第8.10節培優提升機械能守恒定律的綜合應用學習目標1.能靈活應用機械能守恒定律的三種表達形式。2.會分析處理非質點類物體的機械能守恒問題。3.掌握系統機械能守恒定律的綜合應用，會正確應用機械能守恒定律和動能定理解題。提升1非質點類物體的機械能守恒問題1.在應用機械能守恒定律處理實際問題時，經常遇到像“鏈條”“液柱”類的物體，其在運動過程中將發生形變，其重心位置相對物體也發生變化，因此這類物體不能再看成質點來處理。2.物體雖然不能看成質點來處理，但因只有重力做功，物體整體機械能守恒。一般情況下，可將物體分段處理，確定質量分布均勻形狀規則的物體各部分的重心位置，根據初、末狀態物體重力勢能的變化列式求解。角度1“液柱”類物體機械能守恒例1如圖所示，粗細均勻，兩端開口的U形管內裝有同種液體，開始時兩邊液面高度差為h，液體靜止，管中液柱總長度為4h，后來讓液體自由流動(不計一切摩擦)，當U形管兩側液面高度相等時，右側液面下降的速度為(重力加速度大小為g)()A.eq\r(\f(1,8)gh) B.eq\r(\f(1,6)gh)C.eq\r(\f(1,4)gh) D.eq\r(\f(1,2)gh)答案A解析當U形管兩側液面高度相等時，液體減少的重力勢能轉化為全部液體的動能，根據機械能守恒定律得eq\f(1,8)mg·eq\f(1,2)h＝eq\f(1,2)mv2，解得v＝eq\r(\f(1,8)gh)，選項A正確。訓練1如圖是跳臺滑雪的示意圖，雪道由傾斜的助滑雪道AB、水平平臺BC、著陸雪道CD及減速區DE組成，各雪道間均平滑連接，A與水平平臺間的高度差，CD的傾角為。運動員自A處由靜止滑下，不計其在雪道ABC滑行和空中飛行時所受的阻力。運動員可視為質點。（g?。?1)求運動員滑離平臺BC時的速度大?。?2)為保證運動員落在著陸雪道CD上，雪道CD長度至少為多少?答案(1)30m/s(2)120m解析（1）從A到C過程中，由機械能守恒有得（2）設落點距拋出點C的距離為L，由平拋運動規律有得即雪道CD長度至少為。訓練2先后兩次從高為高處斜向上拋出質量為同一物體落于，測得，兩軌跡交于P點，兩條軌跡最高點等高且距水平地面高為，下列說法正確的是（）A．第一次拋出上升時間，下降時間比值為B．第一次過P點比第二次機械能少C．落地瞬間，第一次，第二次動能之比為D．第二次拋出時速度方向與落地瞬間速度方向夾角比第一次大答案B解析A．第一次拋出上升的高度為故上升時間為最高點距水平地面高為，故下降的時間為故一次拋出上升時間，下降時間比值為，故A錯誤；B．兩條軌跡最高點等高，故可知兩次從拋出到落地的時間相等為故可得第一次，第二次拋出時水平方向的分速度分別為，由于兩條軌跡最高點等高，故拋出時豎直方向的分速度相等為由于物體在空中機械能守恒，故第一次過P點比第二次機械能少故B正確；C．第一次從拋出到落地瞬間根據動能定理第二次從拋出到落地瞬間根據動能定理故落地瞬間，第一次，第二次動能之比為，故C錯誤；D．根據前面分析可知兩次拋出時豎直方向的分速度相同，兩次落地時物體在豎直方向的分速度也相同，由于第一次的水平分速度較小，物體在水平方向速度不變，故可知第一次拋出時速度與水平方向的夾角較大，第一次落地時速度與水平方向的夾角也較大，故可知第一次拋出時速度方向與落地瞬間速度方向夾角比第二次大，故D錯誤。故選B。角度2“鏈條”類物體機械能守恒例2如圖甲所示，長為L的勻質鏈條靜置于光滑水平桌面上，現使鏈條右端從靜止開始豎直向下運動，剛運動到豎直長度為eq\f(L,2)時，鏈條速度大小為v，如圖乙所示，重力加速度為g，則()A.v＝eq\f(\r(gL),2) B.v＝eq\r(\f(gL,2))C.v＝eq\r(gL) D.v＝eq\r(2gL)答案A解析鏈條釋放之后，到離開桌面的過程，整個鏈條的機械能守恒。取桌面為零勢能面，設整個鏈條的質量為m。根據機械能守恒定律得－eq\f(1,2)mg·eq\f(1,4)L＋eq\f(1,2)mv2＝0，解得v＝eq\f(\r(gL),2)，故A正確，B、C、D錯誤。訓練1（多選）如圖所示，質量分布均勻的鐵鏈，靜止放在半徑的光滑半球體上方。給鐵鏈一個微小的擾動使之向右沿球面下滑，當鐵鏈的端點B滑至C處時其速度大小為。已知，以OC所在平面為參考平面，取。則下列說法中正確的是（

）A．鐵鏈下滑過程中任意一小段鐵鏈的機械能均守恒B．鐵鏈在初始位置時其重心高度C．鐵鏈的端點A滑至C點時其重心下降2.8mD．鐵鏈的端點A滑至C處時速度大小為答案CD解析A．鐵鏈下滑過程中整體的機械能守恒，但任意一小段鐵鏈運動過程中機械能不守恒，故A錯誤；B．設鐵鏈在初始位置時其重心到O點的距離為h，如圖中的E點：鐵鏈的端點B滑至C處過程中，鏈條重心的位置到O點距離不變，在此過程中，根據機械能守恒定律可得：其中，解得h=1.8m故B錯誤；C．設鏈條長度為L，根據幾何關系可得鐵鏈的端點A滑至C點時其重心下降的高度為故C正確；D．設鐵鏈的端點A滑至C處時速度大小為v′，根據機械能守恒定律可得解得故D正確。故選CD。訓練2有一條均勻金屬鏈條，一半長度在光滑的足夠高斜面上，斜面頂端是一個很小的圓弧，斜面傾角為30°，另一半長度豎直下垂，由靜止釋放后鏈條滑動，鏈條剛好全部滑出斜面時的速度大小為1.25m/s。已知重力加速度，則金屬鏈條的長度為（）A．0.25m B．0.50m C．1.00m D．1.50m答案A解析令金屬鏈條的長度為L，質量為m，根據機械能守恒定律有解得故選A。提升2動能定理和機械能守恒定律的綜合應用1.動能定理和機械能守恒定律的比較規律比較機械能守恒定律動能定理表達式E1＝E2ΔEk＝－ΔEpΔEA＝－ΔEBW＝ΔEk使用范圍只有重力或彈力做功無條件限制研究對象物體與地球組成的系統質點物理意義重力或彈力做功的過程是動能與勢能相互轉化的過程合外力對物體做的功是物體動能變化的量度應用角度守恒條件及初、末狀態機械能的形式和大小物體動能的變化及合外力做功情況選用原則(1)無論直線運動還是曲線運動，條件滿足時，兩規律都可以應用，都要考慮初、末狀態，都不需要考慮所經歷過程的細節(2)能用機械能守恒定律解決的問題，都能用動能定理解決；能用動能定理解決的問題，不一定能用機械能守恒定律解決(3)動能定理比機械能守恒定律應用更廣泛、更普遍2.動能定理和機械能守恒定律都可以用來求能量或速度，但側重不同，動能定理解決物體運動問題，尤其計算對該物體做的功時較簡單，機械能守恒定律解決系統問題往往較簡單，兩者的靈活選擇可以簡化運算過程。例3如圖所示，曲面AB與半徑為r、內壁光滑的四分之一細圓管BC平滑連接于B點，管口B端切線水平，管口C端正下方立一根輕彈簧，輕彈簧一端固定，另一端恰好與管口C端齊平。質量為m的小球(可視為質點)在曲面上某點由靜止釋放，進入管口B端時，上管壁對小球的作用力為mg(g為重力加速度)。(1)求小球到達B點時的速度大小vB；(2)若釋放點距B點的高度為2r，求小球在曲面AB上運動的過程中克服阻力所做的功W；(3)小球通過BC后壓縮彈簧，壓縮彈簧過程中彈簧彈性勢能的最大值為Ep，求彈簧被壓縮的最大形變量x。答案(1)eq\r(2gr)(2)mgr(3)eq\f(Ep,mg)－2r解析(1)小球在B點時，由牛頓第二定律可得mg＋mg＝meq\f(veq\o\al(2,B),r)解得vB＝eq\r(2gr)。(2)小球從被釋放至滑到B點的過程，由動能定理得mg·2r－W＝eq\f(1,2)mveq\o\al(2,B)－0解得W＝mgr。(3)當彈簧彈性勢能最大時，小球的速度為0，對小球從B點到彈簧被壓縮的形變量最大的過程中，由小球與彈簧組成的系統機械能守恒可得mg(r＋x)＋eq\f(1,2)mveq\o\al(2,B)＝Ep解得x＝eq\f(Ep,mg)－2r。訓練1（多選）如圖所示，勁度系數為k、原長為l的輕質彈簧豎直固定在水平地面上。質量為m的小球由彈簧正上方h處自由下落，到最低點時彈簧的壓縮量為x。不計空氣阻力，重力加速度為g。則（

）A．小球下落的高度為h時速度最大B．彈簧的最大彈性勢能為C．小球速度最大時距地面的高度為D．小球速度最大時彈簧的彈性勢能為答案BC解析ABD．當小球合力為0時，小球速度最大解得，彈簧形變量所以當鐵球下落高度為時速度最大，此時距地面的高度為小球從接觸彈簧到速度最大過程中，克服彈力做功故彈性勢能故AD錯誤，C正確；B．彈簧壓縮到最短時彈簧彈性勢能最大，小球速度為零，小球重力勢能完全轉化為彈性勢能，彈性勢能為。故B正確。故選BC。訓練2如圖所示，一自然長度小于R的輕彈簧左端固定，在水平面的右側，有一底端開口的光滑圓環，圓環半徑為R，圓環的最低點與水平軌道相切，用一質量為m的小物塊（可看作質點）壓縮彈簧右端至P點，P點到圓環最低點距離為2R，小物塊釋放后，剛好過圓環的最高點，已知重力加速度為g，小物塊與水平面間的動摩擦因數為μ。(1)小物塊剛好過圓環的最高點時的速度的大??；(2)彈簧的彈性勢能為多大？答案(1)(2)解析（1）小物塊恰好運動到軌道最高點時，由牛頓第二定律可得所以（2）從小物塊釋放至運動到最高點的過程，由能量守恒定律可得聯立解得例4如圖所示，足夠長的光滑斜面傾角為30°，質量相等的甲、乙兩物塊通過輕繩連接放置在光滑輕質定滑輪兩側，并用手托住甲物塊，使兩物塊都靜止，移開手后，甲物塊豎直下落，當甲物塊下降0.8m時，求乙物塊的速度大小(此時甲未落地，g＝10m/s2)。請用機械能守恒定律和動能定理分別求解，并比較解題的簡易程度。答案見解析解析方法一利用機械能守恒定律設甲、乙兩物塊質量均為m，物塊甲下降h＝0.8m由于甲、乙兩物塊組成的系統機械能守恒，則mgh－mghsin30°＝eq\f(1,2)×2mv2解得v＝2m/s故此時乙物塊的速度大小為2m/s。方法二利用動能定理設甲、乙兩物塊的質量都為m，甲下落0.8m時兩物塊速度大小都為v，對甲，由動能定理有mgh－FTh＝eq\f(1,2)mv2①對乙，由動能定理有FTh－mghsin30°＝eq\f(1,2)mv2②由①②式聯立解得v＝2m/s故此時乙物塊的速度大小為2m/s。可見用機械能守恒定律解題更簡單一些。訓練1（多選）如圖所示，質量分別為和m的物體P、Q用跨過定滑輪O的輕繩連接，P穿在固定的豎直光滑桿上，Q置于傾角的光滑固定斜面上。一勁度系數的輕質彈簧的一端固定在斜面底端的擋板上，另一端連接Q。初始時，施加外力將P靜置于N點，輕繩恰好伸直但無拉力，ON段水平，ON=3l，OQ段與斜面平行，現將P由靜止釋放，運動過程中經過M點，MN=4l。P、Q均可視為質點，運動過程中Q不會與滑輪相碰，彈簧始終在彈性限度內，重力加速度為g，不計一切阻力。則P從N點下滑到M點的過程中（）A．P、Q組成的系統機械能守恒B．經過M點時P與Q的速度大小關系C．P的機械能一直減小D．輕繩對P做的功為答案BCD解析A．由于彈簧對Q做功，所以P、Q組成的系統機械能不守恒，故A錯誤；C．繩子拉力一直對P做負功，P的機械能一直減少，故C正確；BD．開始運動時，對Q根據平衡條件，有彈簧的壓縮量為則P經過M點時，彈簧的伸長量為可知P從N點下滑到M點的過程，彈簧的彈性勢能變化量為0，根據能量守恒可得根據速度關聯關系可得其中解得聯立以上解得經過M點時P的速度大小為對P根據動能定理可得解得輕繩對P做的功為故BD正確。故選BCD。訓練2（多選）如圖所示，不懸掛重物B，給物塊A一個沿斜面向下的初速度，A恰好能做勻速直線運動，懸掛重物后，牽引物塊A的細線與斜面平行，輕質定滑輪光滑，由靜止釋放A，在A下滑過程中（B始終未著地），下列說法正確的是（）A．A、B組成的系統機械能守恒B．重物B重力做功大于B的動能增量C．B的重力勢能減少量等于A、B動能的增量D．細線對A做的功等于A的機械能增量答案BC解析A．由于系統要克服摩擦力做功，因此A、B組成的系統機械能不守恒，故A錯誤；B．對重物B由動能定理可得重物B重力做功大于B的動能增量，故B正確；C．根據能量守恒，由于A的重力勢能減少量等于摩擦產生的熱量，因此B的重力勢能減少量等于A、B動能的增量，故C正確；D．根據能量守恒定律，細線對A做的功和摩擦力做功的和等于A的機械能增量，故D錯誤。故選BC。隨堂對點自測1.(非質點類物體的機械能守恒問題)如圖所示，有一條長為1m的均勻金屬鏈條，有一半長度在光滑的足夠高的斜面上，斜面頂端是一個很小的圓弧，斜面傾角為30°，另一半長度豎直下垂在空中。當鏈條從靜止開始釋放后鏈條滑動，則鏈條剛好全部滑出斜面時的速度為(g取10m/s2)()A.2.5m/s B.eq\f(5\r(2),2)m/sC.eq\r(5)m/s D.eq\f(\r(35),2)m/s答案A解析設鏈條的質量為2m，長度為L，以開始時鏈條的最高點所在的水平面為參考平面，鏈條的機械能為E＝Ep＋Ek＝－mg·eq\f(L,4)sin30°－mg·eq\f(L,4)＋0＝－eq\f(3,8)mgL，鏈條全部滑出斜面后，動能為Ek′＝eq\f(1,2)×2mv2，重力勢能為Ep′＝－2mg·eq\f(L,2)，由機械能守恒定律可得E＝Ek′＋Ep′，即－eq\f(3,8)mgL＝mv2－mgL，解得v＝eq\r(\f(5,8)gL)＝2.5m/s，故A正確，B、C、D錯誤。2.(動能定理和機械能守恒定律的綜合應用)如圖所示，質量不計的硬直桿的兩端分別固定質量均為m的小球A和B，它們可以繞光滑軸O在豎直面內自由轉動。已知OA＝2OB＝2l，將桿從水平位置由靜止釋放(重力加速度為g)。(1)在桿轉動到豎直位置時，小球A、B的速度大小分別為多少？(2)在桿轉動到豎直位置的過程中，桿對A球做了多少功？答案(1)eq\f(2\r(10gl),5)eq\f(\r(10gl),5)(2)－eq\f(6,5)mgl解析(1)小球A和B及桿組成的系統機械能守恒。設轉到豎直位置的瞬間，A、B的速率分別為vA、vB，桿旋轉的角速度為ω，由機械能守恒定律有mg·2l－mgl＝eq\f(1,2)mveq\o\al(2,A)＋eq\f(1,2)mveq\o\al(2,B)又vA＝2lω，vB＝lω，則vA＝2vB聯立解得vB＝eq\f(\r(10gl),5)，vA＝eq\f(2\r(10gl),5)。(2)對A球，由動能定理得mg·2l＋W＝eq\f(1,2)mveq\o\al(2,A)解得W＝－eq\f(6,5)mgl。3.如圖所示，長度相同的三根輕桿構成一個正三角形支架，在A處固定質量為2m的小球，B處固定質量為m的小球。支架懸掛在O點，可繞過O點并與支架所在平面相垂直的固定軸轉動。開始時OB與地面相垂直。放手后開始運動，在不計任何阻力的情況下，下列說法不正確的是（）A．A球到達最低點時速度為零B．A球機械能減少量等于B球機械能增加量C．B球向左擺動所能達到的最高位置應高于A球開始運動時的高度D．當支架從左向右回擺時，A球一定能回到起始高度答案A解析A．若當A到達最低點時速度為0，則A減少的重力勢能等于B增加的重力勢能，只有A與B的質量相等時才會這樣，又因A、B質量不等，所以A球到達最低點時速度不為零，故A錯誤；B．因為系統機械能守恒，即A、B兩球的機械能總量保持不變，故A球機械能的減少量等于B球機械能的增加量，故B正確；C．因為B球質量小于A球，故B上升高度h時增加的勢能小于A球減少的勢能，故當A球到達最低點時，仍具有一定的速度，即B球繼續升高，故C正確；D．因為不計一切阻力，系統機械能守恒，故當支架從左到右回擺時，A球一定能回到起始高度，故D正確。本題選不正確的，故選A。4．（多選）如圖，在豎直平面內，一長度為L的不可伸長輕質細繩一端系于O點，另一端拴一質量為m的小球，OP水平。對小球施加一個與細繩夾角保持不變的外力F，使小球繞O由P點緩慢運動至Q點，此過程細繩始終繃直，OP與OQ夾角為。將小球由靜止釋放，一段時間后，細繩再次繃直，繃直瞬間，小球沿繩方向的速度減為0，空氣阻力忽略不計，重力加速度大小為g，下列說法正確的是（）A．小球從P點運動到Q點的過程中，外力F逐漸變小B．小球從Q點運動到最低點過程中，小球的機械能守恒C．小球運動到最低點時，速度大小為D．小球從Q點運動到最低點過程中，小球損耗的機械能為答案AD解析A．如圖所示，的三條邊分別對應小球所受的3個力，隨著小球位置的緩慢上升，逐漸變短，即對應的外力逐漸變小，故A正確；B．由靜止釋放后，小球做自由落體運動，當小球運動至下方且和點的連線與的夾角為時，細繩突然繃直，細繩對小球做負功，小球的機械能出現損耗，故B錯誤；D．小球運動至點的過程中，由機械能守恒得在點，小球沿徑向的分速度突變為零，此時小球損耗的機械能為故D正確；C．小球沿切線方向的分速度小球由運動至最低點的過程中，由機械能守恒得解得小球運動到最低點時，速度大小為故C錯誤。故選AD對點題組練題組一非質點類物體的機械能守恒問題1.一根質量為m、長為L的均勻鏈條一半放在光滑的水平桌面上，另一半懸在桌邊，桌面足夠高，如圖甲所示。若將一個質量為m的小球分別拴在鏈條右端和左端，如圖乙、圖丙所示。約束鏈條的擋板光滑，三種情況均由靜止釋放，當整根鏈條剛離開桌面時，關于它們的速度關系，下列判斷正確的是()A.v甲＝v乙＝v丙 B.v甲<v乙<v丙C.v丙>v甲>v乙 D.v乙>v甲>v丙答案D解析三種情況下所研究的系統機械能均守恒，根據－ΔEp＝ΔEk，對甲有eq\f(1,2)mg×eq\f(L,4)＋eq\f(1,2)mg×eq\f(L,2)＝eq\f(1,2)mveq\o\al(2,甲)，解得v甲＝eq\f(\r(3gL),2)，對乙有eq\f(1,2)mg×eq\f(L,4)＋eq\f(1,2)mg×eq\f(L,2)＋mg×eq\f(L,2)＝eq\f(1,2)×2mveq\o\al(2,乙)，解得v乙＝eq\r(\f(7gL,8))，對丙有eq\f(1,2)mg×eq\f(L,4)＋eq\f(1,2)mg×eq\f(L,2)＝eq\f(1,2)×2mveq\o\al(2,丙)，解得v丙＝eq\r(\f(3gL,8))，則v乙>v甲>v丙，故D正確。題組二動能定理和機械能守恒定律的綜合應用2.(多選)如圖，長度為L的三根輕桿構成一個正三角形支架，在A處固定質量為2m的小球；B處固定質量為m的小球，支架懸掛在O點，可繞過O點與支架所在平面相垂直的固定軸轉動。開始時OB與地面相垂直，放手后開始運動。在無任何阻力的情況下，下列說法中正確的是()A.A處小球到達最低點時速度為eq\r(\f(gL,5))B.A處小球到達最低點時，B處小球速度為eq\r(\f(gL,3))C.A處小球到達最低點時，桿對A做的功為－eq\f(2mgL,3)D.擺動過程中A處小球機械能守恒答案BC解析當A處小球到達最低點時，對A、B兩處小球組成的系統由機械能守恒定律有(2mg－mg)·eq\f(L,2)＝eq\f(1,2)(2m＋m)v2，解得v＝eq\r(\f(gL,3))，即此時兩球的速度均為eq\r(\f(gL,3))，故A錯誤，B正確；對A處小球，由動能定理得2mg·eq\f(L,2)＋W＝eq\f(1,2)×2mv2，解得W＝－eq\f(2mgL,3)，故C正確；擺動過程中，兩球組成的系統的機械能守恒，但A處小球機械能不守恒，故D錯誤。3.如圖所示，有一光滑軌道PABC，PA部分豎直，AB部分為軌道半徑為R的eq\f(1,4)圓弧，BC部分水平。質量均為m的小球a、b固定在豎直輕桿的兩端，輕桿長為R，不計小球大小。開始時a球處于圓弧上端A點，由靜止釋放小球和輕桿，使其沿光滑軌道下滑。重力加速度為g，求：(1)小球a、b滑到水平軌道上的速度大??；(2)從釋放小球a、b到滑到水平軌道上，整個過程中輕桿對小球a做的功。答案(1)eq\r(3gR)(2)eq\f(mgR,2)解析a、b球和輕桿組成的系統機械能守恒。a、b球均到達水平軌道上時，a、b球的速度關系為va＝vb，由系統機械能守恒定律得mgR＋mg·2R＝eq\f(1,2)mveq\o\al(2,a)＋eq\f(1,2)mveq\o\al(2,b)聯立解得va＝vb＝eq\r(3gR)。(2)設桿對小球a做的功為W對小球a由動能定理得W＋mgR＝eq\f(1,2)mveq\o\al(2,a)，解得W＝eq\f(mgR,2)。綜合提升練4.(2024·福建師范大學附屬中學期中)如圖甲，轆轤是古代民間提水設施，由卷筒、支架、井繩、水斗等部分構成。圖乙為提水設施工作原理簡化圖。某次需從井中汲取m＝2kg的水(恰好裝滿水斗)，高度為d＝0.5m的薄壁水斗的質量為m0＝0.5kg，井中水面與井口的高度差為H＝10.5m。t＝0時刻，厚度不計，質量為M＝0.5kg卷筒由靜止開始繞中心軸轉動，裝滿水的水斗到達井口前已做勻速運動，繩子拉裝滿水的水斗的最大功率P＝90W。不計輻條、井繩的質量和轉動軸處的摩擦，重力加速度g＝10m/s2。(1)若裝滿水的水斗先以加速度a＝2m/s2勻加速上升，求勻加速運動過程的最大速度v1的大?。?2)空水斗從水斗口位于井口處由靜止釋放并帶動卷筒自由轉動，求水斗落到水面時的速度v的大??；(3)水斗從圖示位置緩慢上升高度H＝10.5m，忽略提水過程中水面高度的變化，考慮水斗在水中所受浮力，求此過程中人做的功W。答案(1)3m/s(2)10m/s(3)257.5J解析(1)對裝滿水的水斗，由牛頓第二定律得FT－(m＋m0)g＝(m＋m0)a又P＝FTv1解得v1＝eq\f(P,（m＋m0）（a＋g）)＝3m/s。(2)空水斗由靜止下落的過程中，空水斗和卷筒組成的系統機械能守恒，則有m0g(H－d)＝eq\f(1,2)(m0＋M)v2解得v＝eq\r(\f(2m0g（H－d）,m0＋M))＝10m/s。(3)設水桶在水中受到的浮力為F浮，水斗口運動到井口的過程中，由動能定理得W－(m＋m0)gH＋eq\f(F浮,2)d＝0又F?。絤g解得W＝(m＋m0)gH－eq\f(mg,2)d＝257.5J。5.如圖所示，光滑水平面AB與豎直面內的半圓形軌道在B點平滑連接，軌道半徑為R，一個質量為m的小球將彈簧壓縮至A處。小球從A處由靜止釋放被彈開后，經過B點進入軌道的瞬間對軌道的壓力為其重力的8倍，之后向上運動恰能沿軌道運動到C點，重力加速度為g，求：(1)小球在最高點C的速度大小vC；(2)小球在最低點B的速度大小vB；(3)釋放小球前彈簧的彈性勢能；(4)小球由B到C克服阻力做的功。答案(1)eq\r(gR)(2)eq\r(7gR)(3)eq\f(7,2)mgR(4)mgR解析(1)在最高點C時，根據牛頓第二定律有meq\f(veq\o\al(2,C),R)＝mg，解得vC＝eq\r(gR)。(2)根據牛頓第三定律可知，小球在最低點B時所受支持力大小為FN＝8mg根據牛頓第二定律有FN－mg＝meq\f(veq\o\al(2,B),R)解得vB＝eq\r(7gR)。(3)根據機械能守恒定律可得釋放小球前彈簧的彈性勢能為Ep＝eq\f(1,2)mveq\o\al(2,B)＝eq\f(7,2)mgR。(4)設小球由B到C克服阻力做的功為W，根據動能定理有－2mgR－W＝eq\f(1,2)mveq\o\al(2,C)－eq\f(1,2)mveq\o\al(2,B)解得W＝mgR。6.（多選）如圖甲所示，傾角為30°足夠長的斜面固定在水平地面上，時刻質量為m的光滑物塊由斜面底端以一定的初速度v沖上斜面。以水平地面為零勢能面，物塊的重力勢能隨位移x變化的關系如圖乙所示。已知物塊位移為2.5m時速度為0，取m/s2，則（）A．物塊的質量為0.6kgB．當位移為1.5m時，物塊的速度大小為m/sC．物塊的重力勢能與動能相等時，物塊的位移大小為0.75mD．當m時，物塊的動能為3J答案AB解析A．根據可知圖像的斜率為解得物塊的質量為A正確；B．對物體從x=1.5m到x=2.5m，由動能定理可得解得B正確；C．設位移x處物塊的重力勢能與動能相等，有機械能守恒有求得C錯誤；D．當時，有解得D錯誤。故選AB。7．如圖所示，總長為L，質量分布均勻的鐵鏈放在高度為H的光滑桌面上，有長度為a的一段下垂，，重力加速度為g，則鐵鏈剛接觸地面時速度為（）A． B． C． D．答案D解析設鐵鏈單位長度的質量為m，設地面為零勢能面，由機械能守恒定律可得解得故ABC錯誤，D正確。故選D。培優加強練8.如圖所示，是檢驗某種防護罩承受沖擊能力的裝置，M為半徑R＝1.6m、固定于豎直平面內的光滑半圓弧軌道，A、B分別是軌道的最低點和最高點；N為防護罩，它是一個豎直固定的eq\f(1,4)圓弧，其半徑r＝eq\f(4,5)eq\r(5)m，圓心位于B點。在A點放置水平向左的彈簧槍，可向M軌道發射速度不同的質量均為m＝0.01kg的小鋼珠，彈簧槍可將彈性勢能完全轉化為小鋼珠的動能。假設某次發射的小鋼珠沿軌道恰好能經過B點，水平飛出后落到圓弧N的某一點上，g＝10m/s2。求：(1)小鋼珠在B點的速度大?。?2)發射該小鋼珠前，彈簧的彈性勢能Ep；(3)小鋼珠從M圓弧軌道B點飛出至落到圓弧N上所用的時間。答案(1)4m/s(2)0.4J(3)0.4s解析(1)小鋼珠恰