9.2.4總體離散程度的估計(jì)【學(xué)習(xí)目標(biāo)】1.結(jié)合實(shí)例,能用樣本估計(jì)總體的離散程度參數(shù)(標(biāo)準(zhǔn)差、方差、極差).2.理解離散程度參數(shù)的統(tǒng)計(jì)含義.【素養(yǎng)達(dá)成】數(shù)學(xué)抽象、數(shù)學(xué)運(yùn)算數(shù)據(jù)分析一、總體離散程度的估計(jì)1.方差:給定一組數(shù)據(jù)x1,x2,…,xn,用x表示這組數(shù)據(jù)的平均數(shù),則s2=1n∑i=1n(xix)2=1n[(x1x)2+(x2x)2+…+(xnx)2.標(biāo)準(zhǔn)差:方差的算術(shù)平方根,即1n∑3.總體方差、總體標(biāo)準(zhǔn)差如果總體中所有個(gè)體的變量值分別為Y1,Y2,…,YN,總體平均數(shù)為Y,則總體方差為S2=1N∑i=1N(YiY)2如果總體的N個(gè)變量值中,不同的值共有k(k≤N)個(gè),不妨記為Y1,Y2,…,Yk,其中Yi出現(xiàn)的頻率為fi(i=1,2,…,k),則總體方差為S2=1N∑i=1【版本交融】(湘教P243)方差越大表示什么含義?提示:方差刻畫的是總體中個(gè)體的穩(wěn)定或波動(dòng)的程度,方差越大,說明波動(dòng)越大.【教材挖掘】(P212)數(shù)據(jù)x1,x2,…,xn的平均數(shù)是x,方差為s2,數(shù)據(jù)x1,x2,…,xn,x的方差為s12,那么s2與提示:因?yàn)閿?shù)據(jù)x1,x2,…,xn,x比數(shù)據(jù)x1,x2,…,xn更加相對(duì)集中,所以方差變小了,即s12<s二、分層隨機(jī)抽樣的方差假設(shè)第一層有m個(gè)數(shù),分別為x1,x2,…,xm,平均數(shù)為x,方差為s2;第二層有n個(gè)數(shù),分別為y1,y2,…,yn,平均數(shù)為y,方差為t2,則x=1m∑i=1mxi,s2=1m∑i=1m(xix)2,y=1n∑i=1若記樣本平均數(shù)值為a,樣本方差為b2,則可以算出a=1m+n(∑i=1mxi+∑i=1nyi)=mx+nym+n,b2=m[s【教材深化】1.方差的簡(jiǎn)化計(jì)算公式:s2=1n[(x12+x22+…+xn2)nx2]或?qū)懗蓅2=1n(x2.平均數(shù)、方差公式的推廣(1)若數(shù)據(jù)x1,x2,…,xn的平均數(shù)為x,那么mx1+a,mx2+a,…,mxn+a的平均數(shù)是mx+a.(2)若數(shù)據(jù)x1,x2,…,xn的方差為s2,那么①數(shù)據(jù)x1+a,x2+a,…,xn+a的方差也是s2;②數(shù)據(jù)ax1,ax2,…,axn的方差是a2s2.【明辨是非】(正確的打“√”,錯(cuò)誤的打“×”)(1)標(biāo)準(zhǔn)差越大,表明各個(gè)樣本數(shù)據(jù)在樣本平均數(shù)周圍越集中;標(biāo)準(zhǔn)差越小,表明各個(gè)樣本數(shù)據(jù)在樣本平均數(shù)周圍越分散.(×)提示:標(biāo)準(zhǔn)差越大,表明各個(gè)樣本數(shù)據(jù)在樣本平均數(shù)周圍越分散;標(biāo)準(zhǔn)差越小,表明各個(gè)樣本數(shù)據(jù)在樣本平均數(shù)周圍越集中.(2)在兩組數(shù)據(jù)中,平均值較大的一組方差較大.(×)提示:方差是描述數(shù)據(jù)圍繞平均數(shù)波動(dòng)的大小的量,與兩組數(shù)據(jù)平均數(shù)的大小無(wú)關(guān).(3)若樣本數(shù)據(jù)的標(biāo)準(zhǔn)差為0,則數(shù)據(jù)沒有離散性.(√)提示:若樣本數(shù)據(jù)的標(biāo)準(zhǔn)差為0,則樣本各數(shù)據(jù)相等,說明沒有離散性.類型一方差、標(biāo)準(zhǔn)差(數(shù)學(xué)運(yùn)算)【典例1】(1)(2024·榆林高一檢測(cè))已知一組數(shù)據(jù)6,6,8,8,10,10,則該組數(shù)據(jù)的方差是()A.43 B.2 C.83 D【解析】選C.該組數(shù)據(jù)的平均數(shù)為16所以該組數(shù)據(jù)的方差是16[2×(68)2+2×(88)2+2×(108)2]=8(2)甲、乙兩機(jī)床同時(shí)加工直徑為100mm的零件,為檢驗(yàn)質(zhì)量,從中各抽取6件測(cè)量,數(shù)據(jù)為甲:9910098100100103乙:9910010299100100①分別計(jì)算兩組數(shù)據(jù)的平均數(shù)及方差;②根據(jù)計(jì)算結(jié)果判斷哪臺(tái)機(jī)床加工零件的質(zhì)量更穩(wěn)定.【解析】①x甲=16×(99+100+98+100+100+103)=100,x乙=s甲2=16×[(99100)2+(100100)2+(98100)2+(100100)2+(100100)2+(103100)2s乙2=16×[(99100)2+(100100)2+(102100)2+(99100)2+(100100)2+(100100)②兩臺(tái)機(jī)床所加工零件的直徑的平均數(shù)相同,又因?yàn)閟甲2>s【總結(jié)升華】1.計(jì)算方差、標(biāo)準(zhǔn)差的步驟(1)計(jì)算樣本的平均數(shù)x;(2)計(jì)算每個(gè)樣本數(shù)據(jù)與樣本平均數(shù)的差xix(i=1,2,…,n);(3)計(jì)算(xix)2(i=1,2,…,n);(4)計(jì)算(xix)2(i=1,2,…,n)這n個(gè)數(shù)據(jù)的平均數(shù),即為樣本方差s2;(5)計(jì)算方差的算術(shù)平方根,即為樣本的標(biāo)準(zhǔn)差s.2.在實(shí)際問題中,僅靠平均數(shù)不能完全反映問題,還要研究方差,方差描述了數(shù)據(jù)相對(duì)平均數(shù)的離散程度.在平均數(shù)相同的情況下,方差越大,離散程度越大,數(shù)據(jù)波動(dòng)性越大,穩(wěn)定性越差;方差越小,離散程度越小,數(shù)據(jù)越集中,越穩(wěn)定.【即學(xué)即練】1.(2024·寧波高一期中)甲乙丙丁四位同學(xué)各擲5次骰子并記錄點(diǎn)數(shù),方差最大的是()甲:45455乙:42343丙:23234丁:61261A.甲 B.乙 C.丙 D.丁【解析】選D.由題知x甲=235,所以s甲2=1542352+52352+42352+52352+52352=625,x乙=165,所以s乙2=1541652+21652+(3-165)2+41652+3165x丙=145,所以s丙2=1521452+31452+(2-145)2+31452+4145x丁=165,所以s丁2=1561652+11652+(2-165)2+61652+1165所以方差最大的是丁.2.對(duì)甲、乙兩名自行車賽手在相同條件下進(jìn)行了6次測(cè)試,測(cè)得他們的最大速度(單位:m/s)的數(shù)據(jù)如下:甲273830373531乙332938342836(1)分別求出甲、乙兩名自行車賽手最大速度的平均數(shù)和方差;(2)比較兩個(gè)人的成績(jī),你認(rèn)為選誰(shuí)參加比賽比較合適.【解析】(1)x甲=16x乙=16s甲2=16×[(2733)2+(3833)2+(3033)2+(3733)2+(3533)2+(3133)2s乙2=16×[(3333)2+(2933)2+(3833)2+(3433)2+(2833)2+(3633)2(2)由(1)知甲和乙的平均數(shù)相等,因?yàn)閟甲2>所以乙更穩(wěn)定,選乙參加比賽比較合適.類型二方差、標(biāo)準(zhǔn)差統(tǒng)計(jì)圖的綜合應(yīng)用(數(shù)學(xué)運(yùn)算)【典例2】對(duì)甲廠、乙廠、丙廠所生產(chǎn)的袋裝食品各抽檢了20袋,稱得質(zhì)量如條形圖所示.s1,s2,s3分別表示甲廠、乙廠、丙廠這次抽檢質(zhì)量的標(biāo)準(zhǔn)差,則有()A.s2>s1>s3 B.s1>s3>s2C.s3>s1>s2 D.s3>s2>s1【解析】選C.根據(jù)題意,甲廠的平均數(shù)x1=120×(5×7+5×8+5×9+5×10)=8.5,方差s12=120×[5×(78.5)2+5×(88.5)2+5×(98.5)2+5×(108.5)2]=1.25,標(biāo)準(zhǔn)差乙廠的平均數(shù)x2=120×(4×7+6×8+6×9+4×10)=8.5,方差s22=120×[4×(78.5)2+6×(88.5)2+6×(98.5)2+4×(108.5)2]=1.05,標(biāo)準(zhǔn)差丙廠的平均數(shù)x3=120×(6×7+4×8+4×9+6×10)=8方差s32=120×[6×(78.5)2+4×(88.5)2+4×(98.5)2+6×(108.5)2]=1.45,標(biāo)準(zhǔn)差s3=1.45.所以s3>s【總結(jié)升華】根據(jù)統(tǒng)計(jì)圖表確定方差(標(biāo)準(zhǔn)差)的大小關(guān)系有兩種方法:(1)根據(jù)統(tǒng)計(jì)圖表中所提供的數(shù)據(jù)與方差(標(biāo)準(zhǔn)差)的計(jì)算公式求出其數(shù)值,然后比較大小;(2)若統(tǒng)計(jì)圖表中沒有反映出具體的數(shù)據(jù)或計(jì)算較為煩瑣,可根據(jù)統(tǒng)計(jì)圖表所反映的數(shù)據(jù)的波動(dòng)性大小來比較大小.【即學(xué)即練】如圖所示是小王與小張二人參加某射擊比賽的預(yù)賽的五次測(cè)試成績(jī)的折線圖,設(shè)小王與小張成績(jī)的樣本平均數(shù)分別為xA和xB,方差分別為sA2和A.xA<xB,sA2>sB2 B.xC.xA>xB,sA2>sB2 D.x【解析】選C.由題圖可知,實(shí)線中的數(shù)據(jù)都大于或等于虛線中的數(shù)據(jù),所以小王成績(jī)的平均數(shù)大于小張成績(jī)的平均數(shù),xA>x顯然實(shí)線中的數(shù)據(jù)波動(dòng)較大,所以小王成績(jī)的方差大于小張成績(jī)的方差,即sA2>類型三分層隨機(jī)抽樣的方差(數(shù)據(jù)分析、數(shù)學(xué)運(yùn)算)【典例3】(教材P213例6)在對(duì)某中學(xué)高一學(xué)生體重的調(diào)查中,采取按樣本量比例分配的分層隨機(jī)抽樣,如果不知道樣本數(shù)據(jù),只知道抽取了男生30人,其平均數(shù)和方差分別為55和15,抽取了女生20人,其平均數(shù)和方差分別為45和20.你能由這些數(shù)據(jù)計(jì)算出總樣本的平均數(shù)和方差嗎?若能,則求出,不能,請(qǐng)說明理由.【解析】設(shè)男生的平均體重為x,方差為sx則x=55,sx2=15,男生占的比例為3050設(shè)女生的平均體重為y,方差為sy則y=45,sy2=20,女生占的比例為2050所以總樣本的平均數(shù)z=35×55+2總樣本的方差s2=35[sx2+(x51)2]+25[sy2+(y51)2]=35×(15+42【總結(jié)升華】分層隨機(jī)抽樣的方差設(shè)樣本中不同層的平均數(shù)分別為x1,x2,…,xn,方差分別為s12,s22,…,sn2,相應(yīng)的權(quán)重分別為w1,w2,…,wn,則這個(gè)樣本的方差為s2=∑i=1nw【即學(xué)即練】某班為了了解學(xué)生每周購(gòu)買零食的支出情況,利用分層隨機(jī)抽樣抽取了一個(gè)15人的樣本統(tǒng)計(jì)如下:項(xiàng)目學(xué)生數(shù)平均支出(元)方差男生9406女生6354估算全班學(xué)生每周購(gòu)買零食費(fèi)用的平均值和方差.【解析】男生占的比例為915=3女生占的比例為615=25,所以全班學(xué)生每周購(gòu)買零食費(fèi)用的平均值為x=35方差s2=35×[6+(4038)2]+25×[4+(3538)2]=11.【補(bǔ)償訓(xùn)練】某高校新增設(shè)的“人工智能”專業(yè),共招收了兩個(gè)班,其中甲班30人,乙班40人,在2023年高考中,甲班學(xué)生的平均分為66