高等數(shù)學成教試題及答案姓名：____________________

一、選擇題（每題2分，共20分）

1.設函數(shù)f(x)=x^3-3x，則f(x)的極值點為：

A.x=-1，x=1

B.x=0，x=1

C.x=-1，x=0

D.x=0，x=-1

2.設函數(shù)f(x)=e^x-x，則f(x)的零點為：

A.x=0

B.x=1

C.x=e

D.x=e^2

3.設函數(shù)f(x)=ln(x)+1，則f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為：

A.(-∞,0)

B.(0,+∞)

C.(-∞,1)

D.(1,+∞)

4.設函數(shù)f(x)=x^2-4x+4，則f(x)的圖像的對稱軸為：

A.x=-1

B.x=1

C.x=2

D.x=4

5.設函數(shù)f(x)=sin(x)，則f(x)的周期為：

A.π

B.2π

C.3π

D.4π

6.設函數(shù)f(x)=x^3-3x^2+3x-1，則f(x)的導數(shù)f'(x)為：

A.3x^2-6x+3

B.3x^2-6x-3

C.3x^2+6x+3

D.3x^2+6x-3

7.設函數(shù)f(x)=e^x*sin(x)，則f(x)的導數(shù)f'(x)為：

A.e^x*(sin(x)+cos(x))

B.e^x*(sin(x)-cos(x))

C.e^x*(cos(x)+sin(x))

D.e^x*(cos(x)-sin(x))

8.設函數(shù)f(x)=ln(x^2)，則f(x)的導數(shù)f'(x)為：

A.2x/x^2

B.2x/x

C.2/x

D.2x

9.設函數(shù)f(x)=x^2*sin(x)，則f(x)的導數(shù)f'(x)為：

A.2x*sin(x)+x^2*cos(x)

B.2x*sin(x)-x^2*cos(x)

C.-2x*sin(x)+x^2*cos(x)

D.-2x*sin(x)-x^2*cos(x)

10.設函數(shù)f(x)=e^x/x，則f(x)的導數(shù)f'(x)為：

A.e^x/x^2

B.e^x*(1-x)/x^2

C.e^x*(1+x)/x^2

D.e^x*(x-1)/x^2

二、填空題（每題2分，共20分）

1.設函數(shù)f(x)=x^3-3x，則f(x)的導數(shù)為f'(x)=________。

2.設函數(shù)f(x)=e^x，則f(x)的積分F(x)=________。

3.設函數(shù)f(x)=ln(x)，則f(x)的導數(shù)f'(x)=________。

4.設函數(shù)f(x)=x^2-4x+4，則f(x)的極值點為x=________。

5.設函數(shù)f(x)=sin(x)，則f(x)的周期為T=________。

6.設函數(shù)f(x)=x^3-3x^2+3x-1，則f(x)的導數(shù)f'(x)=________。

7.設函數(shù)f(x)=e^x*sin(x)，則f(x)的導數(shù)f'(x)=________。

8.設函數(shù)f(x)=ln(x^2)，則f(x)的導數(shù)f'(x)=________。

9.設函數(shù)f(x)=x^2*sin(x)，則f(x)的導數(shù)f'(x)=________。

10.設函數(shù)f(x)=e^x/x，則f(x)的導數(shù)f'(x)=________。

三、解答題（每題10分，共30分）

1.求函數(shù)f(x)=x^3-3x的極值點及極值。

2.求函數(shù)f(x)=e^x*sin(x)的導數(shù)。

3.求函數(shù)f(x)=ln(x^2)的導數(shù)。

姓名：____________________

一、選擇題（每題2分，共20分）

1.設函數(shù)f(x)=x^3-3x，則f(x)的極值點為：

A.x=-1，x=1

B.x=0，x=1

C.x=-1，x=0

D.x=0，x=-1

2.設函數(shù)f(x)=e^x-x，則f(x)的零點為：

A.x=0

B.x=1

C.x=e

D.x=e^2

3.設函數(shù)f(x)=ln(x)+1，則f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為：

A.(-∞,0)

B.(0,+∞)

C.(-∞,1)

D.(1,+∞)

4.設函數(shù)f(x)=x^2-4x+4，則f(x)的圖像的對稱軸為：

A.x=-1

B.x=1

C.x=2

D.x=4

5.設函數(shù)f(x)=sin(x)，則f(x)的周期為：

A.π

B.2π

C.3π

D.4π

6.設函數(shù)f(x)=x^3-3x^2+3x-1，則f(x)的導數(shù)f'(x)為：

A.3x^2-6x+3

B.3x^2-6x-3

C.3x^2+6x+3

D.3x^2+6x-3

7.設函數(shù)f(x)=e^x*sin(x)，則f(x)的導數(shù)f'(x)為：

A.e^x*(sin(x)+cos(x))

B.e^x*(sin(x)-cos(x))

C.e^x*(cos(x)+sin(x))

D.e^x*(cos(x)-sin(x))

8.設函數(shù)f(x)=ln(x^2)，則f(x)的導數(shù)f'(x)為：

A.2x/x^2

B.2x/x

C.2/x

D.2x

9.設函數(shù)f(x)=x^2*sin(x)，則f(x)的導數(shù)f'(x)為：

A.2x*sin(x)+x^2*cos(x)

B.2x*sin(x)-x^2*cos(x)

C.-2x*sin(x)+x^2*cos(x)

D.-2x*sin(x)-x^2*cos(x)

10.設函數(shù)f(x)=e^x/x，則f(x)的導數(shù)f'(x)為：

A.e^x/x^2

B.e^x*(1-x)/x^2

C.e^x*(1+x)/x^2

D.e^x*(x-1)/x^2

二、填空題（每題2分，共20分）

1.設函數(shù)f(x)=x^3-3x，則f(x)的導數(shù)為f'(x)=________。

2.設函數(shù)f(x)=e^x，則f(x)的積分F(x)=________。

3.設函數(shù)f(x)=ln(x)，則f(x)的導數(shù)f'(x)=________。

4.設函數(shù)f(x)=x^2-4x+4，則f(x)的極值點為x=________。

5.設函數(shù)f(x)=sin(x)，則f(x)的周期為T=________。

6.設函數(shù)f(x)=x^3-3x^2+3x-1，則f(x)的導數(shù)f'(x)=________。

7.設函數(shù)f(x)=e^x*sin(x)，則f(x)的導數(shù)f'(x)=________。

8.設函數(shù)f(x)=ln(x^2)，則f(x)的導數(shù)f'(x)=________。

9.設函數(shù)f(x)=x^2*sin(x)，則f(x)的導數(shù)f'(x)=________。

10.設函數(shù)f(x)=e^x/x，則f(x)的導數(shù)f'(x)=________。

三、解答題（每題10分，共30分）

1.求函數(shù)f(x)=x^3-3x的極值點及極值。

2.求函數(shù)f(x)=e^x*sin(x)的導數(shù)。

3.求函數(shù)f(x)=ln(x^2)的導數(shù)。

四、計算題（每題10分，共30分）

1.計算定積分∫(0to1)(x^2-2x+1)dx。

2.計算不定積分∫(e^x*sin(x))dx。

3.計算不定積分∫(ln(x^2))dx。

五、證明題（每題10分，共20分）

1.證明：若函數(shù)f(x)在區(qū)間[a,b]上連續(xù)，且f(a)=f(b)，則存在至少一個點c∈(a,b)，使得f'(c)=0。

2.證明：若函數(shù)f(x)在區(qū)間[a,b]上可導，且f'(x)>0，則f(x)在區(qū)間[a,b]上單調(diào)遞增。

六、應用題（每題10分，共20分）

1.一物體做勻加速直線運動，其加速度a=2m/s^2，初速度v0=3m/s，求物體在5秒內(nèi)的位移。

2.一質(zhì)點做簡諧振動，其振動方程為x=0.1*sin(πt)，求質(zhì)點在t=0.5秒時的速度和加速度。

試卷答案如下：

一、選擇題（每題2分，共20分）

1.A

解析思路：對f(x)求導得f'(x)=3x^2-3，令f'(x)=0，解得x=-1，x=1。通過二階導數(shù)檢驗可知，x=-1是極大值點，x=1是極小值點。

2.C

解析思路：對f(x)求導得f'(x)=e^x-1，令f'(x)=0，解得x=1。通過導數(shù)的符號變化可知，x=1是f(x)的零點。

3.B

解析思路：對f(x)求導得f'(x)=1/x，由于x>0，故f'(x)>0，所以f(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞增。

4.B

解析思路：f(x)=(x-2)^2，其圖像是一個開口向上的拋物線，對稱軸為x=2。

5.B

解析思路：正弦函數(shù)的周期為2π，所以sin(x)的周期為2π。

6.A

解析思路：對f(x)求導得f'(x)=3x^2-6x+3，這是一個二次多項式。

7.A

解析思路：對f(x)求導得f'(x)=e^x*(sin(x)+cos(x))，利用乘積法則和鏈式法則進行求導。

8.C

解析思路：對f(x)求導得f'(x)=2x/x^2=2/x，由于x>0，故f'(x)>0。

9.A

解析思路：對f(x)求導得f'(x)=2x*sin(x)+x^2*cos(x)，利用乘積法則和鏈式法則進行求導。

10.B

解析思路：對f(x)求導得f'(x)=e^x*(1-x)/x^2，利用商法則進行求導。

二、填空題（每題2分，共20分）

1.f'(x)=3x^2-3

解析思路：直接對函數(shù)f(x)求導。

2.F(x)=e^x

解析思路：由于f(x)=e^x是指數(shù)函數(shù)，其積分F(x)也是e^x。

3.f'(x)=1/x

解析思路：對數(shù)函數(shù)ln(x)的導數(shù)是1/x。

4.x=2

解析思路：由于f(x)=(x-2)^2，當x=2時，f(x)取得極值。

5.T=2π

解析思路：正弦函數(shù)sin(x)的周期是2π。

6.f'(x)=3x^2-6x+3

解析思路：直接對函數(shù)f(x)求導。

7.f'(x)=e^x*(sin(x)+cos(x))

解析思路：利用乘積法則和鏈式法則進行求導。

8.f'(x)=2/x

解析思路：對數(shù)函數(shù)ln(x^2)的導數(shù)是2x/x^2。

9.f'(x)=2x*sin(x)+x^2*cos(x)

解析思路：利用乘積法則和鏈式法則進行求導。

10.f'(x)=e^x*(1-x)/x^2

解析思路：利用商法則進行求導。

三、解答題（每題10分，共30分）

1.極值點：x=-1，極值：f(-1)=2；極值點：x=1，極值：f(1)=-2。

解析思路：先求導數(shù)f'(x)，令f'(x)=0，解得極值點。然后代入原函數(shù)計算極值。

2.f'(x)=e^x*(sin(x)+cos(x))

解析思路：利用乘積法則和鏈式法則進行求導。

3.f'(x)=2x/x^2

解析思路：對數(shù)函數(shù)ln(x^2)的導數(shù)是2x/x^2。

四、計算題（每題10分，共30分）

1.∫(0to1)(x^2-2x+1)dx=[1/3*x^3-x^2+x]from0to1=(1/3-1+1)-(0-0+0)=1/3。

解析思路：直接計算定積分。

2.∫(e^x*sin(x))dx=-e^x*cos(x)+e^x*sin(x)+C。

解析思路：利用乘積法則和鏈式法則進行求導。

3.∫(ln(x^2))dx=2*x*ln(x)-2*x+C。

解析思路：對數(shù)函數(shù)ln(x^2)的積分是2*x*ln(x)-2*x。

五、證明題（每題10分，共20分）

1.證明：設F(x)=f(x)-f(a)，由于f(x)在[a,b]上連續(xù)，故F(x)在[a,b]上連續(xù)。又因為f(a)=f(b)，所以F(a)=F(b)=0。根據(jù)羅爾定理，存在至少一個c∈(a,b)，使得F'(c)=0。由于F'(x)=f'(x)，所以f'(c)=0。

解析思路：利用羅爾定理進行證明。

2.證明：設x1,x2∈[a,b]，且x1<x2，由于f'(x)>0，所以f(x1)<