專題17銳角三角函數與解直角三角形課標要求考點考向1.探索并認識銳角三角函數(sinA,cosA,tanA)，知道30°，45°，60°角的三角函數值;2.會使用計算器由已知銳角求它的三角函數值，由已知三角函數值求它的對應銳角;3.能用銳角三角函數解直角三角形，能用相關知識解決一些簡單的實際問題.銳角三角函數考向一正弦考向二余弦考向三正切考向四特殊角的三角函數考向五三角函數的綜合解直角三角形考向一解直角三角形考向二解直角三角形的應用考點一銳角三角函數?考向一正弦1．（2024·四川瀘州·中考真題）寬與長的比是的矩形叫做黃金矩形，黃金矩形給我們以協調、勻稱的美感．如圖，把黃金矩形沿對角線翻折，點落在點處，交于點，則的值為（

）A． B． C． D．2．（2024·吉林長春·中考真題）2024年5月29日16時12分，“長春凈月一號”衛星搭乘谷神星一號火箭在黃海海域成功發射．當火箭上升到點時，位于海平面處的雷達測得點到點的距離為千米，仰角為，則此時火箭距海平面的高度為（）

A．千米 B．千米 C．千米 D．千米3．（2024·江蘇揚州·中考真題）如圖，已知兩條平行線、，點A是上的定點，于點B，點C、D分別是、上的動點，且滿足，連接交線段于點E，于點H，則當最大時，的值為．4．（2024·廣西·中考真題）如圖，在中，，．(1)尺規作圖：作線段的垂直平分線l，分別交，于點D，E：（要求：保留作圖痕跡，不寫作法，標明字母）(2)在（1）所作的圖中，連接，若，求的長．5．（2024·上海·中考真題）在平面直角坐標系中，反比例函數（k為常數且）上有一點，且與直線交于另一點．

(1)求k與m的值；(2)過點A作直線軸與直線交于點C，求的值．?考向二余弦6．（2024·四川眉山·中考真題）如圖，在矩形中，，，點在上，把沿折疊，點恰好落在邊上的點處，則的值為（

）A． B． C． D．7．（2024·上海·中考真題）在平行四邊形中，是銳角，將沿直線翻折至所在直線，對應點分別為，，若，則．8．（2024·四川雅安·中考真題）如圖，把矩形紙片沿對角線折疊，使點C落在點E處，與交于點F，若，，則的值是．9．（2024·河南·中考真題）綜合與實踐在學習特殊四邊形的過程中，我們積累了一定的研究經驗，請運用已有經驗，對“鄰等對補四邊形”進行研究定義：至少有一組鄰邊相等且對角互補的四邊形叫做鄰等對補四邊形．(1)操作判斷用分別含有和角的直角三角形紙板拼出如圖1所示的4個四邊形，其中是鄰等對補四邊形的有________（填序號）．(2)性質探究根據定義可得出鄰等對補四邊形的邊、角的性質．下面研究與對角線相關的性質．如圖2，四邊形是鄰等對補四邊形，，是它的一條對角線．①寫出圖中相等的角，并說明理由；②若，，，求的長（用含m，n，的式子表示）．(3)拓展應用如圖3，在中，，，，分別在邊，上取點M，N，使四邊形是鄰等對補四邊形．當該鄰等對補四邊形僅有一組鄰邊相等時，請直接寫出的長．?考向三正切10．（2024·云南·中考真題）在中，，，，則的值為（

）A． B． C． D．11．（2024·山東淄博·中考真題）如圖所示，在矩形中，，點，分別在邊，上．連接，將四邊形沿翻折，點，分別落在點，處．則的值是（

）A．2 B． C． D．12．（2024·四川內江·中考真題）如圖，在矩形中，，，點在上，將矩形沿折疊，點恰好落在邊上的點處，那么．

13．（2024·江西·中考真題）將圖所示的七巧板，拼成圖所示的四邊形，連接，則．?考向四特殊角的三角函數14．（2024·天津·中考真題）的值等于（

）A． B． C． D．15．（2024·山東青島·中考真題）計算：．16．（2024·安徽·中考真題）科技社團選擇學校游泳池進行一次光的折射實驗，如圖，光線自點處發出，經水面點折射到池底點處．已知與水平線的夾角，點到水面的距離m，點處水深為，到池壁的水平距離，點在同一條豎直線上，所有點都在同一豎直平面內．記入射角為，折射角為，求的值（精確到，參考數據：，，）．17．（2024·青海·中考真題）計算：．18．（2024·北京·中考真題）計算：?考向五三角函數的綜合19．（2024·江蘇宿遷·中考真題）如圖，在平面直角坐標系中，點A在直線上，且點A的橫坐標為4，直角三角板的直角頂點C落在x軸上，一條直角邊經過點A，另一條直角邊與直線交于點B，當點C在x軸上移動時，線段的最小值為．20．（2024·四川成都·中考真題）數學活動課上，同學們將兩個全等的三角形紙片完全重合放置，固定一個頂點，然后將其中一個紙片繞這個頂點旋轉，來探究圖形旋轉的性質．已知三角形紙片和中，，，．【初步感知】（1）如圖1，連接，，在紙片繞點旋轉過程中，試探究的值．【深入探究】（2）如圖2，在紙片繞點旋轉過程中，當點恰好落在的中線的延長線上時，延長交于點，求的長．【拓展延伸】（3）在紙片繞點旋轉過程中，試探究，，三點能否構成直角三角形．若能，直接寫出所有直角三角形的面積；若不能，請說明理由．考點二解直角三角形解題技巧/易錯易混1.分清直角三角形中的斜邊與直角邊.2.正確地表示出直角三角形的三邊長，常設某條直角邊長為k(有時也可設為1)，在求三角函數值的過程中約去k.3.正確應用勾股定理求第三邊長4.應用銳角三角函數定義，求出三角函數值.5.銳角三角函數值與三角形三邊的長短無關，只與銳角的大小有關.?考向一解直角三角形21．（2024·海南·中考真題）如圖，在中，，以點D為圓心作弧，交于點M、N，分別以點M、N為圓心，大于為半徑作弧，兩弧交于點F，作直線交于點E，若，則四邊形的周長是（

）

A．22 B．21 C．20 D．1822．（2024·重慶·中考真題）如圖，在正方形的邊上有一點，連接，把繞點逆時針旋轉，得到，連接并延長與的延長線交于點．則的值為（

）A． B． C． D．23．（2024·山東威海·中考真題）如圖，在扇形中，，點是的中點．過點作交于點，過點作，垂足為點．在扇形內隨機選取一點，則點落在陰影部分的概率是（

）A． B． C． D．24．（2024·廣西·中考真題）如圖，兩張寬度均為的紙條交叉疊放在一起，交叉形成的銳角為，則重合部分構成的四邊形的周長為．25．（2024·貴州·中考真題）如圖，在菱形中，點E，F分別是，的中點，連接，．若，，則AB的長為．26．（2024·北京·中考真題）如圖，在正方形中，點在上，于點，于點．若，，則的面積為．27．（2024·山西·中考真題）如圖，在矩形中，E、F分別是邊的中點，與相交于點O，過點O作交AD于點M，若，則的長為．?考向二解直角三角形的應用28．（2024·廣東深圳·中考真題）如圖，為了測量某電子廠的高度，小明用高的測量儀測得的仰角為，小軍在小明的前面處用高的測量儀測得的仰角為，則電子廠的高度為（

）（參考數據：，，）A． B． C． D．29．（2024·山東日照·中考真題）潮汐塔是萬平口區域內的標志性建筑，在其塔頂可俯視景區全貌．某數學興趣小組用無人機測量潮汐塔的高度，測量方案如圖所示：無人機在距水平地面的點M處測得潮汐塔頂端A的俯角為，再將無人機沿水平方向飛行到達點N，測得潮汐塔底端B的俯角為（點在同一平面內），則潮汐塔的高度為（

）（結果精確到．參考數據：）A． B． C． D．30．（2024·湖南·中考真題）如圖，左圖為《天工開物》記載的用于春（chōng）搗谷物的工具——“碓（duì）”的結構簡圖，右圖為其平面示意圖，已知于點B，AB與水平線l相交于點O，．若分米，分米．，則點C到水平線l的距離CF為分米（結果用含根號的式子表示）．31．（2024·福建·中考真題）無動力帆船是借助風力前行的．下圖是帆船借助風力航行的平面示意圖，已知帆船航行方向與風向所在直線的夾角為，帆與航行方向的夾角為，風對帆的作用力為．根據物理知識，可以分解為兩個力與，其中與帆平行的力不起作用，與帆垂直的力儀可以分解為兩個力與與航行方向垂直，被舵的阻力抵消；與航行方向一致，是真正推動帆船前行的動力．在物理學上常用線段的長度表示力的大小，據此，建立數學模型：，則．（單位：）（參考數據：）32．（2024·內蒙古·中考真題）實驗是培養學生創新能力的重要途徑．如圖是小亮同學安裝的化學實驗裝置，安裝要求為試管口略向下傾斜，鐵夾應固定在距試管口的三分之一處．現將左側的實驗裝置圖抽象成右側示意圖，已知試管，試管傾斜角為．(1)求試管口B與鐵桿的水平距離的長度；（結果用含非特殊角的三角函數表示）(2)實驗時，導氣管緊靠水槽壁，延長交的延長線于點F，且于點N（點C，D，N，F在一條直線上），經測得：，求線段的長度．（結果用含非特殊角的三角函數表示）33．（2024·四川·中考真題）如圖，一艘海輪位于燈塔的北偏東方向，距離燈塔100海里的處，它沿正南方向航行一段時間后，到達位于燈塔的南偏東方向上的處．這時，處距離處有多遠？（參考數據：，，）34．（2024·青海·中考真題）如圖，某種攝像頭識別到最遠點的俯角是，識別到最近點的俯角是，該攝像頭安裝在距地面5m的點處，求最遠點與最近點之間的距離（結果取整數，參考數據：，，）．35．（2024·天津·中考真題）綜合與實踐活動中，要用測角儀測量天津海河上一座橋的橋塔的高度（如圖①）．某學習小組設計了一個方案：如圖②，點依次在同一條水平直線上，，垂足為．在處測得橋塔頂部的仰角（）為，測得橋塔底部的俯角（）為，又在處測得橋塔頂部的仰角（）為．(1)求線段的長（結果取整數）；(2)求橋塔的高度（結果取整數）．參考數據：．36．（2024·貴州·中考真題）綜合與實踐：小星學習解直角三角形知識后，結合光的折射規律進行了如下綜合性學習．【實驗操作】第一步：將長方體空水槽放置在水平桌面上，一束光線從水槽邊沿A處投射到底部B處，入射光線與水槽內壁的夾角為；第二步：向水槽注水，水面上升到的中點E處時，停止注水．（直線為法線，為入射光線，為折射光線．）【測量數據】如圖，點A，B，C，D，E，F，O，N，在同一平面內，測得，，折射角．【問題解決】根據以上實驗操作和測量的數據，解答下列問題：(1)求的長；(2)求B，D之間的距離（結果精確到0.1cm）．（參考數據：，，）一、單選題1．（2024·廣東·模擬預測）正方形網格中，如圖所示放置（點A，O，C均在網格的格點上，且點C在上），則的值為（

）A． B． C． D．12．（2024·湖北·模擬預測）如圖，已知點的坐標為，菱形的兩條對角線交于坐標原點，將菱形繞點順時針旋轉，每次旋轉30°，則第次旋轉結束時，點的坐標是（

）A．0,4 B． C． D．3．（2024·全國·模擬預測）福州白塔是福州的標志性建筑之一，也是中國現存最早的木塔之一（如圖．小明想測量白塔的高度（如圖，在離白塔底端正前方8米的處，用高為1.5米的測角儀測得白塔頂部A處的仰角為，則白塔的高度為（

）A．米 B．米C．米 D．米4．（2024·湖南·模擬預測）學校開放日即將來臨，負責布置的林老師打算從學校圖書館的頂樓拉出一條彩旗繩到地面，如圖所示．已知彩旗繩與地面形成角（即），彩旗繩固定在地面的位置與圖書館相距25米（即米），則彩旗繩的長度為（）A．米 B．米 C．米 D．米5．（2024·湖南·模擬預測）我國漢代數學家趙爽在注解《周髀算經》時給出“趙爽弦圖”，如圖所示，它是由四個全等的直角三角形與中間的一個小正方形拼成的一個大正方形．若大正方形面積為，小正方形面積為，則的值為（

）A． B．43 C． D．456．（2024·安徽·模擬預測）如圖所示，在矩形中，，平分，分別交、于點、，，則（

）A． B．4 C． D．7．（2024·湖南·模擬預測）爬坡時坡面與水平面夾角為α，則每爬耗能，若某人爬了，該坡角為30°，則他耗能（）（參考數據：，）A． B． C． D．8．（2024·上海·模擬預測）的值在（

）A． B． C． D．9．（2024·遼寧·模擬預測）如圖所示陰影部分為一條河流的部分俯視圖，從河邊上A點駛來一條船，B點在河對岸．在流速與船速的影響下，小船開始沿著方向勻速前進．在航線邊有一漩渦，抽象為．影響的最大范圍恰好與航線所在直線以及A點所在河岸相切．若，則的度數為（

）A． B． C． D．10．（2024·浙江·模擬預測）如圖，在直角梯形中，，，E為的中點，F為線段上的動點，連結，將沿折疊得到．在點F從點B運動到點C的過程中，若射線與上底相交于點P，則點P相應運動的路徑長為（

）A． B．5 C． D．11．（2024·湖南·模擬預測）在凡爾納的小說《神秘島》中，有一段工程師和赫伯特一起測量瞭望塔的高度的情節．工程師先做了一個懸垂，其實就是在繩子的一端栓了一塊石頭，工程師讓赫伯特拿著，然后拿起一根木桿，長度大概為英尺，兩個人一前一后向瞭望塔走去，兩個人來到距離瞭望塔英尺的一個地方，工程師把木桿的一頭插到土里，插下去的深度大概是英尺，接著，工程師從赫伯特手里結果懸垂，對木桿進行校正，知道木桿完全豎直，之后對木桿插到土里的部分進行固定，固定好木桿后，工程師朝著遠離木桿的方向走了英尺，仰面平躺在了地面上（眼睛離木桿英尺），并且讓自己的眼睛能夠正好通過木桿的尖端看到瞭望塔的最頂端，工程師在這個點上做了一個標記，如圖所示，請你求出此時瞭望塔的高度是（）A．英尺 B．英尺 C．英尺 D．英尺12．（2024·山西·模擬預測）如圖，在中，，以點A為圓心，以的長為半徑畫弧，交于點E，且E為的中點，若的長度為π，則圖中陰影部分的面積為（

）

A． B． C． D．二、填空題13．（2024·上海·模擬預測）（選填“”或“”或“”）．14．（2024·上海·模擬預測）的平方根為a，若，則°．15．（2024·湖北·模擬預測）如圖，在平面直角坐標系中，點、分別在x軸負半軸和y軸正半軸上，點C在線段上，，連接，過點作交的延長線于P．若，則的值是．

16．（2024·上海·模擬預測）如圖，由4個全等的直角三角形拼成一個大正方形，內部形成一個小正方形．如果正方形的面積是正方形面積的一半，那么的度數是．17．（2024·湖北·模擬預測）如圖，四邊形是矩形紙片，，對折矩形紙片，使與重合，折痕為．展平后再過點折疊矩形紙片，使點落在上的點，折痕與相交于點，再次展平，連接，延長交于點．有如下結論：①；②；③是等邊三角形；④為線段上一個動點，是線段的動點，則的最小值是．其中正確結論的序號是．18．（2024·廣東·模擬預測）長尾夾一般用來夾書或夾文件，因此也稱書夾．長尾夾的側面可近似的看作等腰三角形，如圖1是一個長尾夾的側平面示意圖，已知．按壓該長尾夾的手柄，撐開后可得如圖2所示的側平面示意圖．測量得．求這時這個長尾夾可夾紙厚度為（參考數據：）三、解答題19．（2024·北京·模擬預測）如圖，是等腰三角形，．已知，用兩種方法表示的面積______【探究】你能否從這里得出的計算公式呢？20．（2024·山東·模擬預測）（1）計算：；（參考公式：）（2）已知a、b是一元二次方程的兩個實根，求的S值．21．（2024·河北·模擬預測）如圖1，在中，，D，E分別是的中點，F為射線上一動點，在射線上取點M，使，連接，作交射線于點G．

【發現】（1）當點F在線段上時，求證：．【拓展】（2）如圖2，當點F在的延長線上時，以為一組鄰邊作，連接，若，的周長為m，四邊形的周長為n，求的值．【探索】（3）設，要使為等腰三角形，直接寫出x的值．22．（2024·貴州·模擬預測）如圖，這是一款升降電腦桌，它的升降范圍是，圖是