專題3-5導數技巧：比大小

目錄

【題型一】對數函數基礎構造1：xlnx型.................................................1

【題型二】對數函數基礎構造2：lnx/x型................................................3

【題型三】指數函數基礎構造............................................................4

【題型四】“取對數”法.................................................................6

【題型五】指數切線構造：eA-(x+l).......................................................................................................7

【題型六】對數切線構造................................................................9

?,2(1)

lnx<---------

【題型七】反比例構造：X+1型...................................................12

【題型八】“零點”構造法..............................................................14

【題型九】“跨界”構造：切、弦、指、對構造............................................15

【題型十】“同構”構造：差、商、積同構................................................18

【題型十一】泰勒逼近.................................................................19

【題型十二】帕德逼近.................................................................21

【題型十三】綜合.....................................................................23

二、真題再現.........................................................................25

三、模擬檢測.........................................................................28

熱點題型歸納

【題型一】對數函數基礎構造1：xlnx型

【典例分析】

(2022?全國?jWj三專題練習)已知。,瓦。￡,+s],且=—5In。,=—3In/?,=—2Inc，則()

Jabc

A.b<c<aB.c<b<a

C.a<c<bD.a<b<c

【答案】A

【分析】構造函數/(x)=Wnx,根據單調性即可確定4c的大小.

【詳解】設函數/(X)=xlnx,/'(x)=l+lnx,當xe1―+4]⑴>0,此時/⑴單調遞增，當

尤/。,」/(無)<0,此時"X)單調遞減，由題蛆=-51na,-^-31nb,---21nc,得

<e；abc

?h1hl.h11.1「J111iJ11,1l1

〃lna=—In—,Z7H1nZ7?=-ln—,clnc=—In—=—In一,因為一<一<一<一,所以一In—>—In—n貝n|l

55332244543e554433

a］na>c\nc>blnb,且。力,c￡1g,+8］,所以〃><:>/?.

故選：A.

【變式演練】

L(2022?全國?高三專題練習)已知4=8%b=99,c=108,貝匹，b,。的大小關系為()

A.b>c>aB.b>a>cC.a>c>bD.a>b>c

【答案】D

【分析】構造函數〃x)=(18-x)lnx,x>8,求其單調性，從而判斷。，b,。的大小關系.

【詳解】構造/(%)=(18-x)lnx,x>8,

/z(x)=-lnx+--1,

廣(力=—In%+"—1在［8,+oo)時為減函數，_a/(8)=-ln8+^-l=|-ln8<|-lne2=1-2<0,

1Q

所以/'(x)=-lnx+?-l<0在［8Z)恒成立，故〃x)=(18—x)lnx在［8,y)上單調遞減，

所以〃8)>〃9)>〃10),Bpi01n8>91n9>81nl0,所以9>91^>1。8,即“>>>c.

故選：D

2.(2022.四川宜賓.二模(文))已知a=10'。，b=9'',c=ll9,則。力,。的大小關系為()

A.c<a<bB.b<a<c

C.a<b<cD.c<b<a

【答案】A

【分析】先構造函數/(%)=(20r)lnx(轉9),求導確定函數單調性，即可判斷。力，。的大小.

1?0

［詳解］令/(%)=(20—%)lnx(xN9),貝|f\x)--lnx+(20-x)--=-lnxd-------1,

xx

20

顯然當xN9時，/'⑴是減函數且八9)=-ln9+§-1<0,故”尤)是減函數，

/(9)>/(10)>/(11),即11In9>101n10>91nll,ln9n>InIO10>lnll9,

可得^c<a<b.

故選：A.

3.(2022?安徽?淮南第一中學一模(理))設〃=151nl3,Z?=141nl4,c=131nl5,則()

A.a>c>bB.c>b>aC.b>a>cD.a>b>c

【答案】D

【分析】構造函數〃x)=(14+x)ln(14-x),利用函數/(力的導數討論函數〃x)的單調性.

【詳解】令/(尤)=(14+x)ln(14—%),xe［-l,l］,

則,(x)=ln(4r)-空!<lnl5jj|<0,

所以=(14+x)In(14-x)在［-1,1］上單調遞增,

所以/(T)</(0)</(1),即131nl5<141nl4<151nl3,

所以，a>b>c故選：D

【題型二】對數函數基礎構造2：Inx/x型

【典例分析】

ababab

(2022.全國.模擬預測)己知l<a<b<e,有以下結論：①/<%②b">ej③④"D,

則其中正確的個數是()

A.1個B.2個C.3個D.4個

【答案】C

【分析】構造/(無)=上土，xe(l,e),利用導函數得到其單調性，從而比較出①，(2),在①的基礎上得到

X

④的正誤，根據g(x)="的單調性及④得到③的正誤..

【詳解】設〃x)=F，xw(l,e),貝I］尸(x)=lz手>0在x?l,e)上恒成立，所以/⑺=?在無w(l,e)

上單調遞增，

因為l<a<b<e,所以迎〈半，即blnavaln"因為y=ln尤單調遞增，所以沙<凡①正確；

ab

—即aln/7〈或，因為y=lnx單調遞增，所以②錯誤；

因為(？<"，所以/</，④正確；因為8(工)=爐單調遞增，l<a<b<e

所以〃"<<?，所以廢《與，③正確.

故選：C

【變式演練】

1.(2022?全國?高三專題練習)a=3(2一13),6=」里,乩c的大小順序為()

e2e3

A.a<c<bB.c<a<b

C.a<b<cD.b<a<c

【答案】A

【分析】構造函數/(x)=嚀，應用導數研究其單調性，進而比較。=/(y),6=/(e),c=/(3)的大小,

若1=叱有兩個解玉貝1|1<%<6<々，te(。」)，構造g(x)=Inx-2°J(x>1),利用導數確定

xex+1

In-Inx2

g(X)>0,進而得到-2——L>-----,即可判斷4、C的大小，即可知正確選項.

x2-xix2+xx

2ln-

【詳解】令/(x)=叱，貝==b=f(e)~,c=/(3)=華，

x3ee3

3

而廣(幻=匕坐且無>0,即0<x<e時/(x)單調增，x>e時/(X)單調減，Xl<—<e<3,：.b>c,"

X3

什人左力el小I、.In/-In%lnxx

右，=---有兩I解番，無2，貝!J1<玉<e<%,/￡(。,一)，即%—9石+%=-----9，

xex2-x1t

令g(x)=ln尤一^則g'(x)="一丫，>0,即g(x)在(1,+8)上遞增，

x+1x(x+l)

?(》)>86=0,即在(1,+8)上，lnx>4曰，若X=土即叱31〉二一，故有玉/>e2

X+x

x+1%/一%iiInxxx2

22

???當馬=3時，e〉玉〉號，故/(§)</&)=/(3)，

綜上：/?>(:>〃.故選：A

2.(2022?湖北?宜都二中高三開學考試)已知。=41口5"1=51114:。=5111，，則區仇。的大小關系是()

A.c<a<bB.a<b<c

C.a<c<bD.c<b<a

【答案】B

【分析】令〃x)=^(x2e),利用導數判斷在(e,+8)上的單調性，即可得。，瓦c的大小關系.

【詳解】令〃尤)=((尤Ne),可得「⑴二:Alnx］一［”,

XX

當Ge時,廣(x)40恒成立,所以〃力=嚀在(e,+s)上單調遞減,所以/㈤>/(4)>/(5),

即電色也》■,可得41n?〉；Tln4,51n4>41n5,所以lnp4>ln4P,5pln4>4pln5,

所以Sln/ASin下,51n4冗>41115元，即c>b,b>°.所以。<b<c.故選：B.

3.(2022?全國?高三專題練習(理))設4=20202022,z.=20212021,c=2O222020,則()

A.a>b>cB.b>a>cC.c>a>bD.c>b>a

【答案】A

ln2020

【分析】由于皆所以構造函數/(x)=鼻(x'e2),利用導數判斷其為減函數，從而可比較

2022

出了(2020)>/(2021)>0,進而可比較出。力的大小，同理可比較出瓦c的大小，即可得答案

ln2020

..ln〃20221n20202021、x+l-xiwc

【詳解】

?1HT-20211n2021-ln202f

2022

令g(x)=x+l—xlnx,則gr(x)=-lnx<0,

工g(%)在［M,+8)上單減，Jg(x)vg(e2)=i一M〈0,故r(x)〈0,

.**/(%)在［/,+8)上單減，f(2020)>f(2021)>0,^7=y/>?#*Intz>InZ?.a>b,

同理可得ln>>lnc,b>c,故a>"c,故選：A

【題型三】指數函數基礎構造

【典例分析】

設正實數a,b,c,滿足e2"=61nb=cec=2,則a,方，c的大小關系為()

A.a<b<cB.a<c<bC.c<a<bD.b<a<c

福建省福州格致中學2022屆高三10月月考數學試題

【答案】B

【分析】

通過構造函數/(x)=x/(x>0),利用導數判斷函數的單調性，并判斷c的范圍，通過變形得6=e'，得b,c

的大小關系，再直接解方程求。的范圍，最后三個數比較大小.

【詳解】

設f(x)=xex(x>0),x〉0時，/'(x)=(x+l)/〉0恒成立，/⑴在(0,+8)單調遞增，時，

而*<2,所以。后[；/[,blnb=\nb-e[nb=cec故lnb=c,即Z?=e，￡(G,e),而

Q=----<—,所以a<cvZ?.故選：B

22

【變式演練】

L已知d4CER.滿足二=二=-二<0.則。，b,。的大小關系為（）?

InZ?In。Inc

A.c>a>bB.a>c>bC.c>b>aD.b>a>c

2020屆湖北省高三下學期5月高考模擬調研考試理科數學試題

【答案】A

【分析】

根據指數函數值域可確定c>l,。,赤（0,1）；構造函數〃x）=A?（0<x<l）,利用導數可知〃x）在（0』）

上單調遞減，利用二=工<二可知6<a,由此可得結果.

\naIn/?InZ?

【詳解】

■.13fe>0,2">0,2r>0,.,.ln&<0,Ina<0,Inc>0,

:.0<b<l,0<a<l,ol；

T3b2b

■.■3b>2b>0,\nb<0,----=-----<-----

IntzIn/?\nb

2X

./、2%/、r[2'In2,Inx-----2'|ln2-lnx--

令〃“卜嬴但(尤<D，則/，")=--------X

lnx')(lnx)2

當0<x<l時，lnx<0,-1<0,(無)<0,??J(x)在(0,1)上單調遞減,

?1--^―<,即/(a)</(b),:.b<a,c>a>Z?.故選：A.

InaInb

2.已知a+2"=2,6+3“=2,則blga與algZ?的大小關系是()

A.blga<algbB.blga=algb

C.blga>a\gbD.不確定

【答案】C

【分析】

令〃力=尤+2'送（力=%+3',結合題意可知0<b<a<l,進而有戶>/,再利用對數函數的單調性

和運算性質即可求解

【詳解】

令〃x）=x+2",g（x）=x+3"則當x>0時，g（x）>/（%）,當x<0時，g（x）<f（x）.

由a+2"=2,b+3〃=2,得/⑷=2,g0）=2考慮到/（a）=g?=2得04<”1,

:.ab>bb>ba

由得1g（叫>坨色"）,即引ga>algb故選:C

3.已知實數〃=士〃，b=1e39c=9",（e為自然對數的底數）則a,b,C的大小關系為（）

237

A.a<b<cB.b<c<aC.c<b<aD.b<a<c

【答案】A

【分析】

Y+1—

由已知實數的形式構造函數/(x)=—e，，即有a=f(2),b=f(3),c=/(7),利用導數研究/(%)的單調性,

X

再比較對應函數值的大小即可.

【詳解】

j.1對

由題意,令/。)=r必e*,則a=/(2)乃"⑶,c=/⑺,

X

X-1

而廣⑴=互，所以，>0時/(%)>。,即/(九)在(0,+8)上單調遞增，

???/(2)<〃3)</⑺，即〃<b<c,

故選：A

【題型四】“取對數”法

【典例分析】

ln

(2023?全國?高三專題練習)已知a=2%Z?=3%°=4%貝U()

A.b<c<aB.a<b<cC.b<a<cD.a<c<b

【答案】B

【分析】對“，b,。取對數，探求它們的結構特征，構造函數〃x)=lnx-ln(9-x)(2Wx<4),借助導

數判斷單調性即可作答.

【詳解】對b,。取對數得：In?=ln2-ln7,lnZ?=ln3-ln6,Inc=ln41n5,

令/(x)=lnx4n(9-x)(2<x<4),廣⑴二加一力Inx(9-x)ln(9-x)-xlnx

9-xx(9-x)

令g(無)二龍卜工,%〉1,g'(x)=lnx+l>0,即g(x)=xlnx在(1,+8)上單調遞增,

由得，9-x>5>x>l,于是得(9—x)ln(9—x)>xlnx,又尤(9一%)>0,

因此，r(x)>0,即〃力在［2,4］上單調遞增，從而得〃2)</(3)</(4),

即In21n7<In31n6<In41n5,lna<lnZ?<lnc,所以〃<Z?<c.

故選：B

【變式演練】

1.(2021?全國?高三專題練習)已知實數。，瓦ce(O,e),且3。=^,型=￡/,5c=c5,則()

A.c<b<aB.b<c<aC.a<c<bD.a<b<c

【答案】A

【分析】將已知的等式兩邊取對數可得號=皿，"=塔，號=叵.設函數〃元)=處，求導，分

3a4b5c''尤

析導函數的正負，得出所令函數的單調性，由此可得選項.

a3b4C

【詳解】由3=a,4=bf5=<?5得〃ln3=31na,Z?ln4=41nZ?,cln5=51nc,因此也?=也‘，ln4_ln^

3a4b

In5Inc

設函數〃元)=(，則〃3)=〃a),f(4)=f(b),f(5)=f(c),

〃尤)=W^,令廣(x)=O,得…，所以)(x)在(0,e)上單調遞增,在(e,+s)上單調遞減，

所以/(3)>/(4)>/(5),即/(a)>/(>)>/(c),又a,6,ce(O,e),

所以故選：A.

2.(2022?全國?高三專題練習)已知〃=3.939,。=3.93另,c=Ba：d=3.833,則a,4Gd的大小關系為()

A.d<c<b<aB.d<b<c<a

C.b<d<c<aD.b<c<d<a

【答案】B

【分析】構造函數〃元)=(，利用導數判斷函數的單調性，可得7(3.9)</(3.8),從而可得3.93*<3g9,

再由y=%3-8在(。,+力)上單調遞增，即可得出選項.

【詳解】構造函數〃x)=F，貝|尸(同=三詈，

當xe(e,內)時，/'(x)<0,故/(無)=平在上單調遞減，

所以/(3.9)</(3.8),所以也2<@陽，3.81n3.9<3.91n3.8所以In3.93-<33.83°,3^8<3.83.9,

3.93.8

因為在(0,+8)上單調遞增，所以3.83-8<3.9”,同理3.8久9<3.93,9,

所以3.8工8<3.嗯8<3.839<3.939,故選：B

3.已知55<8",134<g，設。=1(^3,b=log85,c=log138,找出這三個數大小關系

【答案】a<b<c

【分析】

把a,b,c用換底公式變形，已知不等關系及53>3。83<5,也取對數后，可把。，"c與中間值比較大小，從

而得出結論.

【詳解】

由己知。=粵,6=姮1g8

1g51g8lgl3

又55<8、則51g5<41g8,.,.6=拎<：,

lg85

lg84

134<85,則41gl3V51g8,c=-^->-,

lgl35

又53=125>81=34,；.3電5>433,a=

lg54

而83=512<625=5。，31g8<41g5,6=譬>:,

lg84

綜上有a<Z?<c.故答案為：a<b<c.

【題型五】指數切線構造：e'-(x+l)

【典例分析】

(2022?江西?南昌市八一中學三模(理))設°=擊，6=lnl.01,c=e001-b則()

A.a<b<cB.b<c<aC.b<a<cD.c<a<b

【答案】A

【分析】觀察式子的結構，進而設x=1.01,然后構造函數，隨即通過求解函數的單調性得到答案.

【詳解】設x=1.01,所以a=l-',6=lnx,c=e*T-l,

x

設/⑺=e-(x+D(x>l)'則尸(x)=e-l>。，所以>(x)在(1,+oo)單調遞增，

所以/(x)>/⑴=e2-2>。ne，一(x+l)>0=e，>x+l…①，所以尤…②，

由①，x>ln(x+l)x-1>Inx^>—-1>Inx-1=>--l>-lnx=>lnx>l--...(3),

xxx

由②，x-l>ln%...@,

由②④，e*T_l>x_l>lnx,則c>b,

由③，b>a,所以c>6>a

故選：A.

【提分秘籍】

基本規律

指數和對數切線放縮法基礎圖

【變式演練】

1.(2022?河南?模擬預測(理))已知。=1.2,6=當。=602,則()

A.a<b<cB.c<a<b

C.a<c<bD.c<b<a

【答案】C

【分析】構造函數/。)=d7—1">0),g(x)=(x+l)e-x-(l-xX(0<x<l),利用導數研究函數的單調

性，得出/(尤)，g(x)的單調性，得出efx+l*>0),令x=0.2,可得出“<c,再由得出的

1Y

一(0<x<l),令1=0.1,得出c<b,從而得出結果.

1-x

【詳解】解：先證/>尤+1(%>。)，令/(x)=e無一,則/'(x)=e”一1〉0,

可知/(力在(0,+8)上單調遞增，所以〃力>/(0)=0,即e，>x+ia>0),

令x=0.2,則e°2>1.2,所以“<c；

]+Y

再證/<—(0<%<1)即證(x+l)e-x>a-x)ex,

1-x

令g(x)=(%+l)e~x-(1-%X(0<x<l),貝!j/(%)=->0,

所以g(尤)在(o,l)上單調遞增,所以g(x)>g(o)=o,即〈產(0<x<l),

令x=0.1,貝!所以c<Z?,從而a<cvZ?.

故選：C.

2.（2022?廣東?深圳外國語學校高三階段練習）已知a=e°°5,b=^~+l,c=g,則（）

A.a>b>cB.c>b>a

C.b>a>cD.a>c>b

【答案】D

【分析】利用導數可求得">x+l,InxVx-l；分別代入x=0.1和x=l.l,整理可得瓦c的大小關系.

【詳解】令/（"="一》一1。>。），貝|/"）="一1>。，；./（同在（0,+8）上單調遞增，；.〃力>〃0）=0,

即例>x+l,.?.嚴"拒即a>c；令g（x）=lnx-x+l,則g<尤）=——1=——,

XX

.,.當xe（O,l）時，g'（x）>0；當XV（1,~H?）時，g'（x）<0；

???g（x）在（0,1）上單調遞增,在（1,+向上單調遞減，.?.g（x）Vg⑴=0,

：.lnx<x-l（當且僅當x=l時取等號），.1InGw五-1,

即g+（當且僅當元=1時取等號），，嗎+l<g,即A<c；

22

綜上所述：a〉c〉b.故選：D.

1991A1

3.（2022?全國?高三專題練習）已知〃=——,b=e100,c=ln--,則〃，b,c的大小關系為（）

101100

A.a<b<cB.a<c<bC.c<a<bD.b<a<c

【答案】B

【解析】首先設/(x)=e「Al,利用導數得到，>x+l(xw0),從而得到

-空9911/x/、

b=e100>———+1=——>——=a,設g(x)=lnx—x+l,利用導數得至Ijln尤〈尤一l(xwl),從而得至ljb〉c

100100101v7

和C>a,即可得到答案.

【詳解】設〃x)=e'-x-l,r(x)=/-l,令廣(x)=O,解得無=0.

XW(T?,0),r(x)<o,/(X)為減函數，XG(O,-H?),r(尤)>。，/(x)為增函數.

所以〃力2/(0)=。，即e'_x-120,當且僅當x=0時取等號.所以e*>x+l(xwo).

99QQ1111—Y

故人=6100>_而+1=而〉而=〃，即b>a.設g(x)=lnx_x+l,g〈x)=__l=-----,令g'(x)=0,解

得X=1.

xe(O,l),g<x)>0,g(x)為增函數，xe(l,+oo),g，(x)<0,g(x)為減函數.

所以g(x)Wg(l)=0,即lnx-x+lW0,當且僅當x=l時取等號.所以InxvxT(xwl).

所以c=ln坦■<坦一1=,，又因為6>—匚，所以b>c.

100100100100

又因為一ln%>—x+l(xwl),所以c=ln3=Tn^>—9+1=工=〃

100101101101

即。綜上6>c〉a.故選：B

【題型六】對數切線構造

【典例分析】

(2022?江蘇.阜寧縣東溝中學模擬預測)已知且2a=e"<，b>^S-3b=e~^。>；且4C=一：，則

()

Ina]nbIncInaIncInZ?

A.——<——<——B.——<——<——

beacabbeabac

一IncInZ?In。—In。In。Inc

C.——<——<——D.——<——<——

abacbeacbeab

【答案】A

【分析】對已知的等式進行變形，轉化成結構一致，從而構造函數，確定構造的函數的性質，得到b、

c的大小，再根據選項構造函數，借助函數的單調性比較大小即可.

【詳解】由已知條件，對于2〃_eW，兩邊同取對數，則有ln2+lna="1,即a7na=1+ln2=(-In],

-e2222

同理：Z?-lnO=；-In；；0-1!1(?=；一1口；構造函數/(%)=%-111%,

則”0)=?,/?=/1￡).對其求導得：尸(x)=?(x>0)

.?.當o<x<i時，r(x)<o,/⑴單調遞減；

當尤>1時，r(x)>o,/(X)單調遞增；

又b>；,c>；:.l<a<b<c再構造函數g(x)=xlnx,對其求導得：g'(x)=lnx+l(x>0)

.,.當0<x<：時，g,(x)<0,g(x)單調遞減；當x>:時，g[x)>0,g(x)單調遞增；

???g(〃)<g(b)<g(c)即：alna<b]nb<c]nc又.??^■^〈^^〈^■^.故選：A.

beacab

【提分秘籍】

【變式演練】

a_11b_11

1..（2022?山西運城?高三期末（理））已知a，氏ce（O,+?）,且'e"+],ee,

C-I1

e-e5=c+一

5,則（）

A.a<b<cB.a<c<bC.c<b<aD.b<c<a

【答案】C

【分析】構造函數/(x)=e￡-x,利用導函數可得函數的單調性，又〃。卜/,鼻，/(/>)=

/(c)=/(-1]，abc〉Q,即得.

_11_11_11

【詳解】由題可得e“一a=e2+上，eb-b^e3+-,ec-e=e5+-.

235

令〃x)=e-x,貝i]ra)=e-l,令廣(力=0,得x=0,

xe(O,??)時，/'(x)>0,/(x)在(0,+8)上單調遞增，xe(ro,0)時，/f(x)<0,/(x)在(一e,0)上

單調遞減，

又"6)=0=a,b,c>0,

由T<一；<T，可知>/[-g]>/[-|}BP/(?)>f(b)>f(c),

??c<b<a.

故選：C.

nhc

2.(2021?四川?雙流中學高三階段練習(理))已知a-4=ln—w0,b-5=ln—/0,c-6=ln—HO,貝U()

456

A.c<b<aB.b<c<a

C.a<b<CD.a<c<b

【答案】A

【分析】根據給定條件構造函數/(x)=x-lnM尤>0),探討函數的單調性，借助單調性進行推理即可得解.

1y—1

【詳解】令函數/(x)=xTnx(x>0),貝ij/'(x)=i——=一,則有“九)在(0,1)上單調遞減，在(L+8)上

XX

單調遞增，

且X趨近于0和趨近于正無窮大時，〃%)值都趨近于正無窮大，

由。一4二ln@w0得，a-lna=4-ln4,即/(。)=/(4),且〃。4,

4

顯然Ovavl,若,而/(%)在(L+oo)上單調遞增，由f(a)=/(4)必有a=4與4矛盾，因此得Ovavl,

b

同理，由b-5=ln《w0得/(份=/(5),且人。5,并且有0<6<1,

由c—6=ln；w0得/(c)=/(6),且。。6,并且有

顯然有八4)</(5)</(6),于是得/⑷</g)</(c),又〃尤)在(0,1)上單調遞減，

所以c<Z?<a.故選：A

3.(2022?全國?高三專題練習)己知e-2.71828是自然對數的底數，設a=6-3,6=0-2,c=eOT-ln2,

ee

則()

A.a<b<cB.b<a<cC.b<c<aD.c<a<b

【答案】A

【分析】首先設=?-土，利用導數判斷函數的單調性，比較的大小，設利用導數判斷/Nx+1,

e

放縮c>0-ln2,再設函數g(x)=：-Inx,利用導數判斷單調性，得g(2)>0,再比較4c的大小，即

可得到結果.

丫11

【詳解】設=［，"')二引］"，

22

當owx<(時，r(x)>o,函數單調遞增，當x>?時，ra)<o,函數單調遞減，

2

。=/(3)/=/(2),(<2<3時，/(3)</(2),即

設y=e-x-l,y'=ex-］,(y,0)時，y'<0,函數單調遞減，(0,+力)時，/>0,函數單調遞增，所

以當x=0時，函數取得最小值，/(0)=0,即e'zx+1恒成立，

即e&>VL

Y11

令g(x)=__Inx,g'(x)=----,xw(O,e)時，g,(x)<0,g(x)單調遞減，尤e(e,+oo)時，g［x)>0,g(x)

單調遞增，x=e時，函數取得最小值g(e)=O,即g⑵>0,

得：一>In2,那么A/2—<V2—In2,

ee

即e也T-ln2>0-ln2>及一2,即b<c,

e

綜上可知。故選：A

【題型七】反比例構造：X+1型

【典例分析】

(2022?江蘇?金陵中學二模)設a=e'、-2幣,b=JlA-l,c=21nl.l,貝U()

A.a<b<cB.a<c<bC.b<a<cD.c<a<b

［答案］A

【彳析】利用幕函數和指數函數的性質判斷的范圍，。利用基本不等式判斷b的范圍，構造新函數并利用

導數討論函數的單調性求出c的范圍，進而得出結果.

【詳解】由e3<28,得正<后，即。<2近，所以3/<心5=￡，

.____L4+12

所以3」<2近，則/」-2>/7<0,即"0；由&7一1=Mxl2_i<U__i<o184,即6<0184；

,~\1.22

設〃x)=lnx-型=3(x>0),則/'(x)=，――4—=>0,所以,⑴在(0,+8)上單調遞增，且

x+1X(x+1)x(x+l)

/(1)=0,

所以當X￡(l,+oo)時/(元)>0,即InX〉2('D,當％w(o,D時/(x)<0,即InX<2a0,

x+1x+1

X1.1>1,則lnl.l〉2(l'T)B0.095,所以c=21nl.l>0.19,即c>0.19,

1.1+1

綜上，故選：A

【變式演練】

1.（2022?全國?高三專題練習）若°=e°2,b=g,c=ln3.2,則a,b,c的大小關系為（）

A.a>b>cB.a>c>b

C.b>a>cD.c>b>a

【答案】B

【分析】構造函數〃x)=e「xT(x>0),利用導數可得a=e°2>1.2>。，進而可得y>3.2,可得

再利用函數g(x)=lnx-弋?，可得ln3.2>l.l,即得.

【詳解】令〃x)=e'-x-l(x>0),貝|/(彳)=1一1>0,

???/(X)在(O,+e)上單調遞增，

：.a=e°2>0.2+l=1.2>y/L2=b,

o=e02>1,2=Ine12,c=ln3.2,

,/(e12)5=e6>(2.7『2387.4,(3.2)，335.5,

?*-e12>3,2，故a>c,

2

設g(x)=]nx_2(x：),則g，(x)=—_2(x+l)[_

>0,

(x+l)2x(x+l)7

所以函數在（。,+e）上單調遞增，

2(1)

由g（l）=0,所以尤＞1時，g（x）＞o,即In尤〉

X+1

."=ln2+lnl.6>>1—=1,1

2+11.6+13950

又1<1.2<1.21/<6=&^<1.1,Ac>l.l>b,故a〉c>6.

故選：B.

4(2-In4)IIn4

2.(2022.江西.模擬預測(理))設〃=12，b=—,。=—j，則。，b,。的大小順序為()

ee4

A.a<c<bB.c<a<b

C.a<b<cD.b<a<c

【答案】A

【分析】根據爪c的結構，構造函數/（x）=止，利用導數判斷單調性，即可比較出a、b、。的大小,

X

得到正確答案.

2

In—

【詳解】因為a=（二門71IneC=(構造函數〃x)=(,

b———----

eeee

4

則/(同=匕/,a=b=f(e),c=〃4),/⑴在(0,e)上遞增，在(e,+s)上遞減.則有6=/(e)

InYf]A

最大，即a<b,.若"G■有兩個解，貝！Jl<%，所以1nxi=比1411工2=應，所以

Inx-Inx

1nxi-lnx=tx-tx,1nxi+Inx=tx+tx,gpt=-----2---------^ln[xx)=t[x+x),