳解】如圖，連接0C.

??,AB是直徑，

“CB=90。,

???四邊形ACDE是平行四邊形，

：.AC=DE,CD=AE,AC\\DE,

；.UCE=cDEC=90。,

???OD1BC,

：.EC=EB,

??,OA=OB,

：?AC=2OE=DE,

?：OD=OC=3,

■?OE=\,DE=2,

■■■CE2=OC2-OE2=CD2-DE2,

.?.32-l2=CD2-22,

...^￡■=0）=273^-273（舍棄）.

故答案為：2V3.

【點睛】本題考查圓周角定理，垂徑定理，勾股定理，平行四邊形的性質(zhì)，三角形中位線定理等知識，解

題的關(guān)鍵是熟練掌握基本知識，屬于中考常考題型.

16.（3分）（2023?浙江杭州?杭州育才中學(xué)校考模擬預(yù)測）如圖，力B為半圓的直徑，C是半圓弧上任一點,

正方形DEFG的一邊DG在直線4B上，另一邊DE過2L4BC的內(nèi)切圓圓心/,且點E在半圓弧上，已知DE=8,

則44BC的面積為.

【答案】64

【分析】根據(jù)切線的性質(zhì)得到CM=CN=r,根據(jù)圓周角定理得到41cB=90。，根據(jù)勾股定理得

至必B2=472+BC2,于是得到4D.DB=，CNC,由射影定理得4D-DB=DE2=64,根據(jù)三角形的面積公式

即可得到結(jié)論.

【詳解】解：如圖示，設(shè)。/切4C與M,切BC于N,半徑為r,

則4￡1=4M,CM=CN=r,BD=BN,

.-.r=^AC+BC-AB),

???4B為半圓的直徑，

???^ACB=90°,

AB2=AC2+BC2,

???AD-DB=AM-BN=(4C-r)(BC-r)

11

=[AC--{AC+BC-AB)][BC--(AC+BC-AB)]

1

=-(AC-BC+ABXAB+BC-AC)

1

=-(AB2-AC2-BC2+2AC-BC)

1

=-AC-BC,

又「aB為半圓的直徑，，且點E在半圓弧上,

由射影定理得=DE2=82=64,

???S^ABC=-^AC-BC=AD-DB=64,

故答案為：64.

【點睛】本題考查了三角形的內(nèi)切圓與內(nèi)心，勾股定理，射影定理，三角形的面積的計算，正確的理解題

意是解題的關(guān)鍵.

三.解答題(共7小題，滿分52分)

17.(6分)(2023?安徽?模擬預(yù)測)如圖，半圓的直徑48=4,弦CDIL4B,連接

4OB

(1)求證：4ADC三4BCD；

(2)當(dāng)△4CD的面積最大時，求乙以。的度數(shù).

【答案】(1)證明見解析

(2)45°

【分析】(1)根據(jù)平行線的性質(zhì)可得從而可得衣=而，然后根據(jù)同圓或等圓中弧、弦、

圓周角的關(guān)系可得4。=BC,從而用邊邊邊定理證明三角形全等；

(2)連接。C,。。，過點。作DE1OC,垂足為點E,通過分析當(dāng)且僅當(dāng)NCOD=90。時取等號時S^CD有最大

值為2,分析求解.

【詳解】⑴證明：?.SII4B,

???Z.ADC=/.DAB

■■AC=BD,

???AC=BDAC+CD^BD+CD,即而=BC,

：.AD=BC.

又vCD=DC.

...△ZDC三△BCD(SSS)

(2)解：連接。C,。。，過點。作DEIOC,垂足為點E.

oB

.-.0C=0D=^AB=2.

■■■CD||AB,

:S&ACD=S&OCD=■DE.

■：DE<0D^2,當(dāng)且僅當(dāng)NCOD=90。時取等號，

此時S^CD最大值=|x2x2=2,

1

,?.zCXD=|zCOD=45°.

【點睛】本題考查全等三角形的判定和性質(zhì)，同圓或等圓中弧、弦、圓周角的關(guān)系，解題的關(guān)鍵是根據(jù)圖

形題意，準(zhǔn)確添加輔助線.

18.（6分）（2023?廣東深圳?廣東省深圳市鹽田區(qū)外國語學(xué)校校考模擬預(yù)測）如圖，△4BC內(nèi)接于。0,

AB.CD是。。的直徑，E是D4長線上一點，^CED=^CAB.

⑴求證：CE是。。的切線；

（2）若DE=3逐，tanB=求線段CE的長.

【答案】（1）見解析

（2）3

【分析】（1）根據(jù)圓周角定理得出N4CB=90。，再由各角之間的等量代換得出NDCE=N4CB=90。，利用

切線的判定證明即可；

（2）根據(jù)（1）可知，CD1CE,再由正切函數(shù)的定義得出CD=2CE,利用勾股定理求解即可.

【詳解】（1）證明：MB是。。的直徑，

：./-ACB=90°,

.?ZC4B+NB=90°,

,；乙CED=zJJAB,Z-B=Z-D,

"CED+ZD=90°,

：.^DCE=/-ACB=^°,

:.CD1CE,

???CD是。。的直徑，即。C是。。半徑，

??.CE是。。的切線；

(2)由(1)知，CD1CE,

在RtZkABC和RtZkDEC中，

MB=Z.D,tanB=

CE1

.,?tan4B—tanN。—

.\CD=2CEf

在RtZkCDE中，CD2+CE2=DE2,DE=3遍,

；.(2CE)2+CE2=(3V5)2,

解得CE=3(負(fù)值舍去)，

即線段CE的長為3.

【點睛】題目主要考查切線的判定和性質(zhì)，正切函數(shù)的定義，勾股定理解三角形等，理解題意，綜合運(yùn)用

這些知識點是解題關(guān)鍵.

19.(8分)(2023?湖北武漢?校聯(lián)考模擬預(yù)測)如圖，正方形ABC。內(nèi)接于。0,￡是前的中點，連接

AE,DE,CE.

(1)求證：AE=DE；

(2)若CE=1,求四邊形AECD的面積.

【答案】⑴見解析

3

(2)S四邊形E4CD=V2+-

【分析】(1)欲證明4E=DE,只要證明荏=礪即可.

(2)連接BD,過點。作DFIDE交EC的延長線于凡證明△4DE三△(?￡)?,推出力E=CF,得至IJSODE=

S^CDF，推出S四邊形4ECD=S^DEF，再利用等腰三角形的性質(zhì)構(gòu)建方程求出DE，即可解決問題.

【詳解】（1）證明：???四邊形4BC0是正方形,

：-AB=CD,

.,.AB=CD,

■:E是沅的中點，

；.BE=EC,

.,.AE=DE,

：-AE=DE.

（2）解：連接8D,AO,過點。作OFIDE交EC的延長線于?

???四邊形ABC。是正方形，

：.Z.DBC=ADEC=45°,DA=DC,

,：Z.EDF=90°,

=乙EDF—乙DEF=90°-45°=45°,

.-.DE=DF,

=，。。=45。，

=d=45。，

-Z.ADC=Z.EDF=90°,

：.Z.ADE+乙EDC=乙CDF+Z.EDC=90°,

：.Z-ADE=乙CDF

MADE三ACDF,

.-.AE=CF,

?*-^AADE=S^CDF，

???S四邊形/EC。—S^DEF，

'：EF=y/2DE=EC+DE,EC=1,

??-1+DE=ypiDE,

-t-DE=V2+1,

???S四邊形/ECO=SADEF=^DE2=V2+|.

【點睛】本題考查正多邊形與圓，正方形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，等腰直角三角形的判定和性

質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是學(xué)會添加常用輔助線，構(gòu)造全等三角形解決問題，屬于中考常考題型.

20.（8分）（2023?河北石家莊?石家莊市第四十二中學(xué)校考模擬預(yù)測）筒車是我國古代利用水力驅(qū)動的灌

溉工具.如圖，半徑為3m的筒車。。按逆時針方向每分鐘轉(zhuǎn)'圈，筒車與水面分別交于點/、B、AB長為

4m,筒車上均勻分布著若干個盛水筒（用點表示）.若以某個盛水筒（點尸）剛浮出水面時開始計算時間.

（1）設(shè)點。為盛水筒在運(yùn)行中的最高點，請在圖中畫出線段C。，用其長度表示盛水筒到水面的最大距

離.（不說理由），并求最大距離約為多少米（結(jié)果保留小數(shù)點后一位）；

（2）筒車每秒轉(zhuǎn)_。，AOAB=_°；

（3）浮出水面2.6秒后，盛水筒（點尸）距離水面多高？（參考數(shù)據(jù)：V5-2.2,cos470=sin43°~|i）

【答案】（1）作圖見解析，最大距離為5.2米

（2）5,43

（3）0.7米

【分析】（1）如圖1，過點。作于C,交。。于D,連接。4由垂徑定理得4?=/B=2,由題意

知，。/1=。。=3,由勾股定理得OC=V。勾一4C2=底根據(jù)CD=OC+OD,計算求解即可；

（2）由題意知，每分鐘轉(zhuǎn)的弧長為，X2兀X3=5兀，由嚅=5兀，解得n=300,則每秒鐘轉(zhuǎn)哪=5。，由

OloUOU

nr7711

sinNQ4B=/2年-蔑，可求N04B的值；

（3）由題意知，2.6x5°=13。，則3aoe=90。一/。4。=47。,如圖2,連接。P,過P作PE10C于E,PF1AB

,2

于尸，則四邊形CEPF是矩形，PF=CE,/.POC=/.AOC+Z.POC=60°,則。E=OP?cos/POC=1,

CE=OC-OE=0.7,進(jìn)而可求浮出水面2.6秒后，盛水筒(點P)距離水面的高度.

【詳解】(1)解：如圖1,過點。作于C,交。。于D,連接。4

圖1

由垂徑定理得==2,

由題意知，。/1=。。=3,

由勾股定理得。。=A/042—4C2=Vs,

??.CD=OC+OD=V5+3~5.2(m),

???最大距離約為5.2米;

(2)解：由題意知，每分鐘轉(zhuǎn)的弧長為2兀x3=5兀,

,嚅=5兀，解得n=300,

1OU

?海秒鐘轉(zhuǎn)黑=5。,

oU

.…cOC2.211

-smZ-OAB=—?—

.-.Z.OAB=43°,

故答案為：5,43；

(3)解：由題意知，2.6x5°=13°,

■.■Z.OAB=43°,

：.^LAOC=90°-^OAB=47°,

如圖2,連接。P,過尸作PE1OC于&PFLAB^F,貝lj四邊形CEPF是矩形,

D

圖2

:.PF=CE,Z.POC=A.AOC+Z.POC=60°,

3

：.OE—OP?cosZ-POC-

：.CE=OC-OE=0.7（m）,

：.PF=0.7（m）,

二浮出水面2.6秒后，盛水筒（點P）距離水面0.7米.

【點睛】本題考查了垂徑定理，勾股定理，弧長公式，正弦，余弦，矩形的判定與性質(zhì).解題的關(guān)鍵在于

對知識的熟練掌握與靈活運(yùn)用.

21.（8分）（2023?廣東佛山?校考一模）如圖，在A4BC中，4B=4C,以為直徑的。。與BC交于點D,

（1）用無刻度的直尺和圓規(guī)作出劣弧4。的中點E.（不寫作法，保留作圖痕跡），連接8E交2D于F點，并證

明：AFxDF=BFxEF；

（2）若。。的半徑等于4,且。。與AC相切于4點，求劣弧4。的長度和陰影部分的面積（結(jié)果保留兀）.

【答案】（1）見解析

（2）2ir,4n—8

【分析】（1）利用圓周角相等所對的弧相等解決中點，連接DE,先說明△BFAsaDFE,再利用相似三角

形的性質(zhì)得結(jié)論；

（2）連接。。，先求出乙4。。的度數(shù)，再利用弧長公式、扇形的面積公式及三角形的面積公式得結(jié)論.

【詳解】（1）作乙4BC的角平分線交而于點E.

點E為所求的劣弧而的中點.

證明：連接DM

AE=AE,BD—BD,

???Z-ABF=Z.ADE,乙BAF=乙FED.

??.△BFADFE.

BF_DF

'AF~~EF'

即=B尸XEF.

(2)連接。。，

???。。與人。相切，。4為半徑，

???BA1AC.

???AB=AC,

...Z5=ZC=45°.

vOB=OD,

??.匕B=4ODB=45。.

AAOD=90°.

???劣弧/O的長度=畸史=2-

S陰影=^^AOD-^AAOD

90X7TX421

--^60-—2X4X4

=4TT—8.

【點睛】本題主要考查了與圓有關(guān)計算，掌握圓周角定理、等腰三角形的性質(zhì)、弧長公式及扇形的面積公

式是解決本題的關(guān)鍵.

22.（8分）（2023?山東濱州?統(tǒng)考中考真題）如圖，點E是aaBC的內(nèi)心，4E的延長線與邊BC相交于點F,

與△4BC的外接圓相交于點D.

(1)求證：S^ABF-^AACF—AB-.AC；

(2)求證：AB-.AC=BF-.CF-,

(3)求證：AF2=AB-AC-BF-CF；

(4)猜想：線段三者之間存在的等量關(guān)系.(直接寫出，不需證明.)

【答案】(1)見解析

(2)見解析

(3)見解析

(4)亦=DF-AD

【分析】(1)過點尸作FHIAGFGIAB,垂足分別為H,G,則FG=FH,進(jìn)而表示出兩個三角形的面積，

即可求解；

(2)過點/作于點M,表示出兩三角形的面積，即可求解；

(3)連接DB,DC,ffili△BFDAFC^\^BF-CFAF-DF,證明△ABF-△ADC,得出

AB-AC=AD-AF,^AB-AC=(AF+DF)-AF,恒等式變形即可求解；

(4)連接BE,證明得出=證明NBED=NDBE,得出DB=DE,即可求解.

【詳解】(1)證明：如圖所示，過點尸作FHIA&FGIAB,垂足分別為H,G,

?.?點E是△4BC的內(nèi)心，

“D是NB4C的角平分線,

■,-FHLAC.FGLAB,

：,FG=FH,

,FH,

-^AABF-^AACF=AB：AC;

(2)證明：如圖所示，過點4作ZM18C于點M,

D

':^^ABF=色尸,AM,S^CF=[FC?ZM,

???S/uB產(chǎn):尸=BF:FC,

由(1)可得SA4BF：SA4CF=i4B：4C,

：,AB\AC=BF:CF；

(3)證明：連接OB,DC,

-AB=AB^DC=DC

：.Z-ACF=乙BDF,乙FAC=乙FBD

???△BFD-△AFC

BFDF

??赤一頡’

；?BF-CF=AF-DF

-AC=AC,

：.Z-FBA=Z.ADC,

又乙84。=乙DAC,

AABF-AADC.

ABAF

，??布一'ACf

.-.AB-AC=AD-AF；

.'.AB?AC=(AF+DF)?AF=AF2^-AF-DF,

：.AF2=AB?AC-BF-CF,

(4)解：如圖所示，連接BE,

???點E是△4BC的內(nèi)心，

???BE是Nb4c的角平分線，

：.Z-ABE=乙FBE,

?：Z-CBD=Z.CAD=Z.BAD,Z-ADB=Z-BDF

/.△ABD?4BFD,

DB_DA

,?麗一而'

.'.DB2=DA-DF,

MBED=ABAE+4ABE=^BAC+^ABC,

1i

乙DBE=乙DBC+乙FBE=4DAC+（FBE