2024年九年級數學下冊第30章二次函數30.5二次函數與一元二次方程的關系2用二次函數的圖像解一元二次方程教學實錄（新版）冀教版主備人備課成員教學內容教材內容：冀教版九年級數學下冊第30章二次函數30.5節，重點講解二次函數與一元二次方程的關系，并運用二次函數圖像解決一元二次方程問題。內容包括：二次函數的定義、性質，一元二次方程與二次函數的關系，以及如何利用二次函數圖像求解一元二次方程。核心素養目標培養學生運用數學模型解決問題的能力，提升學生數據分析與幾何直觀素養。通過本節課的學習，使學生能夠理解二次函數與一元二次方程之間的聯系，學會通過圖像分析求解方程，提高數學思維和解決問題的能力。同時，培養學生的邏輯推理能力和數學應用意識，為后續學習打下堅實基礎。教學難點與重點1.教學重點，

①理解二次函數與一元二次方程之間的對應關系，能夠通過二次函數的圖像識別一元二次方程的根的情況。

②掌握利用二次函數圖像解一元二次方程的方法，包括交點法、對稱軸法等。

③應用二次函數的性質來分析一元二次方程的解的情況，如根的判別、根的分布等。

2.教學難點，

①理解二次函數圖像與一元二次方程根的關系，特別是當方程有兩個相等的實根時，圖像的頂點與方程的解的關系。

②準確判斷二次函數圖像與x軸的交點，尤其是在交點較難直接觀察的情況下，如何利用函數性質和代數方法求解。

③將一元二次方程的解與二次函數的圖像特征相結合，靈活運用幾何直觀和代數計算解決實際問題。學具準備多媒體課型新授課教法學法講授法課時第一課時師生互動設計二次備課教學資源準備1.教材：確保每位學生都有本節課所需的教材或學習資料，包括冀教版九年級數學下冊第30章的相關內容。

2.輔助材料：準備與教學內容相關的圖片、圖表、視頻等多媒體資源，如二次函數圖像的動畫演示，以及一元二次方程解的實例分析。

3.實驗器材：準備白板或投影儀，用于展示二次函數圖像和一元二次方程的解的分布。

4.教室布置：設置分組討論區，方便學生合作學習；確保教室環境安靜，以便學生集中注意力。教學過程設計（一）導入環節（5分鐘）

1.教師通過提問：“同學們，你們在生活中有沒有遇到過需要找兩個數，使得它們的和為一個固定值，而它們的乘積也符合某個條件的情況？”來激發學生的思考。

2.學生分享生活中的例子，教師總結并提出：“這就是我們今天要學習的二次函數與一元二次方程的關系?！?/p>

3.教師展示二次函數的標準形式，引導學生回顧一元二次方程的解法。

（二）講授新課（15分鐘）

1.教師講解二次函數的定義、性質，包括頂點坐標、對稱軸等。

2.通過實例講解一元二次方程與二次函數的關系，展示方程的解與函數圖像的交點對應。

3.教師演示如何利用二次函數圖像解一元二次方程，包括交點法和對稱軸法。

4.學生跟隨教師操作，理解并掌握解題步驟。

（三）鞏固練習（10分鐘）

1.學生獨立完成課本中的練習題，教師巡視指導。

2.學生分組討論，互相解答疑問。

3.教師選取典型題目，讓學生展示解題過程，其他學生補充或糾正。

（四）課堂提問（5分鐘）

1.教師提問：“如何判斷一元二次方程的解是實數還是復數？”

2.學生回答，教師點評并總結。

3.教師提問：“如何利用二次函數圖像判斷一元二次方程的解的情況？”

4.學生回答，教師點評并總結。

（五）師生互動環節（5分鐘）

1.教師提問：“同學們，通過今天的學習，你們覺得二次函數與一元二次方程的關系有什么意義？”

2.學生分享自己的理解，教師總結并提出：“這種關系可以幫助我們更直觀地理解一元二次方程的解的情況，提高解題效率。”

3.教師提問：“如果一元二次方程的系數是分數，我們如何利用二次函數圖像解題？”

4.學生討論并回答，教師點評并總結。

（六）核心素養能力的拓展要求（5分鐘）

1.教師提問：“如何將二次函數與一元二次方程的關系應用于實際問題中？”

2.學生舉例說明，教師點評并總結。

3.教師引導學生思考：“在實際問題中，如何運用二次函數圖像進行決策？”

4.學生討論并回答，教師點評并總結。

（七）總結與作業布置（5分鐘）

1.教師總結本節課的重點內容，強調二次函數與一元二次方程的關系及其應用。

2.學生回顧本節課所學內容，提出疑問。

3.教師布置作業，要求學生獨立完成課本中的相關習題，并準備下節課的討論話題。

教學雙邊互動，注重學生主體地位，充分發揮教師引導作用，關注學生個體差異，確保教學過程符合實際學情，緊扣教學重難點，培養學生數學思維能力和核心素養。教學資源拓展1.拓展資源：

-二次函數的性質與應用：介紹二次函數的圖像特性，如頂點坐標、對稱軸、開口方向等，以及這些性質在實際問題中的應用，如拋物線運動軌跡、物理中的運動規律等。

-一元二次方程的解法拓展：探討一元二次方程的解法除了交點法和對稱軸法之外的其他方法，如公式法、配方法等，以及不同方法在不同類型方程中的應用。

-二次函數與方程的綜合應用：通過實例分析，展示二次函數與一元二次方程在實際問題中的應用，如優化問題、經濟問題、工程問題等。

-數學史上的二次函數與方程：介紹二次函數和一元二次方程在數學發展史上的地位和重要性，以及相關數學家的貢獻。

2.拓展建議：

-學生可以通過網絡資源或圖書館查閱相關書籍，深入學習二次函數和一元二次方程的數學原理和應用。

-鼓勵學生參與數學競賽或社團活動，通過解決實際問題來提高數學應用能力。

-建議學生嘗試自己繪制二次函數的圖像，并分析不同參數變化對圖像的影響。

-通過數學軟件如Mathematica、MATLAB等，學生可以模擬不同類型的二次函數圖像，加深對函數性質的理解。

-學生可以嘗試將二次函數與一元二次方程結合，解決實際問題，如設計最佳路徑、優化資源分配等。

-組織學生進行小組討論，探討二次函數在自然界和社會生活中的應用，如建筑設計、經濟學模型等。

-提供一些歷史數學家的傳記，讓學生了解數學發展的歷程，激發學生對數學的興趣和探索精神。

-安排學生進行課后作業的拓展練習，如設計自己的數學問題，并嘗試使用不同的方法來解決。教學反思與總結這節課下來，我感覺挺有收獲的，但也發現了一些問題。首先，我覺得在導入環節，我通過生活中的例子來引入課題，這樣的方式挺受歡迎的，學生們能夠很快地進入學習狀態。不過，我也發現有些學生對于生活中的數學問題理解得還不夠深入，所以在講解二次函數與一元二次方程的關系時，我可能需要更加具體地舉例，讓他們看到數學在生活中的應用。

在講授新課的過程中，我盡量讓同學們參與到課堂中來，通過互動提問和小組討論，我發現學生們對于二次函數圖像的識別和解題方法掌握得還不錯。但是，我也發現有些學生對于復雜的一元二次方程的解法還是有些吃力，這說明我在講解過程中可能需要更加細致地分解步驟，確保每個學生都能跟得上。

在鞏固練習環節，我給了學生們一些練習題，讓他們通過練習來鞏固所學知識。這個過程我發現，有些學生對于題目中的關鍵詞匯理解不夠，導致解題時出現偏差。因此，我覺得在之后的課堂上，我需要加強對關鍵詞匯的講解和練習。

課堂提問環節，我嘗試了讓學生自己提出問題，這個環節我覺得挺有意思的，學生們提出的問題也很有創意。但是，我發現有些學生提出的問題并不符合教學目標，這說明我在設計問題時還需要更加精準。

在師生互動環節，我鼓勵學生們積極參與討論，他們的回答有時候讓我很驚喜。但是，我也發現有些學生對于問題的理解不夠深入，回答得不夠全面。所以，我覺得在今后的教學中，我需要更加注重引導學生們深入思考，提高他們的分析問題和解決問題的能力。

教學總結的話，我覺得這節課整體上還是達到了預期的效果。學生們對于二次函數與一元二次方程的關系有了更深入的理解，解題能力也有所提高。但是，我也發現了一些不足之處。

比如，我在講解時可能過于注重理論的推導，而忽視了實際應用。在今后的教學中，我需要更加注重將理論知識與實際問題相結合，讓學生們能夠更好地理解數學的應用價值。

另外，我在課堂管理上還需要加強。有些學生可能在課堂上分心，這影響了他們的學習效果。因此，我需要更加關注學生的課堂表現，及時調整教學節奏，確保每個學生都能集中注意力。

針對這些問題，我提出以下改進措施和建議：

1.在導入環節，設計更加貼近學生生活實際的問題，激發他們的學習興趣。

2.在講授新課環節，注重理論聯系實際，通過實例分析幫助學生理解抽象的概念。

3.在鞏固練習環節，提供更多樣化的練習題目，滿足不同層次學生的學習需求。

4.在課堂提問環節，引導學生提出有價值的問題，提高他們的思考深度。

5.在師生互動環節，關注學生的課堂表現，及時調整教學策略，確保教學質量。課后作業1.已知二次函數的圖像開口向上，頂點坐標為（-2，3），且該函數圖像與x軸的兩個交點坐標分別為（1，0）和（4，0）。求該二次函數的解析式。

答案：設二次函數的解析式為y=a(x+2)^2+3。由于頂點坐標為（-2，3），代入得y=a(0)^2+3，即3=3，滿足條件。又因為函數圖像與x軸的交點為（1，0）和（4，0），代入得0=a(1+2)^2+3，解得a=-1/3。所以，二次函數的解析式為y=-1/3(x+2)^2+3。

2.設一元二次方程x^2-4x+3=0，求該方程的解，并畫出對應的二次函數圖像。

答案：解方程x^2-4x+3=0，可以通過因式分解或使用求根公式。因式分解得(x-1)(x-3)=0，所以x=1或x=3。對應的二次函數圖像是一個開口向上的拋物線，頂點坐標為（2，-1），與x軸的交點為（1，0）和（3，0）。

3.已知二次函數y=2x^2-8x+6的圖像與x軸有一個交點，求該交點的坐標。

答案：令y=0，得到2x^2-8x+6=0。這是一個一元二次方程，可以通過求根公式求解。解得x=1或x=3。因此，二次函數與x軸的交點坐標為（1，0）和（3，0）。

4.設一元二次方程x^2-6x+9=0，求該方程的解，并分析對應的二次函數圖像的形狀和位置。

答案：這是一