第5.6節培優提升二平拋運動與斜面和曲面相結合的問題及臨界極值問題學習目標1.掌握平拋運動與斜面和曲面結合問題的解題方法。2.會分析有關平拋運動的臨界和極值問題。3.會用平拋運動的分析方法分析類平拋運動。提升1與斜面和曲面關聯的平拋運動幾種常見的運動情形和分析方法運動情形分析方法從空中水平拋出垂直落到斜面上，速度偏轉角與斜面傾角互余，即α＋θ＝eq\f(π,2)分解速度，構建速度三角形vx＝v0，vy＝gttanα＝eq\f(vy,vx)＝eq\f(gt,v0)tanθ＝eq\f(vx,vy)＝eq\f(v0,gt)從斜面某點水平拋出又落到斜面上，斜面的傾角等于位移與水平方向的夾角分解位移，構建位移三角形x＝v0ty＝eq\f(1,2)gt2tanθ＝eq\f(y,x)＝eq\f(gt,2v0)從斜面外水平拋出，要求以最短位移打到斜面，位移的方向與斜面垂直，即α＋θ＝eq\f(π,2)分解位移x＝v0t，y＝eq\f(1,2)gt2tanθ＝eq\f(y,x)＝eq\f(gt,2v0)tanα＝eq\f(x,y)＝eq\f(2v0,gt)從斜面外水平拋出，沿斜面方向落入斜面，其合速度方向沿斜面方向分解速度vx＝v0，vy＝gttanα＝eq\f(vy,vx)＝eq\f(gt,v0)角度1從斜面上水平拋出例1如圖所示，女子跳臺滑雪運動員踏著專用滑雪板，不帶雪杖在助滑道上(未畫出)獲得一速度后水平飛出，在空中飛行一段距離后著陸。設某運動員由斜坡頂的A點沿水平方向飛出的速度v0＝20m/s，落點在斜坡上的B點，斜坡傾角θ＝37°，斜坡可以看成一斜面，不考慮空氣阻力(取g＝10m/s2，sin37°＝0.6，cos37°＝0.8)。求：(1)運動員在空中飛行的時間t；(2)A、B間的距離s；(3)運動員落到斜面上時的速度大小；(4)運動員何時離斜面最遠。答案(1)3s(2)75m(3)10eq\r(13)m/s(4)1.5s解析(1)運動員由A點到B點做平拋運動，水平方向的位移x＝v0t，豎直方向的位移y＝eq\f(1,2)gt2又eq\f(y,x)＝tan37°聯立解得t＝eq\f(2v0tan37°,g)＝3s。(2)由題意知sin37°＝eq\f(y,s)＝eq\f(\f(1,2)gt2,s)，得A、B間的距離s＝eq\f(gt2,2sin37°)＝75m。(3)運動員落在斜面上時速度的豎直分量vy＝gt＝10×3m/s＝30m/s運動員落到斜面上時的速度大小v＝eq\r(veq\o\al(2,0)＋veq\o\al(2,y))＝10eq\r(13)m/s。(4)如圖，運動員距離斜面最遠時，合速度方向與斜面平行，有tan37°＝eq\f(vy′,vx)即tan37°＝eq\f(gt′,v0)解得t′＝eq\f(v0tan37°,g)＝1.5s。(1)平拋運動求時間利用各個分運動的等時性和獨立性進行求解。(2)計算分速度、合速度可分別求分速度，然后合成，也可以利用三角函數的關系進行聯系。(3)計算分位移、合位移可以分別求分位移，然后合成，也可以利用三角函數的關系進行聯系。(4)解決斜面上的平拋運動也可以沿斜面和垂直斜面建坐標系，恰當的選取坐標系，可以使運算簡化。訓練1如圖，斜面上有a、b、c、d四個點，ab＝bc＝cd。從a點正上方的O點以速度v0水平拋出一個小球，它落到斜面上b點。若小球從O點以速度2v0水平拋出，則它落在斜面上的(不計空氣阻力)()A．b與c之間某一點B．c點C．c與d之間某一點D．d點答案A解析過b做一條與水平面平行的一條直線，若沒有斜面，當小球從O點以速度2v0水平拋出時，小球落在水直線上時水平位移變為原來的2倍，則小球將落在我們所畫水平線上c點的正下方，但是現在有斜面的限制，小球將落在斜面上的b、c之間。故選A。訓練2如圖所示，水平地面上固定一足夠大斜面，斜面傾角為37°，從斜面上一點P正上方沿與水平方向成45°角斜向上拋出一小球，小球拋出速度最大為10m/s，已知重力加速度g=10m/s2，拋出點與P點間的距離為3m，則斜面上與拋出點等高的可能落點構成線段的長度為（）A． B． C． D．答案D解析小球初速度方向與水平方向夾角為45°，當小球初速度大小為10m/s時，小球落到與拋出點等高的落點時水平位移最大，此時小球的水平位移為且解得當小球面對斜面拋出且初速度方向與AA′垂直時，小球落到與拋出點等高的落點時水平位移最小，此時小球的水平位移為則斜面上與拋出點等高的落點構成線段的長度為故選D。角度2對著斜面水平拋出例2如圖所示，一個小球從高h＝10m處以水平速度v0＝10m/s拋出，撞在傾角θ＝45°的斜面上的P點，已知AC＝5m，g取10m/s2。求：(1)P、C之間的距離；(2)小球撞擊P點時速度的大小和方向。答案(1)5eq\r(2)m(2)10eq\r(2)m/s方向垂直于斜面向下解析(1)A、C之間的距離s＝5m，設P、C之間的距離為L，根據平拋運動規律有s＋Lcos45°＝v0th－Lsin45°＝eq\f(1,2)gt2聯立解得L＝5eq\r(2)m，t＝1s。(2)小球撞擊P點時的水平速度v0＝10m/s豎直速度vy＝gt＝10m/s所以小球撞擊P點時速度的大小為v＝10eq\r(2)m/s設小球的速度方向與水平方向的夾角為α則tanα＝eq\f(vy,v0)＝1，α＝45°，即方向垂直于斜面向下。訓練1一帶有乒乓球發射機的乒乓球臺如圖所示。水平臺面的長和寬分別為L1和L2，中間球網高度為h。發射機安裝于臺面左側邊緣的中點，能以不同速率向右側不同方向水平發射乒乓球，發射點距臺面高度為3h。不計空氣的作用，重力加速度大小為g。若乒乓球的發射速率v在某范圍內，通過選擇合適的方向，就能使乒乓球落到球網右側臺面上，則v的取值范圍是（）A．＜v＜B．＜v＜C．＜v＜D．＜v＜答案D解析若球與網恰好不相碰，根據得水平位移的最小值則最小速度若球與球臺邊緣相碰，根據得水平位移的最大值為則最大速度故選D。訓練22024年10月27日，中國網球名將鄭欽文在WTA500東京站女單決賽中以2比0戰勝對手肯寧，為自己的職業生涯再添一座冠軍獎杯。某次鄭欽文將網球沿水平方向擊出，若擊出時網球的速度越大（不計空氣阻力），則（）A．網球在空中運動的時間越長B．網球落地瞬間豎直方向的速度越大C．網球的位移越大D．網球落地瞬間速度與水平方向的夾角越大答案C解析A．由平拋運動的規律可知，網球在空中運動的時間取決于下落的高度，與網球的初速度大小無關，故A錯誤；B．又網球落地瞬間的豎直速度為顯然該速度與網球初速度的大小無關，故B錯誤；C．網球的初速度越大，網球的水平位移越大，則網球的位移越大，故C正確；D．網球落地瞬間，由可知，網球的初速度越大，網球落地瞬間速度與水平方向的夾角越小，故D錯誤。故選C。角度3對著曲面水平拋出例3(2024·云南省玉溪三中高一期末)如圖所示，AB為一半徑為R的eq\f(1,4)圓弧，圓心位置O，一小球從與圓心等高的某點沿半徑方向水平拋出，恰好垂直落在AB面上的Q點，且速度與水平方向夾角為53°，則小球從拋出點到Q點的水平距離為()A.0.6R B.0.8RC.R D.1.2R答案D解析如圖所示，小球恰好垂直落在AB面上的Q點，作速度的反向延長線，交于O點，由平拋運動的推論可知，速度反向延長線通過水平位移的中點，故tan53°＝eq\f(y,\f(1,2)x)，結合圓的幾何關系可得eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x,2)))eq\s\up12(2)＋y2＝R2，聯立可解得x＝1.2R，D正確。(1)能夠理解小球垂直打在圓面上，速度反向延長一定過圓心。(2)解決平拋運動和圓弧相結合的問題，會應用到圓的切線、垂線及圓的軌跡方程，利用數形結合建立聯系。訓練1如圖所示為豎直截面為半圓形的容器，O為圓心，且AB為沿水平方向的直徑。一物體在A點以水平向右的初速度vA拋出，與此同時另一物體在B點以向左的水平初速度vB拋出，不計空氣阻力，兩物體都落到容器的同一點P。已知∠BAP=37°，sin37°=0.6，cos37°=0.8。下列說法正確的是（）A．物體B比A先到達P點B．A、B物體一定同時到達P點C．拋出時，兩物體的速度大小之比為vA:vB=16:9D．拋出時，兩物體的速度大小之比為vA:vB=4:3答案BC解析AB．根據題意兩物體豎直方向下落高度相等，則有可知，A、B物體一定同時到達P點，故A錯誤，B正確；CD．物體做平拋運動，水平方向有，結合上述解得vA:vB=16:9故C正確，D錯誤。故選BC。訓練2如圖所示，AB為半圓弧ACB的水平直徑，C為ACB弧的中點，AB＝1.5m，從A點水平拋出一小球，小球下落0.3s后落到半圓弧ACB上，不計空氣阻力，取g＝10m/s2，則小球拋出的初速度v0可能為()A．0.5m/s B．1.5m/sC．3m/s D．4.5m/s答案AD解析小球水平方向做平拋運動，根據可得下落0.3s的高度為半徑為0.75m，則水平距離可能為則平拋運動的初速度為

水平距離還可能為則平拋運動的初速度為故選AD。提升2平拋運動的臨界極值問題常見的“三種”臨界特征(1)有些題目中有“剛好”“恰好”“正好”等字眼，表明題述的過程中存在著臨界點。(2)若題目中有“取值范圍”“多長時間”“多大距離”等詞語，表明題述的過程中存在著“起、止”點，而這些起、止點往往就是臨界點。(3)若題目中有“最大”“最小”“至多”“至少”等字眼，表明題述的過程中存在著極值，這個極值點往往是臨界點。例4(2024·廣東茂名市高一期末)中國面食文化博大精深，“刀削面”的歷史最早可以追溯到元朝，其制作方式可用平拋運動的模型來進行分析。如圖所示，古人在制作刀削面時面團距離鍋的高度h＝0.45m，與鍋沿的水平距離L＝0.3m，鍋的半徑也為L＝0.3m，“刀削面”在空中的運動可看作平拋運動，重力加速度g＝10m/s2。求：(1)面片在空中運動的時間；(2)面片恰好落在鍋中心O點時的速度大小(結果可帶根號)；(3)為保證削出的面片都落在鍋內，削出的面片初速度v0大小的取值范圍。答案(1)0.3s(2)eq\r(13)m/s(3)1m/s<v0<3m/s解析(1)據平拋運動特點，豎直方向上h＝eq\f(1,2)gt2得t＝eq\r(\f(2h,g))＝0.3s。(2)落在鍋中心O點時的水平速度大小v01＝eq\f(2L,t)＝2m/s豎直方向速度大小vy＝gt＝3m/s恰好落在鍋中心O點時的速度大小v＝eq\r(veq\o\al(2,01)＋veq\o\al(2,y))＝eq\r(13)m/s。(3)面片水平位移的范圍為L<x<3L由平拋運動特點，有x＝v0t代入數據得1m/s<v0<3m/s。平拋運動臨界極值問題的分析方法(1)確定研究對象的運動性質。(2)根據題意確定臨界狀態。(3)確定臨界軌跡，畫出軌跡示意圖。(4)應用平拋運動的規律，結合臨界條件列方程求解。訓練1某同學借助安裝在高處的籃球發球機練習原地豎直起跳接球。該同學站在水平地面上，與出球口水平距離l=2.5m，舉手時手掌距地面最大高度h0=2.0m。發球機出球口以速度v0=5m/s沿水平方向發球。從籃球發出到該同學起跳離地，耗時t0=0.2s，該同學跳至最高點伸直手臂恰能在頭頂正上方接住籃球。重力加速度g大小取10m/s2。求：(1)t0時間內籃球的位移大小；(2)出球口距地面的高度。答案(1)(2)3.7m解析（1）在t0時間內，籃球水平方向做勻速直線運動，位移為豎直方向做自由落體運動，位移為所以籃球的位移為（2）從發出球到接住球經過的時間為所以該同學起跳離地到接住球經歷的時間為同學起跳后上升的高度為整個過程籃球下降的高度所以出球口距地面的高度為訓練2將、兩個小球從不同高度同時水平拋出，其運動軌跡在同一豎直平面內，如圖中虛線所示，兩軌跡的交點為，空氣阻力不計，則（）A．球比球先落地 B．球的水平位移一定大于球C．、兩球可能會在點相遇 D．、兩球落地時速度大小可能相同答案AD解析A．由于a、b兩個小球從不同高度同時水平拋出，球b下落高度小，由可知，球比球先落地，故A正確；B．小球落地時的速率大小由水平方向的速度大小和豎直方向的速度大小共同來決定，因兩球水平拋出時的初速度大小題中沒有給出，所以落地時a球速率不一定大于b球速率，故B錯誤；C．由于a、b兩個小球從不同高度同時水平拋出，下落到P點的時間不同，所以不能在P點相遇，故C錯誤；D．由于兩球的初速度大小未知，則兩球落地的速度大小可能相同，故D正確。故選AD。例5(2023·新課標卷)將扁平的石子向水面快速拋出，石子可能會在水面上一跳一跳地飛向遠方，俗稱“打水漂”。要使石子從水面跳起產生“水漂”效果，石子接觸水面時的速度方向與水面的夾角不能大于θ。為了觀察到“水漂”，一同學將一石子從距水面高度為h處水平拋出，拋出速度的最小值為多少(不計石子在空中飛行時的空氣阻力，重力加速度大小為g)?答案eq\f(\r(2gh),tanθ)解析設石子拋出時的水平速度為v0，接觸水面時豎直方向的速度為vy，不計空氣阻力，石子做平拋運動豎直方向有veq\o\al(2,y)＝2gh恰好可以觀察到“水漂”時，有tanθ≥eq\f(vy,v0)聯立解得v0≥eq\f(\r(2gh),tanθ)即拋出速度的最小值為vmin＝eq\f(\r(2gh),tanθ)。訓練1如圖1為一個網球場的示意圖，一個網球發球機固定在底角處，可以將網球沿平行于地面的各個方向發出，發球點距地面高為，球網高。圖2為對應的俯視圖，其中，。按照規則，網球發出后不觸網且落在對面陰影區域（包含虛線）內為有效發球。圖中虛線為球場的等分線。（忽略一切阻力重力加速度）(1)發球機有效發球時發出網球的最大速率？(2)發球機有效發球時發出網球的最小速率？答案(1)(2)解析（1）速度最大時，網球的水平位移飛行時間最大速度（2）當發球機有效發球且發出網球的速率最小時，球應擦網恰好到達有效區域的邊緣，如圖所示網球恰不觸網則有解得網球在水平方向上做勻速直線運動，即因與為相似三角形，則有因、，可得則方程聯立，發球機有效發球時發出網球的最小速率為訓練2如圖為跳臺滑雪的局部賽道的示意圖，A為起跳臺的邊緣，BC是傾角的雪坡，雪坡的頂端B位于A點的正下方。經過助滑的運動員（可視為質點），在時從A點沿水平方向飛出，時刻運動員的速度方向與雪坡平行，時刻落到雪坡上的P點。不考慮運動員受到的空氣阻力，取，，重力加速度為g，求：(1)運動員從A點飛出時速度的大小；(2)A、B兩點的高度差。答案(1)(2)解析（1）時刻運動員的速度方向與雪坡平行，則解得運動員從A點飛出時速度的大小（2）時刻落到雪坡上的P點，則，，解得A、B兩點的高度差提升3類平拋運動1.類平拋運動的概念凡是合外力恒定且垂直于初速度方向的運動都可以稱為類平拋運動。2.類平拋運動的特點(1)初速度的方向不一定是水平方向，合力的方向也不一定是豎直向下，但合力的方向應與初速度方向垂直。(2)加速度不一定等于重力加速度g，但應恒定不變。3.類平拋運動的分析方法(1)類平拋運動可看成是沿初速度方向的勻速直線運動和垂直初速度方向的由靜止開始的勻加速直線運動的合運動。(2)處理類平拋運動的方法和處理平拋運動的方法類似，但要分析清楚加速度的大小和方向。4.類平拋運動的規律初速度v0方向上：vx＝v0，x＝v0t。合外力方向上：a＝eq\f(F合,m)，vy＝at，y＝eq\f(1,2)at2。例6如圖所示，光滑斜面長L＝10m，傾角為30°，一小球從斜面的頂端以v0＝10m/s的初速度水平拋出，g＝10m/s2。求：(1)小球沿斜面運動到底端時的水平位移x；(2)小球到達斜面底端時的速度大小。答案(1)20m(2)10eq\r(2)m/s解析(1)小球在斜面上沿v0方向做勻速直線運動，沿垂直于v0方向做初速度為零、加速度為a的勻加速直線運動，根據牛頓第二定律有mgsin30°＝ma又L＝eq\f(1,2)at2解得t＝eq\r(\f(2L,gsin30°))＝2s所以x＝v0t＝10×2m＝20m。(2)設小球運動到斜面底端時的速度為v，則有vx＝v0＝10m/svy＝eq\r(2aL)＝eq\r(2gsin30°·L)＝eq\r(gL)＝10m/s故v＝eq\r(veq\o\al(2,x)＋veq\o\al(2,y))＝10eq\r(2)m/s。訓練1如圖所示，AB為固定斜面，傾角為，小球從A點以初速度水平拋出，恰好落到B點。求：（空氣阻力不計，重力加速度為）(1)小球在空中飛行的時間及A、B間的距離；(2)從拋出開始，經過多長時間小球與斜面間的距離最大？最大距離為多大？答案(1)，(2)，解析（1）位移與水平方向的夾角為，則有解得運動的時間AB間的距離解得（2）當小球的速度方向與斜面平行，距離斜面最遠，根據則經歷的時間將小球的速度和加速度分解為沿斜面方向和垂直斜面方向，則有，則最大距離解得訓練2如圖所示，兩個相對的斜面，傾角分別為37°和53°。在頂點把兩個相同的小球以同樣大小的初速度分別向左、向右水平拋出，小球都落在斜面上。若不計空氣阻力，則A、B兩個小球的運動時間之比為（）A．1∶1 B．4∶3 C．16∶9 D．9∶16答案D解析由平拋運動規律得x＝v0t，y＝12而tanα＝解得代入數據可得故選D。基礎練習1.(與斜面關聯的平拋運動)如圖所示，斜面與水平面之間的夾角為45°，在斜面底端A點正上方高度為10m處的O點，以5m/s的速度水平拋出一個小球，飛行一段時間后撞在斜面上，不計空氣阻力，這段飛行所用的時間為(g＝10m/s2)()A.2s B.eq\r(2)sC.1s D.0.5s答案C解析設小球撞到斜面上的一點D，則小球水平運動的時間與豎直下落的時間相等，設飛行時間為t，根據幾何關系可得v0t＝10m－eq\f(1,2)gt2，代入數據解得t＝1s，故選項C正確。2.(與曲面關聯的平拋運動)如圖所示，斜面ABC與圓弧軌道相接于C點，從A點水平向右飛出的小球恰能從C點沿圓弧切線方向進入軌道。OC與豎直方向的夾角為θ＝60°，若AB的高度為h，忽略空氣阻力，則BC的長度為()A.eq\f(\r(3),3)h B.eq\f(2\r(3),3)hC.eq\r(3)h D.2eq\r(3)h答案B解析小球飛出后做平拋運動，到C點時的速度方向與初速度方向夾角為θ，設此時位移方向與初速度方向夾角為α。根據平拋運動規律得tanθ＝2tanα＝eq\f(2h,x)，解得x＝eq\f(2\r(3),3)h，所以A、C、D錯誤，B正確。3.(臨界問題)如圖所示，窗子上、下沿間的高度H＝1.6m，墻的厚度d＝0.4m，某人在離墻壁距離L＝1.4m、距窗子上沿h＝0.2m處的P點，將可視為質點的小物件以速度v水平拋出，小物件直接穿過窗口并落在水平地面上，取g＝10m/s2，不計空氣阻力。則v的取值范圍是()A.v>7m/s B.v<2.3m/sC.3m/s<v<7m/s D.2.3m/s<v<3m/s答案C解析若小物件恰好過窗口上沿，則有h＝eq\f(1,2)gteq\o\al(2,1)，L＝v1t1，解得v1＝7m/s；若小物件恰好過窗口下沿，則有h＋H＝eq\f(1,2)gteq\o\al(2,2)，L＋d＝v2t2，解得v2＝3m/s，所以3m/s<v<7m/s，故C正確。4.(極值問題)(2024·湖北卷，3)如圖所示，有五片荷葉伸出荷塘水面，一只青蛙要從高處荷葉跳到低處荷葉上，設低處荷葉a、b、c、d和青蛙在同一豎直平面內，a、b高度相同，c、d高度相同，a、b分別在c、d正上方。將青蛙的跳躍視為平拋運動，若以最小的初速度完成跳躍，則它應跳到()A.荷葉a B.荷葉bC.荷葉c D.荷葉d答案C5.如圖所示，同一豎直平面內有四分之一圓環BC和傾角為的斜面AC，A、B兩點與圓環BC的圓心O等高。現將甲、乙小球分別從A、B兩點以初速度、沿水平方向同時拋出，兩球恰好在C點相碰（不計空氣阻力），已知，，下列說法正確的是（

）A．初速度、大小之比為3∶4B．若僅增大，則兩球不再相碰C．若大小變為原來的一半，則甲球恰能落在斜面的中點DD．若只拋出甲球并適當改變大小，則甲球可能垂直擊中圓環BC答案AD解析A．甲、乙兩球從等高處做平拋運動恰好在C點相碰，根據可知兩球下落時間相等，水平方向有，可得故A正確；B．由于相同時間內兩球下落高度相同，所以兩球總是處于同一水平線上，若僅增大，則甲球的軌跡在原來軌跡的右側，所以甲、乙兩軌跡一定會相交，則兩球一定會相碰，故B錯誤；C．對于甲球落在斜面AC上，有可得若大小變為原來的一半，則甲球落在斜面AC上所用時間變為原來的一半，根據可知甲球落在斜面AC上通過的豎直位移變為原來的，則甲球不是落在斜面的中點D，故C錯誤；D．若甲球垂直擊中圓環BC，則落點時速度的反向延長線過圓心O，根據平拋運動推論，速度方向延長線交水平位移的中點，如圖所示當滿足此時甲球落在點時垂直擊中圓環BC，故D正確。故選AD。6.從同一豎直線上的不同位置水平拋出P、Q兩小球，分別經時間tP、tQ后落在水平地面上的同一點，且有tP=2tQ。若P、Q兩小球拋出時的速度用vP、vQ表示，下落的高度用hP、hQ表示，落地時的速度與水平方向的夾角用、表示，從拋出到落地的位移用、表示，不計空氣阻力，則下列關系中一定正確的是（）A． B． C． D．答案C解析AB．小球在空中做平拋運動，豎直方向有又，則有由題意可知兩球做平拋運動水平位移相等，根據則兩小球拋出時的速度關系為故AB錯誤；D．小球從拋出到落地的位移大小為由于，，則有故D錯誤；C．小球落地時的速度與水平方向的夾角正切值為則有故C正確。故選C。對點題組練題組一與斜面和曲面關聯的平拋運動1.滑雪運動員在訓練過程中，從斜坡頂端以5.0m/s的速度水平飛出，落在斜坡上，然后繼續沿斜坡下滑。已知斜坡傾角為45°，空氣阻力忽略不計，g取10m/s2，則他在該斜坡上方平拋運動的時間為()A.0.5s B.1.0sC.1.5s D.5.0s答案B解析滑雪運動員做平拋運動，在水平方向有x＝v0t，豎直方向有y＝eq\f(1,2)gt2，根據題意有tan45°＝eq\f(y,x)＝eq\f(\f(1,2)gt2,v0t)，解得t＝1.0s，故B正確。2.(多選)一水平拋出的小球落到一傾角為θ的斜面上時，其速度方向與斜面垂直，運動軌跡如圖中虛線所示，則下列說法正確的是()A.水平速度與豎直速度之比為tanθB.水平速度與豎直速度之比為eq\f(1,tanθ)C.水平位移與豎直位移之比為2tanθD.水平位移與豎直位移之比為eq\f(1,2tanθ)答案AC解析小球落在斜面上，速度方向與斜面垂直，則速度方向與豎直方向的夾角為θ，則水平速度與豎直速度之比為eq\f(vx,vy)＝tanθ，故A正確，B錯誤；水平位移與豎直位移之比eq\f(x,y)＝eq\f(vxt,\f(1,2)gt2)＝eq\f(2vx,vy)＝2tanθ，故C正確，D錯誤。3.(多選)如圖所示，某物體(可視為質點)以水平初速度拋出，飛行一段時間t＝eq\r(3)s后，垂直地撞在傾角θ＝30°的斜面上(g取10m/s2)，則下列關于物體的水平位移x和水平初速度v0正確的是()A.x＝25m B.x＝10eq\r(3)mC.v0＝10m/s D.v0＝20m/s答案BC解析物體垂直撞在斜面上時豎直分速度vy＝gt＝10eq\r(3)m/s，將速度進行分解，根據平行四邊形定則知，tan30°＝eq\f(v0,vy)，解得v0＝10eq\r(3)×eq\f(\r(3),3)m/s＝10m/s，則水平位移x＝v0t＝10×eq\r(3)m＝10eq\r(3)m，故B、C正確，A、D錯誤。4.如圖所示，斜面上有a、b、c、d、e五個點，ab＝bc＝cd＝de。從a點以速度v0水平拋出一個小球，它落在斜面上的b點；若小球從a點以速度2v0水平拋出，不計空氣的阻力，則它將落在斜面上的()A.c點 B.c與d之間某一點C.d與e之間某一點 D.e點答案D解析小球落在斜面上時速度與水平方向的夾角為α，則tanα＝eq\f(vy,v0)＝eq\f(gt,v0)，解得t＝eq\f(v0tanα,g)，在豎直方向的位移y＝eq\f(1,2)gt2＝eq\f(veq\o\al(2,0)tan2α,2g)。當初速度變為原來的2倍時，豎直方向的位移變為原來的4倍，所以小球一定落在斜面上的e點，選項D正確。5.(2024·廣東廣州市高一下期末)如圖所示，一小球從一半圓軌道左端A點正上方某處開始做平拋運動(小球可視為質點)，飛行過程中恰好與半圓軌道相切于B點。O為半圓軌道圓心，半圓軌道半徑為R，OB與水平方向夾角為60°，重力加速度為g，則小球拋出時的初速度為()A.eq\r(gR) B.eq\f(\r(3gR),2)C.eq\f(\r(3\r(3)gR),2) D.eq\r(\f(3\r(3)gR,2))答案D解析飛行過程中恰好與半圓軌道相切于B點，則知速度與水平方向的夾角為30°，有vy＝v0tan30°，又vy＝gt，則v0tan30°＝gt，t＝eq\f(v0tan30°,g)，水平方向上小球做勻速直線運動，有R＋Rcos60°＝v0t，聯立解得v0＝eq\r(\f(3\r(3)gR,2))，故D正確。題組二平拋運動的臨界極值問題6.(2024·甘肅靖遠二中高一期中)如圖所示，在水平路面上一運動員駕駛摩托車跨越壕溝，壕溝兩側的高度差為0.8m，水平距離為8m，則運動員跨過壕溝的初速度至少為(取g＝10m/s2)()A.0.5m/s B.2m/sC.10m/s D.20m/s答案D解析根據x＝v0t、y＝eq\f(1,2)gt2，將已知數據代入可得v0＝20m/s，故D正確。7.(2024·浙江1月選考)如圖所示，小明取山泉水時發現水平細水管到水平地面的距離為水桶高的兩倍，在地面上平移水桶，水恰好從桶口中心無阻擋地落到桶底邊沿A。已知桶高為h，直徑為D，則水離開出水口的速度大小為()A.eq\f(D,4)eq\r(\f(g,h)) B.eq\f(D,2)eq\r(\f(g,2h))C.eq\f(（\r(2)＋1）D,2)eq\r(\f(g,2h)) D.(eq\r(2)＋1)Deq\r(\f(g,2h))答案C解析設出水孔到水桶中心距離為x，則x＝v0eq\r(\f(2h,g))，落到桶底A點時x＋eq\f(D,2)＝v0eq\r(\f(2×2h,g))，解得v0＝eq\f(（\r(2)＋1）D,2)eq\r(\f(g,2h))，故C正確。題組二類平拋運動8.我國建造的航空母艦所使用的滑跳式甲板跑道，用來讓飛行員練習在航空母艦上的滑跳式甲板起飛。如圖所示的AOB為此跑道示意圖，其中AO段水平，OB段為拋物線，O點為拋物線的頂點，拋物線過O點的切線水平，OB的水平距離為x，豎直高度為y。某次訓練中，觀察戰機(視為質點)通過OB段時，得知戰機在水平方向做勻速直線運動，所用時間為t，則戰機離開B點的速率為()A.eq\f(x,t) B.eq\f(y,t)C.eq\f(\r(x2＋y2),t) D.eq\f(\r(x2＋4y2),t)答案D解析戰機在OB段的運動軌跡是拋物線，水平方向做勻速直線運動，豎直方向做初速度為零的勻加速直線運動，則戰機到達B點時的水平分速度大小vx＝eq\f(x,t)，豎直分速度大小vy＝eq\f(2y,t)，合速度大小為v＝eq\r(veq\o\al(2,x)＋veq\o\al(2,y))＝eq\f(\r(x2＋4y2),t)，故D正確。綜合提升練9.某同學對著墻壁練習打網球，假定球在墻面上以20m/s的速度沿水平方向反彈，球在墻面上反彈點距地面的高度在1.25m至1.80m之間，忽略空氣阻力，g取10m/s2，則球反彈一次后落地()A.飛行的最短時間為0.6sB.飛行的最長時間為1.1sC.飛行的最遠水平距離為10mD.飛行的最大位移將超過12m答案D解析球反彈后做平拋運動，根據h＝eq\f(1,2)gt2，可得t＝eq\r(\f(2h,g))，取hmin＝1.25m，可得tmin＝0.5s，取hmax＝1.80m，可得tmax＝0.6s，故A、B錯誤；球在水平方向做勻速直線運動，有xmax＝v0tmax＝12m，故C錯誤；球落地的最大位移smax＝eq\r(xeq\o\al(2,max)＋heq\o\al(2,max))＝eq\r(122＋1.82)m>12m，故D正確。10.(多選)如圖所示，水平固定半球形碗的球心為O點，最低點為P點。在碗邊緣處的A點向球心O以速度v1、v2水平拋出兩個小球，在空中的飛行時間分別為t1、t2，小球分別落在碗內的M、P兩點。已知∠MOP＝37°，sin37°＝0.6，cos37°＝0.8，以下判斷正確的是()A.t1∶t2＝eq\r(3)∶eq\r(5) B.t1∶t2＝2∶eq\r(5)C.v1∶v2＝eq\r(5)∶10 D.v1∶v2＝eq\r(5)∶5答案BD解析小球落在M、P兩點下落的高度分別為h1＝Rcos37°＝0.8R，h2＝R，根據平拋運動規律，豎直方向上h＝eq\f(1,2)gt2，可知t1＝eq\r(\f(2h1,g))＝eq\r(\f(1.6R,g))，t2＝eq\r(\f(2h2,g))＝eq\r(\f(2R,g))，解得t1∶t2＝2∶eq\r(5)，B正確，A錯誤；小球落在M、P兩點水平位移分別為x1＝R－Rsin37°＝0.4R，x2＝R，根據平拋運動規律，水平方向上x＝vt，可知v1＝eq\f(x1,t1)＝eq\r(\f(gR,10))，v2＝eq\f(x2,t2)＝eq\r(\f(gR,2))，解得v1∶v2＝eq\r(5)∶5，C錯誤，D正確。11.在真空環境內探測微粒在重力場中能量的簡化裝置如圖所示。P是個微粒源，能持續水平向右發射質量相同、初速度不同的微粒，高度為h的探測屏AB豎直放置，離P點的水平距離為L，上端A與P點的高度差也為h，已知重力加速度為g。(1)若微粒打在探測屏AB的中點，求微粒在空中飛行的時間；(2)求能被探測屏探測到的微粒的初速度范圍。答案(1)eq\r(\f(3h,g))(2)Leq\r(\f(g,4h))≤v≤Leq\r(\f(g,2h))解析(1)對打在屏中點的微粒，有eq\f(3,2)h＝eq\f(1,2)gt2，解得t＝eq\r(\f(3h,g))。(2)對打在B點的微粒，有L＝v1t1，2h＝eq\f(1,2)gteq\o\al(2,1)解得v1＝Leq\r(\f(g,4h))對打在A點的微粒，有L＝v2t2，h＝eq\f(1,2)gteq\o\al(2,2)解得v2＝Leq\r(\f(g,2h))故能被探測屏探測到的微粒初速度范圍為Leq\r(\f(g,4h))≤v≤Leq\r(\f(g,2h))。12.從同一點水平拋出三個小球分別撞在豎直墻壁上a點、b點、c點，三小球撞到豎直墻壁上的速度方向與豎直墻壁的夾角分別為60°、45°、30°，不計空氣阻力，則下列說法正確的是（）A．落在a點的小球撞在墻面的速度最小B．三個小球撞在墻面的速度一定滿足關系式va>vc>vbC．落在c點的小球飛行時間最短D．a、b、c三點速度方向的反向延長線交于一點答案D解析C．三個小球的豎直位移大小關系為，根據可知，即落在a點的小球飛行時間最短，故C錯誤；D．三個小球的水平位移相同，a、b、c三點速度方向的反向延長線一定過水平位移的中點，即a、b、c三點速度方向的反向延長線交于一點，故D正確；AB．令表示小球撞到豎直墻壁上的速度方向與豎直墻壁的夾角，x和h分別表示水平位移和豎直位移，則小球撞在墻面的豎直分速度大小為合速度大小為聯立可得三個小球水平位移相同，代入數據后解得故AB錯誤。故選D。13.如圖所示，同一豎直平面內有四分之一圓環BC和傾角為的斜面AC，A、B兩點與圓環BC的圓心O等高。現將甲、乙小球分別從A、B兩點以初速度、沿水平方向同時拋出，兩球恰好在C點相碰（不計空氣阻力），已知，，下列說法正確的是（

）A．初速度、大小之比為3∶4B．若大小變為原來的兩倍，讓兩球仍在OC豎直面相遇，則應增大到原來4倍C．若大小變為原來的一半，則甲球恰能落在斜面的中點DD．若要甲球垂直擊中圓環BC，則應變為原來的倍答案AD解析A．兩小球豎直位移相同，則運動時間相同，初速度、大小之比為故A正確；B．若讓兩球仍在OC豎直面相遇，則其中，若大小變為原來的兩倍，則時間t變為原來的一半，要能相遇，則B球的速度要增大為原來的2倍，故B錯誤；C．甲球落在D、C兩點時的豎直位移之比為根據可知甲球落在D、C兩點時的時間之比為甲球落在D、C兩點時的水平位移之比為根據可知甲球落在D、C兩點時的初速度大小之比為故若大小變為，則甲球恰能落在斜面的中點D，故C錯誤；D．若要甲球垂直擊中圓環BC，則擊中BC時的速度方向一定過O點，且根據平拋運動規律的推論可知O點為甲球水平位移的中點，故甲球落點到O點的水平距離為豎直距離為結合在C點相碰，根據解得，所以若要甲球垂直擊中圓環BC，則應變為原來的倍，故D正確。故選AD。培優加強練14.如圖所示，排球場的長為18m，球網的高度為2m。運動員站在離網3m遠