專題27正方形

考點一：正方形的性質

知識回顧

1.正方形的定義：

有一組鄰邊相等并且有一個角是直角的平行四邊形叫做正方形

2.正方形的性質：

①具有平行四邊形的一切性質。

②具有矩形與菱形的一切性質。

所以正方形的四條邊都相等，四個角都是直角。對角線相互平分且相等，且垂直，且平分每一組

對角，把正方形分成了四個全等的等腰直角三角形。

正方形既是中心對稱圖形，也是軸對稱圖形。對角線交點是對稱中心，對角線所在直線是對稱軸，

過每一組對邊中點的直線也是對稱軸。

微專題

1.（2022?黃石）如圖，正方形0nBe的邊長為J5，將正方形0ABe繞原點。順時針旋轉45°,則點2

的對應點Bi的坐標為（）

A.(-V2,0)B.(V2,0)C.(0,V2)D.(0,2)

2.(2022?廣州)如圖，正方形ABCD的面積為3,點E在邊C￡)上，且CE=1,/ABE的平分線交于

點F,點N分別是BE,BE的中點，則的長為（）

娓

C.2-V3D.

2

3.（2022?貴陽）如圖，“趙爽弦圖”是由四個全等的直角三角形與中間的一個小正方形拼成的大正方形.若

圖中的直角三角形的兩條直角邊的長分別為1和3,則中間小正方形的周長是（）

4.（2022?青島）如圖,O為正方形ABCD對角線AC的中點,△ACE為等邊三角形.若AB=2,則的

長度為（）

B.76

5.（2022?泰州）如圖，正方形ABCD的邊長為2,E為與點D不重合的動點，以DE為一邊作正方形DEFG.設

DE=di,點、F、G與點C的距離分別為必、力，則力+心+為的最小值為（

第7題

6.（2022?黔東南州）如圖，在邊長為2的等邊三角形ABC的外側作正方形ABED,過點。作OFLBC,垂

足為R則。尸的長為（）

A.2A/3+2B.5-------C.3-百D.73+1

3

7.（2022?隨州）七巧板是一種古老的中國傳統智力玩具，如圖，在正方形紙板ABC。中，2。為對角線，E,

B分別為BC,C。的中點，分別交BO,EF于0,P兩點，M,N分別為30,的中點，連

接MP,NF,沿圖中實線剪開即可得到一副七巧板.則在剪開之前,關于該圖形,下列說法正確的有（）

①圖中的三角形都是等腰直角三角形；

②四邊形是菱形；

③四邊形的面積占正方形ABC。面積的

A.只有①B.①②C.①③D.②③

8.（2022?寧波）將兩張全等的矩形紙片和另兩張全等的正方形紙片按如圖方式不重疊地放置在矩形ABC。

內，其中矩形紙片和正方形紙片的周長相等.若知道圖中陰影部分的面積，則一定能求出（）

第8題第9題

A.正方形紙片的面積B.四邊形EFG”的面積

C.ZX8所的面積D.△AE7?的面積

9.（2022?重慶）如圖，在正方形ABCQ中，AE平分/BAC交于點E,點尸是邊4B上一點，連接。R

若則/的度數為（）

A.45°B.60°C.67.5°D.77.5

10.（2022?重慶）如圖，在正方形ABC。中，對角線AC、8。相交于點。.E、尸分別為AC、BD上一點,

MOE=OF,連接AF,BE,EF.若/AFE=25°,則/CBE的度數為（）

第11題

A.50°B.55°C.65°D.70°

11.（2022?益陽）如圖，將邊長為3的正方形ABC。沿其對角線AC平移，使A的對應點A'滿足A4'=-

3

AC,則所得正方形與原正方形重疊部分的面積是.

12.（2022?海南）如圖，正方形ABC。中，點、E、尸分別在邊BC、CD上，AE^AF,NEAF=30°,則/

AEB=°；若的面積等于1,則A8的值是

E

第12題第13題

13.（2022?廣西）如圖，在正方形ABC。中，AB=g,對角線AC,相交于點。.點E是對角線AC

上一點，連接8E,過點E作EfUBE,分別交CO,BD于點、F,G,連接8尸，交AC于點H,將△EfH

沿EF翻折，點H的對應點H'恰好落在8。上，得到.若點F為C。的中點，則△EGH'的

周長是

14.（2022?無錫）如圖，正方形42CZ）的邊長為8,點E是8的中點，HG垂直平分AE且分別交AE、BC

15.（2022?江西）沐沐用七巧板拼了一個對角線長為2的正方形，再用這副七巧板拼成一個長方形（如圖

所示），則長方形的對角線長為

考點二：正方形的判定

知識回顧

1.直接判定:

四條邊都相等，四個角都是直角的四邊形是正方形。

2.利用平行四邊形判定：

一組鄰邊相等且有一個角是直角的平行四邊形是正方形。（定義判定）

3.利用菱形與矩形判定：

①有一個角是直角的菱形是正方形。

②對角線相等的菱形是正方形。

③鄰邊相等的矩形是正方形。

④對角線相互垂直的矩形是正方形。

?------------------------------------------------------------------X

微專題

16.（2022?紹興）如圖，在平行四邊形ABCZ）中，AD=2AB=2,ZABC=6Q°,E,尸是對角線8。上的動

點，＞BE^DF,M,N分別是邊AD,邊上的動點.下列四種說法：

①存在無數個平行四邊形MENF-,

②存在無數個矩形MENF；

③存在無數個菱形MENF；

④存在無數個正方形MENF.

其中正確的個數是（）

A.1B.2C.3D.4

17.（2022?濱州）下列命題，其中是真命題的是（）

A.對角線互相垂直的四邊形是平行四邊形

B.有一個角是直角的四邊形是矩形

C.對角線互相平分的四邊形是菱形

D.對角線互相垂直的矩形是正方形

18.（2022?攀枝花）如圖，以△ABC的三邊為邊在8C上方分別作等邊△AC。、AABE,△8CF.且點A在

△BCF內部.給出以下結論：①四邊形ADFE是平行四邊形；②當/BAC=150°時，四邊形ADFE是

矩形；③當AB=AC時，四邊形AOFE是菱形；④當AB=AC,且N8AC=150°時，四邊形AOFE是正

方形.其中正確結論有（填上所有正確結論的序號）.

考點三：中點四邊形:

知識回顧

X___________________/

1.中點四邊形的定義：

將任意四邊形各條邊的中點順次連接起來得到的四邊形叫做中點四邊形。

2.中點四邊形的判定：

①任意四邊形的中點四邊形是平行四邊形。

②對角線相互垂直的四邊形的中點四邊形是矩形。（菱形的中點四邊形是矩形）

③對角線相等的四邊形的中點四邊形是菱形。（矩形的中點四邊形是菱形）

④對角線相互垂直且相等的四邊形的中點四邊形是正方形。（正方形的中點四邊形是正方形）

微專題

19.（2022?玉林）若順次連接四邊形A8CZ）各邊的中點所得的四邊形是正方形，則四邊形A8CL1的兩條對

角線AC,BD一定是（）

A.互相平分B.互相垂直

C.互相平分且相等D.互相垂直且相等

20.（2022?德陽）如圖，在四邊形A8C。中，點E,