10.1.4概率的基本性質【學習目標】【素養達成】1.理解概率的基本性質.數學抽象2.掌握利用互斥事件和對立事件的概率公式解決與古典概型有關的問題的方法.數學運算概率的基本性質性質1對任意的事件A,都有P(A)≥0.性質2必然事件的概率為1,不可能事件的概率為0,即P(Ω)=1,P(?)=0.性質3如果事件A與事件B互斥,那么P(A∪B)=P(A)+P(B).推廣如果事件A1,A2,…,Am兩兩互斥,那么事件A1∪A2∪…∪Am發生的概率等于這m個事件分別發生的概率之和,即P(A1∪A2∪…∪Am)=P(A1)+P(A2)+…+P(Am).性質4如果事件A與事件B互為對立事件,那么P(B)=1P(A),P(A)=1P(B).性質5如果A?B,那么P(A)≤P(B).性質6設A,B是一個隨機試驗中的兩個事件,我們有P(A∪B)=P(A)+P(B)P(A∩B).【教材深化】利用互斥事件求概率的關注點(1)將一個事件拆分為若干個互斥事件,分別求出各事件的概率,然后用加法公式計算結果.(2)在運用互斥事件的概率加法公式解題時,首先要分清事件之間是否互斥,同時要會把一個事件拆分成幾個互斥事件,做到不重不漏.【教材挖掘】(P243思考)問題:一個袋子中有大小和質地相同的4個球,其中有2個紅色球(標號為1和2),2個綠色球(標號為3和4),從袋中不放回地依次隨機摸出2個球.設事件R1=“第一次摸到紅球”,R2=“第二次摸到紅球”,“兩個球中有紅球”=R1∪R2,那么P(R1∪R2)和P(R1)+P(R2)相等嗎?如果不相等,請你說明原因,并思考如何計算P(R1∪R2).提示:P(R1∪R2)≠P(R1)+P(R2).因為n(Ω)=12,n(R1)=n(R2)=6,n(R1∪R2)=10,所以P(R1)+P(R2)=612+612=1,P(R1∪R2)=1012,而P(R1∩R2因此P(R1∪R2)=P(R1)+P(R2)P(R1∩R2).【明辨是非】(正確的打“√”,錯誤的打“×”)(1)在同一試驗中的兩個事件A與B,一定有P(A∪B)=P(A)+P(B).(×)提示:不一定,只有A與B互斥時,P(A∪B)=P(A)+P(B)才成立.(2)對于互斥事件A與B,一定有P(A)+P(B)=1.(×)提示:只有兩事件A與B對立,才有P(A)+P(B)=1.(3)若P(A)+P(B)=1,則事件A與事件B一定是對立事件.(×)提示:P(A)+P(B)=1,事件A和事件B可以對立也可以不對立.類型一概率性質的直接應用(數學運算)【典例1】(1)(2024·安慶高一檢測)下列說法正確的是()A.若A,B為兩個隨機事件,則P(A∪B)=P(A)+P(B)B.若事件A,B,C兩兩互斥,則P(A)+P(B)+P(C)=1C.若A,B為互斥事件,則P(A)+P(B)≤1D.若A?B,則P(A)<P(B)【解析】選C.對于A,當A,B為互斥事件時,才有P(A∪B)=P(A)+P(B),所以A錯誤;對于B,當事件A,B,C兩兩互斥,且A∪B∪C=Ω時,才有P(A)+P(B)+P(C)=1,所以B錯誤;對于C,當A,B為互斥事件時,P(A)+P(B)=P(A∪B)≤1,所以C正確;對于D,由概率的性質可知,若A?B,則P(A)≤P(B),所以D錯誤.(2)(2024·沈陽高一檢測)拋擲一枚質地均勻的六面骰子,記事件A=“向上的點數為1或4”,事件B=“向上的點數為奇數”,則下列說法正確的是()A.A與B互斥 B.A與B對立C.P(A+B)=23 D.P(A+B)=【解析】選C.當向上的點數為1時,A,B同時發生,則A與B不互斥,也不對立.因為P(A)=26=13,P(B)=36=12,P(AB)=16,所以P(A+B)=P(A)+P(B)P(AB【備選例題】(2024·阜陽高一檢測)下列說法正確的是()A.事件A,B滿足P(A)+P(B)=1,則A,B是對立事件B.互斥事件一定是對立事件C.若事件A,B,C兩兩互斥,則P(A)+P(B)+P(C)=1D.若A∩B為不可能事件,則P(A∪B)=P(A)+P(B)【解析】選D.對于A選項,例如在編號為1,2,3,4,5的小球中任取一球,定義事件A:所取小球的編號不小于3,定義事件B:所取小球的編號不小于4,則B?A,且P(A)+P(B)=35+2對于B選項,互斥事件不一定是對立事件,但對立事件一定是互斥事件,B錯;對于C選項,若事件A,B,C兩兩互斥,則P(A)+P(B)+P(C)=P(A∪B∪C)≤1,C錯;對于D選項,若A∩B為不可能事件,則P(A∪B)=P(A)+P(B)P(A∩B)=P(A)+P(B),D對.【總結升華】關于概率性質的直接應用(1)明確各個事件的概率,若涉及對立事件,則利用性質4求出對立事件的概率;(2)判斷事件的關系,選擇P(A∪B)=P(A)+P(B)、P(A∪B)=P(A)+P(B)P(A∩B)等性質解題.【即學即練】(多選)(2024·合肥高一檢測)若事件A,B為互斥事件,且P(A)>0,P(B)>0,則以下結論正確的是()A.P(AB)=0B.P(AB)=[1P(A)]P(B)C.P(A+B)=1D.P(A+B)=P(A)+P(B)【解析】選AC.對于A,因為事件A,B為互斥事件,所以A∩B=?,所以P(AB)=0;對于B,因為事件A,B為互斥事件,所以B?A,所以P(AB)=P(B);對于C,P(A+B)=1P(AB)=10=1;對于D,由A,B互斥知P(AB)≠0,即事件A,B不互斥,所以P(A+B)=P(A)+P(B)P(AB).【補償訓練】若A,B為互斥事件,則()A.P(A)+P(B)<1 B.P(A)+P(B)>1C.P(A)+P(B)=1 D.P(A)+P(B)≤1【解析】選D.因為A,B為互斥事件,所以A∪B是隨機事件或必然事件,則P(A∪B)=P(A)+P(B)≤1,當A,B為對立事件時,P(A)+P(B)=1.類型二互斥事件的概率(數學運算、邏輯推理)【典例2】(2024·泰州高一檢測)在某一時期內,一條河流某處的年最高水位在各個范圍內的概率如表:年最高水位(單位:m)[8,10)[10,12)[12,14)[14,16)[16,18]概率0.10.280.380.160.08計算在同一時期內,這條河流這一處的年最高水位(單位:m)在下列范圍內的概率:(1)[10,16);(2)[8,12);(3)[14,18].【解析】記這條河流這一處的年最高水位(單位:m)在[8,10),[10,12),[12,14),[14,16),[16,18]內分別為事件A,B,C,D,E,且彼此互斥.(1)P(B∪C∪D)=P(B)+P(C)+P(D)=0.28+0.38+0.16=0.82.(2)P(A∪B)=P(A)+P(B)=0.1+0.28=0.38.(3)P(D∪E)=P(D)+P(E)=0.16+0.08=0.24.所以這條河流這一處的年最高水位(單位:m)在[10,16),[8,12),[14,18]內的概率分別為0.82,0.38,0.24.【即學即練】(2024·承德高一檢測)從一副混合后的撲克牌(不含大小王)中,隨機抽取1張,事件A為“抽得紅桃K”,事件B為“抽得黑桃”,則P(A∪B)=()A.726 B.1126 C.1526 【解析】選A.一副混合后的撲克牌(不含大小王)共有52張,則事件A的概率為P(A)=152.一副撲克牌有13張黑桃,則事件B的概率為P(B)=1352=14,又因為事件A與B互斥,則P(A∪B)=P(A)+P(B)=152+【補償訓練】一盒中裝有各色球12個,其中5個紅球、4個黑球、2個白球、1個綠球.從中隨機取出1球,求:(1)取出的1球是紅球或黑球的概率;(2)取出的1球是紅球或黑球或白球的概率.【解析】記事件A1=“取出的1球為紅球”,A2=“取出的1球為黑球”,A3=“取出的1球為白球”,A4=“取出的1球為綠球”,則P(A1)=512,P(A2)=13,P(A3)=16,P(A4)=112.根據題意,可知事件A1,A2,A3(1)取出的1球是紅球或黑球的概率為P(A1∪A2)=P(A1)+P(A2)=512+13=(2)取出的1球是紅球或黑球或白球的概率為P(A1∪A2∪A3)=P(A1)+P(A2)+P(A3)=512+13+16類型三對立事件的概率(數學運算)【典例3】一個袋中裝有四個形狀、大小完全相同的球,球的編號分別為1,2,3,4.先從袋中隨機取一個球,該球的編號為m,將球放回袋中,然后再從袋中隨機取一個球,該球的編號為n,求n<m+2的概率.【解析】先從袋中隨機取一個球,記下編號為m,放回后,再從袋中隨機取一個球,記下編號為n,其一切可能的結果(m,n)有(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(3,1),(3,2),(3,3),(3,4),(4,1),(4,2),(4,3),(4,4),共16個,這16個結果出現的可能性是相等的.又滿足條件n≥m+2的有(1,3),(1,4),(2,4),共3個.所以滿足條件n≥m+2的事件的概率為P1=316故滿足條件n<m+2的事件的概率為1P1=1316=13【總結升華】利用對立事件的概率公式解題的思路(1)當對立事件A,B中一個事件的概率易求,另一個事件的概率不易求時,直接計算符合條件的概率較煩瑣,可以先間接地求出其對立事件的概率,再由公式P(A)+P(B)=1求得符合條件的事件的概率.(2)應用對立事件的概率公式時,一定要分清事件和其對立事件到底是什么.該公式常用于“至多”“至少”型問題的求解.【補償訓練】1.(教材P243例11)甲、乙兩人下棋,和棋的概率為12,乙獲勝的概率為1(1)甲獲勝的概率;(2)甲不輸的概率.【解析】(1)“甲獲勝”和“和棋”或“乙獲勝”是對立事件,所以“甲獲勝”的概率P=11213=(2)方法一:設事件A為“甲不輸”,可看成是“甲獲勝”“和棋”這兩個是互斥事