第03講空間中平行、垂直問題10種常見考法歸類

-----------------------------------------

學(xué)習(xí)目標(biāo)

------V-------

1.了解空間中直線與直線、直線與平面、平面與平面的平行關(guān)系，歸納出有關(guān)平行的性質(zhì)定理和判定定

理，并加以證明；

2.能利用已獲得的結(jié)論證明空間基本圖形位置關(guān)系的簡單命題.

3.了解空間中直線與直線、直線與平面、平面與平面垂直的關(guān)系，歸納出有關(guān)垂直的性質(zhì)定理和判定定

理，并加以證明；

4.能用已獲得的結(jié)論證明空間基本圖形位置關(guān)系的簡單命題.

詢基礎(chǔ)知識f

---------------------IIIIIIIIIIIIIIIIII1II1III1IIIIIIIIIII1III-----------------------

1.直線與平面平行

(1)直線與平面平行的定義

直線/與平面a沒有公共點，則稱直線/與平面a平行.

(2)判定定理與性質(zhì)定理

文字語言圖形表示符號表示

a__

如果平面外一條直線與此平面內(nèi)的一條直aCa,bUa,a//b^a//

判定定理

線平行，那么該直線與此平面平行a

一條直線和一個平面平行，如果過該直線

a//a,QUEaC°=b

性質(zhì)定理的平面與此平面相交，那么該直線與交線

^a//b

平行

2.平面與平面平行

(1)平面與平面平行的定義

沒有公共點的兩個平面叫做平行平面.

(2)判定定理與性質(zhì)定理

文字語言圖形表示符號表示

a^b

如果一個平面內(nèi)的兩條相交直線與另一個平面平/^7

判定定理=P,a//a,b//a

行，那么這兩個平面平行

今a〃￡

兩個平面平行，則其中一個平面內(nèi)的直線平行于

性質(zhì)a//P，aUa今a〃B

另一個平面z^v7

兩個平面平行，如果另一個平面與這兩個平面相(Z//B,aA

性質(zhì)定理

交，那么兩條交線平行0Cy=b=ci〃b

3.常用結(jié)論

(1)垂直于同一條直線的兩個平面平行，即若。_La,a邛,則a〃4

(2)平行于同一個平面的兩個平面平行，即若a〃￡,p//y,則a〃/

(3)垂直于同一個平面的兩條直線平行，即“_La,b±a,則

(4)若a〃￡,aUa,則a〃￡.

4.直線與平面垂直

(1)直線和平面垂直的定義

如果直線I與平面a內(nèi)的任意一條直線都垂直，我們就說直線/與平面a互相垂直.

(2)判定定理與性質(zhì)定理

文字語言圖形表示符號表示

l-La)

lib

如果一條直線與一個平面內(nèi)的兩條相交直

判定定理a^b=O>今/_La

線垂直，那么該直線與此平面垂直

bUaJ

1)

-a.La]

性質(zhì)定理垂直于同一個平面的兩條直線平行\(zhòng)^a//b

b-La\

5.直線和平面所成的角

(1)定義：平面的一條斜線和它在平面上的射影所成的角叫做這條直線和這個平面所成的角，一條直線

垂直于平面，則它們所成的角是90。；一條直線和平面平行或在平面內(nèi)，則它們所成的角是0。.

TV

(2)范圍：2.

6.二面角

(1)定義：從一條直線出發(fā)的兩個半平面所組成的圖形叫做二面角.

(2)二面角的平面角

若有①0G/；②(MUa,OBU0；③OB11,則二面角a—/—/的平面角是NA03.

(3)二面角的平面角a的范圍：0°^ct^l80°.

7.平面與平面垂直

(1)平面與平面垂直的定義

兩個平面相交，如果它們所成的二面角是直二面角，就說這兩個平面互相垂直.

(2)判定定理與性質(zhì)定理

文字語言圖形表示符號表示

如果一個平面過另一個平面的垂線，那么l-La\

判定定理

這兩個平面垂直￡1

alp、

兩個平面垂直，如果一個平面內(nèi)有一直線

aC\B—a

性質(zhì)定理垂直于這兩個平面的交線，那么這條直線

lA-a

與另一個平面垂直4/U￡J

8.常用結(jié)論

(1)若兩平行線中的一條垂直于一個平面，則另一條也垂直于這個平面.

⑵若一條直線垂直于一個平面，則它垂直于這個平面內(nèi)的任何一條直線(證明線線垂直的一個重要方

法).

(3)垂直于同一條直線的兩個平面平行.

|［豳解題策

---------------------llllllllllllillllllilllllllllllilllllllll-----------------------

1、線面平行的判定及其性質(zhì)解題策略

(1)利用線面平行的判定定理證明直線與平面平行的關(guān)鍵是在平面內(nèi)找到一條與已知直線平行的直線.

(2)利用面面平行的性質(zhì)證明線面平行時，關(guān)鍵是構(gòu)造過該直線與所證平面平行的平面，這種方法往往

借助于比例線段或平行四邊形.

(3)在應(yīng)用線面平行的性質(zhì)定理進(jìn)行平行轉(zhuǎn)化時，一定注意定理成立的條件，通常應(yīng)嚴(yán)格按照定理成立

的條件規(guī)范書寫步驟，如：把線面平行轉(zhuǎn)化為線線平行時，必須說清經(jīng)過已知直線的平面和已知平面相

交，這時才有直線與交線平行.

2、面面平行的判定及其性質(zhì)解題策略

(1)判定面面平行的主要方法

①利用面面平行的判定定理.

②線面垂直的性質(zhì)(垂直于同一直線的兩平面平行).

(2)面面平行條件的應(yīng)用

①兩平面平行，分別構(gòu)造與之相交的第三個平面，交線平行.

②兩平面平行，其中一個平面內(nèi)的任意一條直線與另一個平面平行.

3、證明平行關(guān)系的常用方法

熟練掌握線線、線面、面面平行關(guān)系間的相互轉(zhuǎn)化是解決線線、線面、面面平行的綜合問題的關(guān)

鍵.面面平行判定定理的推論也是證明面面平行的一種常用方法.

4、證明平行關(guān)系的常用方法

熟練掌握線線、線面、面面平行關(guān)系間的相互轉(zhuǎn)化是解決線線、線面、面面平行的綜合問題的關(guān)

鍵.面面平行判定定理的推論也是證明面面平行的一種常用方法.

5、證明線線垂直的常用方法

(1)利用特殊圖形中的垂直關(guān)系.

(2)利用等腰三角形底邊中線的性質(zhì).

(3)利用勾股定理的逆定理.

(4)利用直線與平面垂直的性質(zhì).

6、面面垂直的判定及其性質(zhì)的解題策略

(1)判定面面垂直的方法

①面面垂直的定義.

②面面垂直的判定定理(a_L0,aua=aJ_p).

(2)已知平面垂直時，解題一般要用性質(zhì)定理進(jìn)行轉(zhuǎn)化.在一個平面內(nèi)作交線的垂線，將問題轉(zhuǎn)化為線

面垂直，然后進(jìn)一步轉(zhuǎn)化為線線垂直.

7、平行、垂直關(guān)系的綜合應(yīng)用

(1)在證明線面、面面平行時，一般遵循從“低維”到“高維”的轉(zhuǎn)化，即從“線線平行”到“線面平

行”，

再到“面面平行”；而在應(yīng)用性質(zhì)定理時，其順序恰好相反，但也要注意，轉(zhuǎn)化的方向是由題目的具

體條件而定的，不可過于“模式化”.

(2)在證明線面垂直、面面垂直時，一定要注意判定定理成立的條件，同時抓住線線、線面、面面垂直

的轉(zhuǎn)化關(guān)系.特別在證明兩平面垂直時，一般先從現(xiàn)有的直線中尋找平面的垂線，若這樣的直線在圖中不

存在，則可通過作輔助線來解決.

Q考點剖析

考點一：直線與平面平行、垂直位置關(guān)系的判斷

1.(2023春?山東濱州?高一統(tǒng)考期中)設(shè)a,6是兩條不同的直線，a是平面，bua,那么

是的()

A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充要條件D.既不充分也不必要條件

【答案】D

【分析】從充分性及必要性兩個角度分析.

【詳解】由線面平行性質(zhì)定理bua,a^a,方可推出。Pa,不是的充分條件;

aPa可在平面a內(nèi)找到一條直線與。平行，不一定有。〃6,故“a〃6”不是“aPa”的

必要條件;

綜上，是〃夕”的既不充分也不必要條件.

故選：D.

變式1.（2023春?黑龍江哈爾濱?高一哈爾濱市第六中學(xué)校校考期中）若a為平面，有下列命題，其中真命

題的是（）

A.若直線/平行于平面a內(nèi)的無數(shù)條直線，則/〃￡

B.若直線。在平面a外，貝l]a〃平面a

C.若直線。〃匕，直線bu平面a,貝！〃平面a

D.若直線。〃瓦6〃平面a,則a平行于平面a內(nèi)的無數(shù)條直線

【答案】D

【分析】根據(jù)線面位置關(guān)系可直接判斷.

【詳解】A項還可能/ua,故A錯誤；

B項還可能。與平面a相交，故B錯誤；

C項還可能aua,故C錯誤；

由直線與平面平行的性質(zhì)以及平行的傳遞性可知D正確.

故選：D.

變式2.【多選】（2023春?廣東廣州?高一廣州市第六十五中學(xué)校考期中）設(shè)/，機(jī)是空間中不同的直線，

P,7是不同的平面，則下列說法正確的是（）

A.若/〃加，mua,l?a,則〃/tz

B.若/ue,mu/3，a11/3,則/〃

C.若/ua,mua,1///3,mlip,則a〃6

D.若tz///，?□/=/,p[\y=m,貝

【答案】AD

【分析】根據(jù)線面平行的判定定理，可判定A正確；根據(jù)兩平行平面內(nèi)的直線平行或異面，可判定B不正

確；根據(jù)面面平行的判定定理，可判定C不正確；根據(jù)根據(jù)面面平行的性質(zhì)，可判定D正確.

【詳解】對于A中，.若"/機(jī)，mua,/za,根據(jù)線面平行的判定定理，可得〃/a,

所以A正確；

對于B中，若lua,mu/3，a//?，則直線/與m平行或異面，所以B不正確；

對于C中，若lua,mua,l〃/3,m"/3,只有當(dāng)/與加相交時，才能得到尸，所以C不正確；

對于D中，若a〃/，a[}y=l,p^y=m,根據(jù)面面平行的性質(zhì)，可得/〃加，

所以D正確.

故選：AD.

變式3.【多選】（2023春?吉林?高一校聯(lián)考期中）設(shè)相、”是兩條不同的直線，a、/是兩個不同的平面，

下列命題中錯誤的是（）

A.若"ZUC,nu/3,m//n,則々〃尸B.若根ua,n±m(xù),則〃_L<z

C.若n//a,貝iJmJL"D.若a〃尸，mua,nu/3,則加〃〃

【答案】ABD

【分析】根據(jù)線線，線面，面面的位置關(guān)系，判斷選項.

【詳解】A.若根ua,nu/3,m//n,則c〃力或相交，因為若機(jī)，”都與交線平行，止匕時，加〃〃，但此

時兩個平面相交，故A錯誤；

B.直線垂直于平面的兩條相交直線，直線與平面垂直，所以根據(jù)線面垂直的判斷定理可知，B錯誤；

C.若機(jī)J_a,n//a,則故C正確；

D.若a〃4，nu/3,則機(jī)〃“，或異面，故D錯誤.

故選：ABD

變式4.【多選】（2023春?浙江?高一路橋中學(xué)校聯(lián)考期中）a,b,/是不同的直線，?,4是不同的平面,

下面條件中能證明的是（）

11

A.bua,Iua,aaLl,bcl=O

B.a[}/3=l,aV（3,aVI

C.a±f3,alIp

D.ILa,alll

【答案】AD

【分析】由線面垂直定義，線面垂直判定定理，面面垂直性質(zhì)定理可判斷選項正誤.

【詳解】A選項，可知直線。與平面a內(nèi)兩條相交直線垂直，則故A正確；

B選項，缺少條件au￡,不能保證故B錯誤；

C選項，此時。有可能與兩平面交線不垂直，此時不能保證故C錯誤；

D選項，因/La,aHa,則al.a,故D正確.

故選：AD

例2.（2023春?湖南長沙?高一長郡中學(xué)校考期中）一個正方體紙盒展開后如圖所示，在原正方體紙

盒中有如下結(jié)論，其中正確的是（）

A.AB1.EFB.A3與CM所成的角為60。

C.與MN是異面直線D.1W〃平面ACD

【答案】ACD

【分析】將平面圖形還原為立體圖形，MC//AB,ABLEF,A正確B錯誤，觀察知C正確，根據(jù)平面政VF〃

平面ACD得到D正確，得到答案.

【詳解】如圖所示，將平面圖形還原為立體圖形，根據(jù)正方體的性質(zhì)知：

EFYMC,MC//AB,故郎，A正確B錯誤；

M與是異面直線，C正確；

平面ACVF//平面ACD,政7匚平面加\丁，〃平面ACD,D正確.

變式1.【多選】(2023春?浙江?高一湖州中學(xué)校聯(lián)考期中)已知在正四面體43co中，E、F、G、H分

別是棱AB,BC,CD,AD的中點，貝U()

A.砂〃平面AC。B.AC1BD

C.平面/D.E、F、G、H四點共面

【答案】ABD

【分析】把正四面體ABC。放到正方體里，對于A項根據(jù)線面平行的判定定理證明

對于B項，從正方體的角度上看易得

對于D項，證明四邊形EFG"是平行四邊形可驗證

對于C項，反證法證明，矛盾點是A2與HE的夾角.

【詳解】把正四面體A5CD放到正方體里，畫圖為：

對于A項，?.,￡、/分別為AB,8C的中點，

:.EF//AC

又ACu平面ACD且EF平面ACD

.1EF〃平面AC￡）,故A正確

對于B項，從正方體的角度上看易得AC13。，故B正確.

對于D項，?.?￡、F、G、H分別是棱AB,BC,CD,AO的中點

EFIIACS.EF=-AC

2

GH//ACS.GH=-AC

2

所以EF〃GH,EF=GH

所以四邊形EFGH是平行四邊形，故E、F、G、H四點共面，所以D正確.

對于C項，若1平面打汨成立，即至工平面EPG8

又因為HEu平面EFGH

所以

又因為E、H分別為A3,AD的中點，

所以EH//BD

所以

而為等邊三角形，與筋_L9矛盾，所以C不正確.

故選：ABD

變式2.【多選】（2023春?廣西柳州?高一柳州地區(qū)高中校考期中）如圖，正方體ABCD-4qGA的棱長

為1,且“，N分別為AC,的中點，則下列說法正確的是（）

A.肱V〃平面

B.MN1AB

C.直線MN與平面ABCQ所成角為60<

D.點A到平面A3。的距離為且

3

【答案】ABD

【分析】取棱A2AA中點瓦尸，利用線面平行的判定推理判斷A；利用線面垂直的性質(zhì)推理判斷B；求出

跖與平面ABC。所成的線面角判斷C；使用等積法求點A到平面的距離.

【詳解】在正方體ABCO-AqG4中，取棱A2AA中點及尸，連接ME,EF,FN,

因為M,N分別為AC,AB的中點，^MEUCDIIABHNF,ME=^CD=：AB=NF,

因此四邊形MEFN為平行四邊形，則所//MN,u平面ADD,A,

A/Nu平面ADRA，所以ACV7/平面ADRA,A正確；

因為ABI平面ADRA，EFU平面ADRA，貝IJAB_LEF,所以肱V/A5,B正確；

顯然AF_L平面ABC。，則NFE4是EP與平面ABCD所成的角，AE=AF,ZEAF=900,

有NEEA=45。，由于EF//MN,所以直線MN與平面48C。所成的角為45。，C錯誤;

等邊三角形ABQ的面積為,設(shè)A到平面42。的距離為d,

由匕_A]B￡>=匕-AB力得=Lx』xlxlxl,解得,D正確.

32323

故選：ABD

考點二：證明線面平行

例3.(2023春?陜西西安?高一西北工業(yè)大學(xué)附屬中學(xué)校考期中)如圖：在正方體ABC。-4耳￡鼻中,

M為DR的中點.

(1)求證：BR〃平面AMC；

(2)在線段CG上是否存在一點N,使得平面AMC〃平面BN，，說明理由.

【答案】(1)證明見解析

(2)存在，理由見解析

【分析】(1)連接8。交AC于O,連接M。，通過證明。河〃臺2可證明結(jié)論；

(2)CG上的中點N即滿足平面40C,平面BNQ,通過證明AN〃平面AMC結(jié)合BR〃平面AMC可證

明結(jié)論.

【詳解】(1)連接8。交AC于O,連接MO.

???ABCD-44GA為正方體，底面ABCD為正方形，,。為2。的中點.

為。2的中點，在△O2R中，OM是的中位線，所以。

又OMu平面AMC,8口U平面AMC,2D7平面AMC；

(2)CG上的中點N即滿足平面AMC,平面BNQ,

?；N為CG的中點，M為。2的中點，，。雙〃該九且CN=MR,

四邊形CNQM為平行四邊形，，QN〃MC,

；MCu平面AMC,RN<z平面AMC,

D\N〃平面AMC；

由（1）知平面40C,

又?：BDQDIN=R,

平面AMCH平面BND、.

變式1.（2023春?河北石家莊?高一校考期中）在直三棱柱ABC-A4G中，已知。為A2的中點.求證：BC#

【答案】證明見解析

【分析】連接AC交AC于點。，連接。￡>,利用中位線的性質(zhì)可得出OD/BG，再利用線面平行的判定定

理可證得結(jié)論成立.

【詳解】證明：連接AQ交A。于點。，連接如，如下圖所示:

在三棱柱ABC-A耳G中，WCC\且=CCt,則四邊形441GC為平行四邊形,

因為AGcAC=O,則。為AG的中點，

又因為。為的中點，所以，OD//BC,,

因為BC|CZ平面AC。，ODu平面AC。，因此，BG〃平面AC。.

變式2.（2023春?浙江寧波?高一效實中學(xué)校考期中）如圖，四棱錐P-ABCD中，底面A3CD為矩形，PAL

平面ABCD,E為尸。的中點.

（1）證明：PB〃平面板；

（2）設(shè)直線尸B與底面ABCD所成角的正切值為:，AP=1,AD=+，求直線PC與平面PAD所成角的正弦

值.

【答案】（1）證明見解析

（2）1

【分析】（1）取底面中心，利用三角形中位線得線線平行，再證線面平行即可；

（2）根據(jù)線面夾角得定義及已知可求得AB長，再根據(jù)線面垂直判定直線PC與平面B4T）所成角即NCPD,

解三角形即可.

【詳解】（1）連接3￡）,記47口3。=。，

?.?E為PD中點，。為3。中點，.-.EO//PB,

又EOu平面AEC,平面AEC,PB〃平面AEC；

p.

A^z.

B

Ap2

(2)因為PA_L平面ABCD,所以NPB4即為直線PB與平面ABCD所成線面角，tanZPBA=——=一，則

AB3

AB=-.

2

因為矩形ABCD中A￡>=6，所以AC=JAB'+ALP=變

2

因為PA_L平面ABC。，ACu平面ABC。，所以上4_LAC,

計算可得PC=yjAP2+AC2=-.

2

又PALCD,CDLAD,B4cAO=A,PA,ADu平面PAD,所以CDJ_面PA。,

CD3

所以Z.CPD即為直線PC與平面R山所成線面角,解得sinZCPD=—=-

4.(2023春?陜西延安?高一陜西延安中學(xué)校考期中)在四面體中D-ABC,四邊形EFGH是矩

形，且AC13C.

(2)證明：AC，平面BCD.

【答案】(1)證明見解析

(2)證明見解析

【分析】(1)證明E"〃平面ABC,即可證明9〃ZC,根據(jù)線面平行的判定定理即可證明結(jié)論;

(2)根據(jù)線面垂直的判定定理即可證明結(jié)論.

【詳解】(1)證明：因為四邊形瓦6"是矩形，椒EH//FG,

由于FGu平面ABC,￡7/0平面ABC,

故EH〃平面A3C,又EHu平面ADC,平面ADCp|平面ABC=AC.

故EH//47,又EH.平面￡FG/f,AC（z平面EFG”,

故AC〃平面EFG”.

（2）因為四邊形EFG8是矩形，故

由（1）知EH//47,故ACJ_HG,

又ACLBC,BCnAGnGBCHGu平面BCD.

所以AC_1_平面BCD

變式1.（2023春.北京朝陽?高一清華附中朝陽學(xué)校校考期中）如圖所示，在四棱錐P-ABCD中，3c〃平

面叢O,BC=-AD,E是44的中點.

2

⑴求證：BC//AD；

（2）求證：班〃平面PDC；

【答案】（1）證明見解析

（2）證明見解析

【分析】（1）由題意利用線面平行的性質(zhì)定理即可證明3C〃A。；

（2）取尸Z）的中點尸，連接所,萬C,由（1）可證明EFCB是平行四邊形，再利用線面平行的判定定理即

可得BE〃平面PDC.

【詳解】（1）根據(jù)題意可得，BC〃平面E4D,

3Cu平面ABCD,且平面PADc平面ABCD=AD,

由線面平行的性質(zhì)定理可得BC//AD:

（2）取尸。的中點為廠，連接所，尸C,如下圖所示：

由E是9的中點，尸是尸￡＞的中點，可得EF7/AD,且EP=!AD；

2

由（1）知BCMAD,S.BC=-AD,所以EF//BC,且EF=BC；

2

所以四邊形EFCB是平行四邊形,

BPBEHCF,又BEo平面P￡>C,CFu平面PDC；

所以BE〃平面尸DC.

變式2.（2023春?天津和平?高一天津市第二H^一中學(xué)校考期中）如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面A8CQ

為平行四邊形，N是PB中點，過A、N、。三點的平面交PC于跖求證：

（DPD〃平面ANC；

⑵加是PC中點.

【答案】（1）證明見解析

（2）證明見解析

【分析】（1）連結(jié)3。，AC,設(shè)ACnB￡?=O,連結(jié)NO,由線面平行的判定定理證明;

（2）先證線面平行，再由線面平行的性質(zhì)定理得線線平行，從而得證結(jié)論.

【詳解】（1）連結(jié)BO,AC,設(shè)ACnB￡?=O,連結(jié)NO,

?..ABCD是平行四邊形，

是8。的中點，在△尸3D中，N是PB的中點，

PD//NO,

又NOu平面ANC,PDo平面ANC,

PQ〃平面ANC.

（2）???底面4BCD為平行四邊形，

/.AD//BC,

'：3co平面ADMN,ADu平面ADMN,

：.BC〃平面

:平面PBCc平面=BC在面P8C內(nèi)，

ABC//MN,又N是尸8的中點，

.?.M是尸C的中點.

例5.（2023春?重慶沙坪壩?高一重慶一中校考期中）如圖，在四棱錐尸-ABCD中,24,平面

ABCD,￡>E1.平面ABCD,底面ABC。為矩形，點F在棱尸￡>上，且P與E位于平面A3CO的兩側(cè).

（1）證明:CE〃平面〃0;

⑵若R4=AD=5,=2,DE=3,試問在線段PZ）上是否存在點F，使得與AACE的面積相等？若存

在，求F到AD的距離;若不存在，說明理由.

【答案】（1）證明見解析

⑵存在,2°即

33

【分析】（1）根據(jù)線面垂直的性質(zhì)定理可得/WDE,根據(jù)線面平行的判定定理即可得OE〃平面皿,根據(jù)

AB//CD及線面平行的判定定理即可得8〃平面F43,根據(jù)GDC小=。及面面平行的判定定理即可得平

面CDE//平面再根據(jù)面面平行的性質(zhì)定理即可證明；

（2）過尸作歹GLAD,垂足為G,過G作GK,AC,垂足為K,連接相，過。作AC,垂足為連接

先根據(jù)線面垂直的判定定理證明AC，平面尸GK,可得FK±AC,同理可得切，AC,根據(jù)AACF與AACE的

面積相等，底相同,可得高也相同，即FK=EH,設(shè)FG=x，根據(jù)三角形相似及邊長之間關(guān)系，找到各個長度，根據(jù)

19

勾股定理求出9=a，再求出FK，建立等式解出即可.

【詳解】（1）證明:因為PA_L平面ABCD,

D￡_L平面ABCD

所以

因為PAu平面HLB,DEu平面刈8,

所以DE〃平面

因為底面ABC。為矩形，

所以45〃CD,

因為ABu平面從8,CDu平面P4B,

所以CO〃平面F4B,

因為CDnOE=。，

且CDu平面CDE,DEu平面CDE,

所以平面CDE〃平面B4B,

又因為CEu平面CDE,

所以CE〃平面B40;

(2)設(shè)線段尸￡>上存在點F使得AACF與AACE的面積相等,

過歹作bGLAD,垂足為G,

因為PA_L平面ABCD,

所以X4_LAD,

故尸G〃申，

所以△打?￡)-△■)

,,FGPA

故而=而’

因為叢=A￡),

所以尸G=￡>G,

過G作GK_LAC,垂足為K,連接FK,

過。作，AC,垂足為H,連接EH，如圖所示：

因為PA，底面ABC。,FG〃上4,

所以FG_L底面ABCD

所以PGAAC.

又GKLAC,FGcGK=G,

所以AC,平面/GK.

因為bKu平面歹GK

則AC_LbK,

同理可得微~LAC,

因為△Ab與9點的面積相等,

所以FK=EH,

ADCD10

在A4DC中，根據(jù)等面積法可得DH=

AC回'

19

則EH=4DH'+DE2=

回'

^FG=x,0<x<5.

則AG=5-x,

因為。H_LAC,GK_LAC,

所以DH〃GK,

所以aAGK?

因為第=AG

AO

所以KG=W^，

所以尸K=jKG*PG2、卜比艾)+12=EH=2,

V29區(qū)

整理得33--40尤-261=0,

因為0WX45,所以x=型力回亙，

33

故存在尸，且尸到AD的距離為2°+^^.

33

【點睛】方法點睛:此題考查立體幾何中線面關(guān)系及點存在問題的綜合問題，屬于難題，關(guān)于點存在問題的解題

方法有：

(1)先假設(shè)其存在；

(2)然后將假設(shè)作為條件與已知條件一起進(jìn)行推理論證和計算；

(3)在推理論證和計算無誤的前提下，得到了合理的結(jié)論，則說明存在；

(4)如果得到不合理的結(jié)論，則說明不存在.

變式1.(2023春?浙江?高一期中)三棱柱ABC-A4G的棱長都為2,。和E分別是四和Ag的中點.

⑴求證：直線DE〃平面ABC1;

⑵若ZAAC=60。，點2到平面ACGA的距離為求三棱錐D-A8G的體積.

【答案】(1)證明見解析

【分析】(1)法一,根據(jù)中位線可得線線平行,證明面面平行再證線面平行，法二，作出輔助線，證明DE//HG,

即可得證；

(2)根據(jù)線面平行可得勿置BC,二^E-ABCi，由等體積法求解.

［詳解】(1)在三棱柱ABC-中，AB!IA\B\,取用G中點F,連接DF,EF,

//Df//

B

V。和E分別是B片和AC的中點，

:.DFUBC\,EF"AB、,.-.EF//AB,

又(z面ABG，BC|U面ABC-且EF<Z面ABC-ABu面A^G，

二。/〃面ABG，EB〃面ABC1，5LDF^EF=F,DE,EFu面DEF,

.??面DEF//平面ABG，而DEu面。ER故直線DE//平面ABG.

法二，連接CE交AG于點G,連接CO交Bq于點“，連接HG,如圖,

4Eg

在三棱柱ABC-AAG中，4G//AC,BBlIICC,,

.EG￡Ct1PHBD1

?'GC=AC=2'~HC~Cq~2,

----=----,則DE//HG，又DE<z面ABC1，HGu面ABC,

GCHCX

二直線r>￡7/平面4BC1.

(2)如圖,

,/直線DE//平面ABC,,

嘰BG=jc,,又幺AC=60°,

所以平行四邊形ACC0邊AC上的高h(yuǎn)'=2sin60。=百，

由B至U面ACC|A的圖hB=^3,則％-ABC,=%-AEG=]SaAEG,%=gX/Xlx/乂為二萬.

考點三：證明面面平行

例6.(2023春?廣東湛江?高一湛江二H"一中校考期中)如圖，在三棱柱ABC—A/SG中，E,F,G,

H分別是AB,AC,AiBi,4/分的中點.求證:

小

Z\\/美\―/71G

\G

B

(1)8,C,H,G四點共面；

(2)平面EFA1II平面BCHG.

【答案】(1)證明見解析

(2)證明見解析

【分析】(1)利用中位線定理與空間平行線的傳遞性，推得GH〃BC,由此得證；

(2)利用線面平行的判定定理證得EF//平面BCHG,A1E〃平面BCHG,從而利用面面平行的判定定理

即可得證.

【詳解】(1),:G,H分別是4M4G的中點

...GH是△ABC的中位線，.?.G8//8Q,

又在三棱柱ABC—A/SG中，BiCi/ZBC,：.GH//BC,

：.B,C,H,G四點共面.

(2),:E,尸分別為AB,AC的中點，

：.EF//BC,

'：EF平面BCHG,BCu平面BCHG,

平面BCHG,

?.,在三棱柱ABC—4SG中，A.BJ/AB,A1B1=AB,

：.AiG//EB,==^AB=EB,

.??四邊形A/E8G是平行四邊形，.?.4E//GB,

A￡Z平面BCHG,GBu平面BCHG,

〃平面BCHG,

'：AiEHEF=E,AiE,EFu平面EN,

二平面EFAiU平面BCHG.

變式1.(2023春?山東臨沂?高一校考期中)如圖，已知點P是正方形A8CD所在平面外一點，M,N分

別是AB,PC的中點.

(1)求證：〃平面PAD；

(2)若PB中點為Q,求證：平面MAQ〃平面PAD.

(3)若R4_L平面A3CD,AB=PA=2,求直線網(wǎng)與面B山所成的角.

【答案】(1)證明見解析

(2)證明見解析

(3)45°

【分析】(1)取尸口的中點E,連接AE,NE,即可證明四邊形AMNE為平行四邊形，所以朋N〃AE,從

而得證；

(2)依題意可得MQ//AP即可得到"0〃平面必仍，再結(jié)合(1)的結(jié)論，即可得證；

(3)依題意可得平面上4。_1_平面ABCD,由面面垂直的性質(zhì)得到AB工平面PAD,則/班弧即為直線PB與

面24。所成的角，再根據(jù)邊長的關(guān)系得解.

【詳解】(1)取尸￡)的中點E,連接AE,NE,

因為N是尸C的中點，所以NE//DC且NE=；DC,

又M是A3的中點，A3CO是正方形，所以AM〃OC且

22

所以NE//A"且NE=AM,

所以四邊形4"阻為平行四邊形，所以MN//AE,

又MNu平面PAD，A￡u平面PAO,所以A7N〃平面PAD.

P

(2)因為。為PB的中點，M是AB的中點

所以MQ/AP,又MQ<Z平面R4D,APu平面PAD,所以MQ〃平面PAD,

又MN〃平面JMD,MQcMN=M,MQ,腦Vu平面MNQ,所以平面MNQ〃平面尸AD.

(3)因為上4_L平面ABCD,PAu平面PAD,所以平面R4￡>_L平面ABCD,

又ABCD為正方形，所以AB_LAD,ABu平面A3CD,平面P4Dc平面ABCD=AD,

所以平面PAD,

所以即為直線PB與面BID所成的角，又AB=R4=2,所以以為等腰直角三角形，

所以N3P4=45。，

即直線尸3與面RW所成的角為45。.

變式2.(2023春?河南洛陽?高一統(tǒng)考期中)如圖所示，在三棱柱ABC-A4G中，E,F,G,H分別是43,AC,

AG，A片的中點，求證:

B

(1)26"/平面4￡/；

(2)平面AEF11平面BCGH.

【答案】(1)證明見解析

(2)證明見解析

【分析】(1)根據(jù)線面平行的判定定理即可證明結(jié)論；

(2)先證明EF〃平面3CG8,再證明4/〃平面3CG8,根據(jù)面面平行的判定定理即可證明結(jié)論.

【詳解】(1)證明：:瓦?分別是AB,AC的中點，

EF//BC,

又在三棱柱ABC-44cl中，BC//月G，

所以

又B?N平面AiEF,EFu平面AEF,

所以耳G〃平面AEF.

(2)證明：由(1)知跖〃3C,跖Z平面BCG",BCu平面3CG”,

；?EF〃平面BCGH,

又：RG分別為AC,AG中點，

故歹C=：AC,aG=：AG，

又；AC〃AG，AC=AG，F(xiàn)C//AiG,FC=A1G,

.?.四邊形尸CGA為平行四邊形，

A.F//GC,

又：4尸t2平面3CG”,*匚平面3。6〃，

二人尸〃平面3CG”,

又,/AFpSF=F,\F,EFu平面\EF,

；.平面AEP〃平面BCGH.

變式3.(2023春?陜西西安?高一西安市鐵一中學(xué)校考期中)如圖：己知三棱柱ABC-4瓦G中，。為BC

邊上一點，2為BG中點，且AB〃平面Aoq.證明：平面ABR〃平面A。。一

【答案】證明見解析

【分析】連接4c與AG交于點。，由線面平行的性質(zhì)定理可得48II。。，從而。為BC中點，進(jìn)而可得四

邊形為平行四邊形，GDHBD\,由線面平行的判定定理得82〃平面AOG，再利用面面平行的判定

定理證得結(jié)論.

連接AC與AC］交于點。，連接。

???AB〃平面AZ)G，ABu平面ABC,平面ABCc平面ADG=O￡),

/.AtB//OD,又。為AG中點，為8c中點,

■:BDIICQ\,且BO=G2，

.??四邊形CRBD為平行四邊形，；.QD//BD,.

又2。N平面AOG，6。＜=平面4。。］,〃平面ADC一

又ABII平面ADCX,\B^BDX=B,BQu平面A^BD,,

所以平面ABR〃平面AOC-

變式4.（2022春?安徽蕪湖?高一校考期中）如圖，在正四面體S-ABC中，AB=4,E,F,R分別是SB,

SC,8L的中點，取SE,M的中點M,N,點Q為平面SBC內(nèi)一點

（1）求證：平面〃平面A￡F

（2）若RQ〃平面的，求線段RQ的最小值，

【答案】（1）證明見解析

⑵姮

2

【分析】（1）先由線面平行判定定理證明線面平行，再由面面平行判定定理證明面面平行即可;

（2）由面面平行確定點。在線段MN上，再求AMM?在邊MN上的高，即R。的最小值.

【詳解】（1）'：M,N分別為SE,防的中點，〃所，

又：平面A￡F,EFu平面...肱V〃平面A￡F,

?；R,A/分別為SA,SE的中點，，&0〃AE,

又「TW平面A￡尸，AEu平面A跖，,RM〃平面AEF,

又,：MNcRM=M,MNu平面MM?,RMu平面跖\田，

平面MM?〃平面AEF.

s

由（1）知，平面MM?〃平面AEF,

,若平面SBC內(nèi)存在一點。，使RQ〃平面AEF,則。在線段MN上，

線段RQ的最小值為R到直線MN的距離，即AMNR在邊MN上的高,

尸分別為SB,SC的中點，M,N分別為SE,防的中點，

：.MN=-EF=-BC=l,

24

XVAS=AB=4,SE=BE=2

：.AE±SB,AE7AB?-BE?=2百，

又,：R,M分別為81，SE的中點，=同理RN=g,

...當(dāng)。為MN中點時，RQ±MN,此時吠在邊MN上的高，RQ取最小值,

線段RQ的最小值RQmw=^RM2-MQ2

考點四：線面平行和面面平行性質(zhì)的應(yīng)用

（2023春?福建?高一校聯(lián)考期中）如圖，在三棱臺DEF-ABC中，AB=BC=CA^2DF^2,

FC=1,ZACF=ZBCF=90°,G為線段AC中點，H為線段BC上的點，BD//平面FGH.

（1）求證：點H為線段BC的中點;

(2)求三棱臺DEF-ABC的表面積.

【答案】(1)證明見解析

⑵述+至+3

44

【分析】(1)連接8,設(shè)CDcFG=O,由BD//平面/GH,證得BD//HO,結(jié)合。是CD的中點，得

到點”是BC的中點；

(2)根據(jù)題意，先求得上下底面正三角形的面積分別S?E.=必和5ABe=K，再結(jié)合側(cè)面相＞bC和側(cè)面

3

EFCB均為直角梯形，求得面積為E=5,由側(cè)面切歷為等腰梯形，過點E作石求得石M的長,

得到側(cè)面的面積為邑=乎，即可求解.

【詳解】(1)連接8,設(shè)CDc/G=O,連接”0、DG,

因為3。//平面FG",3Du平面C3O,且平面CBDc平面bG〃="O,

所以BD//HO,

又因為四邊形DPCG是正方形，且。是CO的中點，所以點”是BC的中點.

(2)三棱臺DE萬一ABC中，

因為AB=BC=C1,所以AABC為等邊三角形，

所以ADEF也為等邊三角形，且EF=DE=DF=1,

上底面ADEF為等邊三角形，其邊長為1，可得面積為SOEF=3XDE2=41,

下底面從WC為等邊三角形，其邊長為2,可得面積為SA"=走、44=6，

又因為NACF=/BCF=90。，所以側(cè)面皿(和側(cè)面EFCB均為直角梯形，且FC=1,

13

其面積均為百=5'(1+2)、1=5，

側(cè)面AD￡B為等腰梯形，其中DE=1,AB