相似知識歸納與題型突破（九類題型）

01思維導圖

形狀相同的圖形--相似圖形

邊數相同的兩個妥邊形，若對酶相等，對應邊成比例，則這兩個多邊

相似圖形/相崢邊形對應邊的比--相似比相似比為1時，相似的兩個圖形相等

比例戰段：對于四條線段戔b,c,d,如期中兩條線段的比（即它們長度

的因與另兩條線段的比相鋤Da：b=c:d（即ad=be）那么四儂段成比

例線段

定義：對應角相等，三颯的成比例??相似

平行線分線段成比例定理：兩條直線被T平行線所截，所得曬應線推論：平行于三角形一邊的直線與其他兩條直線相交，截得的對應線段

段成比例成比例。

竟定1:如果兩個三角形的三組對應邊的比偌，刃眩這兩個三角形相

似.

聯2:如果兩個三角形的崎對應邊的比疑，并且夾角相等，那么

相似三角形炳定3這兩個三角形相似，

\夷淀3:如果一個三角形的兩個角與另—形的兩個角對應相等，

第27章相似eI那么這兩個三角形相似。

相似三角形

1、對應角相等，對砌的比相等；

N拓展：對應商的比，對曲^線的比，對應角平分線的比都等于相似

比，

相似三角形的性質33、相似三角形周長的比等于相似比，硼的比等于相似比的平方。

-------------------\（相似多邊形周長比等于相似比，相似多邊形的面積比等于相似比的平

I方。）

觸05坡度與坡比的應用

雌06銳角三角函數限合問題

兩個地不僅相似，而且對應頂點的連線相交于一點，像這樣的兩個圖

形叫做位似班，這個點叫做位似中心.

位似9如果以原點為位似中心的圖形，使它與原圉形的相似比為k,刃豚與原

地上的點（x,y）對應的位似跳上的點的坐標為（kx,ky）或（-

kx,-ky）

02知識速記

一、圖形的相似的概念

形狀相同的圖形叫做相似圖形。

1、兩個圖形相似，其中一個圖形可以看作由另一個圖形放大或縮小得到；

2、全等的圖形可以看成是一種特殊的相似，即不僅形狀相同，大小也相同；

二、成比例線段

在四條線段中，如果其中兩條線段的比等于另外兩條線段的比，那么這四條線段叫做成比例線段。

HC

1、若四條線段a、b、c、d成比例，則記作2=上或a?=c：d。注意：四條線段的位置不能隨意顛倒。

bd

2、四條線段a、b、c、d的單位應一致（有時為了計算方便，a、b的單位一致，c、d的單位一致也

可以）

3、比例的性質:

基本性質：若q=二，則ad=z)c；反之，也成立。和比性質：若q=￡,則9=火

bdbdbd

ac,ab什。c,bd

更比性質：右一=一,n則一=一；反比性質：右一=一，n則一=一；

bdcdbdac

-，UHcm/.,,a+c-\---\-ma

等比性質：若一=--??=—(b+d+…+〃70),則n-------------=一。

bdnb+d---\-nb

4、把線段分成兩條線段/C和8C,使NO32C,叫做把線段N2黃金分割，C叫做線段的黃金

分割點。

三、平行線分線段成比例

平行線分線段成比例定理：兩條直線被一組平行線所截，所得的對應線段成比例。

推論：平行于三角形一邊的直線與其他兩條直線相交，截得的對應線段成比例。

四、相似多邊形的性質與判定

1、相似多邊形對應角相等，對應邊的比相等。

2、相似比：相似多邊形對應邊的比稱為相似比。

五、相似三角形的判定

判定1：如果兩個三角形的三組對應邊的比相等，那么這兩個三角形相似。

判定2：如果兩個三角形的兩組對應邊的比相等，并且夾角相等，那么這兩個三角形相似。

判定3：如果一個三角形的兩個角與另一個三角形的兩個角對應相等，那么這兩個三角形相似。

判定4：直角三角形被斜邊上的高分成的兩個直角三角形與原三角形都相似(此知識常用，用時需要證明)。

六、相似三角形的性質

1、對應角相等，對應邊的比相等；

2、拓展：對應高的比，對應中線的比，對應角平分線的比都等于相似比。

3、相似三角形周長的比等于相似比，面積的比等于相似比的平方。(相似多邊形周長比等于相似比，相似

多邊形的面積比等于相似比的平方。)

七、利用相似三角形測高

1、利用相似測量的物體的寬度或高度：

(1)在構造型圖求河寬N8時，需保證/,B,C三點在同一條直線上，A,E,。三點也在同一條直線

上，通過測量3C,BE,CD的長，即可求出N2,為簡便，通常使DC1AC.

(2)在構造“JT型圖求河寬時，應保證/,O,C三點在同一條直線上，B,O,。三點也在同一條直線

上.

/-■,

CD

(1)

2、在平行關線的照射下，同一時刻，兩個物體的高度與影長成比例——測量高度.

提示：同一時刻，太陽光線是平行的.

3、觀察物體時人的眼睛的位置稱為視點.

4、測量物體的高度時，水平視線與向上觀察物體的視線間的夾角叫做仰角，水平視線與向下觀察物體的視

線間的夾角叫做仰角.

5、觀察者視線看不到的區域叫做盲區.

6.利用相似三角形解決實際問題常見模型:

圖4圖5圖6

八、位似的概念及性質

1、兩個圖形不僅相似，而且對應頂點的連線相交于一點，像這樣的兩個圖形叫做位似圖形，這個點叫做位

似中心.（兩個位似圖形的位似中心只有一個）

2、利用位似，可以將一個圖形放大或縮小.

3、位似圖形對應邊的比都等于相似比，周長的比等于相似比，面積的比等于相似比的平方.

4、位似圖形是具有特殊位置關系的相似圖形.位似一定相似，相似不一定位似.

5、位似圖形上任意一對對應點到位似中心的距離之比等于相似比.

6、位似圖形具有(1)相似圖形的所有性質；(2)位似圖形的對應邊平行或共線.

7、在平面直角坐標系中，如果以原點為位似中心，畫出一個與原圖形位似的圖形，使它與原圖形的相似比

為k,那么與原圖形上的點G,?)對應的位似圖形上的點的坐標為(kx,ky)或(-fcc,-ky).

03題型歸納

題型一圖形的位似及其性質

例：如圖，在平面直角坐標系中，已知點幺(-1,2)、5(-3,-1),以原點。為位似中心，相似比為2,把“8。

放大，則點N的對應點4的坐標是()

A.(-6,-2)B.(-2,4)C.(-6,-2)或(6,2)D.(-2,4)或(2,-4)

【答案】D

【分析】本題考查的是位似變換，根據在平面直角坐標系中，如果位似變換是以原點為位似中心，相似比

為k,那么位似圖形對應點的坐標的比等于左或-左計算.

【詳解】解：當位似圖形與在y軸同側時，

-1,2),相似比為2,

當位似圖形與在y軸兩側時，

相似比為2,

.?.4(2,-4)；

故選：D.

2.如圖，與與G是以點。為位似中心的位似圖形，若OBi=；BB「S4ABe=27,貝

()

A.3B.6C.9D.13.5

【答案】A

【分析】本題考查了位似圖形的性質，根據。4可得相似比為1:3,再根據位似比即相似，相似三角

形的面積比等于相似比的平方，由此即可求解.

【詳解】解：???△NBC與△44。是以點。為位似中心的位似圖形，OB.BBi，

.端=g，且也727,

..44G=QY=1

Fc一⑴一9，

???S/3]G=QS&ABC=A*27=3,

yy

故選：A.

3.如圖，△/呂。三個頂點的坐標分別為/(-2,2),5(-4,1),C(-l,-l),以點C為位似中心，在x軸下方作

把△/臺。放大為原來的2倍的位似圖形則點4的坐標為()

C.(4,-4)D.(1,-4)

【答案】B

【分析】本題考查了平面直角坐標系中的位似三角形，解題關鍵是掌握位似三角形的性質和坐標規律.

根據平面直角坐標系內位似圖形的性質和坐標規律即可求解.

【詳解】解：由題意可得：AABCsAABt,且相似比為1:2,

A'C=2AC,

Xc~y￡=2（yA—yc）—2x（2+1）—6,xA,—xc—2（%-與）=2x（-1+2）=2,

yA'=-7,x0—1,

故選：B.

4.如圖，點E（-4,2）,F（-2,-2）,以O為位似中心，將ZW。放大2倍，則點E的對應點耳的坐標是.

【答案】（-8,4）或（8,-4）

【分析】本題考查了位似變換及坐標與圖形，關于原點成位似的兩個圖形，若位似比是后，則原圖形上的點

（xj）,經過位似變化得到的對應點的坐標是（衣,0）或（-依，-例）.以O為位似中心，將放大2倍，

則點E的對應點片的坐標是￡（-4,2）的坐標同時乘以±2計算即可.

【詳解】解：???將△EFO放大2倍，點E（-4,2）,

點耳的坐標是（-4x2,2x2）或（一4x（-2）,2x（-2））,即（-8,4）或（8,-4）,

故答案為:（-8,4）或（8,-4）.

5.如圖，在平面直角坐標系中，正方形48。與正方形BE尸G是以原點。為位似中心的位似圖形，且位似

比為，點4反E在X軸上，若正方形BEFG的邊長為6,則C點坐標為

//

//

-2-L-------------------------------------?

OABEx

【答案】（3,2）

【分析】本題主要考查了位似變換以及相似三角形的判定與性質，首先直接利用位似圖形的性質結合相似

比得出的長；然后根據相似三角形的判定定理得出△0/DSA03G，結合相似三角形的對應邊成比例

C）A1

得到比例式胃==,進而得出NO、3。的長，由此即可得出C點坐標，掌握知識點的應用是解題的關鍵;

（JB3

【詳解】解：???正方形458與正方形8瓦燈是以原點。為位似中心的位似圖形，且相似比為g,

??—―，

BG3

???BG=6,

/.AD=BC=2,

,?,四邊形45c。是正方形，

AD〃BG,

LOADS/\OBG,

OA

—―,

OB3

OA_1

,,2+OA~3f

OA=1,

OB=3,

??.c點坐標為（3,2）,

故答案為：（3,2）.

6.如圖，四邊形488與四邊形/'3'C'D'是位似圖形，點。是位似中心，點4是線段。4的中點，則

【答案】1/0,25

【分析】本題主要考查了位似圖形的性質，根據位似圖形面積比等于相似比的平方直接求解即可得到答案.

【詳解】解：?.?點4是線段04的中點，

：.OA'=-OA,

2

?.,四邊形"CD與四邊形48'C'D'是位似圖形，

SABCD，_(%)2_zj_)2—]

SABCD市5"

故答案為：

7.如圖，在平面直角坐標系中，a/BC的頂點坐標分別為5(-2,0),c(-l,2).

(1)以原點O為位似中心，畫出△4BC的位似三角形，使它與△48C的相似比為2:1；

⑵△/2C與其位似三角形的面積比為.

【答案】(1)見解析

⑵；

【分析】本題考查了在坐標系中畫位似圖形，相似三角形的性質，熟練掌握位似的性質是解本題的關鍵.

(1)將點4B,C三點的橫坐標與縱坐標都乘以-2,得到4(8,-2),"(4,0),C(2-4),依次連接得到

^A'B'C,貝即為所求；

(2)根據相似三角形的面積比等于相似比的平方即可求解.

【詳解】(1)解：如圖，即為所求.

故答案為：-

8.如圖，BD,NC相交于點尸，連接BC,CD,DA,ZDAP=ZCBP.

⑴求證：AADPSABCP,并判斷尸與ABC尸是不是位似圖形？(不必說明理由)

(2)若/B=8,CD=4,DP=3,求個的長.

【答案】(1)“OPSA8C尸，△MP與A8C尸不是位似圖形；

(2)6

【分析】本題主要考查了位似圖形的概念、相似三角形的判定和性質，掌握相似三角形的判定定理和性質

定理是解題的關鍵.

(1)根據兩角對應相等的兩個三角形相似進行證明A/DPSA8cp即可；再根據位似圖形的概念判斷即可；

(2)根據相似三角形對應邊成比例推出磔==，進而證明△。尸Cs/x/m,再根據相似三角形的性質列

PAPB

出比例式求解即可.

【詳解】(1)證明：=ZDPA=/CPB,

"DPs公BCP；

???如果兩個圖形不僅是相似圖形，而且對應頂點的連線相交于一點，那么這樣的兩個圖形叫做位似圖形，這

個點叫做位似中心.尸與ABC尸的對應點的連線不交于一個點,

??.△ADP與&BCP不是位似圖形;

⑵解："DPs^BCP,

PDPA

'~PC~~PB'

PDPC

“方一訪‘

又：/DPC=/APB,

:.ADPCs4APB,

PAAB口口PA8

——=——,即一=-,

PDCD34

PA=6.

9.如圖，在正方形網格圖中，每個小正方形邊長均為1,點。和△/8C的頂點均為小正方形的頂點.

⑴以。為位似中心，在網格圖中作使和△48C位似，且位似比為1:3.

(2)證明AA'B'C'和4ABe相似.

【答案】(1)見解析

(2)見解析

【分析】本題考查作圖-位似變換、相似三角形的判定，勾股定理等知識點，理解題意、靈活運用所學知識

是解答本題的關鍵.

(1)根據AHQC和位似，且位似比為1:3作出圖形即可；

(2)利用相似三角形的判定定理證明即可.

【詳解】(1)解：如圖所示：AHB'C'即為所求,

A

-BC=9，AB=弋6。+3。=3Vs，AC=56。+6?=6y[2，

AB'=Vl2+22=V5>B,C'=3,A'C=A/22+22=272-

AB3近°AC6A/2NBC9c

------=-—=3,-------=——1==3，-;~~;=—=3,

A'B'V5A'C272B'C3

,ABACBC_3

；.AA'B'C'SA4BC.

10.如圖，在平面直角坐標系中，△4BC與A/'QU關于點尸位似，其中頂點A,B,C的對應點依次為

A',B',C,且都在格點上.

⑴請利用位似的知識在圖中找到并畫出位似中心P;

寫出點尸的坐標為與的面積比為

(2),KABCAA'B'C,SAABC=

(3)請在圖中畫出△48"C〃，使之滿足如下條件：

①△/〃8〃C"與關于點P位似，且與"?C'的位似比為:；

②△/"/C"與"'BC位于點P的同側.

【答案】(1)見解析

(2)(45)；：；|

(3)見解析

【分析】本題考查作圖-位似變換，熟練掌握位似三角形的性質是解答本題的關鍵.

（1）連接44',BB，，CC,相交于點尸，則點尸即為所求.

（2）由圖可得點尸坐標；由題意可知△/BC與A/'B'C的位似比為g,根據位似三角形的性質可得答案;

利用割補法求三角形的面積即可.

（2）根據位似的性質，分別取PH,PB',PC'的中點/"，B：C",再順次連接即可.

【詳解】（1）解：如圖，點尸即為所求；

（2）解：由圖可得，尸（4,5）,

_APBPCP\

'A'P~B'P~C'P~2'

:△ABC與^A'B'C的位似比為g,

:△ABC與AA'B'C的面積比為5,

S=-x（l+2）x2--xlxl-lxlx2=3---l=-,

"BC2''2222

故答案為：（4,5）；5；g；

（3）解:如圖，即為所求.

11.已知，A/8C在平面直角坐標系的位置如圖所示，點、A,B,C的坐標分別為（1,0）,（4,-1）,

（3,2）.與△ABC是以點尸為位似中心的位似圖形.

(1)請寫出點P的坐標是;

(2)以點。為位似中心，在y軸左側畫出，的位似圖形使相似比為2:1；

(3)若點M(a,b)為AABC內一點，則點M在AA2B2C2內的對應點的坐標為.

(4)計算△482c2的面積.(寫出計算過程)

【答案】(1)(0,-2)

(2)見解析

⑶(-2a,-2b)

(4)16

【分析】本題考查位似變換，坐標與圖形，三角形的面積.

(1)利用位似圖形的性質得到位似中心的位置即可求解；

(2)根據點。為位似中心，相似比為2:1作圖即可；

(3)利用位似圖形的性質求解即可；

(4)利用割補法求解即可.

【詳解】(1)解：如圖，連接并延長相交于點尸,

.?.尸(0,-2)；

(2)解：如圖，鳥G即為所求;

(3)解：由題意得，點河在A482c2內的對應點的坐標為(-2。,-26)；

(4)解：SARC=6x6--x4x4--x2x6--x2x6=16.

'1'A^2-?2^2222

題型二比例的性質

例：已知2a=36(6x0),則下列比例式中正確的是()

abab3a2

A.-=-B.-=—C.———D.———

32232bb3

【答案】A

【分析】本題考查了比例的性質，解題的關鍵是掌握比例的性質.根據比例的性質“如果/=:，那么

ba

ad=兒”進行解答即可得.

【詳解】解：A、j=|,則2a=36,故該選項說法正確，符合題意；

B、|=|,則3a=26,故該選項說法錯誤，不符合題意；

C、則帥=6,故該選項說法錯誤，不符合題意；

D、y=|,則3a=23故該選項說法錯誤，不符合題意；

b3

故選：A.

13.(1)已知線段〃，b,c,。=3,b=9,若。是。，b的比例中項，求。的值.

nhc

(2)已知：j=-=-,且a+6-c=6,求。的值.

【答案】(1)±3A/3;(2)9

【分析】本題考查了比例的性質，比例線段，熟記比例中項的概念是解決問題的關鍵.

(1)根據比例中項的概念，得°2=仍，再利用比例的基本性質計算求解.

(2)設■|=5=：=左，然后用后表示出b,c,代入a+6-c=6中求出左,即可得求解.

【詳解】(1)解：；。是。，b的比例中項，

/.c2=ab.

?/a=3,b=9,

..c—ab—27,

解得c=±3A/3.

(2)解：設1=；=；=后(左力0),

..ci—3ktb—4k,c—5k.

'：a+b-c=6,

3A+4左-5左=6,

解得k=3,

..a=3k=3x3=9.

14.下列說法中，正確的是()

,EQ+Z)c+dF”,acI—/—I—

A.如果---=—--，那么7B.y[ab=yfa-y/b

baba

2

C.方程x?+尤-2=0的根是巧=—1，x2=2D.—l)-x-1

【答案】A

【分析】本題考查了解一元二次方程-因式分解法，二次根式的性質與化簡，二次根式的乘除法，以及比例

的性質.A、等式兩邊利用同分母分數加法逆運算法則變形得到結果，即可做出判斷；B、當。與6都小于0

時，原式不成立；C、利用因式分解法求出方程的解，即可做出判斷；D、利用二次根式的化簡公式計算得

到結果，即可做出判斷.

【詳解】解：A、牛=式變形得：y+l=4+l,即?=9，本選項正確；

bababa

B、當。>0,b>0時，4ab=4a-4b,本選項錯誤；

C、方程因式分解得：(x-l)(x+2)=0,解得：再=1,%=-2,本選項錯誤；

D、&-1)2=|1],本選項錯誤，

故選：A.

XVz

15.已知—=」=—,且5x-3z=18,求2z-3y+4x的值________.

352-------------

【答案】2

【分析】本題考查了比例的性質，設n=］=W^O),得出內，y=5k,z=2k,再根據5—z=18,求

出左的值，從而得出X、了、z的值，然后代入要求的式子進行計算即可得出答案.熟練掌握比例的基本性

質是解決問題的關鍵.

【詳解】解：?|=y=f=^^O),

則x=3kfy=5k,z-2k,

?/5x-3z=18,

二.15左一6左=18,

:.k=2,

:.x=6,>=10,z=4,

2z—3》+4x=8—30+24=2.

故答案為：2.

ace1/c2c、mi6—21+3/

(a-2c+3e*0),貝ij——-_*=

16-右Z=)=72a-zc+3e

【答案】2

【分析】本題考查了比例的性質，代數式求值，由比例式可得b=2a,d=2c,f=2e,代入代數式計算即

可求解，掌握比例的性質是解題的關鍵.

［詳解］解：=

bdj2

b=2a,d=2c,f=2e,

,b-2d+3f2a-2c+6e2(a-2c+3e)

,?=——2,

a-2c+3ea-2c+3ea-2c+3e

故答案為：2.

_，心。1a+b

17.已知7=彳，那么丁一二________?

b3b

【答案】|4

【分析】本題主要考查了比例的基本性質，熟練掌握比例的基本性質是解題的關鍵.根據題意可設

a=k,b=3k,再代入，即可求解.

【詳解】解：?《=，，

b3

???可設。=k,b=3k,

a+bk+3k4

,,吃--3k

4

故答案為：—.

18.已知。：6:。=2:3:4,且。+26-3。=20,試求〃一26+3。的值.

【答案】TO

【分析】本題主要考查了比例的性質，熟練掌握比例的性質是解題關鍵.設。=2左,6=3左,o=4左優*0),代

入a+26-3c=20可求出后的值，由此即可得.

【詳解】解：,?,a:b:c=2:3:4,

.,.設a=2k,b=3k,c=4k(kw0),

a+2b-3c=20,

:.2左+6左一12左=20,

解得k=-5,

〃一2b+3。=2左一6左+12左=8左=8x(—5)=-40.

題型三比例線段和成比例線段

例：下列四組線段中：①。=1,b=V2，c=42，d=2,(2)a=VJcm,b=2cm,c=V2cm?

d=V6cm,③a=6cm,b=2cm,c=3cm,d=lm,@a=3cm,b=4cm,c=9cm,d=15cm；其中

a,b,c,d是成比例線段的有.(請填寫序號)

【答案】①②

【分析】本題考查比例線段的概念.注意掌握在相乘的時候，最小的和最大的相乘，另外兩個相乘，看它

們的積是否相等.由題意根據比例線段的概念：如果其中兩條線段的乘積等于另外兩條線段的乘積，則四

條線段叫成比例線段，依次對各選項進行分析判斷.

【詳解】解：①gx收=1x2,這四條線段成比例，符合題意；

@2xV3=V2xV6=2V3,這四條線段成比例；符合題意；

③???Q=6cm,b=2cm,c=3cm,d=lm,

:.d-100cm

.*.3x6^2x100,這四條線段不成比例，不符合題意；

④4x903x15,這四條線段不成比例，故不符合題意；

故答案為：①②.

20.一幅地圖上，用9cm的線段表示9km的實際距離，它的比例尺是（）

A.1:100000B.1:10000C.1:1000D.1:100

【答案】A

【分析】本題考查比例尺，根據比例尺為圖上線段的長度與實際距離的比值，求解即可.

【詳解】解：9km=9xl05=900000cm,

.??比例尺為：9:900000=1:100000：

故選A.

21.已知線段E尸是線段48,C3的比例中項，AB=3,CD=4,則E尸的長為（）

7

A.6B.12C.-D.2A/3

【答案】D

【分析】本題考查比例中項的定義，根據線段所是線段N8，8的比例中項，則而=/BCD,然后代

入求解即可，解題的關鍵是掌握比例中項的性質.

【詳解】解：???線段E尸是線段N8，CD的比例中項，

EF2=ABCD,

EF2=3x4=12,

???EF=2道,

故選：D.

22.下列四組線段中，是成比例線段的一組是（）

A.1,6=2,c=3,d=4B.a=\,b=V2,c=d=-\/6

C.a=5,b=6,c=7,d=8D.a=4,b=6,c=6,d=8

【答案】B

【分析】此題考查了比例線段，根據比例線段的概念，讓最短的線段和最長的線段相乘，另外兩條相乘，

看它們的積是否相等即可得出答案.

【詳解】解:A.11x4H2x3,

/.ad于be,

..?四條線段不成比例，故本選項不符合題意;

B、VlxV6=72x73

/.ad—be,

，四條線段成比例，故本選項符合題意；

C、5x86x7,

/.ad豐be,

四條線段不成比例，故本選項不符合題意；

D、,.,4x8w6x6,

ad豐be,

四條線段不成比例，故本選項不符合題意；

故選:B.

23.在比例尺為1:10000的地圖上，相距10厘米的兩地實際距離為千米.

【答案】1

【分析】本題考查了比例線段，根據比例尺正確進行計算并注意單位的轉換是解題的關鍵.

根據比例尺=圖上距離:實際距離，列出關系式即可得出實際的距離.

【詳解】解：設兩地實際距離為x厘米，得：1：10000=10：x,

所以相距5厘米的兩地的實際距離是10x10000=100000厘米=1千米，

故答案為：1.

24.已知兩條線段的長為1cm和4cm,則它們的比例中項線段長為cm.

【答案】2

【分析】本題主要考查了線段的比.根據比例的性質列方程求解即可.設它們的比例中項為6,根據比例中

項的定義可知，〃=1x4,代入數據可直接求得b的值，注意兩條線段的比例中項為正數.

【詳解】解：設它們的比例中項為b,

???6是長度分別為1、4的兩條線段的比例中項，

:.b2=1x4,

即/=4,

.■.b=2（負數舍去），

,它們的比例中項線段長為2cm.

故答案為：2.

25.數6是數。和數c的比例中項，若a=2,c=8,則數b的值為

【答案】±4

【分析】根據比例中項的性質，即可求出6的值.

此題考查了比例中項的定義，a：b=b：c或ab=bc,那么線段b叫做線段°、c的比例中項.

【詳解】解：?.?數6是數。和數c的比例中項，

b1=ac=2x8=16

b=±4,

故答案為：±4.

題型四黃金分割

例：秋天紅透的楓葉，總能牽動人們無盡的思緒，所以詩人杜牧說：“停車坐愛楓林晚，霜葉紅于二月花”,

實際上，很多葉片本身都蘊含著黃金分割的比例，在大自然中呈現出優美的樣子.如圖，點P是N8的黃金

分割點（/尸＞3P）,如果的長為（4A6+4）CHI,那么a的長為cm.

【答案】8

【分析】本題考查了黃金分割，根據黃金分割的定義進行計算即可得解，熟練掌握黃金分割的定義是解此

題的關鍵.

【詳解】解：?.?點尸是N8的黃金分割點（/尸＞8尸），42的長為（4如+4）cm,

???AP=^^-AB=^^-x（4V5+4）=8cm,

故答案為：8.

27.線段上一點把線段分成兩部分，如果較短部分與較長部分的長度之比等于較長部分與線段整體長度之

比，那么該點就叫做線段的黃金分割點.主持人主持節目時，站在舞臺的黃金分割點處最自然得體.如圖,

若舞臺的長為20米，一名主持人現在站在/處，則她至少走多少米才最自然得體？（）

II

AB

A.（10逐-10）米B.（6+10）米C.（30-106）米D.（10-石）米

【答案】C

【分析】本題考查了黃金分割，設C點為4B的黃金分割點，利用黃金分割的定義，當/C＞3C時,

/C=（10括-10）米；當NC<8C時，5c=（10囪-10）米，貝=（30-10⑸米，從而確定她至少走的路程.

【詳解】解：設C點為48的黃金分割點，

當/C>3C時，如圖，

III

ACB

根據黃金分割點的定義得，三=某，

ACAB

口門AB-ACAC

即，-------=——，

ACAB

整理得，AC2+AB-AC-AB2=0,

解得，AC=^^AB,AC=Y7AB（舍去），

22

???^C=^=L'-X20=（10V5-10）^;

當/CvBC時，同理可得，2C=Y^zl/2=Y^zlx20=（10右一10）米，

=-80=20-（106-10）=（30-10同米，

■.?1075-10-（30-10A/5）=2075-40>0

???主持人至少走（30-106）米才最理想.

故選：C.

28.有以下命題：①如果線段d是線段a,b,c的第四比例項，則有:=三；②如果點C是線段的中

點，那么NC2=N8.5C;③如果點C是線段48的黃金分割點，且/C>3C,那么"2=48.8。；④如

果點C是線段48的黃金分割點，AC>BC,且血=2,則4。=石-1.其中正確的判斷有（）

A.1個B.2個C.3個D.4個

【答案】C

【分析】本題考查了比例線段、黃金分割，熟練掌握黃金分割的定義是解題關鍵.

根據比例線段、黃金分割的定義逐個判斷即可得.

【詳解】解：①如果線段d是線段a/,c的第四比例項，則有:=;，①正確;

ba

ARAT

②如果點C是線段的中點，則嘿=2,會=1,

ACnC

匕…ABAC

所以下。轉，

ZCnC

所以/C不是48、8C的比例中項，AC?#AB-BC,②錯誤;

③如果點C是線段的黃金分割點，S.AC>BC,

AB-AC_4B_2

噓"爺AC^1C~~V5-1-2

所以生=也，即上=

ABACAC~BC

所以ZC是與8c的比例中項，AC2=ABBC,③正確;

④如果點C是線段4B的黃金分割點，AC>BC,AAB=2,

則江="二1,即江=YL1,

AB222

所以4c=后-1,④正確;

綜上，正確的判斷有①③④,

故選：C.

29.若點C是線段25的黃金分割點，AB=2,AC>BC,則/C的長為.

【答案】V5-1/-1+V5

【分析】本題考查了黃金分割，把線段分成兩條線段/C和BC（/C>BC）,且使/C是和2c的比例

中項，叫做把線段48黃金分割，點C叫做線段的黃金分割點.根據黃金分割的定義得到

AC=或二LB,然后把AB的長代入計算即可，把線段AB分成兩條線段AC和BC（AC>BC）,且使AC是AB

2

和2c的比例中項（即/B：/C=/C:BC）,叫作把線段N3黃金分割，點C叫做線段48的黃金分割點.特別

要注意線段42的黃金分割點有兩個.

【詳解】解：：點C是線段的黃金分割點，且/2=2（/C>2C）,

AC=AB=^^x2=45-1,

22

故答案為：V5-1.

30.如果一個矩形的寬與長的比值正好是黃金比，人們就稱它為“黃金矩形”.現需設計一扇符合黃金矩形的

窗戶，若窗戶的長為2米，則窗戶的寬為米（結果保留根號）.

【答案】V5-1/-1+V5

【分析】本題考查了比例線段，利用黃金比的定義即可求出答案.

【詳解】解：黃金矩形的寬與長之比為黃金比的倒數，即逃二

2

已知窗戶的長為2米，則窗戶寬為長乘以黃金比得倒數，即2x（石-1）+2=6-1（米）.

故答案為：V5-1.

31.鸚鵡螺曲線的每個半徑和后一個半徑的比都是黃金比例，是自然界最美的鬼斧神工.如圖，尸是的

黃金分割點(/P>8P),若線段N8的長為10cm,則m的長為_cm.

【答案】575-5

【分析】本題考查了黃金分割.熟練掌握黃金分割是解題的關鍵.

由題意得，生二1,即更=1二L,計算求解即可.

AB2102

【詳解】解：”是AB的黃金分割點(AP>BP),43=10cm,

APV5-1HnAPV5-1

-----=----------,R|-J------=----------,

AB2102

解得，AP=5加-5,

故答案為：575-5.

題型五相似多邊形及其性質

例：如圖，矩形的邊43=4,點E,尸分別在邊8C,AD±,且四邊形小F為正方形.若矩形CZ)尸E

與矩形/BCD相似，則的長為.

D

C

【答案】2+26

【分析】本題考查了正方形，矩形的性質，相似多邊形的判定和性質，根據題意可得當四邊形月皮町為正

方形時，AB=BE=EF=AF=4,設C￡=x(x>0),則有CE=O/=x,BC=AD=BE+CE=A+x,根據

相似多邊形的性質列式求解即可.

【詳解】解：???四邊形/BCD是矩形,

"2=C。=4,BC^AD,

當四邊形4BEF為正方形時，AB=BE=EF=AF=4,

設CE=x（x〉O）,且四邊形。。尸￡為矩形，

；.CE=DF=x,BC=AD=BE+CE=4+x,

?.?矩形CDFE與矩形ABCD相似,

CE_CDx4

即nn一二----

~AB~~BC44+x

解得，西=-2-2石（不符合題意，舍去），馬=2逐-2,

檢驗，當x=22時，原分式方程的有意義,

:.CE=2遂-2,

■■AD=BC=BE+CE=4+2.45-2=2+2yf5,

故答案為：2+2石.

33.下列四組圖形中一定相似的是（）

A.正方形與矩形B.正方形與菱形

C.等邊三角形與等邊三角形D.矩形與矩形

【答案】C

【分析】本題考查了圖形的相似，根據相似的定義是圖形形狀相同，對應邊成比例，進行逐項分析，即可

作答.

【詳解】解：A、正方形與矩形的形狀不相同，故該選項是不符合題意；

B、正方形與菱形的形狀不相同，故該選項是不符合題意；

C、等邊三角形與等邊三角形的形狀相同，對應邊成比例，故該選項是符合題意；

D、矩形與矩形的形狀相同，對應邊不一定成比例，故該選項是不符合題意；

故選：C

34.如圖，下列網格中各個小正方形的邊長均為1個單位長度，陰影部分的圖形分別記作甲、乙、丙、丁,

其中是相似圖形的為（）

甲乙內r

A.甲和乙B.甲和丙C.甲和丁D.乙和丙

【答案】C

【分析】本題考查了相似圖形，根據對應角相等，對應邊對應成比例的圖形是相似圖形結合正方形的性質,

進行判斷即可，正確理解相似圖形的概念是解題的關鍵.

【詳解】解：由圖可知，只有選項甲和丁中的對應角相等，且對應邊對應成比例，它們的形狀相同，大小

不同，是相似圖形，

故選：c.

35.在如圖所示的三個矩形中，相似的是（）

■432丹

①②③

A.①②B.②③C.①③D.都不相似

【答案】B

【分析】本題考查的了相似多邊形的判定，分別求出三個矩形的鄰邊之比，根據相似多邊形的判定定理判

斷即可，掌握兩個多邊形的對應角相等，對應邊的比相等，則這兩個多邊形是相似多邊形是解題的關鍵.

【詳解】解：矩形①，②，③的鄰邊之比分別為：3:4,1:2,1:2,

??.相似的是②③，

故選：B.

36.如圖，在矩形/BCD中，AB=6,AD=8,截去矩形48尸￡,若剩下的矩形QE尸C與矩形N5CD相似，

則DE等于（）

A.2B.3.5C.4D.4.5

【答案】D

mnF

【分析】本題考查了相似多邊形的性質，由相似多邊形的對應邊成比例可得境=于，代入數據計算即可.

/iLJ

【詳解】解：???矩形QE尸c與矩形/BCD相似,

CDDE

,?茄一而‘

又，?,AD=BC=8,AB=EF=CD=6,

???62=華DF，解得：OE=Q：=4.5,

oo2

故選D.

37.東方美學鐘愛“白銀分割”.日常生活中隨處可以見至「白銀分害「的身影，比如日常用到的A